Урок - захист творчих робіт "Арифметична та геометрична прогресії"

Про матеріал

Автор пропонує методичну розробку уроку-захисту творчих робіт з теми: «Арифметична та геометрична прогресії. У методичній розробці представлена індивідуальна форма роботи над рефератами та їх захист. В даній роботі мова піде про прогресії, знаходження суми їх n перших членів; про найдавнішу прогресію; про розв’язування нестандартних задач, а також про одну важливу формулу для обчислення суми, найрізноманітніших задач в різних питаннях математики. Робота може бути корисною для вчителів математики середніх шкіл.

Перегляд файлу

Л. Трохименко

Трохименко Любов Іллівна – учитель математики,

учитель вищої кваліфікаційної категорії

Автор пропонує методичну розробку уроку-захисту творчих робіт з теми: «Арифметична та геометрична прогресії.

У методичній розробці представлена індивідуальна форма роботи над рефератами та їх захист.

В даній роботі мова піде про прогресії, знаходження суми їх n перших членів; про найдавнішу прогресію; про розв’язування нестандартних задач, а також про одну важливу формулу для обчислення суми, а саме:

, найрізноманітніших задач в різних питаннях математики.

Робота може бути корисною для вчителів математики середніх шкіл.

Передмова

У своїй роботі автор мав на меті задовольнити потребу дітей в творчості, дослідництві; розвивати здатність діяти, знаючи і розуміючи.

А також перевірити якість та міцність знань учнів за темою «Арифметична і геометрична прогресії», уміння застосовувати вивчене під час розв’язування вправ у стандартних та нестандартних ситуаціях.

Тема «Арифметична та геометрична прогресії» займає важливе місце у вивченні не тільки математики. Адже поняття «прогресія» та їх властивості, часто застосовують у фізиці, хімії та інших природничих науках.

Талант і творча обдарованість особистості стають сьогодні запорукою інтенсивного економічного розвитку країни і сприятливим чинником національного престижу. Розвитку в процесі навчання творчих здібностей учнів сприяють технології інтерактивного навчання.

Під час інтерактивного навчання учні вчаться бути демократичними, спілкуватися з іншими людьми, критично мислити, приймати продумані рішення.

На своїх уроках автор практикує інтерактивні технології «акваріум», «мікрофон», «незакінчені речення».

Вирішальне значення має формувальний вплив предмета математики на особистість школяра. Тому в цій роботі автор, насамперед, приділив увагу розвитку логічного мислення, інформаційної культури, уваги, пам’яті, позитивних властивостей особистості й рис характеру, емоційно-вольової сфери.

Універсальні генії (як от Ломоносов і Леонардо да Вінчі) народжуються раз на сто років. Хоч геніальні вони не в шкільному віці. Щоб у майбутньому стати успішним, необхідно подбати про сьогодення. Сприяючи ерудованості учнів з предмета ми допомагаємо їм опанувати загальні вміння навчати себе – вчитися.

Нерідко на шляху до зацікавлення розкривається талант дитини, про який вона й не підозрювала.

За два тижні до проведення уроку оголошується тема, дається список рекомендованої літератури, визначається термін написання рефератів та дата їх перевірки.

Тема: Арифметична та геометрична прогресії. Нестандартні задачі

Мета: узагальнити та систематизувати знання і вміння учнів з теми «Арифметична та геометрична прогресії»: формула n – го члена арифметичної та геометричної прогресій, суми їх n перших членів; формувати в учнів уміння застосовувати набуті знання в нестандартних умовах, аналізувати та систематизувати ті знання, які вони здобувають на уроках або з додаткової літератури; сприяти активізації розумової діяльності учнів, прищеплювати любов до математики; виховувати наполегливість у досягненні мети, дисциплінованість, вміння раціонально використовувати час

уроку.

Епіграф уроку:

Розв’язання простої, але не зовсім стандартної задачі може вимагати деякого напруження, зате натомість дає відчути тріумф відкриття.

