Урок на тему «Розв'язування задач підвищеної складності на застосування теорії подільності многочленів»

Цикл уроків з алгебри на тему «Основи теорії подільності»

для 8 класів з поглибленим вивченням математики 

                підготувала вчитель математики

 НВК: Гайсинська СЗШ-інтернат І-ІІІ ступенів  - гімназія

 Дем´янюк Ганна Володимирівна

Урок № 16

     Тема: Розв’язування задач підвищеної складності на застосування теорії подільності многочленів

Мета: систематизація та поглиблення знань учнів з теорії подільності

многочленів, вдосконалення умінь та навичок застосування теорії під час розв’язування задач підвищеної складності;

розвиток творчих здібностей, нестандартного мислення;

виховання інтересу до математики

Тип уроку: Вдосконалення знань, умінь та навичок

Обладнання: картки із завданнями

Хід уроку

1.Актуалізація опорних знань

• Виконання усних вправ:

1. Визначити степінь многочлена , який утвориться після розкриття всіх дужок та зведення подібних у виразі, назвати старший коефіцієнт та вільний член.
2. Доведіть, що многочлен ділиться націло многочлен .
3. Чи може многочлен мати раціональні корені?
   • Індивідуальні завдання:

1. Не розв’язуючи корені многочлена , знайдіть значення виразу .
2. Доведіть, що функція  набуває цілих значень для всіх цілих значеннях аргументу.

Останні дві задачі пропонуються індивідуально двом учням для розв’язування на дошці в той час, коли усно розвязуються задачі 1-3. Під час виконання задач акцент робиться на теоретичні факти, які застосовувалися для розв’язування.

    2. Етап формування умінь та навичок

1. Задача

Остачі від ділення многочлена на двочлени і відповідно дорівнюють і . Знайдіть остачу від ділення многочлена на многочлен .

2. Знайдіть суму коефіцієнтів многочлена, який утвориться після розкриття дужок та зведення подібних у виразі .
3. Знайдіть суму коефіцієнтів многочлена (див. № 2)
   1. при парних степенях змінної;
   2. при непарних степенях змінної.
4. Задача (Відбір на ІVзаключний етап всеукраїнської математичної олімпіади, 2007-2008 н.р)

Назвемо многочлени і подібними, якщо вони мають однаковий степінь та однакові коефіцієнти, які, можливо, розташовані у різному порядку. Доведіть, що:

1. многочлен ділиться націло на ;
2. число кратне .
3. Чи існує деяке натуральне число , що для будь-яких двох подібних многочленів і виконується умова: ?

5. Використовуючи теорему Безу та метод невизначених коефіцієнтів, розкласти на множники:  .
6. Доведіть, що многочлен ділиться націло на многочлен .
7. Доведіть, що число ірраціональне, якщо:  1); 2).
8. Задача (ІІІ етап всеукраїнської математичної олімпіади,11 клас, 2008-2009 н.р)

Чи існує такий многочлен , усі три корені якого – цілі числа та - просте число?

9. Задача (Збірник завдань для ДПА з математики, 11 клас, 2005 рік)

При яких раціональних значеннях параметрів і один з коренів многочлена дорівнює ?

10. Розв'яжіть систему рівнянь:
11. Задача (Збірник завдань для ДПА з математики, 11 клас, 2005 рік)

При яких значеннях параметра многочлен має три дійсних корені, які утворюють геометричну прогресію?

3. Задачі для домашньої роботи

1. Використовуючи теорему Безу та метод невизначених коефіцієнтів, розкласти на множники:

1) ;

2) .

2. Доведіть, що число ірраціональне, якщо:  1); 2).
3. Задача (Збірник завдань для ДПА з математики, 11 клас, 2005 рік)

При яких раціональних значеннях параметрів і один з коренів многочлена дорівнює ?

4. Задача (Збірник завдань для ДПА з математики, 11 клас, 2005 рік)

При яких значеннях параметра многочлен має три дійсних корені, які утворюють геометричну прогресію?

5. Розв'яжіть систему рівнянь:

4. Відповіді та вказівки

1. Відповідь:

Розв’язання

Нехай при діленні многочлена на многочлен неповна частка дорівнює , а остача - , тоді можна записати рівність: . Оскільки  степінь многочлена дорівнює 2, то степінь не вище першої, тому многочлен має вид . За теоремою Безу , . Отримаємо систему , розв’язавши яку знайдемо .

2. Сума коефіцієнтів дорівнює .
3. Сума коефіцієнтів при парних степенях дорівнює , при непарних степенях .
4. За умовою многочлени і мають однаковий степінь та однакові коефіцієнти, які, можливо, розташовані у різному порядку, тому суми коефіцієнтів рівні і дорівнюють , тоді . При і .
5. Відповідь:

Розв’язання

Будемо вважати у многочлені одну з букв змінною, а інші – параметрами. Тоді многочлен і , оскільки при і при . Міркуючи аналогічно, многочлен , бо при . Тоді многочлен ділиться націло на добуток . Оскільки степінь діленого та степінь дільника рівні, то частка є многочлен нульового степеня, тобто – число( позначимо його ).

Маємо рівність . При отримаємо , звідси ,

6. Достатньо розглянути многочлен та показати, що .
7. Для доведення складемо многочлен з цілими коефіцієнтами , корінь якого дорівнює і який не має раціональних коренів.

1)Нехай - корінь . Найпростіший многочлен, для якого - корінь є многочлен . З означення кореня маємо . Очевидно, що многочлен не має раціональних коренів. Оскільки, - корінь, то число - ірраціональне

2) міркування аналогічні.

8. Відповідь: не існує.

Розв'язання

Нехай - цілі корені многочлена , та - просте число. Тоді . Звідси і - просте число, тому без втрати загальності можна вважати, що і . Розв’язуючи рівняння отримуємо, що і . При , тоді . Перевіркою встановлюємо, що тоді число не є простим. При інших значеннях і цілих значень не існує.

9. Відповідь:

Розв'язання

- корінь многочлена , тому з означення кореня  випливає, що правильна рівність Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки у лівій частині рівняння:

(_*). За умовою значення параметрів і є раціональними числами, тому раціональними будуть значення виразів і , але - ірраціональне, тому рівність (_*) має місце лише тоді, коли виконується система Звідки

10. Відповідь:

Розв'язання

Скористаємось, теоремою, оберненою до теореми Вієта, для зведеного многочлена третього степеня, тоді - корені рівняння , розв’язуючи яке, знаходимо . Розв’язком системи є впорядкована трійка чисел . Враховуючи порядок, записуємо розв'язки системи.

11.  Відповідь:

Розв'язання

Нехай корені многочлена утворюють геометричну прогресію , перший член якої дорівнює , а знаменник дорівнює , тоді їх можна записати як . Застосовуючи теорему Вієта, отримаємо систему рівнянь Звідси .

Список використаних джерел

1. Ковтонюк М.М. Алгебра та початки аналізу. 10 клас / М.М.Ковтонюк, В.А. Ясінський, С.М. Бак. – Х.: Вид. група «Основа», 2005
2. Математичні олімпіадні змагання школярів України 2007—2008 та 2008—2009. Анікушин А.В., Арман А.Р. та ін. За ред. Рубльова Б.В. – Львів: Каменяр, 2010 – 552с
3. Мерзляк А.Г. Алгебра та початки аналізу: підруч. для 10 кл. загально освіт. навч. закладів: проф. рівень / А.Г. Мерзляк, Д.А.Номіровський, В.Б.Полонський, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2010
4. ШкільМ.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. з поглибл. вивч. математики в середніх закладах освіти. – К.: Освіта, 2004
5. Збірник завдань для ДПА з математики для 11 кл. : - Х., Генеза, 2005 рік