Урок «Системы линейных уравнений с двумя переменными. Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменн

Запорожская еврейская гимназия «ОРТ-Алеф»

Запорожского городского совета Запорожской области

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе на тему:

«Системы линейных уравнений с двумя переменными.                                                          Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными       с применением онлайн калькулятора Desmos»

 

 

 

 

 

Автор разработки: Барташева Татьяна Александровна,

  учитель математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

Введение..……………………………………………………………………………………..3

Основная часть

Конспект урока..……………………………………………………………..........................5

Основные этапы урока……………………………………………………………...…........9

Список использованной литературы и электронных источников………………..…16

Приложения

Карточка с заданиями…………………...…………………….…………….…………......17

Презентация к уроку и фотоотчет …………………………………………………….…18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Математика традиционно считается одним из наиболее сложных предметов в учебной программе средней школы. Активное внедрение современных технологий в нашу повседневную жизнь требует и от преподавателей новых подходов к процессу обучения. Так для учителя математики крайне важен незамедлительный переход от традиционных методов обучения (с мелом, доской, ручкой и школьной тетрадкой «в клетку») к обучению в системе STEM-образования. Обеспечение мультидисциплинарности, деятельностного подхода к процессу обучения, инновационных форм его организации, как в урочной, так и во внеурочной деятельности, самоанализ и самооценка достигнутых результатов, стимулирующие творческую и познавательную активность учащихся – вот основные задачи современного учителя на пути к формированию модели выпускника в соответствии с Концепцией новой украинской школы.

STEM-образование (Science, Technic, Engineering, Mathematics) объединяет науку, технику, конструирование (проектирование) и математику. Сегодня представлено бесчисленное множество продуктов, реализующих данное направление. Я начала с самого простого: апробации на уроках математики онлайн сервиса Desmos, который позволяет строить графики функций по их формулам. Первое знакомство с данным сервисом у семиклассников состоялось на уроках информатики и технологий. Приобретенные ребятами знания и навыки работы в этой среде оказались очень полезным при изучении темы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными» в курсе алгебры 7 класса. С помощью онлайн калькулятора Desmos дети имели возможность быстро и просто построить графики линейных уравнений, входящих в систему уравнений с двумя переменными, а затем с минимальными затратами времени проверить правильность полученных результатов и проанализировать их. Этот графический калькулятор мы использовали не только в учебной деятельности, но и в дополнительном образовании детей вне урока, так как в Desmos с помощью графиков функций можно рисовать, создавать анимированные картинки, обеспечивать динамическую наглядность изображений. Таким образом мы прикоснулись к так называемой арт-математике, входящей в систему STEАM-образования (Science, Technic, Engineering, Аrt, Mathematics), что делает серьезную науку математику более доступной, наглядной, яркой и интересной. 

Для мониторинга эффективности выбранной технологии была взята тема, которая считается одной из самых сложных в курсе алгебры 7 класса. С целью более эффективного обучения семиклассников этой теме были разработаны практические задания, состоящие из систем линейных уравнений трех различных типов: систем, имеющих единственное решение; систем, не имеющих решений и систем линейных уравнений, имеющих бесконечно много решений. Главная цель урока состояла в том, чтобы в результате графического решения в среде Desmos двадцати систем линейных уравнений разного типа, ученики на основании приобретенного практического опыта самостоятельно пришли к новым знаниям: сформулировали словесно и составили математическую модель, демонстрирующую то, от чего зависит количество решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Концепция новой украинской школы предусматривает наряду с достижением предметных результатов также и достижения в процессе обучения личностных результатов. Самостоятельная работа каждого ученика за персональным компьютером побуждает детей к совершению «маленького научного открытия», так как предусматривает получение ответа на проблемный вопрос посредством проведения своеобразного научного эксперимента с помощью предоставленной учителем инструкции. Учитель в данной ситуации выступает в качестве тьютера, сопровождающего самообучение детей в ходе практической работы. Финалом такого урока является оценка обучающимися собственных достижений в изучении новой темы в целом и в разрешении проблемного вопроса в частности, а также сравнение своих личных результатов с достижениями одноклассников. На этапе рефлексии ученики сообщают о том, какую цель при выполнении данной практической работы они перед собой ставили, и была ли она достигнута в результате эксперимента.

Развитие непосредственно STEM-технологии в данном уроке прослеживается по принципу «от практики к научным выводам». Практическая работа с разными типами систем уравнений, которая выполняется самими участниками образовательной деятельности, мотивирует учеников найти ответ на проблемный вопрос: от чего зависит количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Данный урок не только интегрирует такие школьные предметы как математика, информатика и технологии, но и является своего рода пропедевтикой в последующем изучении физики, химии, биологии, способствует развитию логического мышления, при этом вносит элементы арт-математики в организацию урочной деятельности.

Каковы же результаты использования Desmos на данном уроке алгебры? Во-первых, налицо максимальное включение в практическую работу даже тех учеников, которые обычно не проявляют высокой активности на уроках, что говорит о повышении их мотивации к обучению. Во-вторых, и, наверное, в-главных, - повышение качества знаний по изученной теме. После проведения проверочных работ в классе (в традиционных условиях) качество знаний обычно составляет около 70% , а  результаты проверочной работы после самостоятельного изучения данной темы с помощью Desmos показали, что качество знаний составило почти 85%, что говорит о повышении уровня знаний по сравнению со средним показателем.

После проведения практической работы в компьютерном классе на вопрос: «Понравилось ли Вам получать знания в таком формате?» более чем 90 % учеников ответили утвердительно. А это значит, что применение STEM-технологии при обучении математике оправдывает себя и должно развиваться дальше. Современные технологии в образовании требуют проведения уроков в игровой, интерактивной форме, поскольку это способствует повышению мотивации к обучению и повышению качества образования учащихся.

Конспект урока алгебры в 7 классе на тему

 «Системы линейных уравнений с двумя переменными.                                                          Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными       с применением графического онлайн калькулятора Desmos»

 

Тип урока: урок формирования новых знаний с использованием учебной презентации и выполнения практической работы в онлайн среде Desmos по графическому решению систем линейных уравнений с двумя переменными.  

Форма проведения урока: урок-исследование.

Цель урока:

• формирование знаний, умений и навыков решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом, в том числе в онлайн среде Desmos;
• формирование у учащихся функционального навыка исследования как универсального способа получения новых, прочных знаний;
• развитие способностей к исследовательскому типу мышления;
• создание условий для достижения учащимися личных образовательных  результатов по новой теме; формирование личностной роли учащегося в образовательном процессе; умения объективно оценивать свою деятельность и деятельность одноклассников;
• развитие творческих способностей.

Задачи урока 

образовательные:

• научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом, в том числе в онлайн среде Desmos;
• рассмотреть возможные случаи решения систем линейных уравнений (система имеет единственное решение; система не имеет решений; система имеет бесконечно много решений);
• продолжить формирование грамотной математической речи, графических навыков.

развивающие:

• развивать исследовательские способности учащихся; умение делать теоретические выводы на основании полученных практических результатов;
• развивать логическое мышление;
• развивать творческие способности учащихся.

воспитательные:

• формировать способность применять полученные знания, умения и навыки при решении практических, жизненных задач;
• воспитывать персональную ответственность за качество выполненной самостоятельной работы;
• воспитывать объективность в оценивании своей деятельности;
• воспитывать внимание, настойчивость, аккуратность, культуру общения;
• способствовать развитию здоровье сберегающей компетентности учащихся.

Структура урока:

1.Организационный момент.

2.Подготовка учащихся к получению новых знаний. Актуализация. Мотивация.

3.Изучение нового материала. Усвоение новых знаний.

4.Закрепление теоретических знаний нового материала.

5.Физкультминутка.

6.Создание проблемной ситуации.

7.Практическая работа в графической среде Desmos.

8.Обсуждение полученных ответов на проблемный вопрос. Выводы.

9. Домашнее задание. 10. Подведение итогов урока. Самооценка. Оценка деятельности учащихся.11.Рефлексия деятельности ученика на уроке.

Оборудование: персональные компьютеры, проектор, экран, чертежные инструменты, карточки с заданиями.

Ход урока.

1.Организационный момент.

 Учитель приветствует учащихся. Проверяет их готовность к уроку. Объявляет тему и цель урока. Ученики записывают тему урока в тетрадь. (Слайд №1).

2.Подготовка учащихся к получению новых знаний. Актуализация. Мотивация.

Учитель. Ребята! На предыдущих уроках при решении прикладных задач мы с вами научились составлять математические модели в виде линейного уравнения с одной переменной. Но ко всем ли ситуациям достаточно составления математической модели в виде уравнения с одной переменной? Оказывается, что нет: мы с вами ограничивались только первым этапом математического моделирования. А сегодня мы пойдем дальше.  Рассмотрим задачу о вашем классе. Учитель предлагает прочитать текст задачи и по её условию составить математическую модель, используя предложенную подсказку. (Слайд №2).

