Урок-практикум "Об'ми тіл обертання"

 

Урок геометрії в 11 класі

Тема: Об’єми тіл обертання.

Формування компетентностей:

•      Предметна компетентність: узагальнити та систематизувати знання учнів із теми «Об’єми тіл обертання»; удосконалити вміння розв’язувати задачі із цієї теми;
•      Ключові компетентності:

• Спілкування державною мовою – чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати думку, аргументувати, доводити правильність;
• Математична компетентність – усвідомлювати значення математики для повноцінного життя в сучасному суспільстві;
• Ініціативність і підприємливість – генерувати нові ідеї, вирішувати життєві проблеми
• Уміння вчитися упродовж життя – організовувати та планувати свою навчальну діяльність.

 

Тип уроку: застосування знань на практиці

 

Обладнання: презентація учителя, презентації учнів, моделі, задачі за готовими малюнками.

 

Епіграф:

Предмет математика настільки серйозний, що не варто

втрачати нагоди зробити його трохи цікавішим

Блез Паскаль

 

Етапи уроку

1.Організаційний етап

2.Мотивація навчальної діяльності

3.Актуалізація опорних знань

4.Застосування знань у практичній діяльності

5.Підсумок уроку. Рефлексія

6.Домашнє завдання

 

Хід уроку

І. Організаційний етап

Учитель оголошує тему і мету уроку.

Кроссенс «Об’єми тіл обертання»

1.Де використовують креслярське приладдя,  фігури на площині? (Геометрія)

2.Частини тіла людини: рука, голова, ноги (Тіло)

3.Для чого служать предмети шестерня, колесо? (Обертання)

4.З яким геометричним тілом асоціюються дані предмети? (Конус)

5. З яким геометричним тілом асоціюються дані предмети? (Циліндр)

6. З яким геометричним тілом асоціюються дані предмети? (Куля)

7.Що спільного у каністри та нафарбованих жіночих вій? (Об’єм)

8.Кубічні одиниці (Для вимірювання об’ємів)

Мета уроку

ІІ. Мотивація навчальної діяльності

Хотілося б розпочати урок східною мудрістю: «Ми самі, як дерево, i від нас залежить, що саме росте на цьому дереві: розкішні квіти, смачні плоди чи зав'яле листя».

Гадаю, що кожен з вас по закінченні уроку зможе визначити, що саме росте на його особистому дереві. Побажайте один одному успіху i квітів чи плодів на дереві. Намагайтеся для кожної справи знаходити позитивний початок, оскільки від того, з яким настроєм ви розпочинаєте її, залежать ваші успіхи. Тому я бажаю вам розпочати сьогоднішній урок з гарним настроєм, дізнатися для себе щось нове, отримати від уроку задоволення та гарні результати у вигляді оцінок.

Сьогодні в нас відбудеться бізнес-форум у вигляді презентації товарів «Тіла обертання». До нас завітали представники різних фірм, акціонерних товариств, які представлять нам свою продукцію. Вони хочуть переконати всіх присутніх, що саме їх товар – гарант вашого благополуччя. Фірми, безумовно, конкурують між собою, а тому підготовка до презентації велась таємно. Отже, під час представлення товару, представники інших фірм мають право задавати запитання конкурентам. Фірми конкурують в боротьбі за право отримання сертифікатів якості:

1.     краще представлення товару;
2.     краща практична задача;
3.     краще запитання до пояснення.

 

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Зараз ми перевіримо готовність фірм до презентації за допомогою вправи «Питання - відповідь»

 

Циліндр

1.Що являє собою розгортка бічної поверхні циліндра?(Прямокутник одна із сторін якого дорівнює висоті, а друга – довжині кола основи)

2.Що називають твірною циліндра? (Відрізок, що сполучає відповідні точки кіл основ)

3.Взаємне розміщення осі циліндра з твірними? (Паралельні)

4.Яку фігуру треба обертати і навколо чого щоб утворився циліндр?(Прямокутник, навколо однієї із сторін)

