Використання софізмів на уроках геометрії як засобу формування критичного мислення

Використання софізмів на уроках геометрії як засобу

формування критичного мислення

Руденко Валентина Олександрівна – вчитель математики Мар’янівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Маловисківської районної ради Кіровоградської області, Заслужений учитель України, учитель-методист.

Анотація

У статті описано досвід формування критичного мислення на уроках математики з акцентами на контрприкладах   та перших зустрічах із софізмами. Наводяться методичні рекомендації по організації вивчення геометрії на основі свідомого та глибокого розуміння.

Ключові слова – контрприклад, софізм, розбір софізму, критичне мислення, суперечність.

Беручи за основу слова Мартіна Гарднера «Математичний софізм - дивовижне твердження, в доказі якого криються непомітні, а часом і досить тонкі помилки», вчителю варто застосовувати можливості таких міркувань для організації глибокого та свідомого розуміння математики. У будь-якій області математики - від простої арифметики до сучасних, складніших областей - є свої софізми. В кращих з них міркування, з ретельно замаскованою помилкою, дозволяють приходити до найнеймовірніших висновків. Математичні софізми розвивають спостережливість і вдумливість, привчають ретельно стежити за точністю формулювань, правильністю записів і креслень, за законністю виконуваних операцій, що є основою критичного мислення, розвиток якого дозволить не тільки успішно освоїти точні науки, але й не виявитися жертвою шахраїв в житті. Наприклад, при оформленні кредиту в банку, не виявитися довічним його боржником чи підписанні договору купівлі-продажу майна не залишитися на вулиці (ось вам і компетентнісний підхід).  Ну, і, нарешті, розбір софізмів - захоплюючий процес, витончена гімнастика для розуму.

Починати таку кропітку роботу слід із контрприкладів, загострюючи увагу учнів на помилках у висловлюваннях товаришів під час уроків математики уже у середніх класах. Вважаю таку діяльність пропедевтичною для готовності школяра до сприйняття софізмів. Учителю часто доводиться спостерігати, як школярі, формулюючи те чи інше твердження, не завжди точно дотримуються  змістовної  лінії поняття. Упускаючи певні елементи в означенні чи теоремі, не розуміють помилковість такого формулювання, та не усвідомлюють у чому його хибність. Для досвідченого педагога – такий підхід є сигналом про можливі  майбутні серйозні прогалини у знаннях школяра, якщо вчасно не вказати дитині на той факт, що перефразування твердження (аналог термін «своїми словами») не означає втрату певних важливих моментів предикату, головне при цьому - передати правильно зміст математичного висловлювання. Так, наприклад, якщо учень, формулюючи означення діаметра, говорить «Це є фігура, що складається із двох радіусів», то виникає ризик, що і ламана, яка утворена двома радіусами теж може називатися діаметром, або інше: «Медіана – це відрізок, що ділить сторону навпіл», тоді будь-який відрізок, який проходить через середину сторони трикутника є медіаною. Якщо вчасно школяру не  вказати на помилковість таких перефразувань, то у подальшому навчанні він звикне на такі «дрібниці» (з його точки зору) не звертати увагу, і, що прикро, переконувати дитину у хибності  такого підходу ставатиме все важче. Разом із тим, привчаючи учнів до вміння дотримуватися ключових  положень твердження, ми спостерігаємо, що із часом школярі самі починають вникати у змістовні лінії математичних істин та вчаться спростовувати неправильні формулювання, помічають навіть найменші недоречності у висловлюваннях товаришів.

Так, при вивченні теми «Бісектриса кута» (геометрія 7) можна запропонувати задачу, яка передбачає варіанти відповіді на поставлене запитання:

• «У мене на малюнку зображено кут і промінь», сказав учень. «А що відомо про цей промінь?» – запитав учитель. Учень дав відповідь, з якої вчитель зробив висновок, що промінь не є бісектрисою кута. Яку відповідь міг дати учень?

