Вища математика навчальний посібник

ОДЕСЬКИЙ МОРЕХІДНИЙ ФАХОВИЙ КОЛЕДЖ

МОРСЬКОГО ТА РИБОПРОМИСЛОВОГО ФЛОТУ

ІМЕНІ ОЛЕКСІЯ СОЛЯНИКА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВИЩА МАТЕМАТИКА

 

 

 

навчальний посібник

 

 

 

 

 

 

 

 

м.Одеса

2024

 

 

Розробник навчального посібника

Новікова О. О. викладач вищої категорії

.

 

Рецензенти:

Іванченко Ф. М., кандидат фізико-математичних наук, доцент,

  викладач Морехідного коледжу технічного флоту

Національного університету Одеської морської академії. 

 

Кудашкіна Л. С., кандидат фізико-математичних наук, доцент

  кафедри «Вища та прикладна математика» Одеського

національного морського університету

 

Федяніна Р. П., заслужений вчитель України, викладач вищої

  категорії, викладач-методист загальнотехнічних

дисциплін Одеського морехідного училища рибної

промисловості ім.О.Соляника

 

Розроблено відповідно до освітньо-професійної програми підготовки фахових молодших бакалаврів.

 

  Навчальний посібник розглянуто на засіданнях циклової комісії фундаментальних загальноосвітньої і рекомендовано для використання курсантами всіх спеціальностей і викладачами.

 

 Посібник складено у відповідності до діючої програми з вищої математики для загальної фахової передвищої освіти з урахуванням спеціальної підготовки молодших спеціалістів з математики.

 Посібник містить основні положення з точки зору професійної орієнтації, є методичним матеріалом при вивченні курсу вищої математики для денної і для заочної форми навчання.

 Даний посібник буде корисним як для аудиторних занять так і для самостійної роботи курсантів, а також допоміжним матеріалом для підготовки викладачів до занять.

 

 

Передмова

 

 Видання посібника з дисципліни «Вища математика» складено відповідно до освітньо-професійної програми підготовки фахових молодших бакалаврів, затверджених Міністерством освіти і науки України у 2013 році.

 Зміст посібника визначається програмою курсу вищої математики для закладів фахової перед вищої освіти. Математика є універсальною мовою, що широко використовується в усіх сферах людської діяльності. На сучасному етапі її роль у розвитку суспільства суттєво зростає, а це вимагає поліпшення математичної підготовки всіх спеціалістів, і зокрема молодших.

 Зміст освіти у закладах фахової перед вищої освіти складається з двох головних органічно пов’язаних частин: загально-освітньої та професійної, тобто такої, яка зорієнтована на тісний зв’язок із здобуваємою професією. Потреби в математиці навчальної та професійної підготовки дещо відрізняються для різних спеціальностей. Разом з цим, можна виділити істотно великий обсяг матеріалу, який присутній у програмах всіх спеціальностей. У вищих навчальних закладах І-ІІ рівнів акредитації, які здійснюють навчання на основі базової загальної середньої освіти, математична підготовка повинна забезпечуватися основним курсом математики. Він забезпечує математичну підготовку на допрофесійному етапі навчання і складає основу математичної освіти, необхідної для забезпечення загальнокультурних потреб, будучи орієнтованим на спеціальну підготовку.

 Однак, він не може задовольняти усі потреби спеціальних дисциплін з усіх спеціальностей. Ці завдання повинні вирішувати додаткові курси, зокрема курс вищої математики.

 Даний посібник з вищої математики – це спроба викласти основні положення з точки зору професійної орієнтації предмету. До деяких понять приведено пояснення, з якими курсанти можуть більш детально ознайомитись у підручниках з вищої математики.

 Посібник є методичним матеріалом у допомогу при вивчені курсу вищої математики як для денної форми навчання, так і для заочної. Це враховано у викладанні матеріалу для всіх спеціальностей. З цією метою в посібнику розібрано великий обсяг практичних завдань, які ілюструють викладений теоретичний матеріал; запропоновано велику кількість завдань для позааудиторної роботи курсантів на додаткових заняттях, на заняттях предметного гуртка, при проведенні олімпіад і для більш глибокого засвоєння матеріалу.

 Кількість і ступінь труднощів їх розв’язання розраховані на міцне закріплення програмного матеріалу.

 При  складанні посібника особливу увагу зверталося на доступність викладеного матеріалу розумінню курсантів.

 Викладання матеріалу дисципліни повністю відповідає сучасним вимогам науки і техніки, має практичну спрямованість у відповідності до освітньо-професійних програм (ОПП).

 У розділі «Елементи аналітичної геометрії» вивчаються властивості геометричних фігур за допомогою особливого метода, так званого метода координат. При цьому широко використовуються знання з алгебри.

 Метод Гаусса зручний для реалізації широкого використання при розв’язанні систем рівнянь на сучасних обчислювальних машинах. Вивчення елементів лінійного програмування підсилює прикладний характер викладання математики, розширює клас розв’язуваних екстремальних задач.

 При вивченні теми «Комплексні числа» з’являється велика можливість у розв’язанні рівнянь, що пов’язане із розширенням множини чисел.

 У розділі «Функція, границя, неперервність» головну увагу приділяється побудові графіків функцій та ілюструванню на них властивостей функцій.

 При введенні понять границі і неперервності функцій широко використовуються графіки як неперервних, так і розривних функцій. Поняття, границі і неперервності пов’язуються з математичним описом неперервних і розривних фізичних процесів.

 При вивченні властивостей неперервних функцій особливу увагу приділяється властивостям неперервної функції на відрізку, на кінцях якого вона приймає значення протилежних знаків. На цій властивості оснований метод інтервалів розв’язання нерівностей.

 Доцільно при вивченні теми «Похідна функції і її використання» спочатку розглянути задачі про миттєву швидкість, про дотичну до кривої. В посібнику цьому приділено певну увагу.

 При викладанні теми «Інтеграл» розглядаються задачі практичної спрямованості, які приводять до понять первісної, невизначеного і визначеного інтегралу.

 У темі «Диференціальні рівняння» основну увагу направлено на складання диференціальних рівнянь при розв’язанні прикладних задач, які мають освітянську цінність і сприяють більш глибокому засвоєнню інших дисциплін.

 При вивченні розділу «Елементи теорії ймовірності» зазначається, що теорія має широке використання в науці і практиці (статистичні методи планування контролю якості і т.п.).

 Даний посібник містить великий обсяг практичного дидактичного матеріалу, який сприяє різносторонньому глибокому засвоєнню предмета «Вища математика».

 Слід зазначити, що дисципліна «Вища математика» відноситься до циклу математичної, природно-наукової підготовки. Здобуття курсантами фахових знань і навичок базується на загальній математичній підготовці, яка є основою для засвоєння необхідних спеціальних дисциплін.

 

 

Глава 1 Елементи лінійної алгебри

 

1.1.Визначники 2-го порядку та їхні властивості.

1.2.Наслідки із властивостей.

1.3.Визначники 3-го порядку так їхні властивості.

1.4.Наслідки із властивостей.

1.5.Системи 3-х лінійних рівнянь та методи їх розв’язання.

1.6.Питання для самоконтролю.

1.7.Приклади розв’язування систем лінійних рівнянь.

1.8.Вправи до самостійної роботи за темою: «Визначники. Системи лінійних рівнянь».

 

 

1.1 Визначники 2-го порядку та їхні властивості

 

Квадратна таблиця називається квадратною матрицею другого порядку.

Числа а₁, а₂, b₁, b₂ – елементи матриці.

Число а₁ b₂ - а₂b₁, - називається визначником матриці і позначається .

Тобто, відповідно означенню .

 

Визначник матриці другого порядку називається визначником другого порядку.

Число а₁, а₂, b₁, b₂ – елементи визначника.

Діагональ, на якій знаходяться елемент а₁ і b₂ називається головною, а діагональ, на якій знаходяться елементи а₂ і b₁ побічною.

 

Правило: Для того, щоб обчислити визначник 2-го порядку, необхідно із добутку елементів які знаходяться на головній діагоналі відняти добуток елементів які знаходяться на        побічній діагоналі.

 

Приклад. Обчислити визначник .

 

Розв’язання. = 2 ∙ 5 – (-3) ∙ 4 = 10 + 12 = 22.

 

 

 

Властивості визначники 2-го порядку

 

Властивість 1. , тобто визначник не зміниться, якщо в ньому замінити строки на стовпці, а стовпці – на строки.

 

Приклад. = 2 ∙ (-5) – 4  (-3) = - 10 + 12 = 2;

 

= -10 – (-3) ∙ 4 = -10 + 12 = 2.

 

 

Властивість 2. , тобто, якщо у визначнику поміняти місцями строки, то визначник проміняє знак.

 

Приклад. = (-2) ∙ 4 – 6 ∙ 3 = -8 – 18 = -26;

 

= 6 ∙ 3 – (-2) ∙ 4 = 18 + 8 = 26.

 

 

Властивість 3. , тобто, якщо всі елементи строки (стовпця) мають спільний множник, то його можна виносити за знак визначника.

 

Приклад. = 3(2 – 12) = - 30.

 

 

Властивість 4. .

 

Приклад. 40 - 21 = 19.

 

= 12 – 6 + 28 – 15 = 19.

1.2 Наслідки із властивостей

 

Наслідок 1. Якщо у визначнику елементи однієї строки (стовпця) відповідно дорівнюють елементам іншої строки (стовпця), то такий визначник дорівнює нулю.

 

Наслідок 2. Якщо у визначнику елементи однієї строки (стовпця) відповідно пропорційні елементам іншої строки (стовпця), то такий визначник дорівнює нулю.

 

Наслідок 3. Якщо до елементів будь-якої строки (стовпця) відповідно додати елементи іншої строки (стовпця), або числа, їм пропорційні, то такий визначник не зміниться.

 

Приклад. 12 + 12 = 24;

 

= -6 + 30 = 24;

 

 

Приклад. = 5 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 11 = 2695.

    Із першої строки  із першого стовпця

винесли 5, із першого винесли 7, із другого

стовпця винесли 7. стовпця винесли 11.

 

 

1.3 Визначники 3-го порядку та їхні властивості

 

          Квадратна таблиця виду: називається квадратною матрицею 3-го порядку, де a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃ – деякі числа.

 

          Число називається визначником матриці і

 

          позначається .

 

 Отже, відповідно до визначення .   (*)

 

 Визначник матриці 3-го порядку називається визначником 3-го порядку.

 Формула (*) зветься розкладанням визначника 3-го порядку за елементами першої строки.

 

Приклад. Обчислити визначник 3-го порядку:

а);

 

 

б) ;

 

 

в) ;

 

 

г) .

 

 

Властивість 1. , тобто визначник не зміниться, якщо у ньому строки замінити на стовпці, в стовпці – на строки.

 

 

Властивість 2. , тобто визначник змінить знак, якщо поміняти місцями дві будь-які строки (стовпця).

Властивість 3. , тобто, якщо елементи будь-якої строки (стовпця) мають спільний множник, то його можна виносити за знак визначника.

 

 

Властивість 4. .

 

 

 

1.4 Наслідки із властивостей

 

Наслідок 1. Визначник, у якого дві будь-які строки (стовпці) однакові, дорівнює нулю.

 

Наслідок 2. Якщо у визначнику елементи однієї строки стовпця) пропорційні елементам будь-якої іншої строки (стовпця), то такий визначник дорівнює нулю.

 

Наслідок 3. Якщо до елементів будь-якої строки (стовпця) відповідно додати елементи будь-якої іншої строки (стовпця), або числа, їм пропорційні, то такий визначник не зміниться.

 

Приклад. Обчислити визначники:

а)  ;

 

 

б)  (із третьої строки віднімемо першу строку)

 

 

 =(тому, що друга строка дорівнює третій).

 

в)(із 1-ої строки віднімемо 2-гу строку) =

 

 

=(тому, що обидві строки пропорційні);

 

 

г) ;

 

 

д)(тому що строки пропорційні),

(із 3-ї строки відняли першу).

 

 

 

1.5 Системи трьох лінійних рівнянь та методи їх розв’язування

 

Лінійним рівнянням із змінними х₁, х₂, ….. х_n називається рівняння такого виду: a₁x₁ + a₂x₂ + …..a_nx_n = b.

 

Розглянемо методи розв’язування систем трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.

 

1.Метод Гаусса Приведення системи лінійних рівнянь до трикутної форми. 

 

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь: (1) . Перетворимо цю систему у рівносильну так, щоб у першому рівнянні невідома х стояла із коефіцієнтом одиниця, а в інші рівняння не входила зовсім. Для цього поділимо почленно перше рівняння системи (1) на коефіцієнт при Х, тобто на 2. Здобудемо перше рівняння нової системи

x – 2y + 2z = 5.

Помножимо це рівняння на 3 (3х -6у + 6 = 15), і додамо до другого рівняння системи (1); потім помножимо x – 2y + 2z = 5 на (-4) і додамо до третього рівняння.                                                                                    (-4x + 8y – 4z = -20)

 

При цьому здобудемо рівносильну (рівнозначну) систему завдань (1), в якій змінну х буде вилучено із другого та третього рівнянь,  тобто система буде такою:

2) Друге та трете рівняння містять лише змінні y i z. Поділимо друге рівняння на 2: y – 2z = -5, бачимо, що коефіцієнт у змінній у дорівнює 1. Помножимо це рівняння на (-5): -5у + 10z = 25 і додамо його до третього рівняння системи, здобудемо 3z = 6. В результаті ми здобули систему:

3) Поділимо трете рівняння на 3 і здобудемо систему (4):

 

 

4)В системі (4) коефіцієнти діагоналі дорівнюють одиниці, а коефіцієнти ліворуч від діагоналі дорівнюють нулю.

