Урок "Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу"

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}        ДАТНІЙОД12 МЯРПТУКЙИ3 КОТЕГНАНС4 ТРИГОНОМЕТРІЯ56 ТАНГЕНССИНУС71 КСН2 ОЗОНУТЙ3 ВІДЄНИЙ4 РАДА5 ОДИАТАР6 РАДС7 БСЦИСА

Використовуємо ліву руку Загальна формула для знаходження значення синуса кута 𝒏𝟐 Де 𝒏 - номер пальця.  

Співвідношення між синусом і косинусом. Нехай точка Ρα (х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р0(1; 0) на кут α радіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos α, у = sin α Оскільки точка Рα(х;у) належитьодиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівняння х2 + у2 = 1.

Таким чином, 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏  для всіх значень α. Ця рівність називається основною триго­нометричною тотожністю. 𝒔𝒊𝒏𝜶=±𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 ,    𝒄𝒐𝒔𝜶=±𝟏−𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 .  

Співвідношення між тангенсом і котангенсом. Згідно з визначенням тангенса і котангенса𝑡𝑔 𝛼=sin𝛼cos𝛼 ,     𝑐𝑡𝑔 𝛼=cos𝛼sin𝛼   𝑡𝑔 𝛼∙𝑐𝑡𝑔 𝛼= для всіх значень 𝛼, де існують ці тригонометричні функції. 𝑡𝑔 𝛼=1𝑐𝑡𝑔 𝛼 ;      𝑐𝑡𝑔 𝛼=1 𝑡𝑔 𝛼  

Приклади застосування основних співвідношень між тригонометричними функціями одного аргументу sin𝛼=0,6   і   𝜋2<𝛼<𝜋;  Знайти cos𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼=−1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=−1−0,62=−0,8; sin𝛼−𝑡𝑔 𝛼∙cos𝛼= 𝑠𝑖𝑛23+𝑐𝑡𝑔23∙sin23= 

Робота за підручником «Математика» 10 Г. П. Бевз, 2010 №466. Доведіть тотожністьa) 𝑡𝑔 𝛼+𝑐𝑡𝑔 𝛼cos2𝛼=𝑐𝑡𝑔 𝛼;б) (1 − cos2𝛼 )(1+ 𝑡𝑔2𝛼) = 𝑡𝑔2𝛼. 

№468. Спростіть вираз: а) 1−sin2𝛼1−cos2𝛼;                           б)  sin2𝛼sin2𝛼−1 ; в)  sin2𝑥1−sin2𝑥∙𝑐𝑡𝑔 𝑥 ;             г)  cos2𝛼1−cos2𝛼∙𝑡𝑔2𝛼;ґ) cos2𝛼−cos4𝛼sin2𝛼−sin4𝛼;                  д)  sin4𝛽−sin6𝛽cos4𝛽−cos6𝛽 . 

№469. Відомо, що кут 𝜶 гострий. Обчисліть значення: а) cos𝛼,  якщоsin𝛼=13 ;б) sin𝛼,  якщоcos𝛼=23 ;в) 𝑡𝑔𝛼,    якщо 𝑐𝑜𝑠𝛼=25 ; г) 𝑐𝑡𝑔𝛼,   якщо 𝑡𝑔𝛼=4 .  

№470. Знаючи, що 𝒔𝒊𝒏𝜶=𝟒𝟓 ,  обчисліть значення 𝒄𝒐𝒔𝜶,𝒕𝒈𝜶 і  𝒄𝒕𝒈𝜶  за умови, що: а)  𝟎<𝜶<𝝅𝟐 ; б)  𝝅𝟐<𝜶<𝝅 .  

№472. Спростіть вираз: а)sin2𝛼+cos2𝛼−𝑡𝑔 𝛼∙𝑐𝑡𝑔 𝛼 ;б) 1−sin𝛼∙cos𝛼𝑡𝑔 𝛼 ;в)1−sin𝛼+cos𝛼2;г) 1−sin𝛼1+sin𝛼;ґ) 𝑡𝑔 𝛼∙𝑐𝑡𝑔 𝛼−cos2𝛼 ;д) sin𝛼∙cos𝛼∙𝑐𝑡𝑔 𝛼 . 

№474. Доведіть тотожність: а) sin4𝛼−cos4𝛼=sin2𝛼−cos2𝛼 ;б)1+𝑡𝑔 𝛼1+𝑐𝑡𝑔 𝛼=𝑡𝑔 𝛼 ;в)sin2𝛼−sin2𝛽=cos2𝛽−cos2𝛼 ;г)𝑐𝑡𝑔 𝛽−1𝑡𝑔 𝛽−1=−𝑐𝑡𝑔 𝛽.  

№476. Доведіть тотожність: а) sin3𝛼1+𝑐𝑡𝑔 𝛼+cos31+𝑡𝑔 𝛼=sin𝛼+cos𝛼;№477. Доведіть тотожність : а) 2𝑐𝑜𝑠2𝛼−3𝑠𝑖𝑛2𝛼+32𝑠𝑖𝑛2𝛼−3𝑐𝑜𝑠2𝛼+3=𝑐𝑡𝑔2𝛼 ;б) 1+𝑐𝑜𝑠𝛼∙𝑡𝑔2𝛼1+𝑐𝑜𝑠𝛼=1𝑐𝑜𝑠𝛼   

№479. Спростіть вираз: а) 𝑡𝑔 𝛼+𝑐𝑡𝑔 𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼б)1−𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡𝑔 𝛽в) 𝑐𝑜𝑠4𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼г) 𝑡𝑔 𝜑+𝑐𝑡𝑔 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 

Домашнє завдання. Вивчити конспект. Завдання за підручником «Математика» 10 Г. П. Бевз, 2010.№467, 471, 473, 478(а, б) .