При вивченні теми «Геометричні побудови» пропоную задачі, в яких ставиться завдання: спростуйте твердження ⎯

• Прикладами хорд кола є радіуси і діаметри.
• Пряма, перпендикулярна до радіуса кола, дотикається до цього кола.
• Якщо два кути трикутника гострі, то він гострокутний

Проводячи повторення геометрії 7, цікавими є задачі такого змісту:

1. Учень формулює геометричні твердження. Чи немає в них неточностей? Якщо є, то усуньте їх та переконайте учня, що він помилився:

• До однієї і тієї ж прямої не можна провести двох перпендикулярів.
• Зовнішній кут трикутника завжди дорівнює сумі двох внутрішніх кутів цього трикутника.
• Медіана трикутника завжди є його бісектрисою і висотою.
• Дві півпрямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
• Я побудував трикутник, який одночасно є прямокутним і тупокутним, оскільки в нього один кут гострий, другий тупий, а третій прямий.
• Медіана – це лінія, яка сполучає вершину трикутника із серединою його протилежної сторони.
• Хорда – це відрізок, який має з колом дві спільні точки.

Під час вивчення теми «Чотирикутники» (геометрія 8) доцільно пропонувати учням такі задачі:

2. Чи правильно буде, якщо деякі твердження перефразувати так:
   • Якщо в чотирикутнику діагоналі не перпендикулярні, то цей чотирикутник не ромб.
   • Якщо в паралелограмі діагоналі нерівні, то він не може бути прямокутником.
   • Кожен квадрат є прямокутником.
   • Існує ромб, який є прямокутником.
   • Ніякий прямокутник не є ромбом.
   • Існує квадрат, який не є ромбом.

Такі завдання можна пропонувати учням за допомогою інтерактивних вправ, користуючись послугою сайту http://learningapps.org/about.php (можна створювати самостійно, можна скористатися уже створеними).

Рис.1

Рис.2

У 2003 році у видавництві "Просвіта" вийшла книга А.Г. Мадери і Д.А.Мадери "Математичні софізми", в якій понад вісімдесят математичних софізмів, по крупицях зібраним з різних джерел. Цитата з книги: "Математичний софізм являє собою, по суті, правдоподібне міркування, що приводить до неправдоподібному результату. Виявлення та аналіз помилки, укладеної в софізм, найчастіше виявляються більш повчальними, ніж просто розбір рішень "безпомилкових" завдань. Ефектна демонстрація, "докази" явно невірного результату, в чому і полягає сенс софізму, є підтвердженням того, до якої нісенітниці призводить нехтування тим чи іншим математичним правилом, а подальший пошук і розбір помилки, що призвела до суперечності, дозволяють на емоційному рівні зрозуміти і "закріпити" те чи інше математичне правило або твердження». Отже, розбір софізмів - важливий етап, який також розвиває логічне мислення, тобто прищеплює навички послідовних міркувань. Виявити помилку в софізмі - це означає усвідомити її, а усвідомлення помилки попереджає від повторення її в інших математичних міркуваннях. На цьому етапі дуже зручно користуватися таблицею, що сприяє детальному  розбору софізму та встановленню істини, особливо при перших зустрічах із міркуваннями такого типу.

Знаменитий російський фізіолог І.П.Павлов говорив, що "правильно зрозуміла помилка - це шлях до відкриття". Софізми сприяють підвищенню строгості математичних міркувань і більш глибокому з'ясуванню понять і методів математики.  

Наведу деякі фрагменти уроку-проекту з геометрії-7, тема “Геометричне місце точок”, на якому учні вперше створювали власні софізми. Звісно, на те вони і перші, щоб мати свої вади та недоречності, але готовність школярів до сприйняття у подальшому строгих міркувань підвищилась і, що важливо, перше знайомство виявилося приємним та пам’ятним, судячи із відгуків дітей.