5.Яка фігура утворюється в осьовому перерізі циліндра якщо діаметр основи рівний висоті? (Квадрат)

 

 

 

Конус

1. Яку фігуру треба обертати і навколо чого щоб утворився конус? (Прямокутний трикутник, навколо одного із катетів)

2. Який конус називають рівностороннім? (Якщо осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник)

3.Яка фігура утворюється в осьовому перерізі зрізаного конуса? (Трапеція)

4.Якщо бічну поверхню конуса  розрізати по будь-якій твірній, то отримаємо його… (Розгортку)

5.Висота конуса – це …(Відрізок, що сполучає вершину з центром основи)

 

Куля

1.Яка фігура називається кулею? (Геометричне тіло утворене обертанням круга навколо осі, що містить його діаметр)

2.Яка січна площина має найбільшу площу? (Діаметральна - проходить через центр кулі)

3.Яким є взаємне розміщення дотичної до кулі площини і радіусом кулі проведеним в точку дотику? (Перпендикулярні)

4.Як називається відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр? (Діаметр)

5.Як називається частина кулі, яку відтинає від неї січна площина? (Кульовий сегмент)

 

Задачі за готовими малюнкам

Розв’язати задачі

Задача 1.

Осьовим перерізом циліндра є квадрат, периметр якого 24 см. Знайти об’єм циліндра.

Відповідь: 54π см³

 

Задача 2.

Радіус конуса дорівнює 6 см, а твірна 10 см. Знайти об’єм конуса.

Відповідь: 96π см³

 

Задача 3.

Площа великого круга кулі дорівнює 9π см². Знайти об’єм кулі

Відповідь: Відповідь: 36π см³

 

ІV. Застосування знань у практичній діяльності

Отже, фірми до презентації підготувалися добре. А тепер почнемо презентацію

Фірма «Циліндр»

І. Реклама товару фірми. Презентація учнів

 ІІ. Задачі

Задача від фермера. Бункер для зберігання зерна має циліндричну форму. Його висота дорівнює 8,4 м, а діаметр основи 4м. Скільки тон зерна вміщує бункер, якщо маса 1м³ зерна дорівнює 0,7 т?

Відповідь: 73,852т

Задача від штампувальника.  Ролик підшипника кочення має форму циліндра, висота якого 20 мм, а діаметр основи 10 мм. Знайти об’єм матеріалу, з якого виготовлено ролик?

Відповідь:1570 мм³

 

 

 

Акціонерне товариство «Конус»

 

І. Реклама товару товариства. Презентація учнів

ІІ. Задачі

Задача від будівельників. Купа щебню має форму конуса. Довжина кола основи якого 25,12 м, а його твірна – 5 м. Скільки автомобілів вантажопідйомністю 3 т потрібно для перевезення щебню якщо його об’ємна вага 1350 кг/м³?

Розв'язання:

.

Відповідь: 23 автомобілі

 

 

 Задача від споживачів.  У кафе відвідувачам пропонують обирати вафельні стаканчики для морозива, виготовлені у вигляді конуса. Настя вибрала стаканчик висота якого дорівнює 6 см, а діаметр основи – 8 см. Оля вибрала стаканчик, висота якого дорівнює 9 см, а діаметр основи – 6см. У кого з дівчат буде більше морозива ,якщо стаканчики наповнюють ущерть?

 

Відповідь: 100,48 см³

 

Фірма «Куля»

І. Реклама товару фірми. Презентація учнів

ІІ. Постачальники куль

Задача від будівельника. Вхід до Палацу дітей та юнацтва прикрашають дві кулі діаметром 0,8 м, які розміщено по обидва боки від сходів. Ці кулі виготовляють із природнього каменю, густина якого дорівнює 4,5*10³кг/м³. Чи можна обидві кулі виготовлені в майстерні доставити до місця будівництва на одній вантажівці, вантажопідйомність якої дорівнює 3т.

Відповідь: 2т 512 кг

 

Задача від інженерів. Якою має бути загальна маса космічного апарату, що має форму кулі радіуса 1 м, щоб він не тонув у воді?

