Урок "Розв'язування задач за допомогою лінійних рівнянь"

Урок №8.

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. РІВНЯННЯ ЯК МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЗАДАЧІ

Мета: розкрити технологію розв’язування текстових задач на знаходження невідомих доданків за сумою з допомогою рівнянь як математичної моделі.

Тип уроку: систематизація знань, застосування вмінь.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Виконуємо, зібравши зошити й оцінивши письмові роботи учнів.

ІІ. Робота з випереджальним домашнім завданням.

Взагалі, про використання рівнянь для розв’язування задач говорилося раніше.(У 5 класі цьому було присвячено серію завдань, а потім у 6 класі в темі «Рівняння» та в інших темах розв’язування задач за допомогою рівнянь уже обговорювалося.)

Тому в роботі з випереджальним домашнім завданням слід акцентувати учнів на тому, що:

1) цю задачу можна було б розв’язати і за діями, але простіше скласти рівняння (більш зрозумілим буде розв’язання);

2) розв’язання задачі починається з того, що з’ясовують, які числа невідомі, і вибирають, яке з них (зазвичай це найменше з невідомих) позначити буквою (цьому етапу в поясненнях відповідає перше речення: «Нехай ...»);

3) після вибору й позначення невідомого використовують умову задачі (співвідношення між невідомими та відомими величинами), щоб скласти рівняння (цьому етапу в поясненні до розв’язування задачі відповідає текст, що починається зі слів: «Тоді...» і закінчується «...маємо рівняння»);

4) розв’язування рівняння є лише одним з кількох етапів розв’язування задачі (і на цьому також слід акцентувати учнів), причому розв’язанням рівняння не закінчується розв’язання задачі;

5) останньою частиною розв’язання задачі за допомогою рівняння є пояснення (інтерпретація) знайдених у ході розв’язування рівняння чисел (частина тексту, що починається зі слів: «Отже,...»).

Наведені міркування можуть стати результатом, або призведуть до того, що учні, виконавши певні дії з текстом, що дається їм для домашньої роботи, здобудуть такий результат:

У двох цистернах зберігається 66 т бензину, причому в першій бензину в 1,2 раза більше, ніж у другій. Скільки бензину в кожній цистерні?

Розв’язання

ІІІ. Систематизація знань

Після розбору випереджального домашнього завдання в основному робота з систематизації знань виконана. (План розв’язування задач за допомогою рівнянь, що склали в ході роботи з випереджальним домашнім завданням, учні записують у зошити). Але є ще два моменти, на які треба обов’язково звернути увагу:

1) рівняння є лише математичною моделлю задачі, тобто показує співвідношення між числовими значеннями величин, про які йдеться в задачі;

2) останній етап у ході розв’язування задач — інтерпретація знайдених коренів рівняння відповідно до умови задачі — є необхідним, бо можливий варіант, коли корінь рівняння, складеного за умовою задачі, не відповідає змісту задачі (див. нижче № 6).

IV. Застосування вмінь

Виконання усних вправ

Запишіть рівняння, що відповідає умові задачі:

1) сума двох чисел дорівнює 50, одне число , а друге — у 4 рази менше;

2) сума двох чисел дорівнює 50, одне на 30 менше від іншого;

3) сума двох чисел дорівнює 50, одне становить 40 % від іншого;

4) сума двох чисел дорівнює 50, одне з них становить іншого;

5) сума трьох чисел дорівнює 50, одне з них на 10 більше від другого, а третє в 2 рази більше за друге.

Виконання письмових вправ

1. Бригада робітників за два тижні виготовила 356 деталей, причому за другий тиждень було виготовлено в 3 рази більше деталей, ніж за перший. Скільки деталей було виготовлено за перший тиждень?

Перед розв’язуванням задачі важливо, щоб учні здійснили порівняння умови даної задачі із задачею, розібраною в попередньому пункті і, здійснивши порівняння, з’ясували, які спільні і відмінні риси мають умови задач, і звідси вийшли на спосіб розв’язування задачі (за планом, складеним під час розбору випереджального домашнього завдання).

2. Дріт довжиною 456 м розрізали на 3 частини, причому перша частина в 4 рази більша від третьої, а друга — на 114 м довша за третю. Знайдіть довжину кожної частини.

Так само, як і перед розв’язуванням задачі № 1, порівняємо умову № 2 з № 1 і з’ясуємо, чим відрізняється умова № 2 від № 1 (кількість невідомих величин більша на одиницю) і чим схожі ці задачі (як і в № 1, відома сума всіх невідомих величин). Після цього за планом розв’язуємо задачу.

3. Одна сторона трикутника в 3 рази менша від другої і на 2,3 дм менша від третьої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 10,8 дм.

4. За 3 ручки і 5 олівців заплатили 3 грн 16 к. Скільки коштує одна ручка й один олівець, якщо олівець дешевший від ручки на 98 к?

5. За три дні турист пройшов 128 км, причому другого дня він подолав відстані, яку пройшов за перший день, а третього — 40 % того, що за перший. Скільки кілометрів проходив турист щодня?

Порівнюючи, звернути увагу на те, що в цій задачі дві невідомі величини виражаються як частина від третьої, і тому на відміну від розв’язування попередніх задач, за буде простіше позначити саме ту невідому величину, через яку виражаються дві інші.

6. Чи можна розставити 158 книжок на трьох полицях так, щоб на першій полиці було на 8 книжок менше, ніж на другій і на 5 книжок більше, ніж на третій?

Принципово нова задача. По-перше, формулювання питання (оскільки учні не знайомі зі схемою доведення «від супротивного»), по-друге, тому що в цій задачі учні вперше зустрічаються з випадком, коли корінь рівняння не задовольняє умову задачі. Тому цю задачу треба ретельно обговорити й пояснити учням, що зміст питання «Чи може виконуватись якесь твердження?» в математиці з’ясовується так: «Припустимо, що може, і подивимось, чи буде це відповідати дійсності».

Щоб встигнути розібрати таку велику кількість задач, можна організувати роботу учнів таким чином: оскільки основна мета — формування вмінь формалізувати умову задачі та складати рівняння як математичну модель задачі, то для № 1–5 можна скласти рівняння, а розв’язування рівнянь залишити для домашньої роботи.

V. Підсумки уроку

Один з варіантів — запропонувати учням узагальнити тип задач, що були розв’язані на уроці (знаходження доданків за відомою сумою).

VI. Домашнє завдання

№ 1. Розв’яжіть рівняння до задач № 1–5 (класна робота).

№ 2. У магазин завезли 425 кг картоплі, яку було продано за два дні, причому за перший день було продано в 4 рази більше картоплі, ніж за другий. Скільки картоплі було продано за третій день?

№ 3. Три 7-мі класи посадили разом 56 дерев. 7-Б клас посадив числа дерев, що посадив 7-А клас, а 7-В — 120 % того, що посадив 7-А клас. Скільки дерев посадив кожний клас?

№ 4. Чи можна 59 банок консервів розкласти в три ящики так, щоб у третьому було на 9 банок більше, ніж у першому, а в другому — на 4 банки менше, ніж у третьому?