3.Изучение нового материала. Усвоение новых знаний и способов деятельности.

 Учитель вводит определение системы линейных уравнений с двумя переменными; показывает форму записи системы с помощью фигурной скобки; акцентирует внимание учащихся на смысловом значении каждого символа, входящего в систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде. Ученики делают необходимые записи в тетради. (Слайд №3).

 Учитель знакомит учащихся с основными способами решения системы линейных уравнений, делая акцент на первом, графическом способе, который и будет рассматриваться на данном уроке. (Слайд №4).

 Учитель дает краткую историческую справку о том, как возник графический метод решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными и называет имена известных французских математиков, внесших свой вклад в разработку алгоритма. (Слайд №5).

 Учитель знакомит учащихся с алгоритмом решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом. (Слайд №6). Пример решения системы уравнений с применением данного алгоритма пошагово обсуждается и записывается учениками в тетрадь. (Слайд №7). Далее фронтально обсуждается вопрос о возможных случаях  взаимного  расположения  двух  прямых – графиков  уравнений, входящих в систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. (Слайд №8).

 

4.Закрепление теоретических знаний нового материала.

1).Выполнение упражнения на выбор из трех предложенных систем уравнений той, которая соответствует данному рисунку. (Слайд №9).

2).Выполнение упражнения на закрепление теоретических знаний (закончить предложение, чтобы утверждение было верным). (Слайд №10).

3).Выполнение самостоятельной работы в тетради: показать, что система уравнений      

6х - 12у = 4

9х - 18у = 6

имеет бесконечно много решений. Сформулировать, что это означает геометрически. (Слайд №11). Учитель предлагает сверить полученные результаты с ответами на экране. (Слайд №12).

5.Физкультминутка. (Слайд №13).

6.Создание проблемной ситуации.

Учитель. Ребята! А сейчас я прошу вас определить взаимное  расположение прямых 2х – у = 4  и  3х – у = 6 на координатной плоскости: а) пересекаются; б) совпадают; в) параллельны. (Слайд №14; задание 1). Затрудняясь сразу ответить на поставленный вопрос, ребята предлагают построить графики этих уравнений. С целью получить более наглядное решение с минимальной затратой времени учитель предлагает выполнить построение не в рабочей тетради, а в онлайн графической среде Desmos. После введения в соответствующие поля числовых значений, входящих в уравнения, ребята получают на экране монитора две пересекающиеся прямые и приходят к выводу о том, что если данные уравнения объединить в  систему, то такая система линейных уравнений будет иметь единственное решение.

7.Практическая работа в графической среде Desmos.

Учитель озвучивает проблемный вопрос: от чего же зависит количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными? Для поиска ответа ученикам предлагается выполнить практическую работу в графической среде Desmos. (Слайды №15; 16).

8.Обсуждение полученных ответов на проблемный вопрос. Выводы.

Решив в течение 5-7 минут 20 систем линейных уравнений разного типа и проанализировав полученные результаты, ребята находят ответ на проблемный вопрос и выдвигают гипотезу о том, что решение системы линейных уравнений с двумя переменными напрямую зависит от значений числовых коэффициентов, стоящих перед переменными х и у, и значений свободных членов. Проверка гипотезы осуществляется путем решения упражнений 1 (аналитически) и 2 (аналитически и графически) на слайде №14 и получает своё подтверждение. Выводы учащихся обобщаются, систематизируются и выводятся на экран (Слайд №17) с последующей записью в рабочих тетрадях.

9. Домашнее задание.

Учитель задает домашнее задание (Слайд №18) и раздает распечатанный образец его оформления. (Слайд №7).

10.Подведение итогов урока. Самооценка. Оценка деятельности учащихся. Рефлексия учебной деятельности ученика на уроке.

 Учитель. Что нового вы узнали на уроке? Достигли ли мы цели урока? Достиг ли каждый из вас поставленной в начале урока перед собой цели?

           Затем учитель подводит итог урока, касающийся личного участия каждого ученика в открытии нового для него знания. Выставляет оценки (по желанию ребят).

Учитель проводит рефлексию учебной деятельности ученика на уроке по принципу незаконченного предложения. (Слайд №19).