 

Така система 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими легко розв’язується:

z = 2;  y = - 5 + 2z = - 1;  x = 5 + 2y – 2z = -1.

        Відповідь: (-1; -1; 2).

 

Система (4) називається трикутною.

Розв’язання системи лінійних рівнянь шляхом приведення до трикутної форми називається методом Гаусса.

 

Приклад 2. Розв’язати систему.

1)вилучимо змінну х із другого і третього рівнянь системи

 

.

Останнє рівняння рівносильне рівнянню 0 = 16, що не можливо.

Отже система (1) не має розв’язків.

 

2.Метод Крамера Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими x, y, z:

1) Систему (1) можна записати так:

 

a_ix + b_iy + c_iz = d_i, і = 1, 2, 3; d_i, a_i, b_i, c_i – деякі задані числа; х, у, z – невідомі.

 

 Як відомо, трійка чисел (x₀; y₀; z₀) називається розв’язком системи (1), якщо при підстановці їх в рівняння системи замість x, y, z ці рівняння стають правильними рівностями.

 Запишемо визначник системи (1): .

Складемо ще три визначника: ∆х, ∆у, ∆z за правилом:

,  ,  

 

Тоді за методом Крамера невідомі x, y, z знаходяться за формулами:

;  ;  .

 

Ці формули називаються формулами Крамера. З цих формул, видно, що система лінійних рівнянь (1) не має розв’язків, якщо визначник системи ∆= 0 і має один розв’язок, якщо ∆ ≠ 0.

 

Приклад 3. Розв’язати систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими за допомогою визначників:

 Розв’язання: обчислимо визначник системи.

 

.

∆ ≠ 0 – це означає, що система має лише один розв’язок.

Обчислимо тепер ∆х, ∆у і ∆z.

 

 

 

 

 

Підставимо знайдені визначники у формули Крамера:

 

;  ;  .

 

        Відповідь: (2; 3; 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6 Питання для самоконтролю

 

1.Визначення матриці 2-го порядку.

2.Визначник 2-го порядку.

3.Визначення матриці 3-го порядку.

4.Визначник 3-го порядку.

5.Властивості визначників 2-го та 3-го порядків.

6.Метод Гауса. Розв’язування систем 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими.

7.Метод Крамера. Розв’язування систем 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими.

 

 

 

1.7 Приклади розв’язування систем лінійних рівнянь

 

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь:

 

1.;

 

2.

 

3. .

 

4.

 

5.

 

6.

7. .

         Відповідь: (4; 3; 2)

 

Приклад 2. Розв’язати систему:

  

 

 ; .

 

 

;  ;  .

 

        Відповідь: х = 1; у = 2; z = 3.

 

Приклад 3. Розв’язати систему:

 

 1.

 

 2.

 

 3.

 

 4.

 

За формулами Крамера, маємо:

 

;  ;  .

 

Перевірка: 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 +1 = 14; 14 = 14;

        Відповідь: (2; 3; 1)

 

 

1.8 Вправи до самостійної роботи за темами:

«Визначники. Системи лінійних рівнянь»

 

1.Обчислити визначники 2-го порядку:

1.;  2.  ;  3.

 

 

 2.Обчислити визначники 3-го порядку:

а.;   б.

 

в. ;   г.

         Відповідь: а)27; б)375;

в)-217; г)ab.

 

 3.Розв’язати системи рівнянь:

1.;    2.

 

3. ;    4. ;

5. ;   6. ;

 

7. ;    8. ;

 

9. ;    10. ;

 

11. ;   12. ;

 

13. ;    14. ;

 

15. ;   16. ;

 

17. .

 

 

Відповіді:

1.(0; 5; -1);  2.(5; 4; 3);  3.(-1; 3; 1);  4.(2; 0; -1);

5.(0; 4; -1);  6.(1; -2; 5);  7.(1; 2; -2);  8.(3; 2; 1);

9.(2; 3; 1);  10.(-3; 2; -1); 11.(2; 3; 1);  12.(-2; 1; 4);

13.Ø;   14.(-1; 10; 0; 15.(1; 2; 2);  16.(∞);

17.(2; 0; 1).

 

 

 

 

 

Глава 2 Комплексні числа

2.1 Історія розвитку поняття про число

 

 «Математика, - писав, Ф.Енгельс – це наука про величини; вона виходить з поняття величини».

Число є одним з основних понять математики. Поняття числа розвивалось у тісному зв’язку з вивченням величин: цей зв’язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини і користуватися числами. Тому вивчення величин залишається одним з найважливіших завдань математики.

Розглянемо, як виникло уявлення про число і як воно поступово розширювалось і узагальнювалось.

Спочатку формувалось поняття натурального числа, як результат лічби окремих предметів. Потім у процесі вимірювання різних величин виникали дроби, які історично є першим розширенням поняття натурального числа.

Надалі вирішальну роль у розвитку поняття числа відіграли задачі, які зводились до розв’язування алгебраїчних рівнянь, а також задачі, пов’язані з необхідністю введення обернених алгебраїчних операцій (поняття від’ємного, ірраціонального й комплексного чисел).

 

 

Натуральні числа

Термін «натуральне число» вперше ввів римський філософ, автор праць з математики і теорії музики Боецій (480-524), але ще грецький математик Нікомах говорив про натуральний, тобто природний, ряд чисел. Поняттям «натуральне число» у сучасному розумінні його послідовно користувався видатний французький математик, філософ – просвітитель Даламбер (1717 – 1783).

Виникнення поняття натурального числа – питання загальної історії культури. Розвиток цього поняття ми, звичайно, не можемо простежити за безпосередніми джерелами. Порівняно недавні дослідження дають змогу зробити висновок, що рівень арифметичної культури вавилонян за 2 – 3 тис. років до н.е. був досить високий. Відомо, що первісні люди з’явились на Землі понад 2 млн. років тому. Однак тільки за 4 – 5 тис. років до н.е. ми зустрічаємо перші писемні пам’ятки математичних знань.

Натуральне число – одне з найдавніших понять, і всі культурні народи, у яких була писемність, уже мали уявлення про число і ту чи іншу нумерацію, були знайомі з найпростішими арифметичними діями. Безпосередніх відомостей про це немає, однак про виникнення лічби і початкові стадії утворення арифметичних понять свідчать:

1.Дані етнології, які стосуються відсталих у культурному відношенні народів. У деяких місцях земної кулі – в Африці, у центральній частині Південної Америки, Австралії, на деяких островах збереглися племена, які мають дуже низький рівень розвитку. Де-не-де й досі зберігся навіть первісний спосіб життя.

Вивчення таких племен, їх мов, мистецтва дає змогу з’ясувати багато “білих плям» нашої власної стародавньої історії і допомагає дізнатися, як лічили в сиву давнину.

2.Різні історичні пам’ятки: художні вироби, наскельні малюнки, написи на руїнах старих будівель.

Наприклад, аналіз унікальної колекції художніх виробів з палеолітичної стоянки Мальта на річці Бєлой, притоці Ангари, яку зібрав під час розкопок професор М.М.Герасимов, показує, що принаймні в пізньому палеоліті мали існувати вже порівняно розвинуті системи лічби і поняття про такі числа, як 5, 7, 10.

3.Результати вивчення, з одного боку, народних переказів, казок, прислів’їв і приказок, а з другого – мови культурних народів, яка зберігає багато слідів давнини, слідів тих часів, коли ще не вміли писати.

4.Спостереження за дітьми, коли вони навчаються говорити і лічити. Кожна дитина, розвиваючись, ніби повторює розвиток усього людства. Звичайно, цей процес відбувається дуже швидко: той шлях розвитку, на який людству потрібні були тисячі століть, дитина проходить за роки і навіть місяці.

Порівнюючи відомості, взяті з цих чотирьох джерел, можна приблизно відтворити картину того, як опанували лічбу наші далекі предки.

Та неповна картина яку вдається відтворити, має велике значення для спростування ідеалістичних теорій виникнення поняття числа.

Був час, коли людство не мало досить чіткого уявлення про число. Про це свідчать народні перекази, в яких прославляються імена «благодійників», які «відкрили» людству поняття числа. Греки, наприклад, такими благодійниками – винахідниками чисел вважали Паламеда і Прометея.

Звичайно, людей навчили лічити не боги – вони самі поступово, протягом сотен століть, передавали досвід і свої знання з покоління в покоління, розвиваючи і вдосконалюючи мистецтво лічби.

«Поняття числа і фігури – говорить Ф.Енгельс – взяті не звідки-небудь, а тільки з дійсного світу.

Десять пальців, на яких люди вчилися лічити, тобто роботи першу арифметичну операцію, являють собою все, що завгодно, тільки не продукт вільної творчості розуму».

З поняттям числа пов’язувалося поняття яких-небудь окремих предметів, органів людини і тварини. Наприклад, очі, вуха, руки людини, ноги і крила птахів були ніби наочним посібником для формування уявлення про число «два». Будь-який окремий предмет давав уявлення про число «один»: Місяць, Сонце, сама первісна людина («я»). тому замість числа «один» говорили; «Місяць», «Сонце», «Я». Замість числа «два» говорили: «очі», «вуха», «крила».

Людство довго переживало стадію лічби «один, два і багато». Так, вважалось, що «багато» зірок на небі, «багато» пальців на руці. Нам тепер важко уявити народ, який числа, більші за «три», називає одним словом «багато», «купа», «жменя» і т. інше, а тим часом, як свідчать мандрівники й етнологи, такі народи зостаються ще й зараз.

Отже, можна зробити висновок, що перші числівники формувалися в дуже далекі доісторичні часи і, очевидно, створювалися ще до епохи розселення людей.

З числом «три» пов’язано багато назв казок і міфів: «Три істини» (Східна Африка), «Три скарби» (Японська), «Три брати» (Осетинська, німецька, чукотська), «Три джерела» (турецька), «Три яйця принцеси Нага» (бірманська) тощо. Багато прислів’їв і приказок мають серед своїх слів це число: «за тридев’ять земель», «бог трійцю любить», «між трьома соснами», «у три шиї» тощо.

Цікаво, що в багатьох народів світу число «сім» увійшло в легенди, приказки і прислів’я як синонім чогось великого, непорушного. Так, французи, присягаючи, говорять: «твердо, як сім». У грецьких легендах зустрічаємо «сім чудес світу». До них належали:

-піраміди в Єгипті;

-висячі сади Семираміди у Вавілоні;

-храм Артеміди в Ефесі;

-статуя Зевса в Олімпії роботи Фібія;

-Галікарнавський мавзолей;

-колосальна статуя бога Сонця Геліоса на острові Родос («Колос Родоський»);

-Александрійський маяк.

 

Річка Ніл має «сім рукавів» (насправді їх значно більше). Щасливий відчуває себе на «сьомому небі», на «сьомому небі» жили боги, у чарівних казках різних народів зустрічаються «семимильні» чоботи і змії (дракони) з «сімома головами». З числом «сім» пов’язані також назви казок «Семеро козенят» (російська казка), «Сім зірочок» (казка народу Нової Зеландії), «Сім суперників» (ефіопська казка), тощо.

Числом «сім» позначали незначну множину і наші предки. Про це свідчать такі приказки і прислів’я: «Семеро одного не ждуть», «Сім раз виміряй, а один відріж», «Де сім няньок, там дитя каліка», «За кусок кишки сім верст пішки», «Один з сошкою, а семеро з ложкою» і т.д.

Про незрозуміле говорили, що це книжка «за сіма печатками», знахарки в російських казках давали хворому «сім вузличків з лікарською травою. Яку треба настояти на семи водах і протягом семи днів приймати щодня по сім ложок». Віра в чудодійну силу лікування спиралася на число «сім», яке багато разів повторялося. І немає нічого дивного, що згідно з легендами всі великі стародавні міста, у тому числі Рим і Київ, збудовані на семи горбах.

Отже, на цій стадії розвитку суспільства натуральний ряд був скінченним і складався з кількох членів.

Очевидно, така «лічба» була достатньою на тій стадії розвитку людства, коли, грубо кажучи, не було чого лічити – господарство племен було на дуже низькому рівні, ще не існувало зв’язків між племенами.

З розвитком суспільства виникає потреба лічити і запам’ятовувати вже порівняно великі кількості, тому попередній спосіб лічби стає непридатним.

Так поступово і дуже повільно зростав натуральний ряд чисел. Це розширення було пов’язане із зростанням господарської діяльності , розвитком торгівлі, тощо.

З ускладненням соціально-економічних умов життя людини дедалі розвивались і її здібності до абстрактного мислення. Минуло багато тисячоліть, перш ніж людина усвідомила, що два фазани, дві руки, дві людини і т.д. можна назвати одним словом «два».

Так врешті – решт виникли числа, за допомогою яких можна було лічити будь-які предмети. Ці числа назвали натуральними. Натуральний ряд чисел люди довго не уявляли нескінченим, хоч різні народи вже мали назви для дуже великих чисел.

