«Математичні основи інформатики» на тему «Поняття висловлювання. Логічні операції. Логічні формули, таблиці істинності, закони математичної логіки»

Складні висловлювання утворюються за допомогою сполучників, які в алгебрі висловлювань замінюються на логічні операції. Логічні операції задаються таблицями .Таблицю, яка показує, які значення приймає складене висловлювання при всіх сполученнях (наборах) значень простих висловлювань, називають таблицею істинності складного висловлювання

Операція кон’юнкція

З'єднання двох простих висловлювань А і В за допомогою сполучника І називається логічним множенням або кон'юнкцією, а результат операції - логічним добутком.

Операцію:  ^ · .

В звичайній мові цій операції відповідає сполучник "І". Запис А ^ В читається "а кон'юнкція в" або "А і В”

Правило істинності для кон'юнкції :

Висловлення А = А ^ В істинно, якщо істинні його вхідні складові.

Вихід буде дорівнювати 0, якщо хоч би одна з вхідних величин дорівнює нулю.

Таблиця істинності операції кон'юнкція:

Операція диз’юнкція

Для позначення операції диз'юнкція використовують знак V, який в звичайній мові відповідає сполучнику АБО.

 Сполучник АБО ми використовуємо в двох значеннях: виключаючому і невиключаючому.

1. Розглянемо речення: " Володя вчора о 6 годині вечора читав книгу або їхав в автобусі на стадіон". Сполучник АБО використано в невиключаючому розумінні - Володя міг читати і одночасно їхати в автобусі. Одне не виключає іншого.

2. Розглянемо ще одне речення: "Володя вчора спостерігав за матчем із західної або східної трибуни". Тут сполучник АБО має виключаючий характер - дві описані ситуації виключають одна одну: не можна спостерігати один і той же матч одночасно з двох протилежних трибун.

В розглянутій алгебрі висловлень сполучник АБО буде використовуватись тільки в невиключаючому розумінні. З'єднання двох простих висловлень А і В у одне за допомогою сполучника АБО, вжитого в невиключаючому змісті називається логічним додаванням або диз'юнкцією, а одержане складне висловлення - логічною сумою.

Правило істинності для диз'юнкції :

Висловлення   А = АvВ   істинне, якщо істинне хоча б одне з складових вхідних висловлень. Якщо всі вхідні складові висловлення хибні, то вихідний сигнал також хибний..

Вихід буде дорівнювати 1, якщо хоч би одна з вхідних величин дорівнює одиниці.

Таблиця істинності операції  диз'юнкція:

Операція заперечення (інверсія)

Запереченням висловлення А називається таке складене висловлення (не А), яке істинне тоді, коли А хибне, і хибне тоді, коли А істинне.

Таблиця істинності операції  заперечення:

В алгебрі множин логічного заперечення відповідає операція доповнення до універсальної множини, тобто безлічі, що вийшло в результаті заперечення безлічі А, відповідає безліч, що доповнює його до універсальної множини.

Пріоритет логічних операцій.

Для логічних операцій запроваджено такій пріоритет (черговість) виконання:

• not (найвищий),
• and,
• or.

Операції одного пріоритету виконуються по черзі зліва направо, для зміни зазначеного порядку можуть використовуватися дужки, і як в математиці, спочатку виконується те, що знаходиться в дужках.

Кожне складене висловлювання можна виразити у вигляді формули - логічного виразу. У логічне вираз входять логічні змінні, що позначають висловлювання, і знаки логічних операцій, що позначають логічні функції.

Основні закони алгебри логіки

Таблиця істинності це табличне представлення логічної операції, в якому перераховані всі можливі поєднання значень істинності вхідних операндів разом зі значенням істинності вихідного результату операції для кожного з цих сполучень.