Розв'язання:

;

.

Відповідь: .

 

V. Підведення підсумків уроку

Визначення присудження сертифікатів якості за кращу презентацію, кращу практичну задачу та краще запитання до пояснення задачі.

Отже, як ми побачили, застосування математики в усіх галузях науки, господарства і життя необмежене. Математика скрізь, вона – на кожному кроці.

Наше суспільство потребує як талановитих дослідників, так і спеціалістів, які добре знають математику та здатні застосувати свої знання на практиці.

Де ж практично використовуються знання про тіла обертання, обчислення їх об’ємів:

•      будівництво;
•      сільське господарство;
•      промисловість;
•      наука;
•      космонавтика.

Як результат презентації є нові адреси, нові пропозиції, які отримують наші фірми для розширення сфери своєї діяльності. Домашнє завдання, яке надійшло по факсу, отримує кожна група.

 

 

Задача-жарт.

1.Чому ковбасу нарізають косо, а не прямо?

Відповідь: крім естетичних міркувань, мабуть, в основному тому, що так ковбасу можна нарізати швидше.

 

2.Щоб ви вибрали: з’їсти кавун радіуса 10 см у трьох чи кавун радіуса 20 см у вісьмох?

 

VI. Домашнє завдання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В центрі дошки вчитель пише слова «Тіла обертання» і пропонує учням згадати слово чи словосполучення, які асоціюються з цими словами.

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Історичні відомості

Конус

        Початкові відомості про властивості геометричних тіл, зокрема, тіл обертання люди  здобули, спостерігаючи навколишній світ і в результаті  власної практичної діяльності.

До Фалеса в світі геометрією майже ніхто не займався. У геометричних фігур не було назв. Тому люди почали вигадувати їм свої назви.

       Ялинкова шишка з грецької означає слово «конос», тому тіла такої форми отримали назву конус. Перші згадки про конус, як геометричне тіло прийшли до нас від греків. За період з VII по III століття до нашої ери грецькі геометри збагатили геометрію численними новими теоремами, зробили серйозні кроки до суворого її обґрунтування.

          Багатовікова робота грецьких вчених  була підсумована Евклідом (325 до н. е.—  265 до н. е.) в його знаменитій праці «Начала». В XI книзі дається таке визначення конусу: якщо прямокутний трикутник обертається близько одного зі своїх катетів зліва і повернеться в той же самий стан, з якого він почав рухатися, то описана фігура буде конусом.

   Евклід розглядає тільки прямі конуси, тобто такі, у яких вісь перпендикулярна до основи, лише Аполлоній(262 до н. е. —  190 до н. е.) розрізняє прямі і косі конуси, у яких вісь утворює з основою кут, відмінний від прямого.

   У XII книзі «Начала» Евкліда  містяться наступні теореми.

•  Об'єм конуса дорівнює однієї третини об'єма циліндра з рівною основою і рівною висотою; доведення цієї теореми належить Евдоксу Кнідському (408 до н. е. —  355 до н. е.) .
• Відношення об'ємів двох конусів з рівними основами дорівнює  відношенню відповідних висот.
• Якщо два конуса рівновеликі, то площі їх основ обернено пропорційні відповідним висотам і навпаки.

   Безпосереднє обчислення об'єму конуса дає Герон Олександрійський         (I століття н. е.).

 

Куля

       Слова «куля» і «сфера» походять від одного і того ж грецького слова «сфайра» - м'яч.

      У давнину сфера була у великій пошані. Астрономічні спостереження над небесним склепінням  неодмінно викликали образ сфери. Піфагорійці вчили про існування десяти сфер Всесвіту, за якими нібито рухаються небесні тіла. Вони стверджували, що відстані цих тіл один від одного пропорційні інтервалам музичної гами. У цьому вбачали елементи світової гармонії. У подібних напівмістичних міркуваннях полягала піфагорова «музика сфер».

