Урок "Способи інтегрування"

     

План відкритого заняття з математики «Способи інтегрування: заміною змінної, інтегрування частинами. Інтегрування деяких тригонометричних функцій»

Вид заняття:     Лекційно - практичне

Дисципліна:      Математика

Тема заняття:  Способи інтегрування: заміною змінної; інтегрування

частинами;  інтегрування деяких тригонометричних функцій.

Мета заняття:

Навчальна:     Ознайомити студентів з різними способами інтегрування.           

                      Навчити їх обчислювати невизначені інтеграли цими способами.

Розвиваюча:     Формувати вміння виступати перед аудиторією; чітко                   

                   формулювати і відстоювати свою думку; розвивати    

                            спостережливість, логічне мислення, інтелектуальні

                            здібності студентів; сприяти розширенню їх кругозору.

                    Розвивати пізнавальний інтерес та навики колективної

                    праці.

 Виховна:           Виховувати у студентів працелюбність, зібраність, 

 організованість, вимогливість до себе. Сприяти вихованню 

 самостійності студентів і їх математичної культури.         

Мета відкритого заняття: Показати методику проведення лекційно – практичного  заняття  з математики з використанням інформаційно – комп’ютерних технологій.

Тип заняття: Повідомлення і засвоєння нових знань, формування вмінь і навичок

Методи: Дослідницький, проблемно – пошуковий, творчо - продуктивний, пояснювально – ілюстративний.

Матеріально-технічне забезпечення заняття: 

комп’ютер, мультимедійний проектор, презентації до заняття

 

Навчальне місце (аудиторія чи лабораторія):  аудиторія №307

 

Література (основна):

1.А.Г.Мерзляк, Д.А.Номіровський «Алгебра 11 клас», Харків «Гімназія», 2011р, §5, п.19, п.20.

2. М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань «Алгебра і початки аналізу 10-11 кл », Київ «Зодіак - Еко», 1995р, розділ 9, §1-§4.

3. М.В.Богомолов «Практичні заняття з математики», Київ  вид. «Вища школа», 1993 р, розділ 10, §3,§4, §6.

 

 

 

 

Література (додаткова):

1. Є. П. Нелін «Алгебра і початки аналізу 11 кл», Харків  вид. «Світ дитинства»,

2006 р, розділ 2, §14; §15.

 

Структура і хід заняття

 

1. Організаційна частина                                                                                               

             Привітання, перевірка наявності і підготовки студентів до заняття 

             Налаштування психоемоційного настрою студентів

2. Актуалізація опорних знань студентів і мотивація навчальної діяльності   

 

Запитання до студентів

1. Дати означення первісної та невизначеного інтеграла.
2. Сформулювати властивості невизначеного інтеграла.
3. Таблиця невизначених інтегралів.
4. Поняття похідної, геометричний і фізичний зміст.
5. Таблиця похідних основних елементарних функцій.
6. Основні формули диференціювання.
7. Визначений інтеграл та його властивості (повторення).
8. Обчислення визначеного інтегралу. Формула Ньютона – Лейбніца.

 

3. Повідомлення теми, мети, змісту і послідовності вивчення нового матеріалу    

 

Тема заняття: Способи інтегрування: заміною змінної; інтегрування частинами;  інтегрування деяких тригонометричних функцій                                                       

 

1.  Інтегрування методом заміни змінної (спосіб підстановки)
2.  Інтегрування частинами
3.  Інтегрування деяких тригонометричних функцій

 

4. Узагальнення і систематизація знань і вмінь 

Узагальнення і закріплення матеріалу, шляхом захисту міні-проектів

на тему «Застосування визначеного інтегралу в прикладних задачах»,

підготовлених студентами групи.

5. Підсумки заняття студентів  

Підведення підсумків заняття. Аналіз загальної активності студентів, шляхом рефлексії.

6. Домашнє завдання    

1. М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань «Алгебра і початки аналізу 10-11 кл », Київ «Зодіак-Еко», 1995р, розділ 9, §4, стр.376, №10 (1-8)

2. М.В.Богомолов «Практичні заняття з математики», Київ  вид. «Вища школа»,                          

1983 р, розділ 10, §3, стр.184, №112; №123

                                                                            

                                                                            

                                                   

 

Пояснення нового матеріалу

Інтегрування методом заміни змінної

 

     Суть інтегрування методом заміни змінної (способом підстановки) полягає в перетворенні інтеграла в інтеграл , який легко обчислюється за будь-якою з основних формул інтегрування.

     Для знаходження інтеграла замінюємо змінну х новою змінною t за допомогою підстановки . Диференціюючи цю рівність, дістанемо . Підставляючи в підінтегральний вираз замість їх значення виражені через , маємо:

 

Коли інтеграл відносно нової змінної t буде знайдено, за допомогою підстановки його зводять до змінної x.

   Приклад 1

   Знайдіть інтеграли способом підстановки

1)

 

Розв’язання

 2)

 

Розв’язання

3)

Розв’язання:

4)

Розв’язання:

5)

Розв’язання:

6)

Розв’язання:

7)

 

 

 

Розв’язання:

Інтегрування частинами

   Інтегруючи обидві частини рівності , дістанемо

   За допомогою цієї формули обчислення інтеграла зводиться до обчислення інтеграла , якщо останній буде простіший за вихідний.

Приклад 2

Знайдіть інтеграли методом інтегрування частинами

1)

Розв’язання:

2)

Розв’язання:

 

3)

Розв’язання:

4)

5)

Розв’язання:

Інтегрування деяких тригонометричних функцій

  

     При обчисленні інтегралів вигляду або   від парного степеня синуса або косинуса використовують формули зниження степеня:

 

 

    

      При обчисленні інтегралів вигляду або   від непарного степеня синуса або косинуса треба відокремити від непарного степеня один множник і ввести нову змінну, вважаючи t=cosx  в першому випадку і t=sinx у другому випадку.

 

Приклад 3

Знайдіть інтеграли:

1. ;

 

2. ;

 

3. .