Урок. Описані чотирикутники. Геометрія 9 клас.
Тема уроку. Описані чотирикутники.
Мета уроку: ввести поняття описаного чотирикутника, довести властивість та ознаку описаних чотрикутників; розвивати логічне мислення, спостережливість, наполегливість; виховувати охайність, культуру математичного мовлення та записів.
Тип уроку: урок вивчення нового навчального матеріалу.
Форма проведення. Урок з використанням інтерактивних та комп’ютерних технологій.
Хід уроку
І. Організаційний момент
Девіз уроку: «Математичні доведення, як алмази – тверді й прозорі».
(Джон Локк)
ІІ. Перевірка домашнього завдання
Учитель перевіряє наявність домашньої роботи.
ІІІ. Формулювання теми і мети уроку
IV.Актуалізація опорних знань
Усна робота (супроводжується слайдом).
- Вивчення нового матеріалу
Учитель пропонує учням самостійно дати означення кола, вписаного у чотирикутник, описаного чотирикутника. Після того, як учні сформулюють означення, їм пропонується завдання: спробувати вписати коло у прямокутник. Після отриманої невдачі, дітям пропонується уточнити сформульоване означення описаного чотирикутника.
Чотрикутник називають описаним, якщо існує коло, яке дотикається до всіх його сторін.
Учням пропонується вписати коло у квадрат, ромб, паралелограм, дельтоїд і зробити висновок: у які чотирикутники можна вписати коло. Формулюється ознака описаного чотрикутника.
Якщо в опуклому чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то цей чотирикутник є описаним.
Для доведення даної теореми нам потрібна буде властивість описаного чотирикутника. Це теорема, обернена до даної. Учням пропонується сформулювати її.
Якщо чотирикутник є описаним, то суми його протилежних сторін рівні.
Аналіз теореми відбувається із використанням технології «Мозковий штурм».
Доведення. Нехай у чотирикутник АВСD вписано коло. Точки М, N, Р і К є точками дотику кола до сторін чотирикутника.
За властивістю дотчних АК=АМ=а, ВM=ВN=в, СN=СР=С, DР=DК=d. Звідси
AB+CD=a+b+c+d,
BC+AD= a+b+c+d.
Отже, AB+CD=BC+AD.
Якщо в опуклому чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то цей чотирикутник є описаним.
Учитель підказує учням, що дана теорема доводиться методом від супротивного, учні згадують у чому полягає суть цього методу, згадують твердження про довжину будь-якої сторони чотирикутника (у підручнику це задача 2 на с.20) і знову використовується технології «Мозковий штурм».
Доведення. Розглянемо опуклий чотири-кутник АВСD, у якому AB+CD=BC+AD.
Нехай бісектриси кутів А і В перетинаються в точці О. Тоді точка О рівновіддалена від сторін АВ, ВС і АD. Отже, існує коло з центром у точці О, яке дотикається до цих трьох сторін.
Припустимо, що це коло не дотикапється до сторони СD. Тоді можливі два випадеи:
- Сторолна СD не має спільних точок з побудованим колом;
- Сторона СD має дві спільні точки з побудованим колом.
Проведемо дотичну С1D1 паралельно стороні СD. Чотирикутник АВС1D1 – описаний. Тоді за властивістю описаного чотирикутника
AB+C1D1 =BC1+AD1. (1)
Проте за умовою
AB+CD=BC+AD. (2)
Віднімемо від рівності (2) рівність (1):
CD –C1D1= BC –BC1+ AD – AD1.
Звідси
CD –C1D1=С1С+D1D;
CD =С1С+D1D+C1D1.
Ця рівність суперечить раніше доведеному твердженню про те, що довжина будь-якої сторони чотирикутника менша від суми довжин трьох інших його сторін.
Теорема доведена.
Учням пропонується сформулювати властивість і ознаку описаного чотирикутника у вигляді критерію.
Для того, щоб чотирикутник був описаним, необхідно і достатньо, щоб суми його протилежних сторін були рівними.
- Розв’язування вправ
Усні вправи
14.1. Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює 18 см. Знайдіть периметр даниго чотирикутника.
Розв’язання. Оскільки в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то периметр дорівнюватиме подвоєній сумі двох протилежних сторін описаного чотирикутника, тобто в даній задачі 36 см.
14.2. Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 7 см. Чому дорівнює периметр даної трапеції, якщо в неї можна вписати коло.
Розв’язання. Оскільки в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то периметр дорівнюватиме подвоєній сумі двох протилежних сторін описаного чотирикутника. У даній рівнобічній трапеції сума бічних сторін дорівнює 14см, тоді периметр 28 см.
14.4. Доведіть, що в будь-який ромб можна вписати коло. Яка точка є центром кола, вписаного в ромб?
Розв’язання. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то суми протилежних сторін теж будуть рівні. Отже, за ознакою описаного чотирикутника, навколо ромба можна описати коло. Оскільки діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то центром вписаного кола є точка перетину діагоналей ромба.
14.8. Доведіть, що коли в прямокутник можна вписати коло, то цей прямокутник є квадратом.
Розв’язання. Нехай в прямокутник вписано коло, тоді за властивістю описаного чотирикутника суми його протилежних сторін рівні. А оскільки в прямокутнику протилежні сторони рівні, то сусідні сторони у ньому теж будуть рівними, тобто даний прямокутник є квадратом.
Коментоване розв’язання задач із записом у зошитах, рисунки на дошці виконує вчитель.
14.6. Під яким кутом видно бічну сторону трапеції з центра вписаного кола?
Розв’язання. Нехай в трапецію АВСD вписано коло. Оскільки центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис, то АО і ВО – бісектриси кутів ВАD і АВС відповідно.
Оскільки <BAD+<ABC=1800, то <BAО+<ABО=900. Тоді з ∆ АВО <AOB=900.
14.9. Коло, вписане в прямокутну трапецію, ділить точкою дотику більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 50 см. Знайдіть периметр даної трапеції, якщо радіус вписаного кола дорівнює 20 см.
Розв’язання. Нехай в прямокутну трапецію АВСD (<A=<B=900) вписано коло з радіусом ОМ=20 см. М – точка дотику кола до більшої бічної сторони. СМ=8 см, МD=50 см. Звідси CD=58 cм.
Оскільки КN – діаметр кола і КN перпендикулярний до ВС і АD, то ВКNА – прямокутник. Звідси АВ=КN=2∙20=40(см).
Оскільки в описаному чотирикутнику суми його протилежних сторін рівні, то АВ+СD=BC+AD=40+58=98(см). Тоді РABCD=2∙98= 196(cм).
- Домашнє завдання
Опрацювати п. 14, розібрати розв’язання прикладів 1 і 2 у пункті, розв’язати задачі 14.3 і 14.7.
- Підсумок уроку
про публікацію авторської розробки
Додати розробку