Д. Пойа.

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань і вмінь.

Форма проведення: урок – захист творчих робіт.

Обладнання: плакати з висловами математиків і про математику, роздавальний матеріал, таблиці з умовами задач, що розв’язуються усно, ілюстрації.

Девіз: «Швидкість потрібна, а поквапливість – шкідлива».

О. Суворов.

Хід уроку

І. Організаційний етап

Вступне слово вчителя. Добрий день, шановні друзі! Сьогодні в нас не зовсім звичайний урок. Незвичайний не тільки тому, що на ньому присутні гості, а й тому, що він пройде у вигляді захисту творчих робіт учнів. Урок нестандартний.

ІІ. Актуалізація опорних знань

Актуалізація опорних знань проводиться у вигляді усної роботи, під час якої вчитель звертає увагу на ключові означення та формули теми (деякі з них учні можуть записати в зошит).

План проведення усної роботи

№	Питання теоретичного матеріалу	Вправа
1	Означення арифметичної прогресії	Яка з наведених послідовностей є арифметичною прогресією? А)2;-6;12;-24; Б)3;7;11;15; В)2;4;8;16; Г)2;4;2;4.
2	Означення різниці арифметичної прогресії.	Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо
3	Формула n-го члена арифметичної прогресії. d(n-1)	Перший член арифметичної прогресії а різниця d=-1. Чому дорівнює сьомий член прогресії?
4	Формула суми n перших членi арифметичної прогресії. (1) S (2)	1.Чому дорiвнює сума семи перших членів арифметичної прогресії (), якщо i 2. d=6,

Продовження таблиці «План проведення усної роботи»

5	Означення геометричної прогресії	Укажіть серед наведених послідовностей геометричну прогресію А)4;8;12;16; Б)10;20;30;40; В)5;6;8;11; Г)7;14;28;56
6	Означення знаменника геометричної прогресії	Чому дорівнює знаменник геометричної прогресії (), якщо
7	Формула n-го члена геометричної прогресії q	Чому дорівнює п'ятий член геометричної прогресії, якщо її перший член а знаменник q=-
8	Формула суми n перших членiв геометричної прогресії.	Чому дорiвнює сума чотирьох перших членів геометричної прогресії, якщо її перших член а знаменник q=-3?

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності, повідомлення теми, мети, завдань уроку

Учитель. Урок-захист творчих робіт – це урок нетрадиційний, який розкриває ваші здібності, знання з теми «Арифметична і геометрична прогресії», розвиває фантазію.

Сьогодні ми перевіримо, як ви виконали домашнє завдання.

(Оголошуються прізвища доповідачів та порядок їх виступів).

Пам’ятайте девіз: «...Швидкість потрібна, а поквапливість шкідлива».

О. Суворов.

Як кажуть, попит породжує пропозицію. Якщо є задачі, то потрібно навчитися їх розв’язувати.

Розв’язування задачі ускладнюється тоді, коли у людини не досить розвинуто вміння побачити єдину математичну модель у різних ситуаціях. Не даремно Анрі Пуанкаре, французький математик, сказав: «Математика є спосіб називати різні речі одним ім’ям.»

Можливість розвивати це вміння ви матимете сьогодні, розв’язуючи задачі, пов’язані з прогресіями.

І, крім того, матимете гарну можливість розвинути і закріпити навички розв’язування вправ на обчислення сум.

ІV. Творче застосування узагальнених знань, навичок та вмінь

Не випадково відомий сучасний математик Д. Пойа говорить: «Що означає опанувати математику? Це є вміння розв’язувати задачі, до того ж не тільки стандартні, але й ті, що потребують відомої незалежності мислення, здорового глузду, оригінальності, винахідливості.»

Доповідачі виступають зі своїми повідомленнями, у кінці кожного виступу учні ставлять їм запитання.

Задача очень непростая:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи –

Найдешь к решению ключи!

