Урок "Вирази зі змінними. Тотожності"

Урок №17.

ВИРАЗИ ЗІ ЗМІННИМИ. ТОТОЖНОСТІ

Мета: домогтися свідомого розуміння суті поняття «тотожність» і способів доведення тотожності шляхом тотожних перетворень та оволодіння прийомами доведення тотожностей, використання цих прийомів для розв’язування вправ на доведення тотожностей різного рівня складності.

Тип уроку: засвоєння навичок.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Вправи № 1–2 або перевіряємо усно, або учні заповнюють листки відповідей:

ІІ. Робота з випереджальним домашнім завданням

На дошці записано: 1) ; .

• Які вирази дістали після виконання тотожних перетворень?

• Чи є вирази «однаковими»? Чим відрізняються?

• Що маємо спільного?

• Який би знак ви поставили між виразами?

• Які висновки можна зробити?

Залежно від того, як було здійснено порівняння, учні можуть сформулювати різні висновки, але, напевно, серед них будуть і такі (дуже важливо, щоб вони прозвучали й на них звернули увагу):

1. Тотожно рівні вирази не завжди є однаковими (тотожність не є «однаковість» або не тільки «однаковість»,— це більш широке поняття).

2. Спосіб утворення тотожностей такий: між двома тотожно рівними виразами ставимо знак «=».

3. Щоб перевірити, чи є два вирази тотожно рівними, достатньо тотожно перетворити кожний з них і порівняти здобуті вирази. Якщо вони однакові або, напевно, рівні (виходячи з відомих тотожностей: властивостей дій над числами), то й дані два вирази є тотожно рівними, тобто рівність, що складається з цих двох виразів, є тотожністю.

ІІІ. Усвідомлення матеріалу, алгоритмізація способів дій

Вступна бесіда. Знайомство учнів зі змістом поняття «доведення» та алгоритмом доведення (додаток).

Після цієї бесіди учні працюють з алгоритмом (алгоритми роздаються учням).

Завдання 1. Доведіть тотожність .

Важливо спонукати учнів до самостійної діяльності, тому, пояснивши кожний крок алгоритму, вчитель пропонує учням самостійно виконати доведення. Після виконання цієї роботи — обов’язкова корекція, тому для більш швидкого виконання корекції бажано, щоб учні записували свої дії поетапно (як про це сказано в алгоритмі):

Після обговорення результатів і корекції виконаних завдань, переходимо до наступного етапу уроку.

IV. Застосування знань, вмінь та навичок

Не забуваємо про порівняння завдань і класифікацію, яка допомагає визначитися з тим, як може змінитися спосіб застосування одного й того самого алгоритму (в одних тотожностях треба перетворювати обидві частини, в інших одну перетворити до виду іншої частини тотожності). Звертаємо увагу й на вправи високого рівня складності, що передбачають спочатку складання тотожності за умовою завдання, а вже після цього — доведення цієї тотожності.

Виконання письмових вправ

1. Доведіть тотожність:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Доведіть тотожність:

1) ; 2) .

3. Нехай і — деякі натуральні числа. Доведіть, що:

а) різниця чисел і ділиться на 4;

б) сума чисел і ділиться на 4.

Розв’язуванню вправ № 3, 4 повинні передувати вправи, що актуалізують знання учнів щодо змісту поняття подільності чисел (наприклад, ціле число ділиться на ціле , якщо існує ціле число таке, що . Тоді якщо число ділиться на 4, то це означає, що , де — ціле число). Тоді п. 1 з алгоритму доведення реалізуємо так:

3. Доведіть, що , де — ціле число і т. д.

4. Пригадайте, що означає та у запису .

Як ви будете розуміти запис ? ?

1) Доведіть, що сума ділиться на 11;

2) Доведіть, що різниця числа і сума його цифр ділиться на 9.

№ 5*. (Додатково, на повторення) Знайдіть значення виразу

.

V. Підсумок уроку. Рефлексія

Серед списку математичних термінів виберіть ті, що стосуються теми уроку: числовий вираз; корінь рівняння; тотожність; тотожно рівні; вираз зі змінними; рівносильні; числове значення виразу; доведення; перетворення; цілий вираз.

VI. Домашнє завдання

№ 1. Повторити вивчені алгоритми розв’язування завдань:

1) Обчислити значення числового виразу.

2) Обчислити значення буквеного виразу (виразу зі змінними).

3) Як знайти значення змінних, при яких вираз зі змінними має зміст.

4) Виконати тотожні перетворення виразів.

5) Довести тотожність.

№ 2. Використовуючи текст підручника, підібрати й розв’язати завдання (або скласти самим) на застосування названих алгоритмів.

Додаток

Алгоритм доведення

1. Встанови й сформулюй проблему (твердження), яку треба довести.

2. Дай означення поняттям, за допомогою яких буде здійснюватись доведення.

3. Добери ґрунтовні аргументи.

4. Визнач спосіб і логіку доведення.

5. Зроби висновок.

Аргументи (підстави) — судження, істинність яких перевірена й доведена (практикою). Головною характеристикою є істинність, тобто відповідність дійсності.