Пізніше, коли числовий запас був уже досить великий, деякі вчені продовжували натуральний ряд, виходячи за межі практичних потреб, і наближалися до поняття нескінченності. Так, за три століття до н.е. у стародавній Індії вже вільно оперували числами  будь-якої величини. Натуральні числа, крім основної функції – характеристики кількості предметів, мають ще й іншу функцію – характеристику порядку предметів, розміщених у ряд. Поняття порядкового числа (перший, другий, і т.д.), яке виникає у зв’язку з цією функцією, тісно переплітається з поняттям кількісного числа (один, два і т.д.).

 

Дроби

З виникненням уявлень про цілі числа виникали уявлення і про частини одинці, точніше, про чистини цілого конкретного предмета. З появою натурального числа n виникло уявлення про дріб виду , який тепер називають основним.

Першим дробом, з яким ознайомилося людство, як неважно побачити, була половина в її точно конкретній формі, саме у вигляді половини якого-небудь реального предмета. Джерело виникнення дробів – процес вимірювання, який з’явився майже одночасно з лічбою. В основі будь-якого вимірювання завжди лежить якась величина (довжина, об’єм, вага і т.д.).

На перших стадіях розвитку людства вимірювали «на око». З дальшим розвитком суспільства виникли деякі натуральні міри: довжина ступні, ширина долоні тощо.

Потреба в точних вимірюваннях привела до того що початкові одиниці мір почали ділити на 2, 3 і більше частин. Є всі підстави припускати, що спочатку існували тільки двійкові дроби. Пізніше до цих дробів було приєднано та її двійкові поділи. Так, ділення аршина на 16 вершків відповідає вимозі, щоб ,, і його частини виражалися цілими числами вершків.

Про дроби з іншими знаменниками іде мова в стародавньому руському математичному творі (1134 р.). у цьому творі автор Кирик ділить 12-годинний день (одиницю) на години,, години – на дробові частини (п’ята частина години), знайдені дробові частини – знову на п’яті частини і т.д. Внаслідок цього утворюється геометрична прогресія із знаменником .

Те, що дроби виникли в результаті вимірювання, а не ділення цілих чисел одного на одне, підтверджується також і деякими відомими з історії прикладами ділення цілих чисел.

Зазначимо, що греки для дробу мали знак, схожий на L, C, а також на S. Це ще раз підтверджує, що раніше виникли уявлення про половину якого-небудь предмета, а потім – про абстрактний дріб .

У Греції дроби широко застосовувались не пізніше V ст. до н.е. Ними користувалися не тільки в задачах обчислювальної геометрії,комерційної арифметики й алгебри, а й у теорії музики.

Дроби у народів Китаю з’явилися майже одночасно з цілими числами задовго до від’ємних чисел. Першими дробами в них були , , , які називаються «половиною», «малою половиною» і «великою половиною». Індійці спочатку виражали частки за допомогою лише дробів , , , , , , , для яких у них були особливі назви  і позначення. Усі інші дроби вони намагалися звести до шести зазначений, і це їм у більшості випадків удавалось.

В ХV ст.. італійський математик Лука Пачолі (1445 – 1515) у своєму творі «Summa» висловлює подив з приводу множення дробів: «Хіба не має суперечності в тому, що дроби, помножені один на одного, дають зменшення, тоді як множення повинно означати збільшення, адже сказано в святому письмі: плодіться, розмножуйтесь і наповнюйте землю».

З цього утруднення він знаходить досить дивний вихід: збільшення, на його думку, означає віддалення від 1, що можна застосувати не тільки до цілих, а й до дробових чисел; у цьому розумінні, на його думку, ( · ) більша від кожного з її співмножників.

Наведемо цитату з Граматеуса (1514): «Слід зазначити, що всякий дріб має 2 цифри, зверху і знизу під лінією. Верхня цифра називається чисельником, нижня – знаменником».

Слід зазначити, що розділ арифметики про дроби довгий час був одним з найважчих. У німців зберігалося навіть прислів’я: «Потрапити в дроби», що означає – зайти в безвихідь. Вважали, що той, хто не знав дробів, не знав і арифметики. Отже, історично першим розширеним поняттям про число є приєднання до множини натуральних чисел множини всіх дробових додатних чисел.

 

 

Введення від’ємних чисел

народами Китаю і Індії

 

Додатні і від’ємні кількості вперше в історії науки розрізняли в Китаї ще понад 2000 років тому. Уже у 8-й книзі збірника «Математика в дев’яти книгах» автори вільно користувалися від’ємними кількостями. У цій книзі є рівняння з від’ємними першими коефіцієнтами і вільними членами. У V – VI ст. від’ємні числа поширюються в індійській математиці. Від’ємними числами індійські математики користувалися під час розв’язування рівнянь, причому віднімання замінювали додаванням до рівного і протилежного числа.

Розв’язуючи задачі на рух, виграш і програш та інші, індійці, очевидно, на досвіді переконалися у зручності від’ємних чисел.

У Європі до ідеї від’ємної кількості досить близько підійшов на початку

XIII ст. Леонардо Пізанський.

 У Європейській науці від’ємні числа почали широк5о застосовуватись тільки з часів великого французького філософа і математика Р.Декарта. Створена Декартом і видатним французьким математиком П.Ферма (1601 – 1665) аналітична геометрія дала змогу розглядати корені рівняння f(x) = 0 як координати точок перетину кривої y = f(x) з віссю абсцис. Це остаточно усунуло принципову відмінність між додатними і від’ємними коренями рівняння, бо їх тлумачення по суті було однаковим. Нуль перестав бути знаком «нічого» і почав розглядатися як число, рівноправне з іншими числами. Від’ємні числа перестали називати «фіктивними», «меншими від нічого».

 У XVI і XVII ст. почалися суперечки щодо природи від’ємних чисел. Було висловлено ряд парадоксів і софізмів, що їх багато математиків вважали достатньою підставою для заперечення об’єктивності поняття від’ємних чисел. Наведемо два з них.

 1.Парадокс Валліса

 З нерівності для натуральних чисел Валліс зробив висновок, що , звідки, наприклад, , тобто ∞ < - 1. Отже, від’ємне число більше за нескінченно велике число. Сам Валліс вважав таке міркування логічно бездоганним. Цю саму точку пізніше висловлював Ейлер, але більшість математиків не погоджувалась з ним.

 2.Парадокс Арно (XVII ст.)

 Чи справджується пропорція 1: (-1) = (-1) : 1? Тут і ліва і права частина пропорції дорівнює (-1), але перший попередній член більший, а другий менший від свого наступного. Чи справді від’ємні числа менші від нуля? На цей парадокс звернув увагу Лейбніц.

 Зазначимо також, що багато математиків протягом XVII – XIX ст. намагалися «довести» правила знаків під час множення від’ємних чисел.

 Такі вчені, як  виданий англійський фізик, механік, астроном і математик І.Ньютон (1642 – 1727), Ейлер і П.Лаплас та ін. відстоювали об’єктивність поняття від’ємної величини. Переважна більшість російських математиків XVIII ст. вважали поняття від’ємної величини об’єктивним і брала активні участь у розробці питань обґрунтування арифметики додатних і від’ємних чисел.

 

Ірраціональні числа

 Сукупність раціональних чисел не має властивості неперервності, тому вона виявилась недостатньою для вивчення величин, які змінюються неперервно. З’явилася потреба розширити поняття числа; приєднавши до раціональних чисел так звані ірраціональні числа, які виражаються через раціональні тільки наближено.

 Ще стародавні греки, вчені так званої Піфагорійської школи відкрили в геометрії несумірні відрізки. Це відкриття було поворотним пунктом в історії античної математики. Важко переоцінити значення цього відкриття.

 Його можна порівняти тільки із значенням неевклідової геометрії для розвитку науки XIX – XX ст.

 Відкриття факту, що між двома відрізками – стороною і діагоналлю квадрата – не існує спільної, навіть як завгодно малої міри, привело до справжньої кризи основ грецької математики.

 Незабаром було встановлено, що несумірність діагоналі й сторони квадрата не є  винятком, що існують й інші величини, відношення яких не можна подати відношенням двох цілих чисел. Сторони квадратів, площі яких дорівнюють 3; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 17, несумірні з стороною одиничного квадрата.

 Відома задача «про подвоєння куба», тобто знаходження ребра куба, який за об’ємом був би в два рази більший від заданого куба, привела греків до ірраціональностей вищого порядку.

 Індійці й араби першими почали розглядати ірраціональні числа як числа нового виду.

 Показуючи, як за двома даними сторонами прямокутного трикутника визначати третю, Бхаскара зауважує: «якщо катети рівні, то гіпотенуза ірраціональна», і знаходить її в цьому випадку прийомом, який зовсім не відрізняється від сучасного.

 Оскільки існування геометричних несумірних величин не заперечувалось, то числа нового виду називали «глухими», «недійсними», «фіктивними» і т.д.

 Термін «ірраціональні» у математичному розумінні вперше застосував у XVI ст. англійський математик Т.Брадварін. Ідеї Декарта привели до узагальнення поняття про числа. Між точками прямої і числами було встановлено взаємно однозначну відповідність. У математику було введено змінну величину.

Комплексні числа

Наступним етапом у розвитку поняття числа будо введення комплексних чисел. Дійсні числа були запроваджені у зв’язку з вивченням ряду важливих властивостей навколишнього світу. Дійсні числа мають велике застосування, і дії над ними виконуються за простими і звичними правилами.

Джерело виникнення комплексних чисел – розвиток алгебри, а саме: розв’язування рівнянь вищих степенів (зокрема квадратних). Комплексні числа, тобто числа виду а + bi (де i = ; a і b – будь-які дійсні числа), зустрічаються в елементарній алгебрі, при добуванні кореня парного степеня з від’ємного числа і при розв’язуванні квадратних рівнянь, беручи до уваги, що і²  = -1.

Будь-яке рівняння третього степеня легко зводиться до вигляду:

x³ + px + q = 0  (1)

це так зване зведене кубічне рівняння. Розв’язується воно за формулою:

 x = u + v, де  ;

     (2)

причому повинна виконуватися ще умова: . Це так звана формула Кардано. Коли , то рівняння (1) має три дійсні корені, але формула (2) тоді не придатна для користування.

 Наприклад, розв’язуючи рівняння х³ – 21х + 20 = 0 за формулою (2), матимемо: .

 Італійський математик Бомбеллі (1572 р.) вперше виклав правила дій над комплексними числами майже в сучасній формі.

 Корисність комплексних чисел вбачається, наприклад, у тому, що у формулах Вієта, які встановлюють залежність між коефіцієнтами і коренями даного рівняння, треба використовувати не тільки від’ємні й раціональні, а й комплексні числа.

 Його думка незабаром стала загальноприйнятою. У 1685 р. Валліс висловив думку, що комплексні корені квадратних рівнянь не можна подати точками прямої, але їх можна розглядати як точки, розміщені у площині вище або нижче від прямої.

 

 

 

 

 

2.2 Уявна одиниця

 

 Комплексні числа часто називають уявними. Ця назва не зовсім вдала, тому що може скластися уявлення, що комплексні числа – це щось не існуюче. Перш ніж давати визначення комплексних чисел, необхідно зазначити які властивості повинні мати нові числа, які операції бажано ввести для них, яким законом повинні підпорядкуватися введені операції.

 Множина комплексних чисел повинна містити в собі кожне дійсне число.

 Для нових чисел необхідно ввести поняття рівності. Повинні бути визначені додавання і множення нових чисел, при цьому щоб мали місце комутативні, асоціативні та дистрибутивні закони.

 На множині комплексних чисел повинно мати розв’язання рівняння

х² + 1 = 0

 

 Для цього вводиться нове число, яке вважається розв’язком приведеного рівняння. Позначається це число символом (буквою) і. Таким чином, для числа і справедлива рівність і² + 1 = 0, або і² = -1. Множина дійсних чисел поповнюється новими числами bi, їх називають уявними, де «b» - дійсне число.

 Сума дійсного числа а і уявного числа bi записують а + bi.

 Число «і» називають уявною одиницею. Тобто, це число, квадрат якого дорівнює (-1). Уявна одиниця має таку властивість:

 

 

Після введення уявної одиниці стає можливим добування коренів непарного ступеня. Наприклад: ; .

 

 

2.3 Алгебраїчна форма комплексного числа

 

 Комплексними числами називаються числа виду а + bi (а і b – дійсні числа, і – уявна одиниця).

 Два комплексних числа а₁ + b₁i та а₂ + b₂i вважаються рівними, якщо а₁= а₂, b₁ = b₂.

 Введемо дії із комплексними числами:

 1.(а₁ + b₁i) + (а₂ + b₂i) = а₁ + а₂ + (b₁ + b₂) і

 2.(а₁ + b₁i) ∙ (а₂ + b₂i) = а₁а₂ - b₁b₂ + (а₁b₂ +a₂b₁)∙ і.

 

 Додавання і множення комплексних чисел мають наступні властивості.

 1.Комутативність додавання:

 Z₁ + Z₂ = Z₂ + Z₁.

 

 2.Асиціативність додавання:

 (Z₁ + Z₂) + Z₃ = Z₁ + (Z₂ + Z₃).

 

3.Комутативність множення:

Z₁Z₂ = Z₂ ∙ Z₁.

