МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА

відкритого практичного заняття

з дисципліни «Математика»

Зміст

Передмова

На сучасному рівні розвитку цивілізації особливу роль відіграє інноваційний потенціал суспільства, що потребує спеціалістів, здатних системно й конструктивно мислити, швидко знаходити потрібну інформацію, приймати адекватні рішення, створювати принципово нові ідеї в різних галузях знань. А це, в свою чергу, формує соціальне замовлення на нові підходи в системі освіти, нове педагогічне мислення, нове ставлення педагога до своєї діяльності, результатом якої має бути виховання «інноваційної людини».

Представлена методична розробка з теми «Похідна та її застосування» дає можливість познайомитись з застосуванням різних педагогічних технологій: технологія модульного навчання, квест-технологія, технологія кооперативного навчання, інформаційно-комунікаційні технології. Модульне навчання характеризується випереджаючим вивченням теоретичного матеріалу укрупненими блоками-модулями, алгоритмізацією навчальної діяльності, завершеністю і узгодженістю циклів пізнання та інших циклів діяльності. Дана робота являє собою розробку одного заняття, що завершує вивчення теми «Похідна та її застосування», і спрямоване на вирішення наступних завдань:

а) повторення, узагальнення і систематизація знань, умінь і навичок студентів;

б) формування уявлення про роль похідної в інших науках;

в) контроль і корекцію знань здобувачів освіти з вивченої теми;

г) розвиток пошукової діяльності із залученням різних джерел (виконання веб-квесту при підготовці до проведення заняття).

Матеріали заняття розраховані на учнів 10 класу. У розробці застосовується система рейтингової оцінки знань і умінь студентів, що переводиться у дванадцятибальну систему. Студенти ознайомлюються з усіма вимогами заняття і критеріями оцінок за різні види робіт на початку заняття.

Проведення заняття ведеться у відповідності до технологічної карти заняття, супроводжується слайдами презентації, мотивується різними фактами застосування похідної в різних галузях науки і виробництва.

Представлена методична розробка практичного заняття демонструє один з варіантів узагальнення теми «Похідна та її застосування», допомагає спонукати учнів до самостійного мислення й ухвалення рішень.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дисципліна: Математика

Тема заняття: Похідна та її застосування             

Мета заняття:

Методична – впроваджувати сучасні педагогічні технології (технологію модульного навчання, квест-технологію, технологію кооперативного навчання, інформаційно-комунікаційні технології) для створення умов, що дозволяють кожному студенту розкрити свій творчий потенціал, пізнавальну активність, проявляти ініціативу і самостійність;

Навчальна – узагальнити і систематизувати знання про похідну, її фізичний, геометричний та економічний зміст; формувати навички застосування знань до розв’язання задач на екстремуми; удосконалювати вміння та навички самостійно отримувати нові знання за джерелами; підвести студентів до розуміння того, що знання поняття похідної необхідно людству в їх житті; удосконалювати вміння ясно, логічно і точно викладати свою точку зору;

Розвиваюча – створювати умови для розвитку позитивної мотивації до навчання, стимулювати розвиток творчих можливостей; розвивати здатність до самостійної інформаційно-пізнавальної діяльності, формувати основні уміння опрацювання інформації, навички дослідницької роботи, проведення самоконтролю і взаємоконтролю;

Виховна  – навчати об’єктивній оцінці своїх можливостей і успіхів; сприяти розвитку навичок усного мовлення, вмінню грамотно вести діалог і аргументувати свої дії; усвідомлення великої практичної значущості похідної в житті людини; формувати вміння працювати в команді.

Вид заняття : практичне заняття

Тип заняття : узагальнення і систематизація знань, умінь та навичок

Форми і методи роботи на занятті:

• організаційні: індивідуальна, групова (робота в парі, робота в групі), колективна (фронтальна);
• методи навчання:  словесні (бесіда); наочні: комп’ютерна презентація; інтерактивні: вправа «мікрофон»; практичні: дослідницький, пошуковий, організація застосування похідної при вирішенні математичних, фізичних, хімічних, економічних задач;
• методи контролю і самоконтролю: усний контроль, самоконтроль, взаємоконтроль. 

