Тема: Розв'язування задач підвищеної складності на застосування теорії подільності многочленів
Мета: систематизація та поглиблення знань учнів з теорії подільності многочленів, вдосконалення умінь та навичок застосування теорії під час розв'язування задач підвищеної складності; розвиток творчих здібностей, нестандартного мислення; виховання інтересу до математики
Цикл уроків з алгебри на тему «Основи теорії подільності»
для 8 класів з поглибленим вивченням математики
підготувала вчитель математики
НВК: Гайсинська СЗШ-інтернат І-ІІІ ступенів - гімназія
Дем´янюк Ганна Володимирівна
Урок № 16
Тема: Розв’язування задач підвищеної складності на застосування теорії подільності многочленів
Мета: систематизація та поглиблення знань учнів з теорії подільності
многочленів, вдосконалення умінь та навичок застосування теорії під час розв’язування задач підвищеної складності;
розвиток творчих здібностей, нестандартного мислення;
виховання інтересу до математики
Тип уроку: Вдосконалення знань, умінь та навичок
Обладнання: картки із завданнями
Хід уроку
1.Актуалізація опорних знань
Останні дві задачі пропонуються індивідуально двом учням для розв’язування на дошці в той час, коли усно розвязуються задачі 1-3. Під час виконання задач акцент робиться на теоретичні факти, які застосовувалися для розв’язування.
2. Етап формування умінь та навичок
Остачі від ділення многочлена на двочлени
і
відповідно дорівнюють
і
. Знайдіть остачу від ділення многочлена
на многочлен
.
Назвемо многочлени і
подібними, якщо вони мають однаковий степінь та однакові коефіцієнти, які, можливо, розташовані у різному порядку. Доведіть, що:
Чи існує такий многочлен
, усі три корені якого – цілі числа та
- просте число?
При яких раціональних значеннях параметрів і
один з коренів многочлена
дорівнює
?
При яких значеннях параметра многочлен
має три дійсних корені, які утворюють геометричну прогресію?
3. Задачі для домашньої роботи
1) ;
2) .
При яких раціональних значеннях параметрів і
один з коренів многочлена
дорівнює
?
При яких значеннях параметра многочлен
має три дійсних корені, які утворюють геометричну прогресію?
4. Відповіді та вказівки
Розв’язання
Нехай при діленні многочлена на многочлен
неповна частка дорівнює
, а остача -
, тоді можна записати рівність:
. Оскільки степінь многочлена
дорівнює 2, то степінь
не вище першої, тому многочлен має вид
. За теоремою Безу
,
. Отримаємо систему
, розв’язавши яку знайдемо
.
Розв’язання
Будемо вважати у многочлені одну з букв змінною, а інші – параметрами. Тоді многочлен
і
, оскільки при
і при
. Міркуючи аналогічно, многочлен
, бо при
. Тоді многочлен
ділиться націло на добуток
. Оскільки степінь діленого та степінь дільника рівні, то частка є многочлен нульового степеня, тобто – число( позначимо його
).
Маємо рівність . При
отримаємо
, звідси
,
1)Нехай - корінь
. Найпростіший многочлен, для якого
- корінь є многочлен
. З означення кореня маємо
. Очевидно, що многочлен
не має раціональних коренів. Оскільки,
- корінь, то число
- ірраціональне
2) міркування аналогічні.
Розв'язання
Нехай - цілі корені многочлена
, та
- просте число. Тоді
. Звідси
і
- просте число, тому без втрати загальності можна вважати, що
і
. Розв’язуючи рівняння отримуємо, що
і
. При
, тоді
. Перевіркою встановлюємо, що тоді число
не є простим. При інших значеннях
і
цілих значень
не існує.
Розв'язання
- корінь многочлена
, тому з означення кореня випливає, що правильна рівність
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки у лівій частині рівняння:
(*). За умовою значення параметрів
і
є раціональними числами, тому раціональними будуть значення виразів
і
, але
- ірраціональне, тому рівність (*) має місце лише тоді, коли виконується система
Звідки
Розв'язання
Скористаємось, теоремою, оберненою до теореми Вієта, для зведеного многочлена третього степеня, тоді - корені рівняння
, розв’язуючи яке, знаходимо
. Розв’язком системи є впорядкована трійка чисел
. Враховуючи порядок, записуємо розв'язки системи.
Розв'язання
Нехай корені многочлена утворюють геометричну прогресію , перший член якої дорівнює
, а знаменник дорівнює
, тоді їх можна записати як
. Застосовуючи теорему Вієта, отримаємо систему рівнянь
Звідси
.
Список використаних джерел