 

4.Асиціативність множення:

(Z₁ ∙ Z₂) ∙ Z₃ = Z₁(Z₂ ∙ Z₃)

 

5.Дистрибутивність:

Z₁(Z₂ + Z₃) = Z₁Z₂ + Z₁Z₃.

 

Поняття «більше» чи «менше» для комплексних чисел не визначаються, тобто комплексні числа не можливо порівнювати.

 

Приклад 1. Обчислити:   формули:

і⁸ – 14і¹² + 10і¹⁰⁴ – 12і²².

 

Розв’язання.

і⁸ – 14і¹² + 10і¹⁰⁴ – 12і²² = 1 – 14 + 10 – 12 ∙ і² = -3 – 12(-1) = -3 + 12 = 9. 

        Відповідь: 9.

 

Приклад 2. Виконати дії:   

1.(2 + 3і) + (-7 + і) = (2 – 7) + (3і + і) = -5 + 4і;

 

2.(4 – і) ∙ (2 + 6і) = 8 - 2і + 24і – 6і² = (8 + 6) + (24і – 2і) = 14 + 22і;

 

3..

 

 

Приклад 3. Розв’язати рівняння х³ = -8.  

 

Розв’язання.

х³ = - 8; х³ + 8 = 0. Розкладемо за формулою:

 

х³ + 8 =(х + 2)(х² – 2х + 4); (х + 2)(х² – 2х + 4) = 0.

х + 2 = 0. х₁ = -2. х² – 2х + 4 = 0; Д = 4 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = -12 < 0.

 

; .

        Відповідь: х₁ = -2;

          

          

Приклад 4. Розв’язати рівняння: (3 – 2і)Z = 3 + i.

 

Розв’язання.

.

 

 

Приклад 5. Скласти квадратне рівняння за його коренями: х₁ = 2 – 3і, х₂ = 2 + 3і.

 

Розв’язання.

За теоремою Вієта маємо:

x² + px + q = 0.

 

х₁ + х₂ = (2 + 3і)(2 + 3і) = 4 + 0 = 4.

х₁ ∙ х₂ = (2 – 3і)(2 + 3і) = 4 – 9і² = 4 + 9 = 13.

        Відповідь: х² –4х+13 = 0

 

 

Приклад 6. Розкласти на множники 5 + а.

 

Розв’язання.

 

 

2.4 Тригонометрична форма комплексного числа

 

Добре відомо, що між множиною дійсних чисел і множиною точок прямої можливо встановити взаємно однозначну відповідність. Геометричну термінологію можна використовувати і при вивченні комплексних чисел, якщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Тобто кожному комплексному числу а + bi становится у відповідність точка М(а; b) координатної площини. Кожній точці М(а; b) становиться у відповідність комплексне число а + bi.                                                                                                                                                      

Сама координатна площина при цьому називається комплексною площиною. Ось абсцис називається дійсною віссю, ось ординат – уявною віссю.         Не менш зручною є інтерпретація комплексного числа а + bi як вектора . Тобто, кожному вектору площини з початком в точці «О» і кінцем в точці М(а; b) відповідає комплексне число а + bi і навпаки. Довжина
	Рис.1

вектора, відповідного комплексному числу, називається модулем  комплексного числа. 

, або .

           

Аргументом комплексного числа Z≠ 0 називається величина кута (φ) між додатнім напрямком дійсної осі і вектором Z, при цьому, величина кута вважається додатньою, якщо відлік проводиться проти годинникової стрілки, і від’ємною – якщо за годинниковою стрілкою. Із прямокутного трикутника знайдемо а і b:

,    (1)                        Рис.2

 

підставимо у комплексне число а + bi:

a + bi = r ∙ cos φ + i r ∙ sin φ = r(cos φ + i sin φ).

-тригонометрична форма комплексного числа  

 

 

Приклад 1. Записати число Z = 1 – і у тригонометричній формі.

 

Розв’язання.

Знайдемо модуль .

Для аргумента φ отримаємо систему:

  

 

 Отже, це комплексне число можна записати в тригонометричній формі:

, але ; .

 

 Отже, , або .

 

Зауваження. Для розв’язання системи (1) у багатьох випадках зручно перейти до рівняння

 

   (2)

Якщо рішення рівняння (2) знайдені, то виділити з них ті, які задовольняють системі (1), дуже просто. Для цього треба подивитися, в якому квадранті комплексної площини знаходиться точка Z = a + bi.

Розглянемо приклад.

 

Приклад 2. Записати число у тригонометричній формі.

 

Розв’язання.

,

 

; .

 

Оскільки число знаходиться у третьому квадранті, то значення ; .

 

Отже, .

 

 

Приклад 3.3. Записати комплексні числа в тригонометричній формі.

а) ;  ;

 

    ;  .

 

    Отже, .

        Відповідь: .

 

б);  

 

;  .

 

    

        

 

 

Множення  комплексних чисел

у тригонометричній формі

 

Нехай

 

-два числа, які записані у тригонометричній формі.

 

 Тоді: , або

.

 

 Таким чином, справедливе наступне ствердження: модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів цих чисел, а аргумент дорівнює сумі аргументів.

 Для дробу маємо: .

 

 Тобто, модуль частого двох комплексних чисел дорівнює частому модулів цих чисел, а аргумент дорівнює різниці аргументів.

 

Приклад. Записати в тригонометричній формі комплексне число.

:  

 

1.;  ;  .

 

2.; ;  .

 

3. ;  ;   ;

 

 ;   .

 

.

      Відповідь: .

 

 

 

Піднесення до степеню комплексних чисел

у тригонометричній формі

 

Формулу для добутку комплексних чисел у тригонометричній формі можна узагальнити на випадок n співмножників.

Здобудемо формули:

 

,

 

.

 

 

2.5 Показникова форма комплексного числа

 

 , φ  R.

 

Формула Ейлера для комплексних чисел:

 

 

Отже, комплексне число можна записати і так:

- показникова форма комплексного числа    

 

 

 

 

 

 

2.6 Приклади розв’язання завдань

 

 

Приклад 1. Виконати дії над комплексними числами:

а)

  (4 - 2і) + (-1 + 7і) = (4 – 1) + (-2і + 7і) = 3 + 5і.

 

б)(3 – 4і)(2 + 8і)

  (3 – 4і)(2 + 8і) = 6 – 8і + 24і – 32і² = (6 + 32) + 16і = 38 + 16і.

 

в);

 .

 

г).

 

д).

 

 

Приклад 2. Записати в тригонометричній та алгебраїчній формах комплексне число .

 

Розв’язання.

      Відповідь: cos2π + isin2π? 1+ 0i.

 

 

Приклад 3. Розв’язати рівняння Z² – 2Z + 5 = 0.

 

Розв’язання. D = b² – 4ac; D = 4 – 4 ∙ 20 – 16;

 

;  ;    

      Відповідь: Z₁ = 1 – 2i

        Z₂ = 1 + 2i.

2.7 Питання для самоконтрою

 

1.Визначення уявної одиниці.

2.Степені уявної одиниці.

3.Алгебраїчна форма комплексного числа.

4.Спряжені і протилежні комплексні числа.

5.Комплексне число як вектор.

6.Модуль і аргумент комплексного числа.

7.Тригонометрична форма комплексного числа.

8.Показникова форма комплексного числа.

 

 

2.8 Завдання для самостійної роботи

 

1.Обчислити:

а) і⁶ + і¹⁶ + і²⁶ + і³⁶ + і⁴⁶ + і⁵⁶.

        Відповідь: 0

 

б) і + і² + і³ + і⁵ + і⁸.

        Відповідь: і.

 

в) і³ + і¹³ + і²³ + і³³ + і⁴³.

        Відповідь: -і.

 

г) (1 – і)^-3.

        Відповідь: .

 

д) .

        Відповідь: 0.

 

е) .

        Відповідь: -і.

ж) і²⁵ + 8і¹⁴ + 5і⁴ – 4і² – 10.

        Відповідь: 7 + і.

 

2.Розв’язати рівняння:

1. х² = -16.       Відповідь: ±4і.

 

2.х² = -2.       Відповідь:

 

3.3х² = -5.       Відповідь: .

 

4.х² + 0,09 = 0      Відповідь: ±0,3і.

 

5.х² – 2х + 5 = 0.      Відповідь:1 + 2і.

 

6.3х² + 4х + 3 = 0.      Відповідь:

 

7.х² – 8х + 20 = 0.      Відповідь: 4 ±2і.

 

8.5х² – 4х + 8 = 0.      Відповідь: 0,4± 1,2і.

 

 

 3.Розкласти на множники:

1.a² + b²;   2.a + b;   3.;

 

4.9a² + 16b²;  5.36a² + 25b².

 

 

 4.Скоротити дріб:

1.;   2.;   3..

 

 

 5.Скласти квадратне рівняння за його коренями:

1. х₁ = 3 + 2і

 х₂ = 3 – 2і.

        Відповідь: х² – 6х + 13 = 0.

 

2. х₁ = -1 + 4і

х₂ = -1 – 4і.

       Відповідь: х² + 2х + 17 = 0.

 

 

3.  х₁ = 2 + 5і

х₂ = 2 – 5і.

 

4.  х₁ = -3 + і

х₂ = -3 – і.

 

5. х₁ = -4 + і

х₂ = -4 – і.

6. х₁ = 3 - 4і

х₂ = 3 + 4і.

 

6.Побудувати вектор, який відображає відповідне комплексне число:

1.Z = -3;   2.Z = 2i;   3.Z = 2 + 3i.

 

4.Z = -2 + 3i;  5.Z = -1 – i;   6.Z = 3 – 2i.

 

 

 7.Побудувати множину точок Z, які задовольняють умовам:

1.;   2.;   3.;

 

4.;   5.;   6.;

 

7.; 8.;  9.Z=2; .

 

 

 8.Виконати дії:

1.;     2.(-3 + 2і) ∙ 2 + (7 – 5і) ∙ 3;

 

3.(0,2 – 0,3і) ∙ (0,4 + 0,5і);    4.;

 

5. (2 – 3і)²;       6.(-1 + і)²;

 

7.(3 – 2і)(1 + 4і) + (-6 – і);    8.3 + і + (-2 + 5і)(-1 – 2і);

 

9.(4 – 5і)(-2 + 3і) + (1 + 2і)(-3 + 4і);   10.(-7 + і) – (-2 – 3і);

 

11.(5 + і)(15 – 3і);      12.;

 

13.;       14.;

 

15.;       16.;

 

17.;      18.;

 

19.;       20.;

 

21.;      22..

 

 

 9.Знайти дійсні числа х і у із рівнянь:

1..     Відповідь: х = 0; ;

 

2.х² + 3(х + 1) + 2і = уі – 5.   Відповідь: х = 1; або х = 2

         у = 2;      у = 2.

 

3.(1 + і) ∙ х + (1 – і)у = 3 – і.   Відповідь: х =1; у = 2.

 

4.(2 – і) ∙ х + (1 + і)у = 5 – і.   Відповідь: х = 2; у = 1.

 

5.(1 + 2і)х + (3 – 5і)у = 1 – 3і.   Відповідь: .

 

6.;   Відповідь: - .

 

7.;    Відповідь: х = 4,5; у = 18.

 

8.х + у – іху = 1.     Відповідь: х = 0 або х =1

         у = 1,     у = 0.

 

9.(-3у + 0,5хі) – (-8х + 5іу) = -2 + 9,5і. Відповідь:   х = -1; у = -2.

 

10. х + у + іху = і.    Відповідь: немає таких дійсних чисел.

 

 

 10.Розв’язати квадратні рівняння.

1.х² + (5 – 2і)х + 5(1 – і) = 0;     2.х² + (1 – 2і)х – 2і = 0;

 

 

 11.Записати наступні комплексні числа у алгебраїчній та показниковій формах:

1.Z = 3(cos 0 +isin 0).    Відповідь: 3 + 0і = 3е^0і.

 

2..

 

3..   Відповідь:

 

4.Z = cosπ + isinπ;

 

5..   Відповідь: .

 

6.;

 

7.Z = cos 24⁰ + isin 24⁰.    Відповідь:

 

8..

 

 

 12.Записати наступні числа в тригонометричній та показниковій формах:

1. 2;   2. -3;   3.6і;   4. -4і;

 

5. -1 + і;  6.;  7. -2 – 2і;  8. -3 + 4і;

 

9. -5 + і;  10. 7,2 + 5,1і.

 

 

 13.Виконати дії:

1.;     2.;

 

3.;   4.;

 

5.;  6.;  

7..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3 Елементи аналітичної геометрії

 

3.1 Метод координат

 

3.1.1Предмет аналітичної геометрії.

3.1.2 Декартова прямокутна система координат.

3.1.3 Перетворення координат.

3.1.4 Відстань між двома точками.

3.1.5 Розділ відрізка у даному відношенні.

3.1.6 Приклади розв’язання завдань.

3.1.7 Питання для самоконтролю.

3.1.8 Завдання для самостійної роботи. 

 

 

3.1.1 Аналітична геометрія – це розділ математики, в якому геометричні задачі розв’язуються алгебраїчним шляхом.

Це дає можливість випрацьовувати загальні методи розв’язування геометричних задач.

 

 

3.1.2 Декартова прямокутна система координат

Установимо на прямій початок відліку «О» і одиницю довжини (масштаб); точкою «О» пряма розбивається на два луча: напрям одного з них назвемо додатнім, а іншого – відмінним.

Пряма, на якій встановлено початок відліку «О»і масштаб і на якій вибрано додатній напрям, називається числовою віссю.