Методичне забезпечення:

•      Технологічна карта заняття;
•      Таблиці  «Похідна», «Застосування похідної»;
•      Картки контролю теоретичних знань (картки з друкованою основою) картки «Знайди пару» (перевірка таблиці похідних), лист оцінювання;
•      Презентація заняття.

Технічні засоби навчання:

•      Мультимедійний проектор
•      Персональний комп’ютер

Міжпредметні зв’язки:

Забезпечуючі:  «Українська мова», «Фізика», «Інформатика».

Забезпечуємі: «Природничі науки», «Економіка підприємства», «Фінанси підприємства», «Політична економія», «Гроші та кредит», «Інформаційні системи і технології у фінансово-кредитних установах».

Література

Основна:

1. Бевз Г. П.Математика : Алгебра і початки аналізу та геометрія.  Рівень стандарту) : підруч. для 10 кл. закладів загальної середньої освіти / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. — К. : Видавничий дім «Освіта», 2018. – 288 с. : іл.

2. Бурда М.І. Математика (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту : підруч. для 10 кл. закладів загальної середньої освіти / М.І. Бурда , Т.В. Колеснік, Ю.І.Мальований, Н.А.Тарасенкова. — К. : УОВЦ «Оріон», 2018. – 288 с. : іл.

3. Мерзляк А. Г. Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту: підруч. для 10 кл. закладів загальної середньої освіти / А.Г. Мерзляк, Д.А.Номіровський, В. Б. Полонський, М.С.Якір. — Х. : Гімназія, 2018. 256с.: іл.

4. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенько А.К. Математика. Підручник. К., Вища школа, 2001

5.  Нелін Є.П. Алгебра та початки аналізу: підручник для 10 класу загальн.учбових закладів. Х.: Гімназія, 2010

Додаткова :

1. Лейфура В.М. та ін. Математика: Підручник для студентів екон.спеціальн.вищих навч. закладів І-ІІ рівнів акредетації,/ В.М. Лейфура , Г.Г.Голодницький, Й.І.Файст; за ред. Лейфура В.М. - К.: Техніка, 2003.– 640 с. : іл.

2. Богомолов II.В. Практические занятия по математике.  М.: Высш. шк., 1990

3. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Дидактичні матеріали з математики. К., Вища школа, 2001

4. Збірник заданий для державної підсумкової атестації з математики. 11 класс. Ред. З.І. Слєпкань. – Харьків, “Гімназія”, 2014

5. https://zno.osvita.ua/mathematics/

Хід і зміст заняття

1. Організаційний момент.                                                                                 1 хв.   

Привітання зі студентами

Відмітка у журналі відсутніх

Перевірка готовності до заняття студентів, аудиторії

2. Ознайомлення студентів з темою та навчальними цілями заняття. Мотивація навчання.                                                                                        8 хв.

Мета. Формування на особистісно значимому рівні внутрішньої готовності до виконання нормативних вимог навчальної діяльності. Створення ділової атмосфери, позитивного настрою на активну діяльність і розумову роботу, включення в діловий ритм. Розширення уявлення студентів про зародження похідної.

Викладач. На першому занятті з вивчення похідної я вам запропонувала замислитися над питанням: «Ми вивчаємо похідну, а навіщо? Чи так це важливо в житті?» Ви не змогли на нього відповісти, так як у вас не вистачало відповідних знань з цієї теми. І тоді я вам запропонувала провести самостійне дослідження з теми «Похідна та її застосування» у різних галузях науки у вигляді виконання веб-квесту. (Додаток А) Для виконання цієї роботи була висунута гіпотеза: «Диференціальне числення – це опис навколишнього світу, виконаний на математичній мові. Похідна допомагає нам успішно вирішувати  не тільки математичні завдання, а й практичні задачі різних галузей науки і техніки». В ході дослідницької роботи ви повинні були або підтвердити, або спростувати цю гіпотезу.