Основные этапы урока
	Деятельность учителя	Деятельность ученика
	Объявляет тему и цель урока.	Записывает тему урока в тетрадь.
	Предлагает прочитать текст задачи и по её условию составить математическую модель, используя предложенную подсказку.	Вводит переменную х для обозначения количества девочек в классе, переменную у для обозначения количества мальчиков в классе и по условию задачи составляет её математическую модель.
	Вводит определение системы линейных уравнений с двумя переменными; показывает форму записи системы с помощью фигурной скобки; акцентирует внимание учащихся на смысловом значении каждого символа, входящего в систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде.	Записывает в тетрадь систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде, под которой поясняет, что а1,b1,c1, а2,b2,c2 – заданные числа, а х и у - переменные.
	Знакомит учащихся с основными способами решения системы линейных уравнений, делая акцент на первом, графическом способе, который и будет рассматриваться на данном уроке.	Записывает в тетрадь способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
	Дает краткую историческую справку о том, как возник графический метод решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными и называет имена известных французских математиков, внесших свой вклад в разработку алгоритма.	Воспринимает информацию зрительно и на слух.
	Знакомит учащихся с алгоритмом решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.	Воспринимает информацию зрительно и на слух.
	Демонстрирует с пошаговым обсуждением пример решения системы линейных уравнений с двумя переменными с применением изученного алгоритма.	Участвует в обсуждении алгоритма  и записывает в тетрадь пример решения системы линейных уравнений с двумя переменными.
	Обсуждает с учениками и демонстрирует возможные случаи  взаимного  расположения  двух  прямых – графиков  уравнений, входящих в систему двух линейных уравнений с двумя переменными.	Участвует в обсуждении. Воспринимает информацию зрительно и на слух.
	Проводит закрепление теоретических знаний нового материала: демонстрирует и озвучивает задание №1 (1; 2).	Выполняет задание №1 (1; 2) устно; озвучивает и поясняет полученный результат.
	Проводит закрепление теоретических знаний нового материала: демонстрирует и озвучивает задание №2 (А; Б; В; Г).	Выполняет задание №2 (А; Б; В; Г) устно; озвучивает и поясняет полученный результат.
	Проводит закрепление теоретических знаний нового материала: демонстрирует и озвучивает задание №3.	Выполняет самостоятельную работу в тетради (письменно).
	Предлагает сверить полученные результаты с ответами на экране. Анализирует качество выполненной работы путем фронтального опроса.	Самопроверка и самоанализ выполненной работы.
	Объявляет физкультминутку (ссылка: https://www.youtube.com/watch?v=SAWr-KZhD0E).	Выполняет физические упражнения и упражнения для глаз.
	Создаёт проблемную ситуацию, предлагая устно выполнить задание №4 (1). После наступившей паузы предлагает выполнить построение графиков уравнений в онлайн среде Desmos.	Вводит в соответствующие поля числовые значения, входящие в уравнения, и получают на экране монитора две пересекающиеся прямые. Приходит к выводу: если данные уравнения объединить в  систему, то такая система линейных уравнений будет иметь единственное решение.
	Озвучивает проблемный вопрос и предлагает для быстрого поиска ответа продолжить работу в среде онлайн графического калькулятора Desmos.	Получает карточку с заданием: решить системы двух линейных уравнений с двумя переменными в среде онлайн графического калькулятора Desmos.
	Контролирует соблюдение учениками правил техники безопасности при работе за персональным компьютером.	Выполняет практическую работу. Пытается найти ответ на проблемный вопрос.
	Обобщает, систематизирует и выводит на экран выводы, озвученные учениками.	Выполняет схематические рисунки и записывает выводы в тетрадь. Осуществляет проверку правильности выводов на примере решения упражнений 1 (аналитически) и 2 (аналитически и графически) на слайде №14.
	Задает домашнее задание. Раздает распечатанный образец его оформления.	Записывает домашнее задание в дневник. Получает распечатанный образец его оформления.
	Подводит итоги урока. Оценивает деятельность учащихся. Проводит рефлексию.	Отвечает на вопросы учителя. Проводит самооценку личных достижений и рефлексию своей учебной деятельности на уроке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы и электронных источников:

 

1. «Алгебра» : учебник для 7 класса общеобразовательных учебных заведений / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. – Х.: Гимназия, 2016. –  256 с.

 

2. Тетрадь для контроля учебных достижений по алгебре. 7 класс. Самостоятельные и контрольные работы / В.Кравчук, М.Подручная. – Тернополь : Учебники и пособия, 2015. – 64 с.

 

3.  https://www.desmos.com/calculator

 

4. https://habrahabr.ru/post/295838/

 

5. https://www.youtube.com/watch?v=SAWr-KZhD0E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения

 

Карточка с заданиями

 

Презентация к уроку и фотоотчет

https://drive.google.com/open?id=10vblqK2lFcUxSKytgv3bHZ4EpUwc7p1T