Ця назва пов’язана з добре відомим способом зображення реальних чисел точками прямої лінії. Числову ось називають інакше

координатною осею або віссю координат.    

Дві взаємно перпендикулярні вісі координат у

з загальним початком «О» утворюють прямокутну

декартову систему координат на площині (за ім’ям

великого французького математика Декарта).                  N      М

Одна з осей називається віссю абсцис (ось Ох), а

інша – ось ординат (Оу).

 Візьмемо на площині хОу точку М, опустимо         0        х  Р  х

перпендикуляри на осі Ох і Оу. Довжина відрізка ОР

називається абсцисою точки М, а довжина відрізка

ON – ординатою точки М. записується так: М(х; у).               Рис.3

 

 3.1.3 Перетворення координат

 Нехай у системі координат хОу точка                                     

М має координати (х; у), тобто М(х; у).

Перенесемо паралельно ось Ох на

 

 

 

 

                                                                                                  Рис.4

відстань «а», а ось Оу на відстань «b». Тоді точка М у новій системі координат х₁Оу₁ має координати (х₁; у₁), тобто М(х₁; у₁). Очевидно, що

 

    х = х₁ + а;        у = у₁ + b,

 

де х₁ у₁ – координати той же точки М у новій системі координат.

х, у – координати точки М у першопочатковій системі координат.

 

 Якщо повернути осі координат навколо початку координат на кут α, то формули перетворення будуть мати вигляд:

х = х₁cos α – y₁sin α;   у = х₁sin α + у₁cos α

 

де х і у – координати точки у початковій системі хОу;

х₁, у₁ – координати точки в новій системі х₁Оу₁; α – кут повороту початкової системи координат навколо початку «О».

 Якщо повернути  осі проти руху годинникової стрілки, то кут α вважається додатним, а якщо за годинниковою стрілкою, то кут α вважається від’ємним.

 

 

3.1.4 Відстань між двома точками

 

Відрізок М1М2 є гіпотенузою прямокутного трикутника М1М2N. За теоремою Піфагора , ; . Підставимо у формулу для : од.довж.

                                                                                             Рис.5

В цій формулі мається на увазі арифметичне значення кореню.

 

 

3.1.5 Розділ відрізка у даному відношенні

 

Нехай задано точки А(х1; у1) і В(х2; у2). Треба знайти точку М(х; у), яка поділяє відрізок АВ у відношенні . Опустимо із точок А, М і В перпендикуляри АА1, ММ1 і ВВ1 на ось Ох і проведемо прямі АС∥Ох і МД∥Ох.

                                                                                                 Рис.6

Трикутники АМС і МВД подібні із чого витікає пропорційність відповідних сторін:                                                         (1)

 

Але   (2)

 

Підставимо (2) в (1), маємо: (3) . Позначимо .

 

Тоді з рівностей (3) здобудемо два рівняння:

. (4)

 

 (5).

 

 Розв’яжемо рівняння (4) і (5) відносно х і у:

 

,   (6)

 

 

 Формули (6) визначають координати точки М(х; у), яка поділяє відрізок між точками А(х₁; у₁) і В(х₂; у₂) у відношенні .

 В окремому випадку, коли відрізок АВ розділений на дві рівні частини, тобто точка М – у середині відрізка і λ = 1: 1 = 1 формули (6) мають вигляд:

 

, 

 

 

 Приклад. Точка М(х; у) розділяє відрізок АВ у відношенні . Точка А(-6; 1), точка В(4; 2). Знайти координати очки М(х; у).

 

Розв’язання. Знайдемо координати точки М за формулами:

; ;

.  Відповідь: .

 

 

3.1.6 Приклади розв’язання завдань

 

Приклад 1. Координати вершин трикутника АВС наступні: А(-2; 7); В(3; -3); С(2; 5). Знайти довжину медіани ВД.

 

Розв’язання. Зобразимо схематично (не в

системі координат) трикутник АВС.

Якщо В – медіана,  то точка Д – середина                                                    

сторони АС. Знайдемо координати точки Д                                               

за формулами:

; ;

 

; . Тобто Д(0; 6).                                                             Рис.7

 

 За формулою відстані між двома точками знайдемо медіану .

.

        Відповідь: од.довж.

 

 

Приклад 2. Знайти координати точки С(х; у), яка розділяє відрізок АВ у відношенні: , якщо А(1; -2), В(4; -4).

 

Розв’язання. Користуємося формулами і .

За умови задачі: х = 1, х₂ = 4, у₁ = -2; у₂ = - 4.

 

;  ;  .

        Відповідь: .

 

Приклад 3. Задано точку М(2; -3). Знайти координати тієї ж точки, якщо початок координат перенести у точку О₁(-1; 4), не міняючи напрям осей.

 

Розв’язання. За умови х = 2, у = -3; а = -1; b = 4.

 

Тоді за формулами: х = х₁ + а,

        у = у₁ + b

маємо 2 = х₁ – 1

 -3 = у₁ + 4.  отже: х₁ = 3, у₁ = -7

        Відповідь: (3; -7).

 

 

Приклад 4. Точка А(2; -4). Знайти координати тієї ж точки, якщо координатні осі повернути на 90⁰ навколо свого початку «О» проти руху годинникової стрілки.

 

Розв’язання. За умови задачі х = 2, у = -4; α = 90⁰. Підставимо у формули:

х = х₁cos α – y₁sin α,

y = x₁sin α + y₁cos α.

 

Здобудемо: 2 = х₁cos 90⁰ – y₁sin 90⁰,

  -4 = x₁sin 90⁰ + y₁cos 90⁰.

 

-2 = 0 – у₁ ∙ 1, у₁ = -2

-4 = х₁ ∙ 1 + 3, х = -4.

       Відповідь: х₁ = -4, у₁ = -2.

 

 

3.1.7 Питання для самоконтролю

 

1.Що називається координатами точок?

 

2.Які знаки мають прямокутні координати точок, які знаходяться у кожному з чотирьох координатних кутів?

 

3.Чому дорівнюють абсциси точок, які належать осі Оу?

 

4.Чому дорівнюють ординати точок, які належать осі Ох?

 

5.Знайти на відрізку АВ таку точку С, щоб АС = 0,3АВ, якщо А(-3; 2), В(6; -4).

       Відповідь: (-0,3; ,2).

 

6.Як пишуться формули перетворення координат?

3.1.8 Завдання для самостійної роботи

 

 

1.Вершини три кутника АВС мають координати: А(-6; 4), В(2; -1),

С(-4; 3). Знайти довжину середньої лінії трикутника, яка паралельна

стороні АВ.

       Відповідь: од.довж.

 

2.Відрізок АВ розподілено на три рівні частини. Один з кінців цього відрізка має координати (-5; -1); найближча до нього точка розділення

С(-1; 2). Визначити координати другого кінця (зробити зображення).

        Відповідь: .

 

 3.Кінці відрізка АВ мають координати: А(-6; 3), В(3; 4). На відрізку знайти точку С(х; у), щоб АС = 0,4АВ.

        Відповідь: .

 

 4.Кінці відрізка АВ мають координати; А(-3; 2) і В(6; -4). Треба розділити відрізок АВ (рахуючи від А до В) на частини у відношенні1:2:3. Знайти координати точок розділення (зробити зображення).

        Відповідь: .

 

 5.Кінці відрізка АВ мають координати: А(-5; 3), В(2; -4). Точка С(х; у) розділяє відрізок у відношенні 1:4, рахуючи від А до В. Знайти координати точки розділення і довжину відрізка АВ. (Зробити зображеня).

        Відповідь: од.довж

 

 6.Задано кінці відрізка АВ: А(-4; 7), В(1; -1). На продовженні відрізка АВ поза точку В здобули точку С таку, що АС = 3АВ. Знайти координати точки С (Зробити зображення).

        Відповідь: .

 

 7.Вершини трикутника АВС мають координати А(6; 5), В(3; 1), С(9; 1). Обчислити периметр трикутника і довжину медіани АД. (Зробити зображення).

        Відповідь: р =16 од.довж;

од.довж.

 

 8.Із точки А(3; 5) проведено відрізок у точку В(7; 8). До якої точки

С(х; у) треба подовжити цей відрізок поза точку В, щоб АС : АВ = 5 : 3.

        Відповідь: .

 

9.Кінці відрізка АВ мають координати: А(-2; 3), В(2; -3). Точка С(х; у) розділяє відрізок у відношенні 2 : 3. Знайти координати точки розділення і довжину відрізка АВ.

       Відповідь: , .

 

 10.Кінці відрізка АВ мають координати: А(-2; у), В(х; 2). Точка С(3; 4) розділяє відрізок АВ на дві рівні частини. Знайти ординату точки А і абсцису точки В.

       Відповідь: у = 6; х = 8.

 

 11.Задан трикутник АВС: А(5; 0), В(1; 2), С(-3; 2). Обчислити довжину медіани СЕ. (Зробити зображення).

       Відповідь: од.довж.

 

 12.Кінці відрізка АВ мають координати А(-3; 2), В(5; -4). Розділити відрізок від А до В на частини у відношенні 3:1:2. Знайти координати точок розділення (зробити зображення).

        Відповідь: .

 

 13.Кінці відрізка АВ: А(-1; 2), В(4; -4). До якої точки С(х; у) треба його подовжити у тому ж напрямку, щоб його довжина збільшилася у 1,5 рази? (Зробити зображення).

        Відповідь: .

 

 14.Точка А(-3; 2). Знайти координати тієї ж точки, якщо початок координат перенести у точку О₁(-2; -1). (Зробити зображення).

        Відповідь: (-1: 3).

 

 15.Точка М має координати (-2; 3). Які координати буде мати ця точка, якщо координатні осі повернути на 45⁰ навколо свого початку «О» проти руху годинникової стрілки?

        Відповідь: .

 

 16.Визначити координати точки Д, яка доповняє трикутник А(5; 3),

В(2; -1), С(1; 4) до паралелограма, у якого сторона АВ є діагоналлю.

        Відповідь: (8; -2).

 17.У трикутнику АВС: А(5; 3), В(2; -1), С(-1; 4). Визначити довжину медіани.

        Відповідь: 4,5 од.довж.

од.довж.

од.довж.

 

 18.Трикутник АВС: А(8; 4), В(-2; 6), С(4; 0). Із точки Д, яка розділяє сторону ВС у відношенні ВД : ДС = 2 : 1, проведено пряму ВС через середину Е сторони АВ. Знайти довжину відрізка ДЕ.

        Відповідь: од.довж.

 

 19.Довести, що трикутник АВС – прямокутний, якщо: А(0; 0), В(3; 3), С(6; 6). (Зробити зображення).

        Відповідь:

 

 20.Довести, що трикутник АВС: А(-5; 2), В(3; 6), С(4; -6) рівнобедрений.

        Відповідь: од.довж

 

 

 

3.2 Лінії та їхні рівняння. Пряма лінія

 

3.2.1 Поняття  рівняння лінії.

3.2.2 Пряма лінія на площині. Різні види рівняння прямої лінії.

3.2.3 Кут між двома прямими.

3.2.4 Умови паралельності та перпендикулярності прямих.

3.2.5 Перетин прямих.

3.2.6 Відстань від точки до прямої.

3.2.7 Питання для самоконтролю.

3.2.8 Приклади розв’язування завдань.

3.2.9 Вправи для самостійної роботи.

 

3.2.1 Поняття рівняння лінії

 

Відомо з курсу алгебри, що за рівнянням, яке визначає функцію, можна побудувати лінію, яка називається графіком функції. Нехай, наприклад, є рівняння у = х² – 1, яке визначає у як функцію х.

Складемо таблицю деяких значень х і відповідних значень у.

у = х² – 1 

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	8	3	0	-1	0	3	8

                                                                                                                                                 

 

Побудуємо точки з відповідними координатами (х; у) та з’єднаємо їх плавною лінією. Здобудемо графік функції у = х2 – 1 .    Цей графік, як бачимо, є лінією, усі точки якої мають однакову властивість, а саме: ордината кожної з них визначається за формулою:  у = х2 – 1.

                                                                  
                                                                                                                                                 Рис.8

Сукупність всіх точок площини, яких об’єднує одна й та ж властивість, називається геометричним місцем точок.

 

Означення. Рівнянням лінії називається рівняння із змінними х і у, якому задовольняють координати будь-якої точки на цій лінії і не задовольняють координатам будь-якої точки, що не належить до цієї лінії.

 

Приклад 1. Задана лінія Дізнатися, чи належать до неї такі точки: А(2; 3); В(3; 3); С(4; 4).

 

Розв’язання. Для відповіді на це питання, треба підставити координати точок у рівняння прямої.

а) А(2; 3), ;  ;  3 = 3. точка А належить до даної прямої.

б) В( 3; 3), ; 3 ≠ , «В» - не належить

в) С (4; 4),    ,  4= 4. «С» - належить.

 

Приклад 2. Ордината будь-якої точки лінії у 4 рази більше за її абсцису. Записати рівняння цієї лінії і побудувати її.

 

Розв’язання. у = 4х.

                                                                                                                          

 

 

 

                        

                                                                                                                                                                                                         Рис.9

3.2.2 Пряма лінія на площині.

