Урок "Теорема Птолемея"

Про матеріал
Історична довідка, доведення теореми Птолемея, вправи на закріплення та осмислення нового матеріалу, самостійна робота на ознаки подібності. трикутників.
Перегляд файлу

     Тема.  Теорема Птолемея

Мета: довести теорему Птолемея; показати її застосування до розв’язуванні задач; розвивати кругозір; виховувати культуру математичного  мовлення; перевірити рівень засвоєння учнями знань.

Тип уроку: комбінований.

 

Хід уроку

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку

                                         …У величезному саду геометрії кожний може                                                                                                           

                                             підібрати собі букет за смаком.

                                                                                   Давід Гільберт                                                                         

Ми з вами починаємо вивчати дивовижні теореми. Одна із таких теорем – теорема давньогрецького вченого Клавдія Птолемея              ( ІІ ст. н. е.).

 

ІV. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Історична довідка

Птолемей Клавдій , давньогрецький вчений. Він розробив  так звану Геоцентричну систему світу. Біографічних відомостей про Птолемея дуже мало: відомо, що він провів велику частину життя в Александрії, де в 127-151р. проводив астрономічні спостереження. Основна робота Птолемея з астрономії   «Велика математична побудова астрономії в 13 книгах» «Альмагест».

Виключно велике було практичне значення цієї роботи для мореплавання і визначення географічних координат. А теорема знадобилася олександрійському астрономові Клавдію Птолемею, для складання таблиці синусів, точніше, таблиці довжин хорд, дуже потрібних для астрономічних розрахунків.

Теорема Птолемея. У всякому чотирикутнику, вписаному в коло, добуток діагоналей дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

                    Доведення.

Чотирикутник АВСD вписаний у коло. Доведемо, що АС · ВD = АD · ВС + DС · АВ.

АDВ = АСВ так як спираються на одну дугу. Проведемо відрізок АF ( точка F є ВD) так, щоб DАС = САВ. Тоді ∆АВС ~ ∆АFD за двома кутами. Звідси АD : АС = DF : ВС, тобто  АD · ВС =   АС · DF.

DСА = DВА так як спираються на одну дугу, а DАС = FАВ за властивістю вимірювання кутів. Тоді ∆DАС ~ ∆FАВ за двома кутами. Звідси АС : АВ = DС : FВ, тобто АС · FB = АВ · DC.

Додамо рівності і одержимо: АС (DF + FB) = АD · ВС + АВ · DC. Отже,  АС · ВD = АD · ВС + DС · АВ.

 

V. Закріплення та осмислення нового матеріалу

№1. На колі, описаному навколо рівностороннього трикутника АВС, взято довільну точку Х. Доведіть, що найбільший з відрізків ХА, ХВ, ХС дорівнює сумі двох інших.                                                                 

                              Розв’язання.

      Нехай найбільший відрізок ХВ. Доведемо,

      що ХВ  = ХС + ХА. За теоремою  Птолемея

      ХВ ·АС = ХС · ВС + ХА · АВ.  За  умовою

 ∆АВС рівносторонній,  тому АВ =  ВС = АС.                

     Звідси ХВ · АС = ХС · АС + ХА · АС.  Отже,      

 ХВ = ХС + ХА.

 

 №2.Бісектриса кута А трикутника АВС перетинає описане коло в точці W. Доведіть, що АВ + АС < 2 АW.

                                    Доведення.

За   властивістю  бісектриси  САW  = WАВ. Звідси    =  ВW.  

                              За  нерівністю   трикутника  СW + WВ > ВС. 

                              Тоді  2 СW > ВС;  СW > ½ ВС. 

                                  Чотирикутник   АВWС  вписаний  у  коло,  то   

                              за  теоремою  Птолемея   АW · ВС = АВ · WС +                                

                                  + ВW · АС. Тоді АW · ВС = АВ · WС + WС · АС;

                                  АW · ВС = WС ( АВ + АС); 

                                  АW · ВС > ½ВС ( АВ + АС);

                                  АW > ½ ( АВ + АС);

                                  2 АW > АВ + АС.

