Урок "Геометричний і фізичний зміст похідної"

Тема. Геометричний і фізичний зміст похідної

Мета: систематизувати знання учнів з теми й підготувати їх до контрольної роботи; показати учням, наскільки ця тема важлива при розв'язанні задач; звернути увагу на зв'язок теми з фізикою й геометрією, узагальнення й систематизація знань

Тип уроку: узагальнення й систематизація знань.

Очікувані результати:

• учні повторюють матеріал, пов'язаний із практичним використанням похідної;
• зможуть знаходити рівняння дотичної до графіка функції в даній точці, кут, під яким дотична до графіка функції перетинає вісь абсцис;
• зможуть розв'язувати задачі на знаходження за допомогою похідної швидкості, прискорення, сили, кінетичної енергії;
• знатимуть сутність поняття похідної

Хід уроку

I. Актуалізація опорних знань

Учитель. Минулого разу ви отримали домашнє завдання — питання, над якими мали самостійно попрацювати, знайти відповіді в довідковій літературі або Інтернеті.

Запитання для самостійної роботи

1. Що називають математичним аналізом?

(Відповідь: це розділ математики, у якому вивчається ди­ференціальне й інтегральне обчислення.)

2. Хто й коли створив це обчислення?

(Відповідь: у XVII столітті, практично водночас і незалежно один від одного Ньютон у Англії й Лейбніц у Німеччині.)

3. Доведіть, що поява нової теорії пов'язана з розвитком суспільства та його практичних потреб. Чому потреба створення нової
теорії з'явилася саме тоді?

(Відповідь: у XV—XVII століттях в Європі зміцнював­ся новий суспільний лад — капіталізм. Назрівала технічна революція. Відбувалося вдосконалення виробництва на базі винаходу парових машин, тобто потрібно було вирішувати проблеми практичної спрямованості в гідротехніці, мореплавстві, військовій справі (обчислення траєкторії польоту кулі, швидкості її руху). Головним є те, що слід було досліджувати зміну різних функцій.)

4. Який основний зміст похідної?

(Відповідь: похідна функції f(х) в точці х₀ є швидкістю зміни функції в цій точці. (Похідна y = f(х) в точці x = x₀ показує, у скільки разів швидше змінюється y, ніж x, в точ­ці х₀.) .)

5. Хто та в якому році увів термін «похідна»?

(Відповідь:  Луї Лагранж у 1791 році.)

6. У чому полягає геометричний зміст похідної?

(Відповідь:  якщо функція в точці x₀ має похідну, то в цій точці визначено дотичну до графіка f(х). Причому її кутовий коефіцієнт становить f´(х).)

7. У чому полягає механічний зміст похідної?

(Відповідь: v(t) = s´(t); a(t) = v´(t), де s(t) – шлях, пройде­ний тілом за час t, a(t) – прискорення тіла в момент часу t; v´(t) – швидкість тіла в момент часу t.)

8. Які дані пропущено в таблиці?

(Відповідь:  тут простежується така закономірність:

у першому стовпці маємо функцію, у другому – її першу похідну, а в третьому ­­– її другу похідну. Тобто

(хsinх)´ = х´sinх + х(sinх)´= sinх + хcosх ;

(sinх+ хcosх)´ = cosх + х´cosх + х(cosх)´ = cosх + cosх – х sinх=

= 2cosх – х sinх . )

9. Підберіть функцію, похідна якої дорівнює :

а) ;  б) ;  в) ;   г) ;

 (Відповідь:

а) f(х) =; б) f(х) =;     в) f(х) =;     г) f(х) = .)

II. Розв’язування задач

Задачі слід розв’язувати колективно з коментарями вчителя біля дошки.

1. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 3 + 2t + t² (м).
Визначте його швидкість і прискорення в момент часу t = 3 с.

 Розв'язання:

v(t) = s´(t) = 2 + 2t ;

a(t) = v´(t) = 2 (м/с²)

v(3)= 2 + 2·3 = 8 (м/с)

  Відповідь: 8 (м/с) ; 2 (м/с²)

2. Тіло масою 0,5 кг рухається прямолінійно за законом s(t)= 2t² – 2t – 3 (м).

Знайдіть кінетичну енергію тіла за 3 с після початку руху, а також величину сили F, що діє на тіло.

 Розв'язання:

v(t) = s´(t) = 4t – 2 (м/с);

v(3) = 4·3 – 2 = 10 (м/с);

a(t) = v´(t) = 4 (м/с²) ;

F = ma = 0,5·4 = 2 (H) ;

E = == 25 (Дж) .

  Відповідь: 2 H ; 25 Дж

3. Відомо, що для будь-якої точки С стрижня АВ завдовжки 10 см маса шматка стрижня АС визначається за формулою m(l)= 4l ² + 3l. Знайдіть лінійну густину стрижня в середині відрізка.

 Розв'язання:

ρ(l) = m´( l) = 8l + 3 ;

ρ(5) = 8·5 + 3 = 43 (г/см).

  Висновок: лінійна густина в точці Х  є похідною до х  від

змінної маси m(х).

 Відповідь: 43 (г/см).

4. Кількість електричного струму, що пройшов через провідник починаючи з моменту t = 0, задається формулою q(t) = 2t² + 3t + 1. Знайдіть силу струму наприкінці п'ятої секунди.

 Розв'язання:

I(t) = q´(t) = 4t +3 (A);

I(5) = 4·5 + 3 = 23 (A).

  Відповідь: 23 A

5. Кількість тепла Q., потрібного для нагрівання 1 кг води від 0 до  °С .визначається за формулою Q(t) = t + 0,00002t² + 0,0000003t³.

 Обчисліть теплоємність води для t = 100 °С.

C(t) = Q´(t) = 1 + 0,00004t + 0,0000009t²;

I(100) =  1 + 0,004 + 0,009 = 1,013 (Дж)

  Висновок: теплоємність тіла є похідною від кількості тепла за температурою.

  Відповідь: 1,013 (Дж)

6. Радіус кола R змінюється за законом R = 4 + 2t² (см). Визначте, з якою швидкістю змінюється його площа в момент часу t = 2 с.

 Розв'язання:

S(t) = R² = (4 + 2t²); S´(t) = 2(4 + 2t²)·4t = 8t·(4 + 2t²) ;

S´(2) = 16·12 = 192603 (cм²/с).

  Відповідь: 603 (cм²/с)

7. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції у точці його перетину з віссю абсцис.

 Розв'язання:

Оскільки графік перетинається з віссю абсцис, то y=0.

Отже, . Звідси х³+1= 0, х³ = -1; х = -1. Тоді х₀ = -1.

Рівняння дотичної  y = f(х₀) + f´(х₀)( х – х₀) ;  f(х₀) = 0 ;   f´(х)= х² ;

f´(-1) = (-1)² = 1;   y = 0+ 1·(х + 1) ;  y = х + 1.

  Відповідь: y = х + 1.

8. Визначте, під яким кутом синусоїда перетинає вісь абсцис на початку координат.

 Розв'язання:

Кутом між прямою й кривою називається кут між прямою й дотичною до кривої, проведеною в точці перетину прямої й кривої. Оскільки синусоїда перетинає вісь абсцис на початку координат, то х₀ = 0.

y´=; y´(0) = =.

Тоді ; = 60°.

  Відповідь: 60°

9. Під яким кутом до осі Oх нахилена дотична, проведена до y = 2х³ – х

у точці перетину цієї кривої з віссю Oy ?

 Розв'язання:

Оскільки крива перетинається з віссю Oy, то х₀ = 0.

y´ = 6х² – 1; y´(0) = -1. Тоді tg= -1 ; = 135°.

  Відповідь: y = х + 1.

ІІІ. Самостійна робота

Учні працюють під копірку з подальшою самоперевіркою.

І варіант

1. Матеріальна точка рухається за законом s(t) = 12t + 3t² (м).

 Знайдіть її швидкість і прискорення в момент часу t = 2 с.

2. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції f(х) = х ³ – 27

  в точці перетину цього графіка з віссю абсцис.

ІІ варіант

1. Матеріальна точка рухається за законом s(t) = 16t + 2t³ (м).

 Знайдіть її швидкість і прискорення в момент часу t = 2 с.

2. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції f(х) = х ³ + 8

  в точці перетину цього графіка з віссю абсцис.

 Примітка. Розв'язання запишіть на крилах відкидної дошки.

Розв'язування й відповіді до самостійної роботи

І варіант

1. v(t) = s´(t) = 12 + 9t² ;  v(2)= 12 + 36 = 48 (м/с) ;

  a(t) = v´(t) = 18t ;  a(2) = 18·2 = 36 (м/с²).

 Відповідь: 48 м/с ; 36 м/с²

2. f(х) = 0 ;  х ³ – 27 = 0 ;  х ³ = 27 ;  х = 3 ;  тобто х₀ = 3.

  f´(х)= х³ ;   f´(х₀) = f´(3) = 27.   Отже, tg= 27.

 Відповідь: 27.

ІІ варіант

1. v(t) = s´(t) = 16 + 6t² ;  v(2)= 40 (м/с) ;

  a(t) = v´(t) = 12t ;  a(2) = 24 (м/с²).

 Відповідь: 40 м/с ; 24 м/с²

2. х₀ = -2, оскільки при перетині з віссю абсцис f(х) = 0.

  f´(х)= 3х² ;   f´(х₀) = f´(-2) = 12,  tg= 12.

Відповідь: 12.

IV. Підбиття підсумків уроку

 Запитання до класу

Отже, ми згадали, що називається похідною, її геометричне тлумачення, фізичний зміст.

Зв'язок із якими предметами шкільного курсу простежувався сьогодні на уроці під час виконання вправ?

(Відповідь: це фізика, історія, геометрія, хімія.) Наприклад, швидкість перебігу хімічної реакції, швидкість радіоактивного розпаду є похідними від маси радіоактивної речовини за часом.

Слід звернути увагу учнів на те, що на досліджуваному матеріалі виявляється загальна історично-наукова закономірність, тобто розвиток математичних обчислень є процесом, що має діалектичний характер. У рамках уже відомого матеріалу відбувається накопичення передумов для нового обчислення. Останнім етапом періоду нової теорії є встановлення зв'язку й взаємозворотності диференціальних та інтегральних досліджень. Потім відбувається переворот у методі. Обчислення виходить за межі практичних потреб, а галузь використання обчислень, як правило, стає більш широкою, ніж галузь, яка їх породила. Одне із джерел розвитку науки — це життя. Воно ставить завдання, а наука їх вирішує.

V. Домашнє завдання

Підготувати реферати на тему «Цікаві історичні факти з біографії вчених» (Ньютона, Лейбніца, Лагранжа — на вибір).