Різні види рівняння прямої лінії

 

Розглянемо пряму лінію, яка паралельна осі Оу і яка відділяє на осі Ох відрізок величиною з а. Всі точки цієї прямої однаково віддалені від осі ординат. Відповідно, для кожної точки прямої АМ абсциса одна й та ж, тобто х = а, ординати ж різні. Таким чином, рівняння х = а визначає пряму, яка паралельна осі Оу, а тому є її рівнянням. При цьому, якщо а > 0, то пряма знаходиться праворуч від осі Оу, якщо а < 0, то – ліворуч. 

 

                       Рис.10                                                                                           Рис.11

 

 

 Аналогічно рівняння прямої, яка паралельна осі Ох буде мати вигляд y= b.

 Якщо b > 0, то пряма y = b знаходиться зверху над осею Ох, якщо b <0, то – знизу.

 

 Приклад 1. Написати рівняння прямої, яка паралельна осі Оу і перетинає ось Ох у точці А(2; 0).

 

 Розв’язання.   х = 2.                                              

 

 

 

 

 

                                                                                                              Рис.12

 

 Приклад 2. Сторона квадрата дорівнює 14. Записати рівняння його сторін, якщо за осі координат прийняті прямі, паралельні його сторонам і які проходять через центр квадрата.

 

 Розв’язання.                                               

 х = 14, х = - 14

 у = 14; у = - 14.

 

 

 

 

 

                                                                                                Рис.13 

                                                                                       

 Проведемо пряму, яка проходить через початок координат, під кутом α (α ≠ 90⁰) до осі Ох.

На цій прямій візьмемо точку М(х; у)

Розглянемо прямокутний трикутник ОМА,                                         

з якого знайдемо:

, але є ОА = х, АМ = у.

Тому ; у = х∙ tg α.

Нехай , тоді y = kx.

                                                                                                                             Рис.14

Координати будь-якої точки цієї прямої задовольняють рівнянню

y = kx, а координати інших точок, які не належать до цієї прямої, не задовольняють йому.

 Отже, y = kx  - це рівняння прямої, яка проходить через початок координат.

 Число k = tg α називається кутовим коефіцієнтом прямої.

 

 Правило. Щоб довести, чи належить деяка точка М(х; у) до даної прямої, треба її координати підставити в рівняння прямої. Рівняння повинно задовольнятися.

 Якщо – ні, то точка с координатами х і у не належить до цієї прямої лінії.

 

 Приклад 3. Сторони прямокутника дорівнюють 4 см і 5 см. вони співпадають з додатними напрямами осей координат. Написати рівняння діагоналі, яка виходить з початку координат.

                                                                                                           

 Розв’язання. Пряма, яка проходить

через початок координат, має рівняння y = kx,

тобто , тоді рівняння має вигляд ,

або 5у = 4х. Відповідь: 4х – 5у = 0.

 

                                                                                                                 

                                                                                                                           Рис.15

 

 Приклад 4. Вершина гострого кута рівнобедреного прямокутного трикутника співпадає з початком координат, а катет, рівний 10 – з додатнім напрямом осі Ох. Знайти рівняння сторін трикутника.

 

 Розв’язання. З ∆ ОМА, ;                                                                             

тобто для прямої ОМ – k = 1.

 Її рівняння має вигляд у = х (ОМ)

 Пряма АМ∥ОУ, тому має рівняння виду

х = а, тобто у даному випадку х = 10. (АМ).

 Пряма ОА співпадає з осею Ох, тому має рівняння  у = 0.                                                                 Рис.16                                                                              

 Отже, визначимо такі рівняння прямої:

 -рівняння прямої, паралельної осі Оу: х = а, де а ≠ 0.

-рівняння прямої, паралельної осі Ох: y = b, де b ≠ 0;

-рівняння осі Оу: х = 0;

-рівняння осі Ох: у = 0;

-рівняння прямої, яка проходить через початок координат: у = kx;

-рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом і початковою ординатою: у=kx + b.

Усі ці шість рівнянь вичерпують всі можливі положення прямої, тому можна стверджувати: будь-яка пряма лінія визначається рівнянням першого степеню.

Покажемо тепер, що зазначені види рівнянь прямої можна здобути з рівняння: Ах + Ву + С = 0 при деяких конкретних значеннях коефіцієнтів А, В і С.

1.Якщо В = 0, то Ах + С = 0, тобто , або х = а.

2. Якщо А = 0, то Ву + С = 0, тобто , або х = b.

3. Якщо В = 0 і С = 0, то Ах = 0, тобто х = 0.

4. Якщо А = 0 і С = 0, то Ву = 0, тобто у = 0.

5. Якщо С = 0, то Ах + Ву = 0, , або у = kx.

6.Якщо А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0, то ; нехай .

Тоді y = kx + b.

Тобто, будь-яке рівняння першого ступеню Ах + Ву + С = 0 при будь-яких значеннях коефіцієнтів А, В і С, визначає пряму лінію.

 

Приклад 5. Побудувати пряму лінію 3х + 4у + 8 = 0.                                               

Простіше за все побудувати пряму лінію за двома точками.

Нехай у = 0, тоді 3х + 8 = 0, ;

Нехай х = 0, тоді – 4у = - 8, у = 2.

 

 

                                                                                                                                                   Рис.17

      

Рівняння прямої у відрізках

 

Рівняння Ах + Ву + С = 0 можна переписати так: Ах + Ву = -С, або .

Позначимо: ; , тоді - рівняння прямої у відрізках.   

 

Приклад 6. Побудувати пряму .                                                             

 

 

                                                                                                                                     

 

Рис.18

 

Рівняння пучка прямих

 

Сукупність всіх прямих, які проходять через одну точку, називається пучком прямих з центром у цій точці.

Рівняння пучка прямих із центром в точці М(х1; у1) має вигляд  у – у1 = k(х – х1).  Наприклад, нехай центр пучка знаходиться в точці М(-2; 4). Тоді рівняння пучка має вигляд у – 4 = k(х + 2).

 

                                                                                                                                                                               Рис.19

 Виділимо з цього пучка пряму, яка нахилена до додатного напряму осі Ох під кутом α = 60⁰; тоді k = tg 60⁰ = .

 Підставимо в рівняння пучка замість k: ; ;

- відповідь.

 

Рівняння прямої, яка проходить через дві точки

 

Через точку А(х₁; у₁) можна провести пучок  прямих, рівняння якого

у – у₁ = k(x + x₁), в якому кожному значенню k відповідіє лише одна пряма. Виділимо з цього пучка пряму, яка проходить ще й через точку В(х₂; у₂): y₂ + y₁ = k(x₂ – x₁).

Знайдемо k: і підставимо в рівняння                                                                                          

пучка: .

 Після перетворень здобудемо: .

 Ця рівність є рівнянням прямої, яка проходить через дві точки: (х₁; у₁) і (х₂; у₂).                                         Рис.20

 

 Приклад 7. Написати рівняння прямої, яка проходить через точки:

А(-3; 1) і В(2; 4).

 

 Розв’язання.    Маємо   х₁ = -3  х₂ = 2

     у₁ = 1   у₂ = 4.

 

 Підставимо в рівняння

;   ;    5у – 5 = 3х + 9

 Відповідь: 3х – 5у + 14 =0.

 

 

3.2.3 Кут між двома прямими

 

Нехай дві прямі, які перетинаються, задано рівняннями:

y = k₁x + b₁                                                                                                                                         

y = k₂x + b₂.

 Кут φ₂ = φ₁ + α (як зовнішній кут

трикутника АМС), тоді α = φ₂ – φ₁.

 .

 

                                                                                                     Рис.21

        Таким чином, кут між двома прямими визначається за формулою: .

 

 Приклад 8. Знайти кут між прямими: 2х – 3у + 5 = 0 і х + 2у + 2 = 0.

 

 Розв’язання. Розв’яжемо кожне рівняння відносно у:

;  

Отже, ,  ;  .

Відповідь: .

 

 

3.2.4 Умови паралельності і перпендикулярності прямих

 

 Якщо прямі паралельні, то вони утворюють з осею Ох однакові кути. Тому k₁ = k₂. отже, прямі паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти рівні.

 Якщо α = 90⁰, то k = tg90⁰ – не існує                                                                                                                 

і формулу кута між прямими не можливо використати.

 Кут φ₂ = φ₁ + 90⁰,

tg φ₂ = tg(φ₁ + 90⁰) = - ctgφ₁,

або .

Замінимо: tgφ₁ = k₁, tgφ₂ = k₂, знайдемо

або k₁ ∙ k₂ = - 1.

                                                                                                                                           Рис.22

 Отже, дві прямі взаємно перпендикулярні, якщо добуток їх кутових коефіцієнтів дорівнює мінус одиниці.

 

 Приклад 9. Знайти рівняння прямої, яка паралельна прямій

3х – 5у + 6 = 0 і проходить через точку (-2; 3).

 

 Розв’язання. Рівняння пучка з центром в точці (-2; 3): у – 3 = k(x + 2). Знайдемо кутовий коефіцієнт заданої прямої. 3х – 5у + 6 = 0. 5у = 3х + 6,

, тобто , тоді .

Відповідь: , або 3х – 5у + 21 = 0.

 

 Приклад 10. Знайти рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої 7х + 9у + 1 = 0 і яка проходить через точку (5; 3).

 

 Розв’язання. 7х + 9у + 1 = 0. 9у = -7х – 1; .

Тобто, це означає, що .

Запишемо рівняння пучка з центром в точці (5; 3): у – 3 = k(х – 5).

. Відповідь: , або 9х – 7у – 24 = 0.

 

3.2.5 Перетин прямих

 

 Нехай маємо дві прямі з рівняннями:       А₁х + В₁у + С₁ = 0.

        А₂х + В₂у + С₂ = 0.

 Треба знайти координати точки перетину цих прямих.

 Оскільки ця точка належить одночасно двом прямим, це означає, що її координати повинні задовольняти рівнянням цих прямих.

 Тобто, щоб знайти координати точки перетину двох прямих, необхідно розв’язати сумісно рівняння цих прямих відносно х і у як систему.

 

 Приклад 11. Знайти точку перетину прямих     5х – у – 7 = 0.

         3х + 2у – 12 = 0.

 

 Розв’язання.        5х – у – 7 = 0       |   ∙ 2

                    3х + 2у – 12 = 0     |

10х – 2у – 14 = 0    підставимо в перше рівняння:

3х + 2у – 12 = 0    5 ∙ 2  - у – 7 = 0

                      3 – у = 0, у = 3

13х – 26 = 0, х = 2.

Відповідь: точка перетину (2; 3).

 

 

3.2.6 Відстань від точки до прямої

 

Нехай є рівняння прямої Ах + Ву + С = 0. Треба знайти відстань від будь-якої точки М₀(х₀; у₀) до цієї прямої.

1.Складемо рівняння перпендикуляра, який проведений з цієї точки до прямої;

2.Знаходимо координати точки перетину цього перпендикуляра із заданою прямою;

3.За координатами двох точок визначаємо відстань між ними.

Розглянемо цю задачу спочатку на конкретному прикладі.

 

Приклад 12. Знайти відстань від точки (-3; 4) до прямої

12х + 5у – 10 = 0.

 

 Розв’язання. 1.Рівняння перпендикуляра до даної прямої складемо у вигляді: 5х – 12у + С = 0.                                                                     

 Значення С знайдемо з умови, що цей перпендикуляр проходить через точку (-3; 4): С = - 5(-3) + 12 ∙ 4 = 63. Тобто, рівняння перпендикуляра має вигляд: 5х – 12у + 63 = 0.

 2.Щоб знайти точку перетину заданої прямої з перпендикуляром, розв’яжемо систему їх рівнянь:

12х + 5у – 10 = 0

5х + 12у + 60 = 0.  Звідси:

 

 ;

.

3.Визначимо відстань між двома точками (-3; 4) і .

од.довжини.

Тобто, громіздкість певного розв’язання цієї задачі вказує на необхідність використання готової формули відстані від точки до прямої:

Якщо використати цю формулу в цій задачі, ми одразу здобудемо результат: од.довж.

 

Приклад 13. Вершини трикутника мають координати: , (3; 4),

(-2; 3). Знайти довжину висоти, проведеної із вершини з найбільшою ординатою.

 

Розв’язання. Складемо рівняння сторони трикутника, яка проходить через дві точки і (-2; 3):

, або 2х + 5у – 11 = 0.

Довжину необхідної висоти знайдемо за формулою:

 

од.довж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.7 Питання для самоконтролю до теми

 

 1.Визначення поняття лінії.

 2.Рівняння прямих, паралельних осям координат.

3.Рівняння осей координат .

4.Рівняння прямої, яка проходить через початок координат.

5.Рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом і початковою ординатою.

6.Загальне рівняння прямої.

7.Рівняння прямої у відрізках.

8.Рівняння пучка прямих.

9.Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

10.Визначення кута між двома прямими.

11.Умова паралельності двох прямих.

12.Умова перпендикулярності двох прямих.

13.Знаходження точки перетину прямих.

 

 

3.2.8 Приклади розв’язання завдань

 

Приклад 1. Записати рівняння прямої, паралельної осі Ох і яка перетинає вісь Оу в точці А(0; -4).

                                                                                                                                                                                                                                        

                   Розв’язання. Рівняння прямої, паралельної 

         осі Ох, має вигляд y = b; у даному випадку b = - 4.                                                        

         Тому відповідь у = - 4.