Давным-давно один мудрец сказал,

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Існує традиційна розповідь про маленького Гаусса, який потім став великим Карлом – Фрідріхом Гауссом («король математиків» – лат.) – напівофіційне прізвище, яке було присвоєне Гауссу ще за життя. Ці слова були вигравірувані на пам’ятній медалі, яка була випущена в рік смерті Гаусса (1855).

Гаус був тоді ще дитиною, хоч і дуже розумним розвинутим не по роках.

Перший виступ

Задача № 1

Відома теорема: сума членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює добутку півсуми її крайніх членів на число членів прогресії.

Можна довести геометрично.

При цьому ми будемо вважати, що а>о і d>0.

d Q

d d

R a a a P

O n

1 2 3 4 n

Мал. 1.

Із малюнка 1 зрозуміло, що числа a, a, ..., а дають по порядку

(а), зображених на малюнку прямокутників, і, отже, сума

дорівнює площі всієї ступінчатої фігури. Але ту ж саму площу можна дістати, якщо до площі трапеції ОРQR додати n площу прямокутних трикутників з катетами 1 і d (на малюнку 1 ці трикутники заштриховані).

Це і є потрібний результат.

Нестандартні задачі – це такі, які в курсі математики не мають загальних правил і положень, що визначають точну програму їх розв’язання.

Задача № 2

Знайти суму:

а) -100 – 99 – 98 – 97 - ... – 1+1+ 2 +... + 100 + 101 +102.

Відповідь. 203.

б) 1 +2 – 3 – 4 + 5 +6 – 7 – 8 + 9 +10 – 11 – 12 + 13 + 14 - ... + 301 + 302.

Розв’язання:

1 + ( 2 – 3 – 4 +5) + ( 6 – 7 – 8 + 9) + (10 – 11 – 12 +13) +... + (298 – 299 – 300 + +301) + 302 = 303, оскільки сума цифр у кожній дужці дорівнює нулю.

Другий виступ

Властивості трикутників, сторони яких утворюють арифметичну прогресію.

Трикутник, сторони якого утворюють арифметичну прогресію, називається різницевим (різниця – елемент, що характеризує арифметичну прогресію). Позначимо довжини сторін такого трикутника через а, в, с і, не обмежуючи загальності, вважатимемо, що в>а >с, тобто а = .

Задача. У різницевому трикутнику котангенси половин кутів, трикутника становлять арифметичну прогресію. Довести.

Доведення.

Неважко показати, що в усякому трикутнику

(Мал.2) AK=p-a, ВК=р-в, СК, КК

А – точки дотику вписаного в

трикутник кола до його сторін).

Якщо довжини сторін а, в, с є членами

арифметичної прогресії, то числа p-a, р-в,

р-с, а отже, й числа , теж є

В С членами арифметичної прогресії. Але

К = сtg, = сtg , = сtg.

Третій виступ

Відомі задачі про:

- поділ хліба

- поливання городу

- годівля курей

- бригада землекопів

- яблука

- купівля коня

- винагорода воїна

Задача. Яблука.

Садівник продав першому покупцеві половину усіх своїх яблук і ще пів – яблука, другому покупцеві – половину залишених і ще пів – яблука; третьому – половину залишених і ще пів – яблука і т. д. Сьомому покупцеві він продав половину залишених яблук і ще пів – яблука; після цього яблук у нього не залишилось. Скільки яблук було у садівника?

Розв’язання:

Якщо початкове число яблук х, то перший покупець одержав

другий

третій

... .... ... ... ... ... ... ... ... ...

Сьомий покупець одержав .

Маємо рівняння

+++…+=

або (+1)( +++…+)=.

Обчислюючи суму членів геометричної прогресії, яка стоїть у дужках, знаходимо:

Усіх яблук було 127.

