Урок узагальнення та систематизації знань: "Розв'язування вправ на застосування перетворень виразів"

Тема. Розв'язування вправ на застосування перетворень виразів (7 клас, алгебра)

Мета: узагальнити та систематизувати знання та вміння учнів щодо способів перетворень цілих виразів, набутих учнями в ході вивчення алгебри в 7 класі; систематизувати знання щодо видів завдань, які передбачають застосування цих знань та способів дій; відпрацювати навички класифікації, вибору відповідного способу розв'язання названих видів виразів.

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань.

Хід уроку

I. Організаційний момент

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, наявність учнів (фіксує прізвища відсутніх), повідомляє тему уроку.

 II. Перевірка домашнього завдання

 Оскільки основна частина домашнього завдання — самостійна робота, то збираємо зошити на перевірку; якщо в учнів виникли запитання під час виконання домашнього завдання, то розв'язуємо їх одразу ж після збирання зошитів.

 III. Формулювання мети й завдань уроку

Учитель дохідливо для учнів формулює мету розділу («Застосування перетворення виразів») і повідомляє учням завдання на урок — систематизувати свої знання щодо пошуку відповіді на запитання: «Якого найменшого (найбільшого) значення може набувати вираз і при якому значенні змінної, що входить до його складу?»

 IV. Мотивація навчальної діяльності

Учитель пропонує учням виконати завдання. Чи може значення виразу а2 – 4а + 7 дорівнювати 1?

Після деяких міркувань учні можуть дійти висновку, що розв'язання цієї задачі можна довести до розв'язування рівняння а2 – 4а + 7 = 1, подібне до якого на попередніх уроках уже розв'язували, розклавши ліву частину на множники (виділивши повний квадрат).

а2 – 4а + 7 = 1;  (а2 – 4а + 4) + 3 = 1; (а – 2)2 + 3 = 1.

Але що робити з цим далі? (Можливо, хтось запропонує перенести 3 у праву частину із протилежним знаком (а – 2)2 = -2 і скористатись властивістю степеня з парним показником.)

Але вчитель спрямовує думку учнів в інший бік: чи можна впізнати знак та найменше значення лівої частини рівності (а – 2)2 + 3 = 1?

Навчитись оцінювати знак та значення (найменше та найбільше, якщо існує) виразу — то і є головним мотивом дій на цьому уроці.

V. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

1.   Укажіть знак виразу: а2; |а|; a2 + 7; |а| + 3; a2 + b2 + 3; (а – 1)2; (а – 1)2 + 3.

2.   Якого найменшого значення набуває вираз: а2; |а|; а2 + 7; |а| – 3;

а2 + b2 + 3; (а – 1)2; (а – 1)2 + 3? Чому?

3.   Який знак має вираз: -а2; -|а|; -а2 - 7; -|а| – 3; -а2 - b2 - 3?

4.   Якого найбільшого значення набувають вирази в п. 3? При яких значеннях змінних це відбувається?

Висновок. Запам'ятаймо, що

1) (А)2 ≥ 0, отже, (А)2 +В ≥ В, тобто А2 = 0 при А = 0 і найменше значення виразу А2 + В дорівнює В.

2) -А2 ≤ 0, отже, -А2 + В ≤ В, тобто найбільше значення виразу -А2 +В дорівнює В при А = 0.

 VI. Систематизація й узагальнення знань та вмінь

 Основна робота полягає в тому, щоб встановити логіку процесу розв'язування задач на оцінку значення квадратного тричлена та окреслити коло завдань, що передбачають здійснення оцінки значення квадратного тричлена.

Отже, з попереднього етапу уроку ми одержали:

1) Висновки, які можна ще раз озвучити:

-        Квадрат будь-якого виразу є число невід'ємне.

-        Квадрат будь-якого виразу дорівнює нулю, якщо цей вираз дорівнює нулю.

-        Якщо квадрат деякого виразу змінити на деяке число, значення нового виразу буде відрізнятися від квадрата на це саме число.

-        Вираз, протилежний квадрату деякого виразу, є числом недодатним.

Бажано проілюструвати ці умовиводи достатньою кількістю прикладів, бо це єдиний поки що спосіб домогтися свідомого розуміння даного співвідношення (на жаль, учні ще не знайомі із властивостями числових нерівностей).