 

             

                                                                                                                         Рис.23

                                                               

Приклад 2. Пряма, яка паралельна осі Оу, проходить через точку

А(-3; 2). Записати її рівняння і побудувати її.

 

Розв’язання. Рівняння прямої, паралельної                               

осі Оу має вигляд х = а.

У даному випадку а = - 3.

Тому, відповідь: х = - 3.

 

                                                                                                             Рис.24

 

 Приклад 3. Сторони прямокутника які рівні 6 і 8, співпадають з осями координат. Записати рівняння сторін цього прямокутника у випадку, коли він розташований у першому координатному куті:

 

Розв’язання. Зробимо креслення:                                    

Відповідь: Рівняння сторони АВ (у = 6)

Рівняння сторони ОС (у = 0)

Рівняння сторони ОА (х = 0)

Рівняння сторони ВС (х = 8)

 

                                                                                             Рис.25

 

Приклад 4. Написати рівняння прямої, яка проходить через початок координат і утворює із додатнім напрямом осі Ох один із наступних кутів:

а) 45⁰; б)60⁰;  в)135⁰;

г) 0⁰;  д) 180⁰.                                                                                             

 

Розв’язання. Рівняння прямої,

Яка проходить через початок координат,

має вигляд y = kx, де k = tgα:

а) tg 45⁰ = 1. Відповідь y = x.

б) . Відповідь

в) tg 135⁰ = -1. Відповідь y =- x.

г) tg 0⁰ = 0. Відповідь y = 0.

в) tg 180⁰ = 0. Відповідь y = 0.

 

                                                                                                                         Рис.26

 

Приклад 5. Дана пряма у = 3х. Чи належать їй такі точки А(1; 3),

В(2; 5), ?

 

Розв’язання. Для того, щоб перевірити, чи належить точка прямій, треба підставити в рівняння прямої замість х і у координати цієї точки.

1.Точка А(1; 3);  3 = 3 · 1, 3 = 3.

Відповідь: точка А належить прямій у = 3х.

 

2. Точка В(2; 5);  5 ≠ 3 · 2.

Відповідь: точка В – не належить прямій у = 3х.

 

3. Точка ;  , -1 = -1.

Відповідь: точка С належить прямій у = 3х.

 

Приклад 6. Побудувати точки А(-6; 0) і В(0; 3) і прямокутник ОАСВ. Написати рівняння сторін прямокутника, та його діагоналей ОС.

 

Розв’язання. Побудуємо у системі координат                                            

даний прямокутник.

 

Розв’язання. Рівняння сторін:

(ВС) у = 3;  (СА) х = -6;

(ОА) у = 0;  (ОВ) х = 0.

 Із трикутника АСО

Кут α + β = 180⁰. Тому

                                                                                                                              Рис.27

Діагональ СО – пряма, яка проходить через початок координат, тому має рівняння y = kx, де k = tg α.

Відповідь: (ОС) , або 2у + х = 0.

 

Приклад 7. На прямій у = -2х + 1 лежить точка, ордината якої дорівнює 5. Знайти її абсцису.

 

Розв’язання. Якщо точка належить прямій лінії, то її координати повинні задовольняти рівнянню цієї лінії. Тому підставимо координати точки (х; 5) у рівняння у = -2х + 1:

5 = -2х + 1; 4 = -2х; х = -2.

 Відповідь: х = -2.

 

Приклад 8. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку А під кутом α до додатного напрямку осі Ох, якщо задано:

1.А(0; 2), α = 45⁰;  2) А(0; -3), α = 120⁰;  3. А(0; 4), α = 135⁰.

 

Розв’язання.

1.Точка А(0; 2) належить осі Оу, тобто початкова ордината b = 2,

k = tg α = tg 45⁰ = 1; підставимо в рівняння y = kx + b.

у = 1 · х + 2.

Відповідь: y = x + 2.

 

2. А(0; -3), b = -3, tg α = 120⁰ = -. .

.

Відповідь: .

 

3. А(0; 4), b = 4, tg α = 135⁰ = -1, k = -1,

Відповідь: у = - х + 4.

 

 Приклад 9. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку

А(1; -3) і яка утворює з додатнім напрямом осі Ох кут α = arc tg(-2).

 

Розв’язання. В рівняння y = kx + b підставимо координати точки

А(1; -3) і k = -2:  -3 = -2 · 1 + b; b = - 1.

Відповідь: у = -2х – 1.

 

Приклад 10. Написати рівняння сторін квадрата, діагоналі якого співпадають з осями координат. Довжина сторони квадрата дорівнює 4.

 

Розв’язання. Розглянемо трикутник ОВС. Кут ВОС = 90⁰.

За теоремою Піфагора ОВ² + ОС² = ВС².                                                       

ОВ = ОС. Тому 2ОВ² = ВС²;

2ОВ² = 16; ОВ² = 8; ОВ = .

 

Рівняння сторони АВ: y = kx + b;

k = tg 45⁰ = 1; b = OB = .

Відповідь: (АВ) у = х + .

 

Рівняння сторони ДС; y = kx + b; ДС ║ АВ,

тому k_AB = k_DC; тобто k = 1, b = - .

Відповідь: (ДС) у = х - .

 

Рівняння сторони ВС: y = kx + b; k = tg 135⁰ = -1; b = .

Відповідь: (ВС) у = -х + .

 

Рівняння сторони АД; y = kx + b; АД ║ ВС, тому k_BС = k_АД = -1; b = - .                                               Рис.28

Відповідь: (АД) у = - х - .

 

 

Приклад 11. Побудувати прямі:

1)3х + 4у + 12 = 0;  2)4х + 5у + 20 = 0;  3)3х – 4у = 0.

 

Розв’язання. Через будь-які дві точки проходить лише одна пряма. Тому знайдемо для перших двох прямих точку перетину їх із осями Ох і Оу.

1.На осі Ох  у = 0.  3х – 4 ∙ 0 + 12 = 0;                                                                          

3х = - 12;   х = - 4. Точка А(-4; 0)

На осі Оу х = 0; 3 ∙ 0 – 4у + 12 = 0.

-4у = - 12, у = 3. Точка В(0; 3)

 

2.4х + 5у + 20 = 0; якщо у = 0, то

4х + 20 = 0; х = -5; якщо х = 0, то

5у + 20 = 0, у = -4. Точка С(-5; 0),

   Точка Д(0; -4).

 

                                                                                                                                             Рис.29              

 

3.Рівняння 3х – 4у = 0 перепишемо у вигляді 4у = 3х; або . Це – рівняння прямої,яка проходить через початок координат (y = kx), під кутом до додатного напрямку осі Ох, тангенс якого дорівнює . Тобто .

 

Приклад 12. Побудувати прямі:

1.;  2. ; 3. ; 4. .

 

 Розв’язання. Всі рівняння прямих – це                                                            

рівняння прямих у відрізках види .

1.. а = 3, b = 4.

2. , або ; а = -3; b = 4.

3. ; або ; а = -3; b = -4.

4. , або ; а = 3; b = -4.

 

                                                                                                                                        Рис.30

 

Приклад 13. Задані вершини трикутника АВС: А(-3; 1), В(4; 2) і

С(-2; 0). Записати рівняння його сторін.

 

Розв’язання. Зобразимо схематично                                 

(не в системі координат) трикутник АВС.

Рівняння його сторін будемо знаходити за

рівняннями прямої, яка проходить через

дві точки: .

                                                                                                                  Рис.31

Пряма АВ: ; у + 1 = 3х – 9.

Відповідь: (АВ) у – 3х + 10 = 0.

 

Пряма ВС: ; -6у + 12 = -2х + 8.

Відповідь: (ВС) 2х – 6у + 4 = 0.

 

Пряма АС: ; -5у - 5 = х - 3.

Відповідь: (АС) х + 5у + 2 = 0.

 

 

Приклад 14. Під яким кутом перетинаються прямі:

а)х – 2у – 2 = 0 і   б)3х + у – 2 = 0, і х – 3у + 1 = 0?

 

Розв’язання. Кут між двома прямими визначається за формулою:

; tg α₁ = k₁; tg α₂ = k₂.

 З рівнянь цих прямих знайдемо їх кутові коефіцієнти k₁ і k₂.

а)1.х – 2у – 2 = 0;  2.;  ;

х – 2 = 2у;  ;  .

 Якщо кутові коефіцієнти прямих рівні; то вони паралельні. Тобто:

Відповідь: кут φ = 0.

 

б)1)3х + у – 2 = 0.   2)х – 3у + 1 = 0

у = - 3х + 2;  k₁ = -3; 3у = х + 1; ; .

Знайдемо добуток k₁ – k₂ = /

Тобто, якщо k₁ k₂ = - 1, то прямі перпендикулярні.

Відповідь: кут φ = 90⁰.

 

 

Приклад 15. Знайти координати вершин трикутника, якщо відомо рівняння його сторін:

у = 2х – 1,  2у – х = 3,  3у + 2х – 5 = 0.

 

Розв’язання. Координати точки В знайдемо як точку перетину прямих АВ і ВС. Для цього розв’яжемо систему рівнянь цих прямих.

 

                    Рис.32

 1)

у = 2х – 1  { у = 2х – 1 |

2у – х = 3           {2у = х + 3 |    ∙ 2

 

у = 2х – 1  ;  ;  . 

4у = 2х + 6        .

 -3у = -7; 

Відповідь: .

 

 

2)

2у – х = 3             {2у – х = 3    | ∙ 2              {4у – 2х = 6

3у + 2х – 5 = 0   {3у + 2х = 5 | 3у + 2х =   { 5

                   7у =   {11

 

х = 2у – 3;   ;  ; .

Відповідь: .

3)

у = 2х – 1  { у = 2х – 1               {1 = 2х – 1

3у + 2х – 5 = 0        {3у = -2х + 5              {2 = 2х

      4у = 4;    у_А = 1;    х_А = 1.

       Відповідь: А(1; 1)

 

 

Приклад 16. При якому значенні m пряма у = mx +3 проходить через точку перетину прямих 2х + у + 1 = 0 і у = х + 5?

 

Розв’язання. Знайдемо точку перетину прямих 2х – у + 1 = 0 і у = х + 5. Для цього розв’яжемо систему цих рівнянь.

2х – у + 1 = 0       {2х – (х + 5) + 1 = 0

у = х + 5               {2х – х – 5 + 1 = 0;  х – 4 = 0;  х = 4.

            у = х + 5  у = 4 + 5 = 9, у = 9

 

точка перетину має координати (4; 9). За умовою задачі пряма

у = mx +3 теж проходить через цю точку. Це означає, що координати (4; 9) повинні задовольняти її рівнянню. Підставимо їх у рівняння: 9 = m ∙ 4 + 3 

Відповідь: m = 1,5.

 

 

Приклад 17. Дві прямі перетинаються в точці А(2; - 5). Знайти гострий кут між ними, якщо одна з них проходить через точку В(1; -3) а інша – через точку С(4; 1).

 

Розв’язання. Користуємось формулою для                                        

обчислення кутового коефіцієнта прямих:

.

 Для прямої АС:

 

 Для прямої АВ:

                                                                                                                                Рис.33

 Кут між двома прямими визначається за формулою: .

 Тобто .

 

Відповідно відповідь: кут φ = 45⁰.

 

 

Приклад 18. Дві протилежні вершини прямокутника АВСД знаходяться в точках А(1; 4) і С(5; 6); сторона СД нахилена до додатного напрямку осі Ох під кутом 45⁰. знайти площу цього прямокутника.

 

Розв’язання. Кутовий коефіцієнт прямої ДС:                                              

 k = tg 45⁰ = 1. Запишемо рівняння прямої ДС,

як прямої, яка проходить через точку С(5; 6) і

має кутовий коефіцієнт 1.

                                                                                                                                Рис.34

у – у₁ = k(x – x₁);  у – 6 = 1 (x – 5);  у = x + 1 (ДС)

 

Пряма АВ ∥ ДС, тому k_АВ = 1.

у - у₁ = k(х – х₁);  у – 4 = 1 ∙ (х – 1);  у = х + 3  (АВ)

 

Пряма АД ⊥ ДС, тому .

Запишемо рівняння прямої АД, як рівняння прямої, яка проходить через точку А і має кутовий коефіцієнт (-1):

у – у₁ = k(х – х₁);  у – 4 = -1(х – 1);   у = -х+5   (АД)

 

Знайдемо координати точки ДС(х_Ду_Д) як точки перетину прямих АД і ДС. Для цього розв’яжемо систему рівнянь цих прямих:

у = -х + 5  (АД)         {-х + 5 = х + 1;               2х = 4, х = 2

у = х + 1   (ДС)   { у = х + 1 -2 + 1 = 3.       тобто Д(2; 3)

 

Знаючи координати точок А і Д, знайдемо довжину сторони АД за формулою: .

АД = ;

Знайдемо ДС: ДС = .

Тоді площа паралелограма дорівнює: кв.од.

Відповідь: 6 кв.од.

 

 

Приклад 19. Знайти площу фігури, яка обмежена лініями:

2х – у + 4 = 0;  у = 1,  х = 1,  х = 5.

 

Розв’язання. Зобразимо всі                                                                                         

задані лінії на координатній площині:

фігура, яка обмежена даними лініями, є

прямокутна трапеція АВСД. За умови

задачі треба знайти її площу.

Знайдемо ординати точок В і С за формулою                                                         Рис.35

у = 2х + 4 (із заданого рівняння).