Алгебра на клітчастому папері

Незважаючи на п’ятдесятивікову давність цієї задачі на прогресії, у нашому шкільному ужитку прогресії з’явилися порівнюючи недавно. У підручнику Магницького, який був виданий двісті років тому і цілих півстоліття був основним посібником для шкільного навчання, прогресії хоч і є, але загальних формул, які зв’язують величини, що входять до них, в ньому не подано. Сам укладач підручника не без труднощів справлявся з такими задачами. А проте формулу суми членів арифметичної прогресії легко вивести простим і наочним способом за допомогою клітчастого паперу. На такому папері будь – яка арифметична прогресія зображується ступінчастою фігурою. Наприклад, фігура АВСД на мал. 3 зображує прогресію 2; 5; 8; 11; 14 і т. д.

Щоб визначити суму її членів, доповнимо креслення до прямокутника АВGE. Одержимо дві рівні фігури АВДС і ДGЕС. Площа кожної з них зображує суму членів нашої прогресії. Отже, подвійна сума прогресії дорівнює площі прямокутника АВGЕ, тобто (АС + СЕ) АВ.

B A		D								G
	1					5
		2					4
			3					3
				4					2
					5					1
									C	E

Мал. 3.

Однак АС + СЕ зображує суму 1 – го і 5 – го членів прогресії, АВ – число членів прогресії. Тому подвійна сума

(сума крайніх членів)(число членів) або S=

Четвертий виступ

Задача № 1.

Скільки пар кроликів народиться за рік від однієї пари, якщо кожна пара дає щомісяця приплоду по одній парі, яка в свою чергу здатна до розмноження через один місяць, і якщо жодна пара не загине?

На початку року маємо 1 пару кролів, через місяць їх буде – 2 пари, через два місяці – 3, через три – 5, потім через кожний місяць кролів буде відповідно 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 і, нарешті, 377 пар, а всього 986 пар.

Розв’язання задачі привело до цікавої рекурентної числової послідовності:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,..., = +. Французький математик Едуард Люка ( 1842 – 1891) назвав послідовності, члени яких утворюються за таким рекурентним законом, рядами, або послідовностями Фібоначчі, а їх члени – числами Фібоначчі, які постають при розв’язуванні численних практичних і теоретичних задач і мають багато цікавих властивостей. Зокрема, суму перших n послідовних чисел Фібоначчі можна обчислити за формулою:

++...+=-1

У XІІІ ст. італійський математик Л.Пізанський (Фібоначчі) (1170 – 1250) досліджував послідовність

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...,

кожний член якої, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх членів. Кілька століть математики не могли знайти її n –й член. Тепер він відомий:

Задача № 2

Розв’язати рівняння:

+ = де <1

Розв’язання:

+ - = 0.

D=819=81-72=9, D>0.

Відповідь: Вказівка. Використати суму

П’ятий виступ

Правила для знаходження суми членів геометричної прогресії є в «Началах» Евкліда. Архімед вивів правила для знаходження суми квадратів перших n натуральних чисел, вмів він також обчислювати суми членів нескінченних спадних геометричних прогресій.

Історичні відомості

Приклади окремих арифметичних і геометричних прогресій можна зустріти ще в давньовавілонських та єгипетських надписах, які мають вік біля чотирьох тисячоліть і більше. В давній Греції ще за п’ять століть до н. е. були відомі такі суми:

1 + 2 + 3 + ... + n = ,

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = ,

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ( n + 1).

Математики давньої Індії та Китаю складали і розв’язували різні задачі на арифметичні та геометричні прогресії. У європейців правило для знаходження суми членів будь- якої арифметичної прогресії зустрічається вперше в роботі Леонарда Пізанського «Книга про абака» (1202). У давньогрецьких математиків вивчення геометричних прогресій починається від так званої неперервної геометричної пропорції, тобто пропорції виду

а : х = х : с ; тут х = – середнє пропорційне між а і с. Очевидно, що числа а, , с утворюють геометричну прогресію із трьох членів з першим членом, рівним а, знаменником q = Її можна записати в вигляді: а, аq, аq і продовжувати дальше аq, аq, .... .