      Аристотель (384до н. е.-322 до н. е.) вважав, що кульова форма, як найбільш досконала, характерна для Місяця, Сонця, Землі і всім світовим тілам.

    У ХI книзі «Начал» Евклід ( 325 до н.е.- 265  до н. е.) визначає кулю як фігуру, яка утворюється при обертанні півкруга навколо його нерухомого діаметра. Він довів тільки теорему про те, що об'єми двох куль відносяться як куби їх радіусів, але не виводить формули і не дає ніякого правила, якого напевно, і не знав для обчислення площі поверхні сфери та об'єму кулі.

Виведення формул об'єму кулі і площі поверхні сфери - одне з найбільших відкриттів Архімеда (287 до н. е.- 212  до н. е.).

   У його творі «Про кулі і циліндри» є  теореми  про площу поверхні сфери та об’єм кулі:

• Площа поверхні сфери дорівнює  збільшеної  учетверо площі її великого круга.
•  Об'єм кулі дорівнює збільшеному в чотири рази об'єму конуса, основою якого служить великий круг, а висотою - радіус кулі.

 

Циліндр

  Слово циліндр походить від грецького слова, що означає «вал», «каток». З циліндром люди знайомі з глибокої давнини.

        Циліндр з вписаною кулею – символ одного з прекрасніших відкриттів Архімеда – був зображений на його надгробному камені в Сіракузах.

        В 1906 році була виявлена книга Архімеда (287-212 рр. до н. е. ) «Про метод», у ній розглядається розв'язання задачі про об'єм  спільної частини циліндрів, які перетинаються. Архімед приписує частину відкриття цього принципу – Демокріту (470-380 р. до н. е. ) – давньогрецькому філософу - матеріалісту. Саме Демокріт одержав формулу для обчислення об'єму піраміди і конуса.

   Багато зробила для геометрії школа Платона. Платон (428-348 рр. до н. е.) був учнем Сократа (470-399 рр. до н. е.). Цій школі належить:

• дослідження властивостей призми, піраміди, циліндра та конуса;
• вивчення конічних перерізів.

       Великий трактат про конічні перерізи був написаний Аполлонієм Пергським (262-190 рр. до н. е.) – учнем Евкліда (III ст. до н. е..). Це його вважають автором  великої  праці з 15 книг під назвою «Начала». Ці книги видаються і до цього часу, а в школах Англії за ними навчаються досі.

 

      Циліндри Фараона - таємниця тисячоліть.

      У деяких статуй, залишених нам давньоєгипетською культурою, ми можемо побачити затиснуті в руках предмети циліндричної форми, наприклад, в скульптурній групі, що зображає фараона Менкаура в оточенні богині Хатор і богині Ному.

         Десь на початку 1976 року, дослідники В. Ковтун та Р. Добровольський, на території Закавказзя виявили дуже стародавній рукопис під назвою «Таємниці Життя і Смерті». У ньому мова йде про Сонячні і Місячні циліндри, виготовлені з міді та цинку, а також з особливого внутрішнього наповнення. Згідно з твердженнями невідомого автора, ці загадкові для нашого розуму циліндри, колись використовувалися великими жерцями і фараонами Стародавнього Єгипту для спілкування з богами і зміцнення життєвих сил.

       Завдяки одному старовинному рецепту, який дійшов у рукописах до наших часів, Циліндри Фараона були відтворені, а потім вивчалися відомим фізиком Володимиром Ковтуном. В дослідженнях брали участь провідні єгиптологи, медики, парапсихологи і екстрасенси.

         Отримані результати дослідження дуже вразили вчених. З’ясувалося, що Циліндри Фараона володіють дивовижними властивостями, які можуть впливати на організм людини. Багато сучасних медиків вважають, що Циліндри Фараона – це унікальний, фізіотерапевтичний прилад, створений якимось генієм Стародавнього Єгипту. Вони здатні захищати від впливу випромінювань різних електронних пристроїв – мікрохвильових печей, телевізорів, персональних комп’ютерів і т.д. Це вже неодноразово було доведено дослідженнями та експериментами.