Урок геометрії в дев'ятому класі на тему:"Геометричні перетворення"

Уявіть собі, що ви біля ставка, кидаєте камінці у воду і спостерігаєте як на поверхні утворюються хвилі у вигляді концентричних кіл (центр кожного кола розміщений саме там, де камінець торкнувся води) Станьте перед дзеркалом, підніміть праву руку - і дзеркало «перетворить» вас на лівшу (ваш двійник підняв ліву руку). У шухляді вашого столу лежить косинець; ви трохи висунули шухляду –і косинець перемістився разом з нею. Так чи інакше, в кожному з цих випадків фігури, про які йдеться, зазнають певних змін, перетворень.

Спроби правильно відобразити на плоскому рисунку природні форми предметів були задовго до виникнення писемності – люди малювали на стінах печер  рослини, тварин тощо. Тривала практика підказувала митцям, як передати на рисунку зображуваний предмет - так зароджувалося вчення про відповідності й перетворення.     За допомогою геометричних перетворень і комп’ютерної  графіки кінематографи бентежать уяву глядача дивовижними образами і незвичайними перевтіленнями на екрані. Перетворення допомагають художникам правильно будувати композиції картин , а хімікам – досліджувати структуру кристалів.   На цьому уроці ми пригадаємо вже відомі вам основні види геометричних перетворень на площині та познайомимося з деякими новими. Але це буде нелегко.

Через терни до зірок. У житті нічого не дається задарма. Звичайно, якщо ви не зловили удачу за хвіст. Терни -це дуже колюча рослина, так ,уявіть, скільки потрібно пробиратися через ці тернии (праця,невлдачі, непорозуміння…), щоб добитися результату який ви бажаєте(зірки). Це величезна праця, люди все життя домагаються бажаного. Є ті люди, які просто пливуть за течією і нічого не роблять що б жити краще. Пам’ятаєте притчу про жаб? Одна потонула склавши лапки, інша збила масло і вибралася назовні. Так давайте будемо йти через терни, збивати масло. Але жити так, щоб соромно нам не булоі все у нас було. Отож, вперед!

Через терни до зірок…

Працюй наполегливо,Швидко, старанно,Щоб кожна хвилина. Не втратилась марно. Девіз уроку:

Терен №1

Терен №1 Хто зайвий ?

Терен № 2 “Згадати все”

Які перетворення ви вивчили ? ПЕРЕТВОРЕННЯ РУХ ???????????Центральнасиметрія. Осьова симетрія поворот. Паралельне перенесення ???????

Перетворення фігур. Рух. Симетрія відносно точки. Симетрія відносно прямоїПоворот відносно точки на кут αПаралельне перенесення на відстань l х у оу1 х1 х м х1 Y Р l Y1 х у х1о у1 l x y. X1 y1 О – центр симетрії ОХ1=ОХ, ОY1=ОУХ1 У1 = ХУl – вісь симетрії, МХ1=МХ, РY1=РY XX1l, YY1l. Х1 У1 = ХУО–центр повороту ХОХ1=YOY1=α,OX1=OX, OY1=OYХ1 У1 = ХУl – напрямлений вектор, ХХ1l, YY1 l, X1=YY1=l. Х1 У1 = ХУstyle.colorfillcolorfill.typefill.onrstyle.colorfillcolorstroke.colorfill.typerrr

Перетворення симетрії в координатній площиніf(-х)=f(x)Оу – вісь симетріїуf(-x) = -f(x)ОО – центр симетрії-х0х0ух. ОА1 (-х0, у0)А (х0, у0)х0-х0х. ОА (х0, у0)А1 (-х0, -у0)

11 XY0 Побудувати образ трапеції ABCD при симетрії з віссю Оу. Задача: А(-4:-1)В(-3;1)С(-1;1)D(0;-1)(3;1)(1;1)(0;-1)(4;-1)Побудоваppt_xxshearppt_xppt_xxshearppt_xppt_xxshearppt_x

11 XY0 B1(4;-4)С(-2;1)A1(4;-1)C1(2;-1)А(-4;1)В(-4;4)Задача: Побудова Побудувати образ трикутника АВС при симетрії з центром у початку координат. style.colorfillcolorstroke.colorfill.type

Паралельне перенесення в координатній площиніАВ(х,у)А1 В1(х',у')хух' = х+а,у' = у+b

