Відсоткові розрахунки

Тема уроку: Відсоткові розрахунки 

Мета уроку: Узагальнити і систематизувати знання, вміння і навики учнів розв’язувати задачі на відсотки.   Показати на прикладах практичну спрямованість математичних знань; сприяти формуванню  економічної грамотності, моральних і ділових якостей учнів. Розвивати пам’ять, логічне мислення, мовлення учнів. Викликати інтерес до навчання.

Тип уроку: узагальнення  знань, умінь та навичок.

Хід уроку

Епіграф:  «Математика – це мова плюс                   

                                                             міркування, це наче мова і логіка в купі.»

                      Ричард    Феймал

І. Організація класу. Створення емоційного настрою

ІІ. Перевірка домашнього завдання

ІІІ. Мотивація навчання

Учитель. Уявіть собі такий випадок. Ми живемо тепер у ХХІ столітті. Якщо б хтось із наших далеких предків, які жили рівно 1000 років тому, подумав би покласти в банк 1 копійку під 5% прибутку, то тепер ця копійка перетворилася б у велике багатство. Щоб судити про величину цієї суми, уявіть собі мільярд куль із чистого золота, кожна величиною із земну кулю. Вартість їх і є ця сума, у яку виросла 1 копійка.

ІV. Повідомлення теми і мети уроку

V. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

Учитель математики. Відсотки – одне з математичних понять, які часто зустрічаються у повсякденному житті. Слово «процент» походить від латинського pro centum, що означає «від сотні», звідси і дві назви – процент та відсоток. Відсоток означається як сота частина деякої величини. У практиці ми досить часто маємо справу з сотими частинами (копійка, сантиметр, ар), а тому соті дістали спеціальний знак % для їх позначення на письмі. Цей символ % виник у XV столітті в Італії.

 Вивчати відсотки почали дуже давно.  Ще у ХІІІ – ХVI столітті усі підручники приділяють значну увагу відсотковим обчисленням. Уже в 1494 році користувалися відсотковими таблицями, які підприємства тримали в секреті.

Чому необхідно вміти розв’язувати задачі на відсотки?

Тому, що із задачами на відсоткові розрахунки ми зустрічаємось в повсякденному житті. Наведемо приклади:

• Підвищення або зниження цін на товари;
• Об’яви комерційних банків, що залучають кошти населення на різних умовах;
• Відсоткові ставки по кредитам;
• Відомості про доходи по акціям підприємств та фондів;
• Рівень інфляції;
• Вологість повітря;
• Концентрація речовини в суміші (розчині, сплаві)
• Кількість випарованої речовини.
• Наведіть ще приклади застосування відсотків в різних галузях.

  Для розв’язування задач на відсотки слід уміти записувати будь-яке число у вигляді відсотка і розв’язувати обернену задачу – вражати відоме число відсотків у вигляді дробового чи цілого числа.

 Для найпростіших задач на відсотки уведемо таке позначення: х – деяка величина, що приймається за 100% (ціле), у - її частина, яка виражається числом відсотків р%.  Залежно від того, що невідоме – х, у чи р найпростіші задачі на відсотки можна розділити на три види

Знаходження відсотка від числа.

 Щоб знайти відсоток від числа, треба цей відсоток записати десятковим дробом і дане число помножити на здобутий дріб.  

Наприклад. В насінні сої міститься 20% олії. Скільки олії міститься у 800 кг                        

                   сої?

Розв’язання:

20% = 0,2

800 0,2 =160 (кг)

Відповідь: 160 кг.

Знаходження числа за його відсотком.

Щоб знайти число за його відсотком, треба відсоток записати у вигляді десяткового дробу і розділити дане число на цей дріб.

Наприклад. Із сировини бавовни отримують 24% волокна. Скільки треба   взяти сировини бавовни, щоб отримати 720 кг волокна?

Розв’язання:

24% = 0,24

720: 0,24 =3000 (кг)

Відповідь: 3000 кг.

Знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Щоб знайти, скільки відсотків р складає перше число  від другого числа, треба перше число поділити на друге  і результат помножити на 100% Р називається відсотковим відношенням двох чисел.

Наприклад. Який відсоток солі в розчині, якщо у 150 г розчину міститься    3 г солі?

Розв’язання:

3: 150100 = 2(%)

Відповідь: 2%.

 Іноді для розв’язування таких задач складають пропорцію:

х – 100%

у – р%

 Часто роблять поширену помилку: збільшення числа на р відсотків розуміють як збільшення на р. Але ж якщо число треба збільшити, наприклад, на 30%, то це означає, що воно збільшилося у 1,3 рази

(а + 0,3а = 1,3а).

Крім того, якщо величина збільшилася, припустимо, на 20% (у 1,2 рази), тобто у раз, то воно становить свого попереднього значення (оскільки ).  Навпаки, якщо після зменшення величина становить свого попереднього значення, то вона зменшилася у рази.

Задача. За нормою на виконання виробничого завдання робітник мав витратити 4,5 год, а фактично він витратив 3 год. На скільки відсотків він перевиконав норму?

Розв’язання. Час виконання завдання становить 3 : 4,5, тобто . Позначимо норму за 1. Норма виконана з перевищенням у 1 : рази, тобто вона виконана на 150%, а перевиконана на 50%.

  Якщо людина не вносить своєчасну плату за що-небудь, то на неї може накладатися штраф – «пеня». Припустимо пеня складає 1% від суми плати за кожний день прострочення. Тоді, наприклад, за 20 днів прострочення сума пені складе 20% від суми плати. І зі 100 грн людина повинна буде внести пеню 100 · 0,2 = 20 грн, тобто всього заплатити 120 грн.

 У різних випадках, для різних людей сума плати, час прострочення і пеня різні. Тому виникає необхідність скласти формулу оплати, яку можна використати при різних обставинах.

 Позначимо: S – щомісячна плата, р% - пеня, п – кількість прострочених днів. Тоді, пеня, яку людина має заплатити за прострочення складе пр% від S, тобто 0,01рпS, а всього людині доведеться заплатити S + 0,01рпS  = S(1 + 0,01рп).

 Таку ж формулу використовують і у банках, якщо деяка величина збільшується або зменшується на однакову кількість відсотків за кожний фіксований період часу. Ця формула описує багато конкретних ситуацій і називається формулою простого відсоткового зростання.

Задача. При якій відсотковій ставці на місяць вклад на суму 1000 грн збільшиться за рік до 1480 грн ?

Використаємо формулу простого відсоткового зростання. Підставимо замість  S_п величину кінцевої суми - 1480, замість  S величину початкового вкладу - 1000 і замість п кількість місяців – 12. Отримаємо і розв’яжемо рівняння: 1480 = 1000(1 + 0,01·12·р); 1480 = 1000 + 120р; 120р = 480; р = 4. Отже, відсоткова ставка повинна становити 4% на місяць.

Учитель. У банках для деяких видів вкладів (так званих термінових вкладів, які не можна взяти раніше, ніж, скажімо, через рік) прийнята така система нарахування: за перший рік перебування вкладеної суми в банк на рахунку нараховується, наприклад, 18% від неї. Якщо наприкінці року вкладник не зняв з рахунку ці гроші – «проценти» як їх звичайно називають, то вони приєднуються до вкладеної суми і наприкінці другого року 18% нараховуються уже із збільшеної суми. В даному випадку «відсотки» нараховуються на «відсотки».

Учитель Для виведення формули складних відсотків розв’яжемо таку задачу: початковий внесок в банк дорівнює S грн. За рік нараховується р відсотків. Обчислити суму внеску через п років.

Через 1 рік сума внеску буде: S + S · 0,01р = S(1 + 0,01р).

Через 2 роки сума внеску буде: S(1 + 0,01р) + S(1 + 0,01р) · 0,01р =

                           S(1 + 0,01р) · (1 + 0,01р) = S(1 + 0,01р)².

