Використання інтеграла для обчислення об’ємів

Використання інтеграла для обчислення об’ємів

Інтегральне численняІнтегральне числення - це потужний математичний інструмент, який використовується для вирішення широкого кола задач, включаючи обчислення об'ємів. Цей метод дає змогу знаходити об'єми складних фігур, з якими неможливо впоратися за допомогою елементарних геометричних формул.

Формула Ньютона - Лейбніца. Перш ніж перейти до вивчення теми: «Використання інтеграла для обчислення об’ємів», слід згадати формулу Ньютона – Лейбніца, яка допомагає обчислювати визначений інтеграл. Якщо функція y = f (x) неперервна на проміжку [a; b], то справедлива є дана формула.

Загальні основні властивості інтеграла. Для випадку a > b приймемо за означенням, що При a=b також за означенням, Якщо функція f(x) неперервна на [a;b] і c ∈ [a;b], то Інші властивості:

Вивчаючи попередні теми, ми стверджували, що за допомогою визначеного інтеграла для знаходження площі плоских фігур. Сьогодні ми з’ясуємо, яким чином ми можемо застосувати визначений інтеграл для знаходження об’ємів тіл.

Введемо тіло Т, об’єм якого необхідно знайти між двома паралельними площинами 𝛼 і 𝛽. Введемо систему координат, так щоб вісь ОХ 𝛼, ОХ 𝛽, абсциси точок перетину всі ОХ з площинами 𝛼 і 𝛽, позначимо a і b. ┴ ┴

Обчислення об'єму обертових тіл: Перший приклад, що варто розглянути, - це обчислення об'єму обертових тіл. Нехай маємо функцію f(x), яка визначена на відрізку [a,b] та не менше нуля на цьому інтервалі. Якщо цю функцію обернути навколо вісі x (або y), отримаємо об'єм тіла. Цей об'єм можна обчислити за допомогою наступного інтегралу:

Приклад 1: Нехай маємо функцію f(x)=x2 на інтервалі [0,1] Обчислимо об'єм тіла, яке утворюється обертанням цієї функції навколо вісі x: V = 𝝅𝟎𝟏𝒙𝟒𝒅𝒙=𝝅∙𝟏𝟓 = 𝝅𝟓 

Обчислення об'ємів методом пластин: Ще одним методом використання інтегралів для обчислення об'ємів є метод пластин. Зазвичай використовується у випадку, коли об'єм потрібно знайти обертаючи область між двома функціями навколо вісі x або y. Для цього обчислюється площа пластин, паралельних осі обертання, і потім ці пластини інтегруються вздовж відповідного інтервалу.

Приклад 2 Розглянемо обчислення об'єму об'єм тіла, утвореного обертанням області між функціями 𝑦= 𝑥2, 𝑦= 𝑥 навколо вісі х: 𝒗= 𝝅𝟎𝟏(𝒙𝟒−𝒙) 𝒅𝒙= 𝝅∙𝟏𝟓= 𝝅𝟓 

Об'єм тіла V, утвореного обертанням навколо осі Ox фігури, де y1(x) і y2(x) - неперервні невід'ємні функції, дорівнює визначеному інтервалу від різниці квадрату функцій yi(x) за змінною x Об'єм тіла V, утвореного обертанням навколо осі Oy фігури, де y(x) - однозначна неперервна функція, дорівнює визначеному інтегралу, розрахованому за формулою

Об’єм тіла обертання знаходиться за однією з формул:𝑣= 𝜋𝑎𝑏𝑓𝑥2𝑑𝑥 - якщо обертання криволінійної трапеції навколо осі ОХ𝑣= 𝜋𝑎𝑏𝜑𝑦2𝑑𝑦 - якщо обертання криволінійної трапеції навколо осі ОУ 

Приклад 3 Переріз тіла площиною, яка перпендикулярна до осі ОХ, проходить через точку з абсцисою «х» є квадратом, сторона якого дорівнює 1х. Знайти об’єм тіла. Скористаємося формулою: 𝑣= 𝑎𝑏𝑠𝑥𝑑𝑥 За малюнком бачимо, що границями інтегрування будуть числа a = 1, b = 2. Так, як переріз площини – квадрат, тоді площа перерізу дорівнює: V= 𝟏𝟐𝟏𝒙𝟐𝒅𝒙= 𝒙−𝟐+𝟏−𝟐+𝟏𝟐𝟏= −𝟏𝒙=−𝟏𝟐−−𝟏=−𝟏𝟐+𝟏= 𝟏𝟐