Сьогодні ми побачимо, наскільки успішно ви впоралися із завданням самостійного відбору та обробки інформації, покажемо практичну необхідність і теоретичну значимість теми «Похідна».

Тема нашого заняття «Похідна та її застосування». На ньому ми повторимо правила обчислення похідних, згадаємо таблицю похідних, познайомимось з історією виникнення похідної, основними напрямками її застосування в різних областях науки.

Протягом заняття вам необхідно буде заповнювати лист оцінювання Додаток Б), який дасть змогу оцінити рівень вашої підготовки з теми. Ви самостійно або в парі чи групі будете отримувати бали за виконання вправ у відповідності до правил переводу набраних балів в 12-бальну оцінку. (Слайд 2)

Хочу наголосити слова відомого вченого Фрідріха Енгельса: «Лише диференціальне числення дає можливість природознавству зображати математично не тільки стан, але і процес руху».

Давайте познайомимось з історичною сторінкою вашого дослідження, яку підготували студентки Горлач Ліза і Конева Дар’я. (Слайди 3-6)

3. Систематизація і узагальнення теоретичних знань.                              22 хв.

Мета. Актуалізація опорних знань, удосконалення вмінь чітко, логічно і точно викладати свою точку зору; розвиток здатності до самостійного відтворення основних теоретичних положень теми «Похідна та її застосування»; перевірка рівня їх засвоєння.

Викладач. Переходимо до виконання другої сторінки вашого завдання. Слово надається теоретикам Моргун Юлії і Берднік Микола. (Слайд 7, 11)

1) Повторення основних тверджень про похідну проводиться у вигляді вправи «Мікрофон»: ведучі студенти задають вибраному студенту питання, пов’язане зі словом з підготовленого тезауруса теми.

• Що називають диференціюванням? (Операцію знаходження похідної функції називають диференціюванням)

• Що таке приріст аргументу? (Вираз х – х₀ = х)
• Що таке приріст функції? (у = f(х₀ + х) – f (х₀))
• Дайте означення похідної (Похідною функції f(x) у точці x₀ називають границю відношення приросту функції в точці x₀ до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує)
• В чому полягає геометричний зміст похідної? (Похідна – це кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до заданої точки)
• Як можна сформулювати фізичний зміст похідної?(Похідна – це миттєва швидкість)
• А з економічної точки зору похідна – це? (Похідна - це продуктивність праці, продуктивність праці вимірюється кількістю продукції, виконаної робітником впродовж деякого часу)
• Сформулюйте необхідну і достатню умову сталості функції (Функція f(х) є сталою на інтервалі (a; b) тоді і тільки тоді, коли її похідна дорівнює нулю в кожній точці цього інтервалу)
• Які точки називають критичними? (Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками функції)
• Сформулюйте достатню умову зростання функції (Якщо в кожній точці інтервалу (a; b) її похідна f (х) > 0, то функція f(х) зростає на цьому проміжку)
• Сформулюйте достатню умову спадання функції (Якщо в кожній точці інтервалу (a; b) її похідна f (х) < 0, то функція f(х) спадає на цьому проміжку)
• Що таке точки екстремуму? (Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму)
• Сформулюйте необхідну умову екстремуму функції (У точках екстремуму похідна функції дорівнює нулю або не існує)
• Сформулюйте достатню умову екстремуму функції (Якщо функція f(х) неперервна в точці х₀ і похідна f (х) змінює знак при переході через точку х₀, то точка х₀ – точка екстремуму)

2) Перевірка знань теоретичного матеріалу проводиться у вигляді заповнення студентами картки з друкованою основою (Додаток В)

Відповідь:

Завдання. Заповніть картку з друкованою основою:

1. х – х₀ = х - приріст аргументу

2. у = f(x₀ + х) – f(x₀) - приріст функції

3. Запишіть означення похідної у вигляді формули:

4. Геометричний зміст похідної: похідна – це кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної в заданій точці x₀ або тангенс кута нахилу дотичної в заданій точці x₀

5. Похідна – це миттєва швидкість – це фізичний зміст похідної: v(t) = s(t),

a (t) = v(t) = s(t)

6. Функція f(x) зростає на інтервалі (a; b), якщо в кожній точці цього інтервалу її похідна f (х) > 0

7. Функція f(x) спадає на інтервалі (a; b), якщо в кожній точці цього інтервалу її похідна f (х) < 0

8. Внутрішні точки області функції, у яких похідна дорівнює нулю, або не існує називають критичними точками.