Мета проекту

• Інтелектуальний розвиток особистості, залучення учнів до активної пізнавальної діяльності.
• Всебічний аналіз поняття "софізму", встановлення зв'язку між софістикою і математикою.
• Через розбір математичних софізмів розвивати вміння та навички критичного та логічного мислення.
• Формування вміння застосовувати на практиці отримані на уроках знання, а також уміння самостійно конструювати свої знання, орієнтуватися в інформаційному просторі.
• Розвиток комунікативних здібностей, формування вміння працювати у співпраці.

Очікувані результати

• Уміння грамотно формулювати завдання проекту, розробляти план дослідження.
• Уміння орієнтуватися в інформаційному просторі, аналізувати інформацію і робити висновки.
• Уміння грамотно інтерпретувати результати поставлених завдань і застосовувати їх у практичній діяльності.
• Уміння працювати в команді, комунікативність і відповідальність за загальну справу.

Анотація проекту

Учні вивчали меню та послуги програмного середовища DG, об’єднавшись у 5 груп. Розподіл у групи здійснювався колегіально з огляду на добровільність та під керівництвом учителя, дотримуючись принципу диференціації,  групи були сформовані гетерогенні. Кожна група отримала 4 завдання: зробити рисунок та розв’язати задачу на знаходження ГМТ, приготувати рисунок до задачі на знаходження елементів кола (запропонувати знайти шлях розв’язку іншим групам), скласти геометричний софізм, придумати заклики до вивчення геометрії. Підготовка проекту тривала близько двох тижнів, періодично групи з’являлись на консультацію. Результати проекту можуть бути використані на уроках геометрії, як для навчальної роботи (диктанти, самостійні роботи, усні вправи )так і для позакласної (заклики, вірші, акровірші, кросворди, загадки).

Створені софізми

№1 Оповідка про висоту

 Жила-була дівчинка і звали її Висота. Будинком для неї слугував Трикутник, тата звали Кут, а маму – Вершина. Висота мала двох сестер – Медіану і Бісектрису. Сестри були молодші ніж Висота і їм батьки не дозволяли покидати межі будиночка, а для Висоти обмежень не було – вона могла гратися де завгодно. Чому?

№2 Казка про найкоротший відрізок

 На розі вулиці Трикутної стояв будинок дуже схожий на трикутник АВС. Усередині будинку відбувалися дивні речі. Щоранку із кожного кута виходили три малесенькі іграшкові Дюймовочки і вирушали квапливо до протилежної сторони найкоротшою доріжкою. Чи зустрінуться іграшкові дівчатка у одному місці, чи перетнуться їх шляхи? Підкажіть дівчаткам яка доріжка найкоротша.

№3 Софізм про зовнішній кут трикутника

Сталося це у країні Геометрія у містечку Трикутне, бо всі будинки мали форму трикутників, проте різнилися за своєю будовою. У одному такому будиночку проживав чоловік, який дуже пишався, що крім внутрішніх кутів мав ще і зовнішній кут. Особливою його гордістю була теза: “Мій зовнішній кут дорівнює моєму внутрішньому куту”, але сусіди часто недовірливо ставилися до його вигадок. Підтвердіть або спростуйте висловлювання господаря дому.

№4 Софізм про два трикутники

Жили собі у великому місті Геометрія два брати-трикутники. І мама у них була одна — Ознака, і тато один — Косинець, і дуже схожі між собою брати були, а все ж рівними їх так і не називали, хоч мали вони по дві однаковісінькі  рівні сторони і по одному рівному куту. Хто здогадається у чому тут справа?

№5 Софізм про рівнобедрені трикутники

         У королівстві трикутників жили два друга – рівнобедрені трикутники. І прокотилася звістка, що виходити за межі країни не дозволяється. Та заборони не для наших знайомих. Пробралися вони через кордон та й потрапили у пазурі страшного чаклуна. Стали проситися додому, а він сказав: “Якщо знаєте теореми про себе та ще й правильно їх сформулюєте, то відпущу”.

От Перший каже: “ У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, а бісектриса є медіаною і висотою”. Засміявся чаклун і не відпустив Першого.

Почав Другий: “ У рівнобедреному трикутнику проти рівних кутів лежать рівні сторони, а проти рівних сторін лежать рівні кути”.

Чаклун розізлився, а змушений був відпустити Другого. Чому? Поясніть.

№6 Софізм про таємничу фігуру

У тридев'ятому царстві, тридесятому государстві королю наснився сон: нібито прийшла до нього провидиця і сказала велику таємницю, що коли хоче не старіти, то носити йому слід на грудях знак у вигляді фігури, яка не має кутів. Проснувся король та і скликав до себе придворних мудреців, щоб вони фігуру таку знайшли і зробили для його вічного життя такий знак. Мудреці справилися із завданням, а ви?     

Відгуки учнів

Сподобалося:

• було дуже цікаво спостерігати за друзями, ще хочу таких уроків;
• наполегливість членів моєї команди до перемоги;
• малювати геометричні рисунки з допомогою DG;
• були посильні для мене завдання;
• працювати у групі дружно;
• ми були однією командою;
• спілкування і можливість радитися у групі;
• капітан розподіляв завдання для всіх порівно;
• завзяття капітана.

Не сподобалося:

• не всі однаково старалися у команді;
• не вдалося правильно розв'язати задачу у DG;
• дехто намагався завищити свою оцінку;
• ми не перемогли, але наступного разу не уступимо;
• багато часу витратили на нескладні міркування.

Познайомитися із матеріалами проекту можна на моєму блозі «Математика для всіх» публікація від 1 квітня 2015 р (http://mathematics-for-you.blogspot.com/search?updated-max=2015-05-19T17:20:00%2B03:00&max-results=3&start=3&by-date=false)

 Кілька слів про методичні аспекти питання. Для розвитку пізнавальної діяльності математичні софізми можна застосовувати при вивченні математики (алгебри та геометрії) у таких випадках:

• на уроках, щоб зробити їх більш цікавими, для створення проблемних ситуацій;
• в домашніх завданнях, для більш осмисленого розуміння матеріалу, пройденого на уроках (знайти помилку в МС, придумати свої МС);
• при проведенні різних позакласних математичних змагань, для різноманітності;
• на заняттях факультативів, для більш глибокого вивчення тем математики;
• при написанні реферативних та дослідницьких робіт.

Мета застосування МС  на уроках математики :

• вивчення історичного аспекту теми ;
• створення проблемної ситуації при поясненні нового матеріалу ;
• перевірка рівня засвоєння вивченого матеріалу;
• для цікавого повторення і закріплення вивченого матеріалу.

Список використаних джерел:

1. Бевз Г.П., Бевз Г.В., Владімірова Н.Г. Геометрія 7-9. – К.: Вежа, 2001.
2. Власенко К. В., Скафа О. І. Актуалізація евристичних ситуацій на уроках геометрії (за матеріалами основної школи) для учителів і учнів . – Х.: Вид. група «Основа», 2010. – 159 с. (Б-ка журн. «Математика в школах України»; Вип. 2 (86)).
3. Гайштут А., Литвиненко Г. Планиметрия: Задачник к школьному курсу. – М.:АСТ-ПРЕС: Магистр-S, 1998. – 112c..
4. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. М.: «Наука», 1978–128 с.
5. Гончарова І.В. Евристики в геометрії: факультативний курс. Х.: Основа, 2004. – 112 с.
6. Дичківська І. М. Інноваційні педагогічні технології. К.: «Академвидав», 2004. – 352 с.
7. Матеріали для організації роботи математичного гуртка в 7 класі./ уклад. Л.А.Остапенко, С.Є. Пасько, Д.О. Черничук. – Х.:Вид. група «Основа», 2010. – 124 с. (Б-ка журн. «Математика в школах України»; Вип. 5 (89)).
8. Никольская И.Л. и др. Учимся рассуждать и доказывать. М.: «Просвещение», 1989. – 192 с.