20 вересня о 18:00Вебінар: Numicon (Нумікон): проста математика для всіх

Урок на тему: "Теореми синусів і косинусів. Практичні задачі"

Про матеріал

Як можна визначити своє місцезнаходження на місцевості, як знайти відстань до

неприступного предмету? Це питання стояло ще в давнину перед людьми. З історії відомо, що мандрівники та корабели орієнтувалися за зірками і планетами, причому могли досить точно визначити своє місцезнаходження. Одним із орієнтирів для них була висота, на яку піднімалось відоме їм світило в даній місцевості на даний момент часу...

Перегляд файлу

 

 

 

Урок з геометрії в 9-му класі.

Розроблено та проведено 

вчителем математики ЗОШ № 7 ім. В. В. Бражевського м. Житомира

Сергієм Олександровичем Сафонюком

 

             

 

 

Завдання уроку:  1) розв’язати прикладні задачі, підготовлені учнями;

                             2) скласти умову прикладної задачі за рисунками, які подані в підручнику та розв’зати їх. 

Обладнання: мультимедійне устаткування, електронні носії інформації, дошка, зошити,                          креслярські інструменти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          Як можна визначити своє місцезнаходження на місцевості,             як знайти відстань до неприступного предмету? Це питання стояло ще в давнину перед людьми. З історії відомо, що мандрівники та корабели h орієнтувалися за зірками і планетами, причому могли досить точно визначити своє                                             орієнтирів для них була висота,місцезнаходження. Одним із                                                                                                                  

                                    A B на яку піднімалось відоме їм                                                                                                       світило в даній місцевості на даний момент часу. Але виміряти цю висоту безпосередньо зрозуміло було неможливо. Тому суттєву роль відігравало вміння розв’язувати трикутник з двома вершинами на поверхні  Землі, а третьою - слугувало небесне світило.  

Задача 1. Як знайти висоту Сонця, якщо його з місця  А  видно під кутом , з місця В під кутом , а відстань між А і В дорівнює а?

  В давнину для цього використовували сонячний годинник або астролябію. До речі, учення про сонячний годинник (гномоніка) ввели арабські вчені. Спочатку розберемось, що означає вираз « видно під кутом»?  Якщо провести уявний перпендикуляр від  Сонця до Землі та уявну похилу від нього до місця перебування спостерігача, то кут між похилою і її проекцією (тінню) і буде тим кутом, під яким видно, наприклад, Сонце.

  Щоб розв’язати цю задачу  згадаємо теореми та формули, які дозволяють це зробити. 

 

 

В наш час, використовуючи ці теореми розв’язати проблему задачі № 1 можна швидше та точніше.

 

 

           Тепер згадаємо як можна знаходити невідомі величини в даних теоремах.

 

Теорема косинусів а =b2+c2-2bc*cosA 2

b2=a2+c2-2ac*cosB c2=a2+b2-2ab*cosC cosA=(b2+c2-a2)/2bc cosB=(a2+c2-b2)/2ac cosC=(a2+b2-c2)/2ab

Теорема синусів

a=(b*sinA)/sinA=(c*sinA)/sinC=2R*sinA b=(a*sinB)/sinA=(c*sinB)/sinC=2R*sinB с=(a*sinC)/sinA=(b*sinC)/sinB=2R*sinC sinA=(a*sinB)/b=(a*sinC)/c=a/2R sinB=(b*sinA)/a=(b*sinC)/c=b/2R sinC=(c*sinA)/a=(c*sinB)/b=c/2R

 

Розв’язування задачі № 1

                                                                   Дано: САК =, СКВ =, АК = а

С                          Знайти: СВ

 Розв’язання.

Примітка: перш ніж перейти до розв’язку задачі  учням можна                                      нагадати, що існує іноді декілька способів  розв’язування задач. Тому розглянемо хоча б 2 способи. 

1  спосіб.

               Розглянемо АСК В ньому САК =, АКС =, А                   К                В де =1800- ( і - суміжні кути), АК = а

АСК= 1800-(+)= 1800--1800+=-. За теоремою синусів маємо

         AK                AC            AC AK sinAKC asin1800 asin. Розглянемо

                                             

sinACK sinAKC                             sinACK             sin    sin

АСВ. (В=900). CB AC sinA asinsin. sin

2  спосіб.

