Урок "Періодичність тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема

 Періодичність  тригонометричних функцій.

 Графіки тригонометричних функцій

Мета

            Ввести поняття періоду та періодичності.  Вивчити властивості тригонометричних функцій, навчитись будувати графіки тригонометричних функцій; розвивати математичну компетентність учнів, прищеплювати навички ділового спілкування, виховувати почуття товариськості, взаємовиручки.

 

Тип уроку.  Комбінований

 

Хід  уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація опорних знань (у формі бліц – опитування)

•           Що таке функція?
•           Область визначення та множина значень функції?
•           Парність та непарність функції, приклади;
•           Зростання та спадання функції;
• Дати означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса будь-якого кута від ;
•           Що називається радіанною мірою кута, навести приклади.

 

 

ІІІ. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

 

     1. Означення. Функція називається періодичною з періодом Т0, якщо для будь-якого х з області визначення функції числа  та також належать області визначення і виконується умова:    .

Коли точка Р , яка задає кут виконає повний оберт у додатному (від'ємному) напрямку, вона займе знову початкове положення на колі і визначатиме кут . Координати точки Р при такому переміщенні не зміняться, а отже, і значення всіх тригонометричних функцій залишиться без змін.

Кількість повних обертів може бути будь-яким цілим числом, а тому і значення тригонометричних функцій кута повторюватимуться через будь-яку кількість повних обертів в будь-якому напрямку.

  Таким чином, будь-яке число, кратне 360 є періодом всіх тригонометричних функцій, або математичною мовою, період всіх тригонометричних  функцій-

, або в радіанній мірі . Найменшим додатним періодом функцій є число . Для функцій найменший додатний період  .

 

   2. Графіки  тригонометричних  функцій

 

1. Графік  функції 

 

 

 

 

 

 

 

2. Графік  функції 

 

 

              3. Графік  функції                                    4. Графік  функції 

 

 

 

 

 

 

 

 

  3. Властивості  тригонометричних функцій (табл.)

 

№	Функція Влас- тивість
1	Область визначення
2	Множина значень
3	Парність (непарність)	Непарна	Парна	Непарна	Парна
4	Періодич -ність
5	Нульові значення
6	Проміжки зростання				Не  має
7	Проміжки спадання			Не  має
8	Додатні значення
9	Від'ємні значення
10	Найбільше значення			Не має	Не має
11	Найменше значення			Не має	Не має

 

• Приклад 1.   Побудувати графік функції

Розв'язання     І. Побудуємо графік функції .

 ІІ. Графік функції  отримуємо перенесенням графіка функції в додатному напрямі вздовж осі Ох на відстань .

  ІІІ. Графік функції  отримуємо розтягуванням в 3 рази графіка функції вздовж осі  Оу

 

• Приклад 2.   Побудувати графік функції

 

 

 

 

 

 

 І.  Побудуємо графік функції ;

 ІІ. Стиснувши графік функції вздовж осі Ох  вдвічі отримаємо графік функції ;

 ІІІ. Щоб отримати графік функції , відображаємо ту частину графіка ІІ, для якої

 (нижче осі Ох) симетрично відносно осі Ох.

 IV. Графік функції  отримаємо, перемістивши графік ІІІ, вгору вздовж осі Оу на

• Приклад 3.   Побудувати графік функції

І. Так як при, то спочатку можна

побудувати графік функції , для  .

ІІ. Функція є парною, отже інша частина

графіка (при ) – симетрична побудованій

відносно осі Оу.

ІV. Побудова графіків та вивчення властивостей тригонометричних функцій  

       за допомогою комп’ютерної програми «Master Function»

                       1.                                                       2.                 

                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     3.                                                       4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V.  Підсумок уроку.  Домашнє завдання: стор 17 – 20 , § 20;   вправа 3 (б, д, е)