Урок з алгебри 9 клас "Числові послідовності"

Числовою послідовністю називається функція, яка задана на множині всіх натуральних чисел або на множині перших п натуральних чисел.

Числова послідовність позначається так:

(а_п): а₁; а₂; а₃; ...; а_п.

Кожне число а_п — п-й член послідовності; п — номер члена.

Види числових послідовностей

1. Якщо кількість членів п послідовності (а_п) скінченна, то (а_п) — скінченна послідовність.

Якщо кількість членів п послідовності (а_п) нескінченна, то (а_п) — нескінченна послідовність.

Приклади:

а) послідовність (а_п) натуральних чисел нескінченна;

б) послідовність (а_п) коренів рівняння (х – 1)(х – 2)(х + 3) = 0 скінченна.

2. Якщо кожний наступний член послідовності, починаючи з другого, більший за попередній, то послідовність є зрос­таючою.

Якщо кожний член послідовності, починаючи з другого, менший від попереднього, то послідовність є спадною.

Приклади:

а) (а_п): 1; 2; 3; ... — послідовність натуральних чисел є зростаючою;

б) (b_п): -1; -2; -3; ... — послідовність цілих від'ємних чисел є спадною.

Способи задання числових послідовностей:

1) описом знаходження її членів.

Приклад. Числова послідовність дільників числа 15, за­писаних у порядку зростання: (а_п): а₁= 1; а₂ = 3; а₃ = 5; ...; а₄ = 15;

2) переліком її членів.

Приклад. (b_n): 54; 1; 33; 27, тоді а₁ = 54; а₂ = 1; а₃ = 33; а₄ = 27;

3) таблицею. Приклад.

п

1

2

3

4

5

а_п

-2

1

-4

1

-6

Тоді а₁ = -2; а₂ = 1; а₃ = - 4; а₄ = 1; а₅ = 6;

4) формулою п-го члена.

Приклад. а_п = п² – 1, тоді а₁ = 1² – 1 = 0; а₂ = 2² – 1 = 3; а₃ = 3² – 1 = 8 і т.д.;

5) рекурентною формулою.

Приклад. а_п = а_п-1 ∙ а_п-2, якщо а₁ = 1; а₂ = 2, тоді а₁ = 1; а₂ = 2; а₃ = а₁ ∙ а₂ = 2; а₄ = а₂ ∙ а₃ = 2 ∙ 2 = 4; а₅ = а₃ ∙ а₄ = 4 ∙ 2 = 8.