Розглянемо АСК В ньому САК =, АКС =, де =1800- ( і - суміжні кути), АК = а. АСК= 1800-(+)= 1800--1800+=-. За теоремою синусів маємо:

         AK              CK           CK AK sinCAK asin                                               0).

. Розглянемо КСВ. (В=90 sinACK sinCAK         sinACK         sin

CB CK sinBKC asinsin. Як бачимо, ми отримали однакові результати. sin

 За домовленістю вирішено, що в довільному трикутнику зі сторонами AB (c), BC (a), AC (b) протилежні кути відповідно позначають α, β, γ.    Задача 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання

Δ АВС За теоремою синусів маємо:

 

 

За теоремою синусів знайдемо, наприклад, кут       .

 

Відомо, 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 1800 ⇒ 𝛽 = 1800 − 47034− 32014= 100012

Відповідь: 47034; 32014; 100012.

Примітка: після розв’язання задач учням було вказано на те, що грані пірамід були рівнобедреними або рівносторонніми трикутниками.

 

Задача 4.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При розв’язуванні задач практичного змісту доцільно створити математичну модель.

 

А                                          В Дано: ∆ АВС

АС = 93 м, АВ = 65 м, ∠𝐵𝐴𝐶 = 420

Знайти: ВС 

                                   С Розв’язання

                                                    ∆ АВС.   За теоремою косинусів знайдемо сторону ВС.

𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 − 2 ∙ 𝐴𝐶 ∙ 𝐴𝐵 ∙ cos ∠𝐵𝐴𝐶

𝐵𝐶2 = 932 + 652 − 2 ∙ 93 ∙ 65 ∙ cos 420 =

= 8649 + 4225 − 8982,87 = 3891,13 ⇒ 𝐵𝐶 ≈ 62 (м)

Відповідь: 62 м

 

 

Задача 5.

Розв’яжемо дану задачу двома способами: за теоремою косинусів і через співвідношення у прямокутному трикутнику, та порівняємо отримані результати.

Спосіб 1.                             В Дано: ∆ АВС – рівнобедрений

АВ = ВС = 10 м

∠𝐴𝐵𝐶 = 1200

                     А                                               С        Знайти: АС

Розв’язання

 

                                                  ∆ АВС. За теоремою косинусів знайдемо сторону АС.

                                                  𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 + 𝐴𝐵2 − 2 ∙ 𝐵𝐶 ∙ 𝐴𝐵 ∙ cos ∠𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐶 = √102 + 102 + 2 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 0,5 = √300 = 10√3 ≈ 17,3 (м)

Врахували,що cos 1200 = − cos 600 = −0,5

Відповідь: 17,3 м

Спосіб 2.

                           В Дано: ∆ АВС – рівнобедрений

АВ = ВС = 10 м

∠𝐴𝐵𝐶 = 1200

    А                                                С ВК - висота 

                             К Знайти: АС

Розв’язання

У ∆ АВС АВ = ВС, тому висота ВК є також медіаною та                                                     бісектрисою. Отже АК = КС, ∠𝐴𝐵𝐾 = ∠𝐶𝐵𝐾 = 600ABK (∠𝐴𝐾𝐵 = 900). ∠𝐴𝐵𝐾 = 600 ⇒ ∠𝐵𝐴𝐾 = 300

). За теоремою Піфагора маємо

                                                   .

Отже, АС = 10√3 ≈ 17,3 (м).

              Висновок можна зробити наступний: кожний спосіб розв’язування                                                задач має право на існування.                                                 Відповідь:   10√3 ≈ 17,3 (м).

  

В давнину для вимірювання кутів використовували прилад,  який мав назву – астролябія.  На уроках геометрії учні  використовують транспортир. Для вимірювання кутів на  місцевості використовують теодоліт.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачі, які мають практичне значення

 

В сучасному житті для розв’язання прикладних задач треба вміти побудувати математичну  ( в нашому випадку – геометричну ) модель задачі, правильно вибрати формули та вірно їх застосувати, причому в деяких задачах декілька раз.

 

 

Задача 6.

Знайти висоту маяка, підхід до  якого перегороджує річка. На практиці це виконують так:

відмічають дві точки на  горизонтальній прямій, яка проходить через основу маяка; в кожній точці за допомогою теодоліта визначають кут, під яким видно верхівку об’єкта; проводять відповідні обчислення. Складемо умову даної задачі, зробимо рисунок та проведемо розрахунки.