Через 3 роки сума внеску буде: S(1 + 0,01р)² + S(1 + 0,01р)² · 0,01р =

                          S(1 + 0,01р)² · (1 + 0,01р) = S(1 + 0,01р)³.

Тобто через п років сума внеску буде: S(1 + 0,01р)^п.

Відмінність простого відсоткового зростання і складного відсоткового зростання полягає в тому, що при простому зростанні відсоток кожний раз обчислюють, виходячи з початкового значення величини, а при складному зростанні відсоток обчислюється від попереднього значення. Ця формула використовується не тільки в банковій діяльності, але і в будь-якій ситуації, коли розглядувана величини збільшується або зменшується на певну кількість відсотків, рахуючи від її попереднього значення.

Задачі про вклади на депозит

Учитель Залучення коштів на депозит здійснюється за певною відсотковою ставкою. Відсоток — це засіб стимулювання залучення депозитів (вкладів) у банк. Розмір відсоткової ставки за депозитами визначається двома основними чинниками: 1) сумою вкладу; 2) строком розміщення коштів.

Ставка депозитного відсотка є відношенням суми грошових коштів, що сплачуються у вигляді відсотка, до суми коштів, які одержані у вигляді депозиту. Порядок нарахування і виплати відсотків, розмір відсоткової ставки за вкладом обумовлюються в депозитному договорі. Відсоток має стимулювати вкладників до тривалого збереження грошових коштів на банківських рахунках, тобто збереження коштів в організованих формах.

Такого типу задачі бувають двох типів:

1) задачі на прості відсотки;

2) задачі на складні відсотки.

Учитель Задача. Початковий внесок у банк дорівнює 750 гривень (місячна стипендія студента вищого навчального закладу), за рік нараховується 20%. Знайти суму внеску через 5 років. Один учень розв’язує задачу біля дошки.

S = 750(1 + 0,01 · 20)⁵ = 750 · 1,2⁵ ≈ 750 · 2,488 ≈ 1866 (гривень)

А тепер розглянемо задачу на відсотки, яку уже не можна віднести до виду найпростіших.

Задача. Ціну товару спочатку знизили на 20%, потім нову ціну знизили ще на 10% і, нарешті, після перерахунку провели зниження ще на 5%. На скільки відсотків всього знизили початкову ціну товару?

Розв’язання.

Цю задачу простіше розв’язати арифметично, не складаючи рівняння.

1. Нехай початкова ціна товару х грн.
2. Після першої знижки ціна товару буде: х – 0,2х = 0,8х грн.
3. Після другої знижки: 0,8х – 0,1 · 0,8х = 0,72х грн.
4. Після третьої знижки: 0,72х – 0,05 · 0,72х = 0,684х грн.
5. Всього ціна товару знизилася на:  х – 0,684х = 0,316х грн.
6. Складемо пропорцію:   х – 100%

                                             0,316х – у%;

Звідси   у% = (0,316х · 100%) : х = 31,6%.

Відповідь. На 31,6%.

Самостійна робота

Варіант І:. Вкладник поклав в банк 1000 грн. під 3% . Яка сума буде в нього на рахунку через 5 років.

Варіант ІІ:. При 10% річних початковий капітал 1000 грн,  поклали в банк. Яка сума грошей буде на рахунку  через 2 роки?

 Взаємоперевірка

VII. Підсумок уроку.

1. Відсоток – це…
2. Запишіть звичайним дробом 85%, 50%, 25%, 20%, 10%.
3. Запишіть число у відсотках: 0,22; 2,5; 1; 0,5.
4. Збільшити число на 100% означає…
5. Зменшити число на 50% означає…
6. Запишіть формулу складних відсотків
7. 15 хвилин – це …% години.
8. Якщо сторону квадрата збільшити на 10%, то периметр збільшиться на …%.
9. У 15 кг 6відсоткового розчину міститься … кг солі.
10. Якщо покласти до банку 10 000 гривень під 4% річних, то через рік на банківському рахунку буде … гривень.