                              

VІ. Самостійна робота

Варіант 1.

1.                                     Дано: прямі АD і ВС  перетинаються                 

                                                    в точці О,  АВ || СD, ВО = 8см,                                                                                                          

                                                    СО = 4см, ОD = 10см.

                                         1) Довести, що трикутники подібні.

                                         2) Знайти АО.

                                         3) Знайти   .                       

                                         4) Знайти  .

 

 

 

2. Через точку S, яка лежить поза колом, проходять січні а і в. Січна а перетинає коло в точках N і М, а січна в, що проходить через точку О – центр кола,  в точках К і Р. Обчислити діаметр кола, якщо SР = 3см, МN = 4см, SN = 9см.

3. Сторони трикутника 48см, 24см, 56см. Знайти периметр подібного трикутника, якщо його найбільша сторона 7см.

4. У гострокутному трикутнику АВС ВD і АК – висоти. Доведіть, що DC · АС =  КС ·ВС.

 Варіант 2.

1.  Дано: КСРМ – трапеція, прямі КС і МР  перетинаються в точці А,  АС = 6 см,  СК = 4 см, КМ = 25 см.

                                                 

                                  1) Довести, що трикутники подібні.

                                          2) Знайти СР.

                                          3) Знайти  .                    

                                          4) Знайти .

 

 

2. Хорда СD і діаметр АВ перетинаються в точці М. Обчислити діаметр кола, якщо СD = 13см, МD = 7см і АМ = 14см.

3. Сторони трикутника 18см, 27см, 36см. Знайти периметр подібного трикутника, якщо його найменша сторона 36см.

4. У гострокутному трикутнику АВС висоти ВD і АМ перетинаються в точці О. Доведіть, що ВО · ОD = АО · ОМ.

 

VІІ. Підсумки уроку

Сьогодні на уроці ми познайомились та навчились використовувати теорему Птолемея, а також перевірили рівень засвоєння знань з вивчених тем.

Які будуть запитання по самостійній роботі.

На закінчення нашої роботи я хочу побажати, аби помилки, які ви допускаєте, не наводили вас до смутку, а були імпульсом для саморозвитку.

VІІІ. Домашнє завдання

Вивчити зміст засвоєних на уроці понять.

№1. У коло вписано рівносторонній трикутник АВС. Точка D належить ВС. Доведіть, що DА = DВ + DС.

                               Розв’язання.

     На рисунку у ∆АВС АВ = ВС = АС, точка D є ВС.  Отже, чотирикутник АСDВ вписаний у коло. Тоді АD · СВ = АС · ВD + DС · АВ за теоремою Птолемея. Звідси АD · СВ = СВ · DВ + +  DС · СВ. Отже,  АD =  DВ +  DС.

 

№2.Основи рівнобічної трапеції АВСD ( ВС || АD) a і b, бічна сторона с. Знайдіть діагональ.                                                                                       

                                            Розв’язання.  

На рисунку у  трапеції  АВСD  ВС || АD,  ВС = а, АD =  b, АВ =      = СD = с. Знайдемо АС.

   Оскільки трапеція АВСD рівнобічна, то АС = ВD і навколо неї можна описати коло. Тоді за теоремою Птолемея АС × ВD = АВ  · СD +  + АD · ВС.  Звідси     АС2 = с2 + аb.

    Відповідь: АС2 = с2 + аb.

 

 

 

 

1

 

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Харік Олена Юхимівна
    Дуже добре! Дякую! Можливо, самостійну роботу, функція якої - перевірка домашнього завдання, провести на початку уроку?
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
doc
Пов’язані теми
Геометрія, Розробки уроків
Додано
25 листопада 2019
Переглядів
3233
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку