Урок закріплення знань та вироблення вмінь з теми "Теорема Піфагора". Геометрія 8 клас.

Геометрія 8 клас

Тема: Теорема Піфагора. Розв’язування вправ.

Мета: узагальнити і закріпити знання учнів про теорему Піфагора; познайомити учнів з різними доведеннями теореми Піфагора, показати її  роль в геометрії та застосування при розв’язуванні прикладних задач. Розвивати логічне мислення, пізнавальний інтерес, творчий пошук, самостійність. Виховувати в учнів відповідальне ставлення до навчання, культуру математичної мови; виховувати інтерес до вивчення математики через ознайомлення з історичними відомостями з історії геометрії, з життя давньогрецького ученого Піфагора.

Тип уроку: урок закріплення знань та вироблення вмінь.

Обладнання: презентація, портрети, вислови, роздатковий матеріал.

План уроку:

I. Організація класу.

II. Актуалізація опорних знань учнів.

III. Мотивація навчальної діяльності учнів.

IV. Історична довідка. 

V. Закріплення матеріалу.

VI.     Домашнє завдання.

VIІ. Підсумок уроку.

Хід уроку

І. Організація класу.

Привітання.

Девіз уроку: 

«Світ, що нас оточує, -  це світ геометрії. Тож давайте його пізнавати!»

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Вчитель:

  На попередньому уроці ми розглянули теорему, відкриття якої пов’язане з ім’ям давньогрецького вченого Піфагора (VI ст. до н. е.). Розглянули класичне доведення цієї теореми та елементарні задачі.

  Але звичайно одного уроку замало, щоб розкрити справжню красу і цінність визначної теореми.

  Отже запишіть тему: «Теорема Піфагора. Розв’язування вправ».

А зараз давайте озвучимо саму теорему та її доведення.

(Учень біля дошки формулює і доводить теорему)

Вчитель: А як саме застосовуємо теорему в задачах ми зараз побачимо на прикладі вправи №

(Розв’язуємо задачу колективно)

Теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику

квадрат гіпотенузи дорівнює

сумі квадратів катетів.

Дано: ΔАВС, С = 90°

Довести: АВ2= АС2+ ВС2

Доведення. Проведемо з вершини прямого кута С висоту СD. Кожен катет прямокутного трикутника є середнім про­порційним між гіпотенузою і його проек­цією на гіпотенузу. Тому АС2 = АВ ·АD  і

ВС2 = АВ ·ВD. Додавши рівності почленно і врахувавши,

що АD + DВ = АВ, дістанемо:

АС2 + ВС2= АВ·АD+ АВ·DВ = АВ (АD+ DВ) = АВ2.

Отже, АВ2 = АС2 + ВС2.

Вчитель: 

   Як ви думаєте, чи можна якось по-іншому  переконатися в правильності теореми, тобто довести її?

   За часів Піфагора формулювання теореми звучало так:

«Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах».

  Є факти, що теорема була відома ще задовго до Піфагора в Китаї, Вавилоні, Єгипті, принаймні окремі випадки. А названа на честь Піфагора тому, що він перший здійснив повноцінне доведення.

  Теорема Піфагора чудова тим, що сама по собі вона зовсім не очевидна.

Але це співвідношення стає очевидним, якщо вдало побудувати малюнок. В цьому і є найкращий геометричний смисл: за допомогою дотепної побудови зробити неочевидне очевидним.

  Доведенням теореми Піфагора займалось багато математиків протягом кількох століть, тобто  ці доведення були створені в різні часові періоди та різними народами.  Нині є понад 150 різних доведень цієї теореми. 

  Наочне ілюстрування теореми Піфагора — зважування. Якщо з однорідного матеріалу вирізати три квадрати, сторони яких дорівнюють сторонам поданого прямокутного трикутника, і покласти дна менших квадрати на одну шальку терезів, а на другу шальку — третій, то терези будуть у рівновазі.

  В математичних трактатах Древньої Індії, доводячи теорему, часто наводили тільки рисунок. Супроводжували його лише одним словом: «Дивись!»

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності. 

Як ви думаєте, чому так багато людей прикладали і прикладають стільки зусиль?

  Відповідь проста – значить ця теорема потрібна, і не тільки на уроках математики а й в повсякденному житті.