11 XY0 А(-6:3)В(-1;3)С(-2;1)D(-5;1)Побудувати образ трапеції ABCD при паралельному перенесенні на вектор a (4;-4). Задача:а. Побудова. A1(-2:-1)B1(3;-1)C1(2;-3)D1(-1;-3)ppt_c

11 XY0 Задача: Побудувати образ трапеції ABCD при паралельному перенесені на вектор АD (на вектор ВС). А(-6;1)В(-4;3)С(-3;3)D(-1;1)Перевір себеr

11 XY0 C1(2;3)D1(4;1)B1(1;3)A1(-1;1)1 варіант (відповідь)АВСD

11 XY0 A1 (-5;1)B1 (-3;3)C1(-2;3)D1(0;1)2 варіант (відповідь)ppt_c

MNN1 M1 Поворот в координатній площиніху0 Поворот на 180о є центральна симетрія r

11 XY0 А(-4:-1)В(-5;3)D(-1;1)С(-1;3)A1(1;4)B1(3;5)C1(3;1)D1(1;1)Задача: Побудувати образ трапеції АВСD при повороті на 90о навколо О(0,0) за годинниковою стрілкою. Побудоваrr

Терен №3“Спробуй зрозумій”

Що ж таке ???????

Тема уроку: Перетворення подібності. Гомотетія

Означення Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F′, внаслідок якого відстань між точками змінюється в тому самому відношенні k (k>0). Число k>0 називається коефіцієнтом подібності. Якщо k=1, то маємо переміщення. Переміщення – окремий випадок подібності. BAFB’A’F’A’B’= k AB

Які ж властивості має перетворення подібності ?

Властивість перетворення подібностіТеорема. При перетворенні подібності точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

Властивість перетворення подібностіДоведення. Нехай точки А, В і С лежать на однійпрямій і точка влежитьміж точками А і С. ТодіАС= АВ+ ВС. Деякеперетворенняподібностіпереводить точки А, В, С у точки𝐴′𝐵′𝐶′. За означеннямперетворенняподібності, маємо: 𝐴′𝐶′ = k∙АС = k∙ (АВ + ВС) = k∙ АВ + k∙ВС = 𝐴′𝐵′ + В'С'. З рівностіА'С' =𝐴′𝐵′ ' +𝐵′𝐶′ випливає, що точки𝐴′,  𝐵′,  𝐶′ лежать на однійпрямій, а точка𝐵′лежитьміж точками А' і С'. 

Властивості перетворення подібності 1) Перетворення подібності переводить прямі в прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки. 2) Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності k=1. 3) Перетворення подібності зберігає кути між променями. А’В’С’СВА Трикутник АВС подібний трикутнику А’В’С’. АВС=А’В’С’

Означення Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F′, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х′ фігури F′ так, що точка Х′ лежить на промені ОХ і ОХ′= k ОХ (k – фіксоване додатне число). F’FOX’X Число k – коефіцієнт гомотетії, фігури F і F′ називають гомотетичними.

Які ж властивості має гомотетія ?

Основна властивість гомотетіїТеорема. Гомотетія є перетворенням подібності. Доведення. Нехай точки О, Х, Y не лежать на одній прямій. Гомотетія з центром О і коефіцієнтом k. Точка Х – переходить в точку Х′, точка Y переходить у точку Y′. Y’YOX’X За означенням гомотетії: ОХ′= k ОХ, ОY′= k ОY. Отже, трикутники ОХY і ОХ′Y′ подібні за двома пропорційними сторонами й кутом між ними.

Властивості гомотетії Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням подібності з коефіцієнтом k. При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе; відрізок – у паралельний йому відрізок; кут – у рівний йому кут. На координатній площині гомотетія точок А(х;у) і В(х1; у1) задається формулами: х1= k х; у1= k у.