2) Приклади щодо застосування висновків:

а) Доведіть, що вираз х2 + 2х +1 набуває невід'ємних значень при будь-яких х.

б) Доведіть, що вираз х2 +2х+2 набуває лише додатних значень при будь-яких х. Якого найменшого значення набуває цей вираз? При якому значенні х?

в) Розв'яжіть рівняння (х – 1)2 + (х – 3)2 = 0.

г) Доведіть, що не існує таких значень х та у, для яких виконувалася б рівність х2 + у2 – 2х – 2у + 3=0.

Наведені приклади підкреслюють, що властивості квадрата (зокрема вміння виділити квадрат двочлена) використовуються під час розв'язування різноманітних задач:

а) х2 + 2х + 1 = (х + 1)2. Отже, (х + 1)2 ≥ 0.

б) х2 + 2х + 2 = (х2 + 2х + 1) + 1= (х + 1)2 + 1.

    Оскільки (х + 1)2 ≥ 0, то (х + 1)2 + 1 ≥ 1, отже, вираз набуває найменшого значення, що дорівнює 1, при х + 1 = 0, тобто при х = -1.

в) (х – 1)2 + (х – 3)2 = 0. Оскільки (х – 1)2 ≥ 0, (х – 3)2 ≥ 0, то їх сума буде дорівнювати 0, якщо кожний з доданків дорівнює 0: (х – 1)2 = 0 і (х – 3)2 = 0, тобто х = 1 і водночас х = 3. Бачимо, що такого значення х немає. Відповідь. Коренів немає.

г) х2 + у2 – 2х – 2у + 3 = 0; (х2 – 2х + 1) + (у2 – 2у + 1) + 1 = 0;

    (х – 1)2 + (у – 1)2 + 1 = 0, оскільки (х – 1)2 ≥ 0, (у – 1) ≥ 0, 1 > 0, то сума

    (х – 1)2 + (у – 1) +1 > 1 при будь-яких значеннях х та у, а отже, не існує таких х та у, щоб виконувалася б рівність.

 VII. Засвоєння вмінь та навичок

Виконання письмових вправ

1.   Доведіть, що вираз 4т2 + 4тп + п2 + 3 набуває лише додатних значень. Яке найменше значення цього виразу?

2.   Знайдіть найменше значення виразу та значення змінної, при якому вираз набуває найменшого значення:

1) х2 – 4х + 4; 2) х2 – 4х + 7; 3) х2 – 4х – 1.

3.   Розв'яжіть рівняння:

1) а2 – 4а + 7 = 1; 2) х2 – 2х – 15 = 0; 3) (х2 – 1)2 + (х – 1)2 = 0.

4.   Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність 2х2 + 2у2 – 2ху – 2х – 2у + 3 = 0.

5.   Доведіть, що вираз набуває лише від'ємних значень: 1) -(а2 – 2а + 4);  2) - х2 + 4х – 5.

6.   Знайдіть найбільше значення виразу та значення змінної, при якому вираз набуває найбільшого значення.

 VII. Підсумки уроку

Складаємо схему.

 IX. Домашнє завдання

№ 1. Доведіть, що вираз не набуває від'ємних Значень. Знайдіть найменше значення виразу та значення змінної, при якому цей вираз набуває найменшого значення:

1) а2 – 4а + 4;

2) х2 – 2ху + у2 + 4;

3) а2 + 6а + 9;

4) х2 – 6х + 10.

№ 2. Знайдіть найбільше значення виразу та значення змінної, при якому вираз набуває свого найбільшого значення:

1) -(х2 – 2х + 1);

2) -(х2 – 2х + 2);

3) -у2 + 2у – 4;

4) -х2 + 2х – 8;

5) -а2 – 4а + 3.

№ 3. Випереджальне домашнє завдання.

1) За довідником (математика, 5-6 клас) повторити зміст поняття «число а ділиться на число b»; «дільник числа а», «кратне числу а»; як записати у вигляді рівності, що натуральне число а ділиться на натуральне число b.

2) Розкладіть на множники вираз:

а) 2452 – 2362;

б) 523 – 363;

в) 533 – 530;

г) 4n2 – 4n + 4.