 (показ прикладних задач і розв’язування деяких із них усно)

1) Якої довжини має бути драбина, щоб її можна було приставити до вікна, розташованого на висоті 6 м, коли відстань від нижнього кінця драбини до будинку має дорівнювати 2,5 м?

2) На яку відстань треба відсунути від стіни будинку нижній кінець драбини, довжина якої 9 м, щоб верхній її кінець був на висоті 6 м?

3) Між двома фабричними будівлями потрібно побудувати похилий жолоб для транспортування матеріалів. Кінці жолоба мають бути розташовані на висоті

7 м і 3 м над землею. Якою має бути довжина жолоба, якщо відстань між будівлями дорівнює 15 м?

4) Діагональ прямокутної ділянки землі дорівнює 116 м, а одна зі сторін — 84 м. Який периметр цієї ділянки?

5) Для закріплення щогли потрібно встановити 4 троси. Один кінець кожного троса повинен прикріплюватися на висоті 12 м, другий на землі на відстані 5 метрів від щогли. Чи досить 50м тросу для закріплення щогли?

6) Розв’яжемо задачу Бхаскари: Квітка лотоса при вертикальному положенні стебла піднімалась над водою на фута. Вітер відхилив її на 2 фути від попереднього положення (по поверхні води). Після цього квітка лотоса опинилась на рівні води. Визначте глибину озера в цьому місці.

7) Завдання індійського математика XІІ ст. Бхаскара

На березі річки тополя росла

І вітру порив її стовбур зламав.

Тополя упала і стовбур її

Кут прямий з течією річки утворив.

Пам'ятай, в тому місці ріка

Чотири фути була шириною.

Верхівка схилилась до краю,

Залишивши три фути всього над водою.

Прошу, тепер швидше скажи мені ти:

Тополя якої була висоти?

ІV. Історична довідка. 

  Але хто ж він, той, чиїм ім’ям названа теорема?

Пропонуємо вашій увазі  історичну довідку, яку підготували учні.

Учениця 1:

  Вчений Давньої Греції Піфагор (570-496 рр. до н.е.) народився на острові Самос (на півдні Егейського моря).

  Батьком Піфагора був Мнесарх,  різьбяр по дорогоцінному камінні, який знайшов швидше славу, ніж  багатство. Ім’я матері не збереглося. Ще в дитинстві Піфагор проявляв неабиякі здібності, і коли підріс, нестримній  уяві хлопця стало тісно на маленькому острові.

 Учениця 2:

  Піфагор перебрався в місто Мілет і став учнем Фалеса. Пізніше мудрий учений порадив хлопцеві відправитися до Єгипту, де сам, колись вивчав науки. Зовсім юним він залишив батьківщину і вирушив до Єгипту, де 22 роки старанно навчався у жерців.

   Далі він зібрався додому, щоб там створити свою школу. Проте дорогою  Піфагор потрапив в полон і опинився у Вавилоні.  Вавилоняни цінували розумних людей, тому він знайшов своє місце серед вавилонських мудреців. Піфагор прожив у Вавилоні близько десяти років. Перекази приписують Піфагору також відвідання Індії.

Учениця 3:

 Після повернення на Самос він намагався створити свою філософську школу. Але в її основі лежала аристократична ідеологія, що суперечила ідеології античної демократії, що переважала на Самосі. Тому Піфагор залишив Самос і оселився в м. Кротон, на півдні Італії, де організував свою школу, яка діяла майже 30 років.

Учениця 4:

  Школа, або як її ще називають — піфагорійський союз, складалася переважно з аристократії. Це була одночасно і філософська школа, і політична партія, і релігійне братство. У кінці V ст. до н. е. в Греції  і в більшості її колоній прокотилася переможна хвиля демократичного руху. Демократія перемогла й у Кротоні. Піфагор зі своїми прихильниками був змушений залишити Кротон. Він переїхав до Таренту, а звідти — до Мерапонту. Прибуття піфагорійців збіглося в часі з вибухом народного повстання в Мерапонті. В одній з нічних сутичок і загинув Піфагор.