9. Функція f(x) є сталою на інтервалі (a; b), тоді і тільки тоді, коли  f (x) = 0 в усіх точках цього інтервалу.

10. Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму.

11. У точках екстремуму похідна функції дорівнює нулю, або не існує.

12. Якщо функція f(x) неперервна в точці x₀ і похідна f (x) змінює знак при переході через точку x₀, то точка x₀ – точка екстремуму функції f(x).

13. Якщо неперервна функція у = f(x) має похідну, яка в точці x₀ змінює знак з «+» на «– », то точка x₀ – точка максимуму функції f(x).

14. Якщо неперервна функція у = f(x) має похідну, яка в точці x₀ змінює знак з «– » на «+», то точка x₀ – точка мінімуму функції f(x).

Перевірка проводиться у вигляді взаємоперевірки за відповіддю на слайді 9.

3) Вправа «Контейнер» (робота в парі). На слайді презентації записані формули. (Слайд 9).

1.;

2. ;

3.  ;

4. ;

5. ;

6.;

7. ;

8. ;

9. ;

10.

Відповідь: правильні формули 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, серед них правила диференціювання 2, 3, 6, 8, 10.

4) Вправа «Знайди пару». Перевірка знань таблиці похідних.

Виконується кожним студентом самостійно і перевіряється у вигляді взаємоперевірки і отримані бали виставляються у лист оцінювання.

Доберіть до кожної функції її похідну:

5) Розгляд структурно-логічної схеми теми «Похідна та її застосування», підготовлену теоретиками веб-квесту (Додаток В).

4. Застосування знань в стандартних умовах                                       20 хв.

"Просто знати - ще не все, знання потрібно використовувати".
Гете

Мета. Створення умов для застосування отриманих знань при вирішенні завдань з використанням формул і правил диференціювання, фізичного та геометричного змісту похідної; сприяння вихованню позитивного ставлення до знань і процесу навчання, впевненості у своїх силах.

Викладач. Переходимо до третьої сторінки нашого квесту. Аналітики Дорошенко Анастасія і Рибачук Ольга розкажуть нам про своє дослідження. (Слайд 12)

Виконання самостійної роботи студентами (15 хвилин):

Відповіді:

1 варіант: 1а) А 1б) Д 2) Д 3) -0,75 4) ; х₁ = 0,5; х₂ =-0,5

2 варіант: 1а) В 1б) Г 2) Д 3) 41 4) ; k = 1.

Повний розв’язок самостійної роботи в додатку Д.

Перевірка здійснюється у вигляді самоперевірки за слайдами презентації (Слайд 13)

5. Застосування знань в нових умовах                                                          20 хв.

Мета. Формування навчальної задачі; розвиток навичок спільної пошукової діяльності із залученням різних джерел; розвиток самостійності в плануванні і здійсненні навчальної діяльності та організації навчального співробітництва з педагогом та однолітками; розвиток мовленнєвих умінь і навичок.

Викладач. Переходимо до сторінки нашого веб-квесту «Практична». Послухаємо підготовлений матеріал студентів Сусли Діани і Шилова Антона. (Слайди 14-16)

Виконання задач на застосування похідної в економіці у групі. Студенти виконують задачі і та команда, яка першою виконала розв’язок задачі записує його на дошці і дає пояснення. Інші команди задають питання або вказують на допущені помилки.

Задача 1. Обсяг продукції u, вироблений бригадою робітників, може бути описаний рівнянням (од.) , 1< t <8, де t — робочий час у годинах. Обчислити продуктивність праці та  швидкість її зміни через дві години після початку роботи.

