Тема: Тригонометричні рівняння, нерівності та функції

Тригонометричні рівняння

Означення. Тригонометричні рівняння – це рівняння, що містять тригонометричні функції (sin, cos, tg, ctg) змінної.

Приклади та розв'язання

1. Розв'язання рівняння sin(x) = 1/2:

   - Для рівняння sin(x) = 1/2, коренями є x = π/6 + 2kπ та x = 5π/6 + 2kπ, де k ∈ ℤ.

2. Розв'язання рівняння cos(x) = -1/2:

   - Для рівняння cos(x) = -1/2, коренями є x = 2π/3 + 2kπ та x = 4π/3 + 2kπ, де k ∈ ℤ.

3. Розв'язання рівняння tg(x) = 1:

   - Для рівняння tg(x) = 1, коренями є x = π/4 + kπ, де k ∈ ℤ.

Задачі для самостійного розв'язання

1. Розв'яжіть рівняння sin(x) = √3/2.

2. Розв'яжіть рівняння cos(x) = 1/2.

3. Розв'яжіть рівняння tg(x) = -1.

Тригонометричні нерівності

Означення. Тригонометричні нерівності – це нерівності, що містять тригонометричні функції змінної.

Приклади та розв'язання

1. Розв'язання нерівності sin(x) ≥ 1/2:

   - Нерівність sin(x) ≥ 1/2 виконується для x ∈ [π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ], де k ∈ ℤ.

2. Розв'язання нерівності cos(x) ≤ 1/2:

   - Нерівність cos(x) ≤ 1/2 виконується для x ∈ [2π/3 + 2kπ, 4π/3 + 2kπ], де k ∈ ℤ.

3. Розв'язання нерівності tg(x) < 1:

   - Нерівність tg(x) < 1 виконується для x ∈ (π/4 + kπ, 3π/4 + kπ), де k ∈ ℤ.

Задачі для самостійного розв'язання

1. Розв'яжіть нерівність sin(x) ≤ √2/2.

2. Розв'яжіть нерівність cos(x) ≥ -1/2.

3. Розв'яжіть нерівність tg(x) > -1.

Тригонометричні функції

Означення. Тригонометричні функції – це функції, що виражають залежність кута від його тригонометричних відношень: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg).

Властивості тригонометричних функцій

1. Синус:

   - Визначення: sin(x) – відношення протилежного катета до гіпотенузи в прямокутному трикутнику.

   - Область визначення: всі дійсні числа.

   - Область значень: [-1, 1].

   - Періодичність: період 2π.

2. Косинус:

   - Визначення: cos(x) – відношення прилеглого катета до гіпотенузи в прямокутному трикутнику.

   - Область визначення: всі дійсні числа.

   - Область значень: [-1, 1].

   - Періодичність: період 2π.

3. Тангенс:

   - Визначення: tg(x) – відношення синуса до косинуса: tg(x) = sin(x)/cos(x).

   - Область визначення: всі дійсні числа, крім x = π/2 + kπ, де k ∈ ℤ.

   - Область значень: всі дійсні числа.

   - Періодичність: період π.

4. Котангенс:

   - Визначення: ctg(x) – відношення косинуса до синуса: ctg(x) = cos(x)/sin(x).

   - Область визначення: всі дійсні числа, крім x = kπ, де k ∈ ℤ.

   - Область значень: всі дійсні числа.

   - Періодичність: період π.

Задачі для самостійного розв'язання

1. Визначте значення функції sin(x), якщо x = π/6.

2. Знайдіть cos(x), якщо x = 2π/3.

3. Обчисліть tg(x), якщо x = π/4.

4. Визначте ctg(x), якщо x = π.

Додаткові вправи

1. Розв'яжіть рівняння sin ² (x) + cos ² (x) = 1.

2. Розв'яжіть рівняння 2sin(x)cos(x) = sin(2x).

3. Розв'яжіть рівняння tg(x) + ctg(x) = 2.

4. Розв'яжіть нерівність sin(x) > 1.

5. Розв'яжіть нерівність cos(x) ≤ 2.