Урок з геометрії в 10 класі на тему "Теорема про три перпендикуляри"

Тема уроку:  Теорема про три перпендикуляри

Цілі уроку:

•            навчальна: актуалізація опорних знань з теми: «Перпендикуляр та похила»;  формування знань з теми: "Теорема про три перпендикуляри"; навчання учнів використанню отриманих знань при розв`язуванні задач.

•            виховна: показати красу математичних об’єктів та важливість геометрії в архітектурі та будівництві;
•            розвиваюча: розвивати просторову уяву, логічне мислення, вміння переходити від просторових об'єктів до плоских креслень.

Тип уроку:  урок засвоєння нових знань.

Обладнання: Мультимедійний проектор (презентація), каркасні моделі, роздаткові картки із задачами.

Хід уроку

І. Організаційний етап (1 хв)

Привітання, перевірка готовності до уроку, налаштування на роботу.

Вчитель: Сьогодні на уроці ми розглянемо теорему про три перпендикуляри,  навчимося її застосовувати при розв’язуванні різних задач, Ви зможете переконатися у необхідності її використання у повсякденному житті.

ІІ. Актуалізація опорних знань (5 хв)

Вчитель: Перед початком роботи згадаємо матеріал попереднього уроку.

Вправа: "Геометричний пінг-понг" (швидкі питання-відповіді).

1) Що таке перпендикуляр, проведений з даної точки до даної площини?

2) Що таке похила, проведена з даної точки до площини?

3)  Основа перпендикуляра?

4) Що таке проєкція похилої?

5) Основа похилої?

(на дошці «хмара слів»,  малюнок підказка)

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності (3 хв)

Створення проблемної ситуації.

Учитель: Уявіть, що ви встановлюєте щоглу (або антену) на похилому даху. Вам потрібно закріпити її розтяжкою так, щоб вона стояла рівно перпендикулярно до землі, але кріпиться вона до похилої поверхні. Як перевірити перпендикулярність, маючи лише косинець, не спускаючись на землю?

Відповідь на це питання дасть теорема про три перпендикуляри, яка є "мостом" між просторовою перпендикулярністю та звичайною планіметрією.

Вчитель: Давайте об’єднаємося у пари за кольорами, проведем дослідження

Робота в парах

Використаємо "динамічну модель". Візьміть три олівці або палички.

1. Один олівець (перпендикуляр) поставте вертикально на стіл.
2. Другий (похила) притуліть до вершини першого.
3. Третій (пряма на площині) покладіть на стіл.

Попросіть учня крутити третій олівець на столі, доки кут між ним і проекцією не стане 90^օ. Запитайте: "А який тепер кут між олівцем на столі та похилим олівцем?".

IV. Вивчення нового матеріалу (5 хв)

1. Формулювання теореми

Учитель: Запишемо тему. Теорема про три перпендикуляри (ТТП) зв'язує три лінії:

1. Похилу.
2. Проекцію похилої.
3. Пряму, що лежить у площині.

Теорема (Пряма): Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої.

Схема ТТП (Записуємо на дошці):

Нехай  AН- перпендикуляр,

 AВ — похила,

BН — проєкція.

 с — пряма в площині α

2. Доведення (стисло, з допомогою учнів)

Використовуємо означення прямої, перпендикулярної до площини.

1. Розглядаємо площину, яку утворюють перпендикуляр  AН і похила  AВ. Ця площина містить трикутник   ABН.
2. Якщо пряма  c перпендикулярна до проєкції  BН  і до перпендикуляра  AН, то вона перпендикулярна до всієї площини трикутника ABН. Це випливає з ознаки перпендикулярності прямої до площини.
3. Оскільки пряма c перпендикулярна до площини  ABН, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, включно з похилою  AB.

3. Обернена теорема

Учитель: Сформулюйте обернене твердження.

Учні: Якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до її проекції.

V. Первинне закріплення та осмислення (10 хв)

Робота в групах. Робота за картками.

Завдання: Знайти "Третю пряму"

VI. Розв'язування задач, які були НМТ (8 хв)

Індивідуальна робота учнів

VI. Розв'язування задач прикладного змісту (8 хв)

1.        Чотирисхилий дах будинку квадратної форми зі стороною 16м має висоту 6м. Скільки квадратних метрів дахового заліза піде на покриття, якщо витрати на згин і обрізки становлять 6%?

Розв’язання:

     Нехай дано  квадрат АВСD , АВ = 16м. EO ┴ (ABCD) , EO=6м.

Оскільки т.Е рівновіддалена від сторін АВСD, то т.О – центр вписаного кола ( точка перетину діагоналей). Якщо ЕК ┴ СD, то за

оберненою теоремою про три перпендикуляри ОК ┴ СD, ОК=8 м.

З ∆ EOК, <O=90⁰, за теоремою Піфагора EK²= EO² + ОК².

.    S= 4S_∆CDE,         

       S_∆CDE=CD·ЕK=·16·10=80(м²).

Оскільки таких трикутників чотири, то

S= 4·80= 320(м²).

S₁=320+0,06·320=339,2 (м²).

Відповідь: 339,2 м².

VII. Підсумок уроку. Рефлексія (3 хв)

Проблемна ситуація.

Уявіть, що ви встановлюєте щоглу (або антену) на похилому даху. Вам потрібно закріпити її розтяжкою так, щоб вона стояла рівно перпендикулярно до землі, але кріпиться вона до похилої поверхні. Як перевірити перпендикулярність, маючи лише косинець, не спускаючись на землю?

Інтерактивна вправа "Мікрофон":

Учитель: ТТП — це потужний інструмент. Вона дозволяє нам зводити складні відстані у просторі до простих планіметричних задач.

Ви майбутні випускники, підприємці, будівельники, конструктори. Пролекламуйте теорему про три перпендикуляри. Складіть салогани про неї. На виконання цього завдання 2 хвилини.

Слогани до теореми про при перпендикуляри:

«Знання теореми про три перпендикуляри гарантує вам майбутні гонорари»,

« Якщо ТТП ти будеш добре знати, зможеш ти практично її застосувати»,        «Будеш в школі вчити теореми, зможеш у житті розв’язувать проблеми»,

«Теореми добре будеш знати, будь-які задачі зможеш розв’язати»

VIII. Домашнє завдання (2 хв)

1. Вивчити формулювання та доведення теореми.
2. Творче завдання: Зробити фото архітектурної споруди або предмета побуту, де "працює" ТТП, і схематично накласти на фото креслення.