Розв’язок. Продуктивність праці — це похідна:

(од./год),

а швидкість зміни продуктивності – відповідно задаються похідною z(t):

z(t)=-5t+15 (од./год²),

z(2)=-5∙2+15=-10 +15 = 5 (од./год²),

Відповідь: 120 од./год., 5од./год.².

Задача 2. Витрати на виробництво продукції обсягу х задаються функцією . Виробник реалізує продукцію за ціною 25 ум.од. Знайдіть максимальний прибуток R і відповідний обсяг продукції х.

Розв’язок:

Задача 3. На рисунку наведено графік функції, що описує процес роботи деякого виробництва. Використовуючи рисунок, визначте:

 а) критичні точки цієї функції;

 б) проміжки зростання і спадання;

 в) точки максимуму і мінімуму.

Творче завдання: у відповідності до цього графіка функції побудуйте графік похідної цієї функції.

Відповідь:  а) критичні точки функції х₁, х₂, х₃, х₄, х₅;

б) проміжки зростання: х  [х₁, х₂] і [х₃, х₄] і [х₅, х₆];

спадання х  [0, х₁] і [х₂, х₃] і [х₄, х₅];

в) точки максимуму: х₂, х₄ і мінімуму: х₁, х₃, х₅.

Викладач звертається до студентів з питанням: «Друзі, що ви скажете про нашу гіпотезу? Підтвердили ми її або спростували?»

Студенти: ми переконалися у важливості вивчення теми «Похідна та її застосування». За допомогою похідної вирішуються завдання у фізиці, хімії, в економіці. Похідна використовується там, де є нерівномірне протікання процесу.

6. Підведення підсумків заняття.                                                               5 хв.

Мета. Розвиток у студентів навичок пізнавальної рефлексії як усвідомлення скоєних ними дій і розумових процесів, результатів діяльності, меж свого знання і незнання, нових пізнавальних завдань і засобів їх досягнення; контроль і оцінка процесу і результатів діяльності

Студенти підводять підсумки набраних ними балів і переводять їх у дванадцятибальну систему.

Викладач. Викладач: дівчатка і хлопці, завдяки Вашій величезній підготовчій роботі, проведено дуже цікаве заняття (оголошую оцінки і прошу студентів проаналізувати свою діяльність на занятті). Цікаво дізнатися, як ви могли б оцінити нашу спільну роботу. Пропоную зробити це так: закінчить одну з фраз, яку ви бачите на екрані.

1. Сьогодні я дізнався…

2. Було цікаво…

3. Було важко…

4. Я виконував завдання…

5. Тепер я можу…

6. Я навчився…

7. Я зміг…

8. Мені захотілося…

7. Повідомлення домашнього завдання                                                   3 хв.

[1], Р. 3,§ 19, с.146, виконати № 702, 706, 707 с.150, підготуватись до контрольної роботи

№ 702.  Тіло рухається прямолінійно за законом  s(t) = 2 + 8t –  t² (шлях  s – у метрах, час  t — у секундах). Яку відстань пройде тіло до моменту, коли його швидкість дорівнюватиме нулю?

№ 706. Обсяг продукції  V майстерні, яка виготовляє ялинкові прикраси, протягом дня виражається залежністю  , де  t∈[1; 8] Обчисліть продуктивність праці майстерні протягом кожної години роботи.

№ 707. Через поперечний переріз провідника в кожний момент часу t проходить заряд  (q вимірюється в кулонах, а t — у секундах). Знайдіть силу струму в момент часу  t = 10 с.           Викладач _________________ Козлова Г.В.

Додаток А

Веб-квест з теми «Похідна та її застосування»

Теоретики.

Мета: необхідно систематизувати теоретичні відомості про похідну

1. Знайти:

• означення понять, що використовуються при вивченні теми.

2. Підготувати:

• Тезаурус теми;
• Опорний конспект;
• Структурно-логічну схему системи понять.

      3) Оформити звіт у вигляді слайдів  презентації (електронний ресурс) і в паперовому вигляді опорний конспект.

Практики.

Мета: необхідно провести дослідження застосування теми до розв’язання прикладних задач різних галузей знань.

1. Знайти:

• Приклади фізичних, економічних, біологічних, екологічних задач, розвязок яких виконується за допомогою похідної.

2. Підготувати:

• Розв’язки задач з різних областей знань (див. [1]., с. 148);
• Цікаві приклади застосування похідної у повсякденному житті

      3) Оформити звіт у вигляді слайдів презентації з розв’язками задач.

Історики

Мета: необхідно вивчити історію виникнення похідної.

1. З’ясувати:

• Навіщо людям знадобилась похідна і хто її відкрив;

• Коли і як стала застосовуватись похідна;
• Хто з вчених застосував знак похідної «штрих», розробив таблицю похідних, хто застосовував геометричний та фізичний зміст похідної для своїх досліджень.

2. Підготувати:

• Хронологію виникнення понять границі функції, похідна, кутовий коефіцієнт дотичної, фізичний та економічний зміст похідної;

• Галерею вчених, які внесли свій вклад в розвиток вивчаємої теми;

      3) Оформити звіт у вигляді слайдів анімаційної презентації (електронний ресурс).

Аналітики

Мета: необхідно систематизувати та проаналізувати завдання, що були запропоновані на ЗНО з математики в попередні роки (2014-2019 роки).

1. Знайти:

• Завдання, що були розглянуті на ЗНО з математики з теми «Похідна та її застосування», використовуючи сайт zno.osvita.com.ua (основна та додаткова сесії);

2. Підготувати:

• Банк завдань ЗНО з математики з теми «Похідна та її застосування»,
• Пам’ятку «Зверніть увагу на …»;

• Розв’язок типових завдань з теми, що виносилися на ЗНО з математики;

      3) Оформити звіт у вигляді слайдів анімаційної презентації (електронний ресурс).

Додаток Б

Лист оцінювання

Прізвище студента ______________________________________

Додаток В

Прізвище студента:_________________________________________

Тема. Похідна та її застосування

Завдання. Заповніть картку з друкованою основою:

1. х – х₀ = ______ - _____________ аргументу

2. __у = f(x₀ + ___) – f(x₀) - ______________функції

3. Запишіть означення похідної у вигляді формули:________________________

4. Геометричний зміст похідної: похідна – це _____________________дотичної, проведеної в заданій точці x₀:______або ______________кута нахилу дотичної

5. Похідна – це __________________ швидкість – це __________________зміст похідної: ______= s(t), a (t) = _______= s(t)

6. Функція f(x) зростає на інтервалі (a; b), якщо _______________цього інтервалу ______________

7. Функція f(x) спадає на інтервалі (a; b), якщо _______________цього інтервалу ______________

8. Внутрішні точки області функції, у яких похідна дорівнює нулю, або не існує називають _________________ точками.

9. Функція f(x) є _____________на інтервалі (a; b), тоді і тільки тоді, коли

f (x) = 0 в усіх точках цього інтервалу.

10. Точки максимуму і мінімуму називають точками ___________________.

11. У точках ________________ похідна функції дорівнює нулю, або не існує.

12. Якщо функція f(x) неперервна в точці x₀ і похідна f (x) змінює знак при переході через точку x₀, то точка x₀ – точка __________________ функції f(x).

13. Якщо неперервна функція у = f(x) має похідну, яка в точці x₀ змінює знак з «+» на «– », то точка x₀ – точка __________________ функції f(x).

14. Якщо неперервна функція у = f(x) має похідну, яка в точці x₀ змінює знак з «– » на «+», то точка x₀ – точка __________________ функції f(x).

Додаток Г

Структурно-логічна схема вивчення похідної

Додаток Д

Розв’язання вправ самостійної роботи

Виконання самостійної роботи студентами (15 хвилин):

Відповіді:

1 варіант: 1а) А 1б) Д 2) Д 3) -0,75 4) ; х₁ = 0,5; х₂ =-0,5

2 варіант: 1а) В 1б) Г 2) Д 3) 41 4) ; k = 1.

Слайди презентації