У вже згаданій роботі Евкліда «Начала» (близько 300 років до н.е.) в

словесній формі міститься теорема відносно геометричної прогресії, яку можна виразити слідуючою рівністю:

Звідси одержуємо:

Легко переконатися, що цей результат тільки по зовнішньому вигляду відрізняється від результату. Насправді, і, отже:

Тому формула Евкліда може бути подана в слідуючому знайомому вигляді:

Відома задача про нагороду, яка була присвоєна за винахід шахматної гри, зустрічається вперше у хорезмського математика – ал – Біруні (973 – 1048). Мова іде тут про кількість зернин, яка одержиться якщо на першу клітку шахматної дошки покласти зерно пшениці, на другу – 2, на третю - 2, на четверту - 2 і т.д., на останню шістдесят четверту - 2 . Підрахунок кількості всіх зернин зводиться до знаходження суми:

1 + 2 +2 + ... +2= 2– 1.

В словесній формі загальне правило для знаходження суми членів будь-якої скінченної геометричної прогресії зустрічається у французського математика Шюке (1484).

Сума нескінченно спадної геометричної прогресії

1 + + ++...++...=2 використовується Архімедом (287 – 212 рр. до н. е.) для обчислення площі сегменту обмеженого параболою. Загальна формула для знаходження суми будь –якої нескінченної спадної геометричної прогресії була виведена в першій половині XVІІ ст. декількома математиками ( і серед них французьким математиком П’єром Ферма). Відмітимо, накінець, що формула для суми квадратів натуральних чисел: була відома ще Архімеду, який користувався нею , при розв’язуванні задач геометрії і механіки.

1. Знайдіть суму: 1 + 9 + 25 + ... + ( 2n – 1).

Розв’язання:

2. Знайти суму:

Розв’язання:

Запишемо загальний член цього ряду так:

а,

тоді задана сума набирає вигляду

Відповідь:

3. Для будь – яких n ( n є N) справджується рівність:

... .

Відомо, що Звідки Але тому

4. Піраміду із тенісних м’ячів можна скласти і іншим способом. Почнемо з шару в... м’ячів, розміщених у вигляді квадрата, як це показано на мал. 4;

Мал. 4.

На нього вкладіть другий шар із м’ячів, потім третій шар із ... м’ячів і т.д. і накінець на самому верху – останній м’яч. Скільки всього м’ячів міститься в такій піраміді?

Шостий виступ

Графіки членів прогресії і їх сум

Графіками членів прогресії є множина точок, розміщених на графіку лінійної функції у = к х + в, якщо прогресія арифметична, і на графіку

у = Аq, якщо прогресія геометрична.

Порівняємо тепер ці графіки з графіками сум n перших членів прогресії – спочатку арифметичної, потім геометричної.

Розглянемо окремі приклади.

Нехай дано арифметичну прогресію з загальним членом a. Сума її n членів . являє собою квадратичну функцію при х = n =1, 2, 3, ... .

Отже, графіком S є множина окремих точок, розміщених на параболі . На малюнку 5 зображений графік членів прогресії ( точки, які лежать на прямій у = 2 х – 7 , при х = n = 1, 2, 3, ... .) і графік .

10 S a

O n

1 2 3 4 5 7 8 9 10

-2

-4

-6

-8

-10

Мал. 5.

При збільшенні n відповідні точки параболи піднімаються все вище і вище; тим самим наочно підтверджується зроблений нами висновок:

завжди можна знайти таке n, щоб перевищить по абсолютній величині будь – яке наперед задане додатне число.

Нехай тепер дано геометричну прогресію:

1, 2, 4, 8, 16, ... ( q = 2). Її загальний член і =.

Графік членів – множина точок, які лежать на графіку функції при х = n = 1, 2, 3... . Графік – множина точок, які належать графіку функції при х= n = 1, 2, 3,...( мал.6); для наглядності за одиницю приймемо відрізок, в 2 рази менший, ніж по осі абсцис). На цих графіках також ясно видно, що при необмеженому збільшенні n при q...1 сума n членів геометричної прогресії необмежено зростає.

32 U

30 S

O 1 2 3 4 5 6 n

Мал. 6.

Якщо 0<q<1 і >0, то графіки і будуть іншими.

Розглянемо це на прикладі прогресії:

1, В цьому випадку = і =2- . Відповідні графіки дано на мал. 149; тут на осі ординат за 1 прийнято відрізок, в 8 разів більший, ніж по осі абсцис.

На графіках ясно видно, що із збільшенням n,

0, а 2.

Сьомий виступ

Важливе значення мають два способи задання послідовностей – явною формулою загального члена й рекурентною формулою.

Рекурентний спосіб задання послідовності більш специфічний. Він істотно зв’язаний саме з тим, що послідовність – функція натурального аргументу.

Задача 1. Послідовність задано рекурентно:

Знайти загальний член послідовності.

Розв’язання. Маємо:

На основі одержаних рівностей висловлюємо гіпотезу: загальний член послідовності визначається рівністю

(1)

Доведемо гіпотезу методом математичної індукції. Дійсно, при n=1 рівність (1) правильна. Нехай вона є правильною при n=k, тобто . Доведемо її правильність при n=k+1. Тоді

Отже, рівність (1) є правильною для будь-якого n.

Задача 2. Послідовність задано рекурентно:

Знайти загальний член послідовності.

Розв’язання. Бачимо, що

Висловлюємо гіпотезу, що Доведемо гіпотезу методом математичної індукції. При n=1 твердження правильне. Нехай воно правильне при доведемо, що воно правильне при n=k+1, тоді

Таким чином,

Зазначимо, що в результаті спостережень можна зробити й неправильний висновок. Наприклад, розглянено множину чисел

де n- довільне натуральне число. Для n=1,2,3,4 одержимо відповідно m=5,11,19,29, тобто перші чотири значення m – прості числа. Чи можна стверджувати на основі одержаних спостережень, що для будь-якого натурального n число m буде простим? Ні. Наприклад, при n=6 число m=55 є складеним.

V. Підсумок уроку:

- Що нового ви дізналися?

- Під час виконання яких завдань у вас виникали труднощі?

- Над чим нам потрібно ще працювати?

- Чи вдалося вам виконати на уроці те, що ви хотіли?

- Що сприяло успіху в роботі? Що заважало?

Як приємно дізнатися, що ти чогось дізнався.

Ж. Мольєр.

Впевнена, що ви зрозуміли необхідність набуття знань з математики.

Мені хочеться закінчити наш урок словами М.І. Калініна: «Яку б науку ти не вивчав, в який би ВНЗ не поступав, в якій би галузі не працював, якщо ти хочеш залишити слід, то для цього всюди необхідне знання математики… Наповнюй свою голову математикою, поки є можливість. Вона потім надасть величезну допомогу у всій вашій роботі». Україні потрібні хороші спеціалісти: інженери, архітектори, потрібні навіть керівники державою.

VІ. Домашнє завдання:

Домашнє завдання сьогодні носить творчий характер і допоможе вам закріпити здобуті на уроках знання.

Чому дорівнює сума чисел у n – му рядку «арифметичного трикутника»?

2 + 3

4 + 5 + 6

7 + 8 + 9 + 10

11 + 12 + 13 + 14 + 15

…………………………. ?

А.

Б.

В. n ( n + 1)

Г. Інша

відповідність

Розв’язання:

Існує певна закономірність для перших доданків сусідніх рядків:

2 – 1 = 1, 4 – 2 = 2, 7 – 4 = 3, 11 – 7 = 4, …

Ця закономірність пов’язана з тим, що кількість доданків у рядку дорівнює номеру рядка. Якщо позначимо перший доданок n – го рядка через а , то маємо: