Урок- практикум з теми "Розв'язування задач на пропорції та пропорційний поділ."

Відділ освіти Сихівської адміністрації

Методичне об’єднання вчителів математики СЗШ № 73

 

 

 

 

 

 

Підготувала вчитель математики

Спеціаліст вищої категорії,

Старший вчитель

Кондрин Леся Петрівна

 

 

 

 

 

 

 (Зустріч за «круглим столом»)

 

Тема:    РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Мета: формувати уміння учнів розв’язувати задачі на використання основної властивості         пропорції та прямої й оберненої пропорційних залежностей.

Обладнання: Малюнки із прикладами «золотої пропорції», портрети композиторів та поета, добірка задач, плакат з висловом:

«Скульптура й архітектура прийшли до математики через учіння про пропорції»

                                                                                                                                (О.К.Дживелегов).

  

 (Парти в класі поставлені півколом так, щоб учні бачили одне одного й одночасно можна було швидко пройти до дошки.)

 

Хід уроку

 І. Актуалізація опорних знань

 Запитання до класу:

1. Що називається пропорцією?
2. З яких відношень можна скласти пропорцію?
3. Сформулюйте основну властивість пропорції.
4. Як знайти невідомий крайній (середній) член пропорції?
5. Обчислити х, якщо: а) х : 3 = 8 : 6; б) 36 : 4 = х : 2.

 

ІІ. Повідомлення теми і мети уроку

Учитель. Сьогодні ми проведемо урок-практикум з розв’язання задач на пропорції, пропорційні величини. Мета уроку: формувати уміння учнів застосовувати знання про пропорції для розв’язання задач, зокрема практичного змісту.

Задачі за допомогою пропорцій розв’язували ще в стародавні часи. Але й сьогодні вони потрібні нам у повсякденній діяльності.

Урок проходить у вигляді зустрічі за «круглим столом». На зустріч ми запросили «кулінарів», «фермерів», «представників» промислових галузей, мистецтва, науки тощо. (Ці ролі виконують учні, яких вчитель до уроку готував заздалегідь, проводив консультації, пропонував літературу).

Отже, почнемо розмову за нашим «круглим столом».

Кулінар. Я – представник кулінарії. У нашій професії без пропорцій не обійтись. Іноді при виготовленні деяких страв дозволяється один продукт заміняти іншим. Але одразу постає питання: яку ж кількість нового продукту треба взяти? Дати відповідь допомагають пропорції. Розглянемо конкретну задачу.

У кулінарії допускається заміна 50г риби на 45г рибних консервів у томаті. Скільки потрібно консервів для заміни 7,5кг риби?

Учні розв’язують задачу, роблячи запис на дошці:

50г риби – 45г консервів,

7,5кг риби –х кг консервів.

50 : 7,5 = 45 : х

Фермер. Моє господарство спеціалізується на вирощуванні великої рогатої худоби. Мені доводиться складати раціони харчування тварин. Буває трапляється так,що один корм уже закінчився і треба замінити його іншим. Як це зробити, щоб не порушити раціону харчування? Для прикладу розв’яжемо задачу.

  При відгодівлі великої рогатої худоби 33кг вівса дозволяється заміняти 1,5кг карбаміду (сечовини). Скільки потрібно карбаміду, щоб замінити 1210кг вівса?

Фронтальне розв’язання:

1,5кг корбаміду – 33кг вівса,                                       

Х кг карбаміду – 1210кг вівса.

1,5 : 33 = х : 1210

Будівельник. Щоб економно витрачати будівельні матеріали, правильно розраховувати їх кількість, доводиться і нам мати справу з пропорціями та пропорційними залежностями. Переконайтеся в цьому, розв’язавши таку задачу.

На будівельному майданчику, де я працюю, робітникам на зміну потрібно 140 м.куб. бетону. Якщо його виготовити більше, наступного дня він втратить свої властивості, якість погіршиться. Тож треба визначити скільки потрібно взяти цементу, піску й щебеню для виготовлення 140 м.куб. бетону, якщо за об’ємом вони  знаходяться у відношенні 1:2:4?

Один учень на місці коментує розв’язання:                   

х+ 2х + 4х = 140,

7х = 140

х = 20.

Отже, цементу потрібно 20 м.куб., піску – 40 м.куб., щебеню – 80 м.куб.

Інженер хімічного заводу. У хімічній промисловості, як і в самій хімії пропорція є одним з головних інструментів розв’язання багатьох задач. Наприклад, наш хімічний завод на виробництво етилового спирту спочатку витрачав картоплю, а потім почав виробляти спирт з деревини при плані 140 тисяч м.куб. деревини на рік. Скільки при цьому залишається картоплі для харчових цілей, якщо 5 м.куб. деревини замінюють 3,5 т картоплі?

(Учні розв’язують самостійно. Відповідь: 98000 тонн.)

Інженер. Але ж і деревину треба економити. Тому ми почали виготовляти етиловий спирт з газу. Пропоную додому таку задачу.

На виготовлення 3 т спирту витрачається 3000 м.куб. газу. За рік завод виготовляє 200 тонн cпирту.Скільки газу йому потрібно для цього?                                                                                                  Картограф. Важливу роль пропорції відіграють у картографії при складанні планів місцевості , карт тощо. Для прикладу розв’яжемо таку задачу.             

Довжина лінії на карті з масштабом 1: 50000 дорівнює 5,1 см, а та ж сама відстань на аерофотознімку має довжину 8,5 см. Знайти масштаб аерофотознімка.

Розв’язання із записом на дошці:  5,1 см при масштабі 1: 50000 ;

                                       8,5 см при масштабі 1: х .

  

Масштаб становить 1 : 30000 .

Учитель. Поняття пропорції має широке застосування в мистецтві: архітектурі, живопису, скульптурі, літературі, музиці, тощо. Значне місце тут посідає особлива пропорція, яку називають «золотою пропорцією», або «золотим перерізом» . Вчитель пояснює: якщо даний відрізок поділити на дві частини так, що довжина більшого відрізка буде відноситись до довжини меншого, як довжина всього відрізка до довжини більшого, тоді даний відрізок поділено у «золотому відношенні» . Воно дорівнює 1,618 .

 

А                                   В                С

 

АВ:ВС = АС:АВ = 1,618 .

 

Попросимо «представників» мистецтва, науки, розповісти про застосування «золотої пропорції ».

Архітектор. «Золотий переріз» було визнано за один з канонів краси, якого дотримувалися ще в стародавньому живопису та античній архітектурі . Ним керувалися митці, які споруджували піраміду Хеопса, афінський Парфенон, славнозвісний Колізей.

.                          

 

Золота пропорція» виявлена в архітектурі багатьох сучасних храмів та церков

Якщо в споруді наявна «золота пропорція», то така споруда справляє на людину приємне враження, захоплює своєю красою. Вчені пояснюють особливості сприймання золотого перерізу, або «золотої пропорції», специфікою електромагнітних хвиль мозку.

Однією з умов краси будинку є правильне відношення його висоти до довжини. Висота  будинку має відноситись до довжини як 0,62 : 1.Тож давайте розв’яжемо задачу.

Якою повинна бути довжина будинку заввишки 8 м, щоб споруда створювала відчуття гармонії?

Розв’язання з коментуванням :

                                                    0,62 : 1 = 8 : х ,

                                                     х = 8 : 0,62 = 13 ( м ) .

Скульптор. «Золота пропорція» має вияв і в будові тіла людини. Найкращою фігурою вважається така, коли відношення росту людини до лінії талії ( відстань від підошви до пояса) становить золоту пропорцію, тобто 1,618. До таких фігур відносяться фігури Аполлона Бельведерського та Венери Мілоської.

 До речі, зріст підлітка 13 років вважається нормальним, якщо відношення його зросту до

 лінії талії дорівнює 1,6.Дома перевірте, будь

 ласка, чому дорівнює це відношення у вас .

                      

 

Музикознавець. «Золота пропорція » є відомою і в музиці. Так, дослідження показали, що в музичних творах визначних композиторів Баха, Бетховена, Моцарта та інших кульмінація мелодії припадає на точку золотого перерізу. Мелодія таких творів начебто зростає, розвивається, підкоряючись законам математики, а саме – закону «золотої пропорції» .

           

 

Літературознавець. «Золота пропорція» - один з характерних критеріїв краси в композиціях  в багатьох літературних творів. Так, у більшості творів  О. С. Пушкіна кульмінаційні моменти співпадають із «золотою пропорцією» . Наведу приклад. Шостий розділ повісті Пушкіна «Пікова дама» має 212 рядків . У ній розповідається, що головний герой Герман, щоб дізнатися таємницю трьох карт, проник у будинок графині і чекає на її повернення. І ось він почув далекий стукіт карети. Неймовірне хвилювання охопило його . «Карета під’їхала і зупинилася …» Це кульмінаційний момент. З цієї фрази починається новий відлік часу і для Германа, і для графині. І читача несподівано охоплює неймовірна напруга : що буде далі? Фраза «Карета під’їхала і зупинилася » припадає на 131 рядок. Давайте знайдемо відношення: 212 : 131 = 1,618. Неймовірно! «Золота пропорція»! Наскільки фантастично точно інтуїтивно володів Пушкін законами гармонічної композиції! Це свідчить про його надзвичайний талант.

Біолог. Квіти та насіння соняшника, ромашки, чишуї в плодах ананаса, хвойних шишках «упаковані» по «золотим» спіралям, які завиваються назустріч один одному, причому числа «правих» і «лівих» спіралей завжди відносяться одне до одного, як 1 : 1,618.

 

 

У головоногого молюска, відношення діаметра кожного витка спіралі до наступного дорівнює 1,618. У метеликів відношення розмірів грудної і черевної частини тіла відповідає «золотій пропорції». Стрикоза також створена згідно закону «золотої пропорції»: відношення довжини хвоста до корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста дорівнює 1,618. Якщо в будь якому вулику розділити число жіночих осіб на число чоловічих, то одержимо число 1,618. Також «золота пропорція» є у формулі крові. 

                

 

 

Астроном. У Всесвіті всі відомі людству галактики і всі тіла в них існують в формі спіралі, яка відповідає формулі «золотої пропорції».

                      

 

                     

Художник. «Золота пропорція» є відома і в живописі. Художники відкрили, що будь яка картина має оприділені точки, так названі оглядові точки. Дане відкриття у художників одержало назву «золотий переріз» картини. Наприклад картина І. І. Шишкіна «Корабельная роща», фреска Леонардо да Вінчі «Тайна вечеря», портрет Мони Лізи написані із використанням золотого перерізу.

  

 

 

Учитель.  А тепер проведемо коротеньку самостійну роботу .

1. Скільки треба взяти картоплі, щоб отримати 100 кг крохмалю, якщо з 30 кг картоплі виходить 5,4 кг крохмалю ?

2 . Для виробництва 3 т етилового спирту раніше витрачали 13,5 т зерна, а тепер для цього потрібно 3000 куб. м газу. Скільки зерна можуть замінити при виробництві етилового спирту 406 000 куб.м газу ?

Учитель. (Після виконання самостійної роботи.) Ви вже добре навчилися розв’язувати задачі на пропорції, пропорційний поділ. Тепер давайте усно розв’яжемо задачі

1. Відро картоплі важить 8 кг. Скільки важать два відра картоплі ?

2. Півень, стоячи на одній нозі, важить 4кг. Скільки він важить, стоячи на обох ногах ?

III. Завдання додому .

IV. Підсумок уроку .

                                       

 

                                                                  ЗАДАЧІ .

 

1. У кулінарії допускається заміна 50 г риби на 45 г рибних консервів у томаті. Скільки потрібно консервів для заміни 7,5 кг риби?

 

2. При відгодівлі великої рогатої худоби 33 кг вівса дозволяється заміняти 1,5 кг карбаміду. Скільки потрібно карбаміду, щоб замінити 1210 кг вівса ?

 

3.На будівництво майданчику робітникам на зміну потрібно 140 куб. м бетону. Якщо його виготовити більше, наступного дня він втратить свої властивості, якість погіршиться. Тож треба визначити, скільки потрібно взяти цементу, піску й щебеню для виготовлення 140 куб. м бетону, якщо за об’ємом вони знаходяться у відношенні 1 : 2 : 4?

 

4. Хімічний завод на виробництво етилового спирту спочатку витрачав картоплю, а потім почав виробляти спирт з деревини при плані 140 тисяч куб. м деревини на рік. Скільки при цьому залишається картоплі  для харчових цілей, якщо 5 куб. м деревини замінюють 3,5 т картоплі?

 

5. На виготовлення 3 т спирту витрачається 3000 куб.м газу. За рік завод виготовляє 200тонн спирту. Скільки газу йому потрібно для цього?

 

6. Довжина лінії на карті з масштабом 1 : 50000 дорівнює 5,1 см, а та ж сама відстань на аерофотознімку має довжину 8,5 см . Знайти масштаб аерофотознімку .

 

7. Якою повинна бути довжина будинку заввишки 8 м, щоб споруда створювала відчуття гармонії? Коли висота будинку відноситься до довжини як  0,62 : 1.

 

8. Задача № 748. (самостійна робота ).

 

9. Для виробництва 3 т етилового спирту раніше витрачали 13,5 т зерна, а тепер для цього потрібно 3000 куб. м газу. Скільки зерна можуть замінити при виробництві етилового спирту 406000 куб. м газу? ( самостійна робота ).

 

10. Відро картоплі важить 8 кг. Скільки важать два відра картоплі?

 

 

 

 

 

1. Бевз Г. П. , Бевз В. Г.  Математика : 6 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів – К.: Ґенеза, 2006.
2. Вихор Світлана.  Нетрадиційні уроки математики. 5-6 класи. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2005.
3. Вихор Світлана.  Самостійні і контрольні роботи. Математика, 6 клас. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2006.
4. Соколовська І.  Я готуюсь до уроку математики: 6 кл. – К.: Редакція загально- педагогічних газет, 2004.
5. Мерзляк А. Г.  Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з математики для 6 класу. – Харків: Гімназія, 2004.
6. Ru. wikipedia.org/wiki/ Золотое сечение
7. http://blog.management.com.ua/item
8. Золотий переріз і неевклідова геометрія в науці та мистецтві / О.Я. Боднар. — Л.: Укр. технології, 2005.