Учениця 1: 

  Піфагор та його учні займалися математикою, філософією, астрономією і теорією музики. Основна ідея філософії піфагорійців полягає в тому, що початком усього є числа, які за своєю природою обмежуючі й безмежні. Без них нічого б не існувало і не було б порядку, гармонії.  Отже, той, хто хоче пізнати всі речі, повинен зрозуміти природу і гармонію чисел.

Учениця 2:

  Відомо також, що учнів Піфагора турбував і  їх фізичний розвиток. Піфагор не тільки сам брав участь в Олімпійських іграх і двічі перемагав в кулачних боях, але і виховав плеяду великих олімпійців.

  Учениця 3:

  Серед досягнень піфагорійців найбільшим вважається теорема, названа Піфагоровою, та її доведення.

  Піфагору приписують багато різних відкриттів, найважливішими з них є такі:

1. Теорема про суму внутрішніх кутів трикутника.

2. Геометричні способи розв’язання квадратного рівняння.

3. Побудова середнього пропорційного між двома заданими відрізками (зокрема, побудова відрізків золотої пропорції).

4. Побудова деяких правильних многокутників та інше.

Учениця 4:

Найталановитішими математиками, які продовжили вчення Піфагора, є, зокрема, Гіппас Месопотамський, Філолай із Кротона, Архіт Тарентський.

Вчитель:

Також особливе місце в доктрині піфагореїзму посідало вчення про душу і належну поведінку людини. Тобто, крім наукової спадщини, Піфагор залишив нам цінні поради для життя. Ось деякі з них:

• Твори велике, не обіцяючи великого.

• Живи з людьми так, щоб твої друзі не стали недругами, а недруги стали друзями.

• Не роби ніколи того, що не знаєш, але вчись усьому, що потрібно знати.

• Або мовчи, або говори те, що цінніше за мовчання.

•  Не ганяйся за щастям: воно завжди знаходиться в тобі самому.

• Привчайся жити просто і без розкоші.

• Не зачиняй очей, коли хочеш спати, не розглянувши усіх своїх вчинків за день.

• Тимчасова невдача краща тимчасової удачі.

Вчитель:

І ще декілька цікавих фактів:

• Можливо ви чули вислів «Піфагорові штани на всі боки рівні», що виник через подібність креслення доведення теореми Піфагора для випадку рівнобедреного прямокутного трикутника зі штанами.
• У 1955 р. у Греції було випущено поштову марку, що ілюструє теорему Піфагора.
• Існує монета із зображенням Піфагора.
• Землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута користувались таким способом. Мотузку ділили вузлами на 12 рівних частин і кінці зв'язували. Потім мотузку розтягували на землі так, щоб утворився трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 поділок. Кут трикутника, протилежний до сторони, яка має 5 поділок, був прямий. У зв'язку з таким способом побудови прямого кута трикутник із сторонами 3, 4, 5 од. називають єгипетським.

V. Закріплення знань.

Звичайно, що ще дуже багато цікавого можна почути про Піфагора, але зараз ми  попрацюємо над вправами. А інформацію про Піфагора та й про інших учених можна знайти в кабінеті математики.

1)  Руханка «Порахуйте квадратами».

Учні по черзі швидко встають і називають квадрати натуральних чисел від 1 до 20.

2)  Розглянемо задачі за готовими малюнками (9 задач)

1.Усно (1-3).

2.Письмово з повним записом (4-9).

3)  Самостійна робота (бліц-контроль)

(текст в додатку)

Роздаю завдання і листочки.

Після написання учні міняються листочками і виконують перевірку дивлячись на відповіді (слайд), виставляють свої оцінки.

  Вчитель збирає листочки для подальшої перевірки.

VІ. Домашнє завдання.

Опрацювати: § .

Розв’язати: № .

Додатково: №.

•   Опрацювання додаткової інформації про Піфагора;

VІІ. Підсумок уроку.

1. Оцінювання роботи учнів з аргументацією.

2. Рефлексія:

- Що сьогодні на уроці було найважливішим?

- Що на уроці було цікавим?

- Що викликало ускладнення?

- Над чим слід попрацювати вдома.

3. Попереду у вас ще багато різних теорем життєвих та геометричних, але сьогодні ви стали дорослими на цілу теорему – теорему Піфагора – цікаву, могутню, вічну.

«Причина популярності теореми Піфагора триєдина –

це краса, простота   і значущість".