Коефіцієнт K…Який він може бути?Додатний

Коефіцієнт K…Який він може бути?Від’ємний

Коефіцієнт K…Який він може бути?Від’ємний ,дробовий

А як називаються фігури , що утворюються при перетвореннях подібності?Подібні

Подібні фігури Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

11 XY0 B1(2;-2)С(-2;1)A1(2;-1/2)C1(1;-1/2)А(-4;1)В(-4;4)Задача: Побудова. Побудувати образ трикутника АВС при гомотетії з центром О(0,0) і k=-1/2 .style.colorfillcolorstroke.colorfill.type

Терен №2 Будь уважний

Історичні відомостіФігури, які мають однакову форму. Але різну величину, зустрічаються у вавілонських і єгипетських пам’ятках. Учення про подібність фігур виникло в стародавній Греції в V-IV ст. до н. е. Його викладено в VI книзі “Начал” Евкліда. Теорія подібності ґрунтується на аксіомі паралельності. Поняття подібності лежить в основіскладання географічних карт, планів, креслення рисунків. Евклід жив у «315—255 р.р.. до НХ»; 40

Історичні відомостіДля побудови фігур, подібних до даних, є ряд практичних способів. Наприклад, для копіювання рисунків часто користуються палеткою ( від французького palette) – пластинкою з прозорого паперу, скла або целулоїду з нанесеною на ній сіткою ліній, що утворюють квадрати певного розміру. Накладаючи палетку на рисунок, який треба скопіювати, крапки або деталі , що потрапили в окремі квадратики палетки, переносять у відповідні квадратики тимчасової квадратної сітки, нанесеної на те місце, в якому треба зобразити копію того або іншого розміру. Такий спосіб копіювання рисунків був добре відомий художникам з давніх часів.41

Історичні відомостіПринципом подібності користувались ще художники і скульптори стародавнього Єгипту, коли їм треба було перевести рисунок на інше місце або збільшити його. У гробниці батька єгипетського фараона Рамзеса ІІ (ХІІІ ст. до н.е.) є стіна, вкрита сіткою квадратиків. За допомогою цієї сітки на стіну перенесено в збільшеному вигляді рисунки менших розмірів. Для збільшення і зменшення рисунка в певному відношенні застосовують також пропорціональний циркуль. Його винайшов у 1607 році великий італійський вчений Галілео Галілей. Знак ~ як знак подібності ввів у 1679р. Німецький учений Г. Лейбніц. Галілео Галілей(1564-1642)Готфрід Вільгельм Лейбніц(1646-1716)42

Історичні відомостіЗастосовуючи поняття подібності астрономи визначали висоти місцевих гір за їх тінями. Добре відома всім теорема Піфагора допускає узагальнення, а саме: якщо на катетах і на гіпотенузі прямокутного трикутника побудовано будь-які подібні між собою фігури площею Sa, Sb, і Sc так, що катети і гіпотенуза є відповідні відрізки цих фігур, то справедлива рівність: Sa + Sb =Sc. Вважають, що цю теорему відкрив Евклід; вона міститься в VI книзі його “Начал”. Теорема Піфагора випливає з цієї загальної теореми. Піфагор Самоський (570—490 гг. до н.е.)43

Історичні відомостіПоняття подібності лежить в основі моделювання. Принцип геометричної подібності переніс на галузь фізичних явищ ще 300 років тому І. Ньютон. Тепер метод моделювання дуже поширений і відіграє в науці і техніці важливу роль. Наприклад, при конструюванні літаків випробують їх моделі. Модель поміщають у так звану аеродинамічну трубу, крізь яку з великою швидкістю пропускають великий повітряний потік, і всебічно вивчають поводження моделі що ніби “нерухомо летить”. Потім математично аналізують рух літака і складають відповідні рівняння.Ісаак Ньютон (1642-1727р.р.)44

Терен № 5 Знайди 10 відмінностей…

Перетворення фігур. Перетворення подібностіПеретворення подібностіГомотетіяу1ухх1 ОО – центр гомотетії, OX1=k·OX, OУ1=k·OУХ1 У1 = k·ХУХ1 У1 = k·ХУХ1 ХУ1 У

Перетворення фігур. Рух. Перетворення подібностіхух1у1 Оху1ух1 ОВластивості руху і перетворення подібностіЗберігається взаємне розміщення точок на прямій. Образом прямої, променя, відрізка є пряма, промінь, відрізок. Зберігаються кути між променями. Х1 У1 = ХУХ1 У1 = k·ХУ

На якому з малюнків зображено перетотворення подібності ?

Будь-які дві гомотетичні фігури подібні?Будь-які дві подібні фігури гомотетичні?Чи можна вважати рівні фігури подібними? А навпаки?Чи правильно, що:49

Коли це буде ?За якої умови дві подібні фігури рівні?

Паралелограм із кутом 40˚ і паралелограм із кутом 145˚Ромб із кутом 120˚ і ромб з діагоналлю, що дорівнює стороніС) Чи будуть подібними: 1) два будь-яких квадрати2) два будь-яких прямокутники3) два будь-яких кола?Чи подібні:51

Тренувальні вправи1. Позначте точки О і X. Побудуйте точку X', в яку переходить точка X при гомотетії з центром О і коефіцієнтом: 1) k=3 2) k = — 3 3) k=1/22. Гомотетія точку X переводить у точку X'. Побудуйте центр гомотетії, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює: 1) 4; 2) -2; 3) 0,5.3. Позначте точки О і А. Побудуйте точку А' так, щоб: ОА' = ЗОА; 2) 0 А' = -20 А; 3) OA'= 1/3*OA.4. Гомотетія з центром О точку А переводить у точку А'. Як розміщені точки А і А' відносно центра гомотетії, якщо: 1) k > 0 2) k < 0 3) k > 1?

Задача Знайдіть рівняння кола, в яке переходить коло х² + у² = 4 внаслідок гомотетії з центром в точці О і коефіцієнтом гомотетії 0,5.53

Терен № 6 Тест - драйв

Перетворення подібності та його властивості 1-варіант 2-варіант. Користуючись рисунком, назвіть точку, в яку внаслідок гомотетії з центром О і коефіцієнтом 2 перейде: точка L точка М А. Точка L Б. Точка M В. Точка F Г. Точка К55

2. Користуючись рисунком, визначте пряму, в яку внаслідок гомотетії з центром О і коефіцієнтом 0,5 перейде: пряма FK пряма АВА. Пряма DL Б. Пряма CM В. Пряма DC Г. Пряма LM3. Користуючись рисунком до завдання 2, укажіть трикутник, у який внаслідок гомотетії з центром О і коефіцієнтом 2 перейде: трикутник ОСМ трикутник ODL А. ΔОАК Б. ΔОВК В. ΔOAF Г. ΔOBF56

Побудувати образ даної трапеції при гомотетії з центром О і коефіцієнтом k=-1. А11 XY0 ВСD11 XY0 ВСDАВаріант 1 Дано: А(-6;1), В(-4;3), С(-3;3), D(-1;1)Варіант 2 Дано: А(1;-3), В(3;-1), С(4;-1), D(6;-3)Побудувати образ даної трапеції при гомотетії з центром О і коефіцієнтом k=-1. Роздатковий матеріал. А11 XY0 ВСD

Терен № 7 Робимо висновки…

Перетворенням подібності є…Поворот. Паралельне перенесення. Симетрія відносно точки. Симетрія відносно прямоїГомотетія. Подібність= Гомотетія + рух

Які перетворення ви вивчили ? ПЕРЕТВОРЕННЯ РУХ Подібність. Центральнасиметрія. Осьова симетрія поворот. Паралельне перенесення Гомотетія

Перевір себе. Назвіть основні види вивчених перетворень фігур. На кругах Ейлера є інформація про поняття різних видів перетворень фігур. Які з тверджень правильні:а) гомотетія є перетворення подібності;б) перетворення подібності є гомотетія; в) рух є перетворення подібності;г) перетворення подібності є рух?Відповіді: Рух і перетворення подібності.а), в). Перетворення фігур. Перетворення подібностіРух Гомотетія k=1k – коефіцієнт подібності

Пора на перерву…Завдання 19(1,2) ст.118 Теорія Апостолова Г. В. Параграф 14 Ст.113221 А11 XY0 ВСD1 Перетворення подібності к=2 Гомотетія з коефієнтом 2 відносно точки А

Збираємо зірочки…Загадуємо бажання…Мені на згадку приходять слова відомого поета В. Симоненка: Ти знаєш, що ти — людина?Ти знаєш про це чи ні?Усмішка твоя — єдина,Мука твоя — єдина,Очі твої — одні…Будьте неповторними та неподібними ні на кого….

У Новому році бажаю: 12 місяців без хвороб 53 тижні позитиву365 днів щастя 8760 годин успіху525600 хвилин любові 31536000 секунд приємних моментів!Галина Джох

Дякуємо за увагу та позитив!