Виставлення оцінок: за правильне розв’язання самостійної роботи– 5 балів

                                      за правильні відповіді на запитання – 5 балів

                                      за інші відповіді упродовж уроку до 2 балів

Вправа  «Незакінчені речення»

• На сьогоднішньому уроці я дізнався...
• На сьогоднішньому уроці найважливішим відкриттям для мене було...
• На початку уроку я поставив перед собою ціль. Ось як я її досягнув…

VIII. Домашнє завдання ______________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Самостійна робота

Варіант І:. Вкладник поклав в банк 1000 грн. під 3% . Яка сума буде в нього на рахунку через 5 років.

Варіант ІІ:. При 10% річних початковий капітал 1000 грн,  поклали в банк. Яка сума грошей буде на рахунку  через 2 роки?

1. Відсоток – це…
2. Запишіть звичайним дробом 85%, 50%, 25%, 20%, 10%.
3. Запишіть число у відсотках: 0,22; 2,5; 1; 0,5.
4. Збільшити число на 100% означає…
5. Зменшити число на 50% означає…
6. Запишіть формулу складних відсотків
7. 15 хвилин – це …% години.
8. Якщо сторону квадрата збільшити на 10%, то периметр збільшиться на …%.
9. У 15 кг 6відсоткового розчину міститься … кг солі.

Самостійна робота

Варіант І:. Вкладник поклав в банк 1000 грн. під 3% . Яка сума буде в нього на рахунку через 5 років.

Варіант ІІ:. При 10% річних початковий капітал 1000 грн,  поклали в банк. Яка сума грошей буде на рахунку  через 2 роки?

10. Відсоток – це…
11. Запишіть звичайним дробом 85%, 50%, 25%, 20%, 10%.
12. Запишіть число у відсотках: 0,22; 2,5; 1; 0,5.
13. Збільшити число на 100% означає…
14. Зменшити число на 50% означає…
15. Запишіть формулу складних відсотків
16. 15 хвилин – це …% години.
17. Якщо сторону квадрата збільшити на 10%, то периметр збільшиться на …%.
18. У 15 кг 6відсоткового розчину міститься … кг солі.

Самостійна робота

Варіант І:. Вкладник поклав в банк 1000 грн. під 3% . Яка сума буде в нього на рахунку через 5 років.

Варіант ІІ:. При 10% річних початковий капітал 1000 грн,  поклали в банк. Яка сума грошей буде на рахунку  через 2 роки?

19. Відсоток – це…
20. Запишіть звичайним дробом 85%, 50%, 25%, 20%, 10%.
21. Запишіть число у відсотках: 0,22; 2,5; 1; 0,5.
22. Збільшити число на 100% означає…
23. Зменшити число на 50% означає…
24. Запишіть формулу складних відсотків
25. 15 хвилин – це …% години.
26. Якщо сторону квадрата збільшити на 10%, то периметр збільшиться на …%.
27. У 15 кг 6відсоткового розчину міститься … кг солі.

Самостійна робота

Варіант І:. Вкладник поклав в банк 1000 грн. під 3% . Яка сума буде в нього на рахунку через 5 років.

Варіант ІІ:. При 10% річних початковий капітал 1000 грн,  поклали в банк. Яка сума грошей буде на рахунку  через 2 роки?

28. Відсоток – це…
29. Запишіть звичайним дробом 85%, 50%, 25%, 20%, 10%.
30. Запишіть число у відсотках: 0,22; 2,5; 1; 0,5.
31. Збільшити число на 100% означає…
32. Зменшити число на 50% означає…
33. Запишіть формулу складних відсотків
34. 15 хвилин – це …% години.
35. Якщо сторону квадрата збільшити на 10%, то периметр збільшиться на …%.
36. У 15 кг 6відсоткового розчину міститься … кг солі.