З двох точок А і С, відстань між якими 12 м, вершину маяка  видно під кутами 420 та 370 відповідно. Висота приладу над землею – h = 1,5 м. Знайти висоту маяка.

 

 

     В Дано: ΔАВС

∠𝐵𝐶𝐴 = 370, ∠𝐵𝐴𝐷 = 420

AC = 12 м, AA1 = CC1 = h = 1,5 м

Знайти: КВ     D                                         A C

 

 

   

K                                   A1                  C1

Розв’язання

Δ𝐴𝐵𝐶: ∠𝐵𝐶𝐴 = 370, ∠𝐵𝐴𝐷 = 420 ⇒ ∠𝐴𝐵𝐶 = 420 − 370 = 50 (властивість зовнішнього кута).

За теоремою синусів маємо:  

Δ BDA (∠𝐷 = 900). 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 ∙ sin ∠𝐵𝐴𝐷 = 82,8 ∙ sin 420 = 82,8 ∙ 0,6691 = 55,4 (м). ВК = BD + DK = 55,4 + 1,5 57 (м).

Відповідь: 57 м

 

 

 

 

 

 

 

 

                     

 

 

Задача 7.

На горі знаходиться маяк висотою 60 м. Перший спостерігач на даху  бачить біля підніжжя гори деякий  предмет під кутом 650, а другий,  який знаходиться на вершині гори,  бачить його під кутом 350. Яка висота гори?

Задача, яка вимагає побудови геометричної моделі, вміння вибрати та застосувати певні формули.

Зробимо рисунок до задачі та  складемо скорочений запис умови.

 

                     М В

                                            

Дано: ∆ 𝐴𝐵𝐷 (∠𝐴𝐷𝐵 = 900)

𝐵𝑀 ∥ 𝐶𝐾 ∥ 𝐴𝐷

 

                  K                      C          Знайти: СВ

                                                                     Розв’язання А                             D

1.   

 

2.  ∆𝐴𝐶𝐵. За теоремою синусів   

0

                                                        AC

3.  ∆𝐴𝐶𝐷 (∠𝐴𝐷𝐶 = 900), ∠𝐴𝐶𝐷 = 1800 − ∠𝐾𝐶𝐴 − ∠𝐾𝐶𝐵

∠𝐴𝐶𝐷 = 1800 − 350 − 900 = 550

𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 cos 550 = 50,7 ∙ 0,5736 ≈ 29,1(м) Відповідь: 29,1 м

 

 

 

 

 

             

                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 8.

 

                C                              D Дано:  АВ = 100 м

 

Знайти: CD

      A              O Розв’язок

                    1.  ∆𝐴𝐷𝐵. ∠𝐵𝐷𝐴 = 1800 − ∠𝐷𝐴𝐵 − ∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐵𝐷𝐴 = 1800 − 700 280 − 540 = 280

 За теоремою синусів:    

0

                            В 2. ∆𝐴𝐶𝐵. ∠𝐵𝐶𝐴 = 1800 − ∠𝐶𝐴𝐷 − ∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝐷𝐴𝐵 ∠𝐵𝐶𝐴 = 1800 − 300 − 280 − 700 = 520

                                                                                                                                           𝐴𝐵                         𝐶𝐵

За теоремою синусів: 

0

3. ∆𝐶𝐵𝐷. 𝐶𝐵 = 125 м, 𝐷𝐵 = 200,1 м, ∠𝐶𝐵𝐷 = 540                                                               За теоремою косинусів:

𝐶𝐷2 = 𝐶𝐵2 + 𝐷𝐵2 − 2 ∙ 𝐶𝐵 ∙ 𝐷𝐵 ∙ cos ∠𝐶𝐵𝐷 𝐶𝐷 = √1252 + 200,12 − 2 ∙ 100 ∙ 200,1 ∙ cos 540=

                                                             = √15625 + 40040,01 − 23523,756 ≈ 179,3 (м).

Відповідь: 179,3 м

Примітка: як бачимо, в даній задачі використовували і теорему синусів, і теорему косинусів.      

 

 

 

 

 

 

 

Домашнє завдання

За готовими слайдами розв’язати задачі.

 

Фотографії з уроку

 

 

pdf
Пов’язані теми
Геометрія, 9 клас, Розробки уроків
Інкл
Додано
5 листопада 2018
Переглядів
239
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку