Представлена робота - це розробка уроку з теми "Виникнення і розвиток стереометрії. Аксіоми та наслідки з них", що може бути використана під час уроків геометрії у 10 класі.Мета роботи -
розширити і систематизувати відомості про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі. Дати систематизовані знання про паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, сформувати вміння застосовувати відповідні властивості й ознаки до розв'язування задач.
Тема уроку. Виникнення і розвиток стереометрії. Аксіоми та наслідки з них.
Мета уроку: розширити і систематизувати відомості учнів про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі.
Освоївши матеріал уроку учні повинні:
знати:
вміти:
Хід уроку
І. Вступ
Логічна побудова геометрії
Кожна наука і кожний навчальний предмет у школі оперують певним колом понять, вивчають їх властивості і відношення між ними. Наприклад, фізика вивчає такі поняття, як рух, швидкість, маса, теплота, струм тощо. Граматика оперує поняттями: речення, прикметник, дієслово тощо. Геометрія – це наука про властивості геометричних фігур, і вона має справу з такими поняттями, як геометрична фігура.
– Які ви знаєте види фігур?
Наприклад, трикутник, круг, куб.
– Які відношення між фігурами вивчає геометрія?
Такі відношення між фігурами, як рівність, подібність, паралельність, перпендикулярність.
– Назвіть розглядувані перетворення фігур.
Наприклад, симетрія, поворот, подібність.
– З якими геометричними величинами має справу?
Це довжини відрізка, кола, градусна міра кута, площа, об'єм.
На відміну від інших наук геометрія має специфіку в своїй побудові. Вона побудована дедуктивно.
– Що це означає?
Дедукція (від лат. deduction – виведення) у широкому розумінні – це така форма мислення, коли нова думка виводиться суто логічно з деяких даних думок-посилань. У вужчому розумінні дедукція – це такий умовивід, внаслідок якого одержуються нові знання про предмети або групи предметів на основі вже наявних знань про досліджувані предмети.
– Що вивчає планіметрія? Які її найпростіші фігури?
У планіметрії вивчаються фігури на площині. Найпростішими фігурами в планіметрії є точка і пряма.
Ці два поняття належать до первісних понять, яким умовились не давати означень і використовувати їх при означенні інших понять. Наприклад, серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, яка перпендикулярна до цього відрізка і проходить через його середину. Тут серединний перпендикуляр означається через первісне поняття «пряма».
Потреба в первісних поняттях і їх роль в геометрії саме і пов'язані з дедуктивним характером її побудови. Справді, в геометрії кожне нове поняття, крім первісних, означається або на основі первісних, або на основі раніше означених понять. Розглянемо ще один приклад.
– Що називають квадратом?
Як відомо, квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.
– Через яку фігуру означається прямокутник?
Прямокутник означається через паралелограм, у якого всі кути прямі.
– Дайте означення паралелограма.
Паралелограм означається через чотирикутник.
Маємо ланцюжок понять, який не може бути нескінченним. Тому виникає потреба невелику кількість понять прийняти без означення (первісні поняття), а через них означати інші.
квадрат
прямокутник
паралелограм
первісні поняття
Крім точки і прямої, первісними поняттями планіметрії є поняття „належати” для точок і прямих, „лежати між” – для трьох точок прямої, „довжина відрізка”, „градусна міра кута”. Первісні поняття, як і більшість означуваних, походять від об'єктів, що існують реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття „площина” походить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак площину ми уявляємо необмежене продовженою, вона не має товщини.
– Від якого реального об’єкта абстрагують пряму?
Пряма образ туго натягнутої нитки або дроту. Проте пряма в геометрії не має кінців і уявляється необмежене продовженою, вона не має товщини.
Крім первісних і означуваних понять геометрія оперує твердженнями, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів: аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпростіших фігур (первісних понять) і приймаються без доведення, називаються аксіомами. Твердження, що виражають властивості геометричних фігур і доводяться, мають назву теорем. Потреба і роль аксіом теж спричинені дедуктивним характером побудови геометрії. Тут ми маємо аналогічну схему, бо кожне нове твердження доводиться на основі раніше відомого, вже доведеного твердження і т. д. Оскільки ланцюжок тверджень не може бути нескінченним, виникає потреба невелику їх кількість умовитись прийняти без доведення і використовувати при доведенні інших.
– Проаналізуємо означення „Суміжні кути” з погляду того, через які раніше відомі поняття воно формулюється. Пригадаємо його.
Два кути називаються суміжними, якщо одна їх сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими півпрямими.
– Через які поняття воно означається?
Воно означається через поняття сторона кута та півпряма.
– Виділимо основні поняття, відношення та величини.
Основні поняття: точка і пряма, основні відношення: лежати між, лежати на, основні величини: градусна міра кута.
– Як висновок, розглянемо наступну схему побудови геометрії.
ІІ. Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них.
Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:
Термін „стереометрія” походить від гр. – об'ємний, просторовий і – вимірюю. Оскільки площина – нова найпростіша фігура, то треба сформулювати аксіоми, що виражають властивості площини. Розглянемо три аксіоми стереометрії, зведені в одну таблицю.
Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і система аксіом стереометрії складається з дев'яти аксіом планіметрії і трьох аксіом групи С.
У планіметрії ми мали одну площину, на якій розташовувались всі розглядувані нами фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв’язку з цим формулювання деяких аксіом планіметрії в якості аксіом стереометрії вимагають уточнення. Це стосується аксіом IV, VII, VIII, IX.
IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.
VII. Від півпрямої на площині, що її містить, у задану півплощину можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180○, і лише один.
VIII. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у даній площині у заданому розташуванні відносно даної півпрямої у цій площині.
ІХ. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.
Наслідки з аксіом
Теорема 1. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.
Дано: пряма а, точка В а.
Довести: 1) існує {а, В};
2) єдина.
Доведення
1) Виберемо на прямій а довільну точку А. Проведемо пряму в {А;В} (аксіома І). а і в різні, оскільки В а. За аксіомою С3: а і в визначають площину .
У ході доведення вчитель разом з учнями шляхом системи запитань складає таблицю.
– Яка аксіома стереометрії обґрунтовує можливість проведення площини?
– На яку додаткову побудову наштовхує нас ця аксіома?
– Яка аксіома обґрунтовує можливість проведення прямої?
– Через які точки проведемо ще одну пряму?
– Яка аксіома обґрунтовує можливість вибору точки А?
Твердження |
Обґрунтування |
довільну точку А
провести пряму в
провести площину
через пряму а і точку В |
1. За аксіомою про існування точок, які належать прямій 2. За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки 3. Оскільки точка В не належить прямій а 4. За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку 5. Тому що проходить через а за побудовою, а через В, тому що В належить в; проходить через в за побудовою |
2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).
Нехай існує ще одна площина , що проходить через а і точкуВ. За аксіомою С2: точка В належить прямій а. Це суперечить умові, що В а. Припущення не вірне.
Теорему доведено.
Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
А |
.
В |
Наслідок. Пряма і площина
не перетинаються
(немає спільних точок) перетинаються
(мають одну спільну точку)
(принаймні дві
спільні точки)
(Цю теорему учні доводять зі складанням таблиці і оформлюють вдома самостійно).
Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.
Дано: а.
Довести: 1) існує ;
2) – єдина.
Учитель разом з учнями складає таблицю – колективний пошук доведення, оформлюють доведення учні вдома самостійно.
Твердження |
Обґрунтування |
|
|
Доведення.
1) Проведемо прямі АВ і АС, вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .
2) Доведемо єдиність.
За теоремою 2 (якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині): . За аксіомою С3 така площина єдина.
Теорему доведено.
ІІІ. Задачі на доведення
Задача 1. Точки А, В, С і Д не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АВ і СД не перетинаються.
Доведення.
Нехай прямі АВ і СД перетинаються, тоді за аксіомою С3: , а це означає, що точки А, В, С і Д лежать в одній площині. Отримали протиріччя з умовою задачі. Значить прямі АВ і СД не перетинаються.
Задача 2. Чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть будь-які три з них лежати на одній прямій.
Доведення.
Нехай три точки лежать на одній прямій, а четверта не належить цій прямій. Тоді за теоремою-наслідком 1 можна провести єдину площину, якій належить дані пряма і точка. Це означає, що задані умовою чотири точки належать одній площині. За умовою задачі це не можливо. Значить будь-які три з цих точок не можуть лежати на одній прямій.
IV. Підсумок уроку
Сьогоднішній урок ми присвятили ідеї дедуктивної побудови геометрії, походженню та ролі первісних понять і аксіом, пригадали аксіоми планіметрії, ознайомилися з аксіомами стереометрії та наслідками з них. Завершити урок хочеться прикладами використання аксіом та їх наслідків у виробничій діяльності людини.
Тестові завдання
1) на площині; 2) у просторі?
4. Довести, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину.
5. Чи можна стверджувати, що всі точки кола належать площині, якщо це коло має з даною площиною:
1) дві спільні точки; 2) три спільні точки.
6. Через три точки можна провести дві різні площини. Як розташовані ці точки?