у_В = 2 ∙1 + 4 = 6; тобто АВ = 6 – 1 = 5;                                                             

у_С = 2 ∙ 5 + 4 = 14; тобто ДС = 14 – 1 = 13.                                                                    

 

                                                                                        Рис.36

Площа трапеції обчислюється за формулою: .

Здобудемо, ;   кв.од.

Відповідь: 36 кв. од.

 

 

Приклад 20. Трикутник заданий вершинами А(-5; 3), В(3; 4) і С(7; -3).

Знайти: 1.Рівняння прямої BN, паралельної стороні АС;

2.Рівняння медіани СД;

 

Розв’язання. Зобразимо схематично трикутник АВС:

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої АС за формулою:

                                                                                                           

 

 

якщо BN ∥ АС, то

Знайдемо рівняння прямої BN:

(BN) ,  ,

                                                                                               Рис.37

(BN) х + 2у – 11 = 0 – Відповідь: х + 2у – 11 = 0.

 

Обчислимо координати точки Д як середини відрізка АВ (СД – медіана):

  .

Знайдемо точку Д.

Запишемо рівняння медіани СД, яка проходить через дві точки: С(7; 3) і Д.                           

(СД).

 

(СД);    

 

(СД) 13х + 16у – 33 = 0 –   Відповідь: 13х + 16у – 33 = 0.

 

3.2.9 Вправи для самостійної роботи

 

1.Зобразити фігуру, яка задана рівнянням:

1) х + у = 0;  2) 3х – 2у + 1 = 0;  3) х = - 4;

4) у = 2;  5)х² + у² = 1;  6) ;

7) у = 2х²;  8) у² = 1;   9) х² + у² = 0;

10) у = х;  11) у = ;   12) у = х² – 2х – 1.

 

 2.Побудувати пряму лінію:

1)х – у = 0;   2)х – у + 1 = 0;  3) х + у = 0;

4)х + у – 2 = 0;  5) х – 2у = 0;  6)х – 3у = 0;

7)2х – у = 0;  8) 2х – 2у + 2 = 0;  9) –х + 3у = 0.

 

 3.Знайти площу фігури, яка обмежена прямими:

1) 2х – у + 4 = 0, у = 0, х = 0;     відповідь – 4 кв. од.

2) 2х – у + 4 = 0, у = 0, х = 1;     відповідь – 9 кв. од.

3) 2х – у + 4 = 0, у = 1, у = 10, х = 1, х = 5;  відповідь – 32 кв. од.

 

 4.На прямій 2х + 3у – 6 = 0 знайти точку, рівновіддалену від точок

А(4; 4) і В(6; 1).       Відповідь: .

 

 5.Знайти кутові коефіцієнти прямих:

1) 2х + 3у + 5 = 0,       Відповідь: .

2) х + 2у = 0,        Відповідь: .

 

 6.Визначити довжину відрізка прямої , який знаходиться між точками перетину прямої з осями координат.

         Відповідь: 10 од.довж.

 

 7.Обчислити площу трикутника, який утворено прямою і осями координат.

Відповідь: 9 кв.од.

 

 8.Діагоналі ромба співпадають з осями координат. Визначити площу ромба, якщо одна з його сторін задана рівнянням: .

Відповідь: 50 кв.од.

 9.Висота рівностороннього трикутника дорівнює і співпадає з додатнім напрямком осі Оу. Основа трикутника співпадає з осею Ох. Записати рівняння бічних сторін трикутника.

Відповідь: ,

.

 

 10.Точка А(х; у) належить прямій, яка проходить через точки В(1; 1) і С(-3; -5). Знайти абсцису точки А.

       Відповідь: х = 3.

 

 11.Вершини трикутника АВС знаходяться в точках А(2; 4), В(0; 2) і

С(4; -2). Записати рівняння прямої, яка проходить через середини сторін АС і ВС трикутника.

       Відповідь: х – у – 2 = 0.

 

 12.Чи паралельні такі прямі:

1) 2х + 3у – 7 = 0 і 4х + 6у + 9 = 0,   Відповідь: так.

2) у – 2х – 3 = 0 і 8х – 4у + 1 = 0,   Відповідь: так.

3) 3х – 5у = 0 і 6х + 10у + 5 = 0?   Відповідь ні.

 

 13.Записати рівняння прямої, яка відсікає на вісі Ох відрізок, який дорівнює 5 і яка паралельна прямій .

Відповідь 4х + 3у – 20 = 0.

 

 14.Чи перпендикулярні такі прямі:

1) 3х – у -3 = 0 і х + 3у – 17 = 0,   Відповідь: так

2) 2х + 5у – 6 = 0 і 5х + 2у – 3 = 0?   Відповідь: ні.

 

 15.Задано координати вершин трикутника АВС: А(3; 4), В(2; 5) і

С(7; 6). Записати рівняння висоти, яку проведено до сторони АС.

Відповідь: 2х + у -9 = 0.

 

 16.В рівнобедреному прямокутному трикутнику відомо: рівняння гіпотенузи 3х – 7у = 20 і вершина прямого кута С(7; -4). Записати рівняння катетів.                                                                                    Відповідь: 5х - 2у – 43 = 0 і

2х + 5у + 6 = 0.

 

 17.Трикутник АВС утворюють прямі, які мають рівняння:

(АВ): 2х – 3у + 11 = 0,

(ВС): 3х + у – 11 = 0,

(АС): х + 4у = 0.

 Знайти рівняння медіани, яку проведено із вершини А.

Відповідь: х – 7у + 11 = 0.

 18.Довести, що прямі 4х + 3у – 5 = 0, 3х – у + 6 = 0, і 2х – у + 5 = 0 проходять через одну точку.

   Відповідь: Спільна точка (-1; 3).

 

 19.Обчислити периметр трикутника, сторони якого задано рівняннями:

1)5х + 3у + 15 = 0, х + 5у – 3 = 0, 3х + у + 5 = 0.

Відповідь:   кв. од.

2)х + 2у + 3 = 0, 2х + 3у + 5 = 0, х + 3у + 7 = 0.

Відповідь: ≈ 13,5 кв.од.

 

 20.Визначити, чи мають спільну точку прямі:

1)3х + 5у = 34, 4х – 5у = -13, 2х –у = 1.

  Відповідь: (3; 5).

2)6х – 5у = - 15, 13х + 3у = - 86, 3х + у = -18.

Відповідь: не мають.

3)у = 2х - 5, у = х + 2, у = 3х – 12.

Відповідь: (7; 9).

4)3х + 3у = 10. х – 2у = 4, у – х + 2 = 0.

Відповідь: не мають.

 

 21.Знайти кут між прямими:

1)2х – 3у + 1 = 0 і 3х + у – 4 = 0.  Відповідь ≈74⁰44’.

2)х + у + 1 = 0 і х – у – 2 = 0.   Відповідь 90⁰.

3)х – у – 3 = 0 і 2х + у – 1 = 0.   Відповідь ≈71⁰34’.

4)6х – 2у + 1 = 0 і 5х + у – 11 = 0.  Відповідь ≈29⁰43’.

 

 22.При яких значеннях а пряма х + у + а² – 2а + 1 = 0 проходить через початок координат?                                                        Відповідь: а = 1.

 

 23.Трикутник задано вершинами А(2; 6), В(4; -2) і С(-2; -6). Знайти:

1)Рівняння прямої BN, яка паралельна до сторони АС.

Відповідь: 3х – у – 14 = 0.

2)Рівняння медіани СД.    Відповідь: 8х – 5у – 14 = 0.

3)Рівняння висоти АЕ.     Відповідь: 3х + 2у – 18 = 0.

4) кут В.       Відповідь: B = 109⁰7’.

 

 24.Одна із сторін правильного трикутника паралельна до осі Оу і відсікає на осі Ох відрізок, рівний -4, а протилежна вершина лежить в точці А(2; 0). Знайти рівняння висот.

Відповідь: у = 0, ,

.

 

 25.Задано трикутник АВС з вершинами А(4; 1), В(7; 5) і С(-4; 7). Знайти точку перетину бісектриси кута А з протилежною стороною ВС.

Відповідь: .

 

 26.За рівняннями сторін трикутника 2х – 3у + 10 = 0, х + у = 0,

4х – у = 0 знайти координати точки перетину його медіани.

Відповідь .

 

 27.Знайти гострий кут між прямими і .

Відповідь 85⁰14’.

 

 28.В трикутнику з вершинами А(2; 5), В(5; -1) і С(8; 3) визначити відстань від точки перетину медіан до сторони ВС.

Відповідь: 2 од.довж.

 

 29.Скласти рівняння сторін квадрата, якщо задано протилежні вершини: А(1; 4) і С(9; -2).

Відповідь:  х – 7у + 27 = 0,

7х + у – 61 = 0,

х – 7у – 23 = 0,

7х + у – 11 = 0.

 

 30.Задано рівняння двох сторін паралелограма 7х – 24у – 45 = 0;

3х + 4у – 5 = 0 і точка перетину діагоналей (7; 1). Визначити довжину висот цього паралелограма.

Відповідь: 1,6 од.довж.; 8 од.довж.

 

 31.Задано рівняння двох суміжних сторін паралелограма: х – у – 1 = 0 і х – 2у = 0 і точка перетину його діагоналей М(3; -1). Записати рівняння двох інших сторін паралелограма.

Відповідь: х – у – 7 = 0

і х – 2у – 10 = 0.

 

 32.Записати рівняння перпендикулярів до прямої 3х + 5у – 15 = 0, які проходять через кінці відрізків, які відсікає ця пряма на осях координат.

Відповідь: 5х – 3у – 25 = 0

і 5х – 3у + 9 = 0.

 

 33.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку (2; 1) і через точку перетину прямих із заданими рівняннями х + у – 1 = 0 і х – у + 2 = 0.

Відповідь: х + 5у – 7 = 0.

 

 

 

 

 

3.3.7 Питання для самоконтролю

 

1.Декартова прямокутна система координат на площині.

2.Формули перетворення координат.

3.Відстань між двома точками.

4.Розділ відрізка у даному відношенні.

5.Розділ відрізка на дві рівні частини.

6.Визначення поняття лінії.

7.Рівняння прямих, паралельних осям координат.

8.Рівняння осей координат.

9.Рівняння прямої, яка проходить через початок координат.

10.Рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом і початковою ординатою.

11.Загальне рівняння прямої.

12.Рівняння прямої у відрізках.

13.Рівняння пучка прямих.

14.Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

15.Визначення кута між двома прямими.

16.Умова паралельності двох прямих.

17.Умова перпендикулярності двох прямих.

18.Знаходження точки перетину двох прямих.

19.Загальне рівняння кривої другого порядку.

20.Коло. Різні рівняння кола.

21.Еліпс. Різні види рівняння еліпса.

22.Ексцентриситет еліпса.

23.Гіпербола. Різні види рівняння гіперболи.

24.Рівностороння гіпербола.

25.Асимптоти гіперболи.

26.Парабола. Рівняння параболи з вершиною у початку координат.

27.Рівняння параболи із зміщеною вершиною.

28.Рівняння осі параболи. Рівняння директриси параболи.

 

 

Глава 4 Функція. Границя та неперервність функції

 

4.1 Функція. Область визначення функції.

4.2 Способи задавання функції.

4.3 Границя функції.

4.4 Теореми про границя функції.

4.5 Нескінчено малі та нескінченно великі величини.

4.6 Неперевність функції.

4.7 Приклади розв’язання завдань.

4.8 Питанння для самоконтролю.

4.9 Вправи для самостійної роботи.

 

 

4.1 Функція. Область визначення функції

 

 Поняття функції – найважливіше поняття математики взагалі і центральне поняття вищої математики. З поняттям функції ми вже зустрічалися в курсах алгебри і геометрії. Тому досить буде лише нагадати і уточнити основні риси цього поняття, важливі з точки зору вищої математики.

 При вивченні різних величин ми спостерігаємо що одні з них зберігають одне й теж числове значення – вони називаються сталими, а інші приймають різні числові значення і називаються – змінними.

 Прикладами сталих величин можуть бути: відношення довжини кола до свого діаметра (число π), відношення діагоналі квадрата до його сторони, яке дорівнює , сума зовнішніх кутів будь-якого опуклого многокутника, рівна 360⁰, ціла нитка так званих фізичних сталих: абсолютний нуль температури (-272,2⁰ С), швидкість світла у вакуумі (≈300000 км/сек), прискорення сили тяжіння на широті 45⁰ (g = 9,81 м/с²) та інші.

 У вивченні різноманітних явищ природи і фактів суспільного життя, ми помічаємо, що в них приймають участь декілька змінних, які пов’язані між собою визначеною залежністю. Із фізики, наприклад, відомо, що при даній температурі тиск газу у закритій судині обернено пропорційно його об’єму. Величина зарплати робітничого при здільній сплаті труда залежить від фактичної виробітки. Якщо міняти радіус кола, то певним чином змінюється площа цього кола, при цьому завжди значення радіуса і площі кола пов’язані відомою залежністю (S = 2πR).

 

 Означення. Якщо кожному значенню однієї змінної х за деяким правилом ставиться у відповідність певне значення іншої змінної у, то, кажуть, що між змінними х і у існує функціональна залежність; при цьому змінну величину х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну величину у – залежною змінною, або функцією.

 У наведених раніше прикладах тиск газу у закритій судині є функція його об’єму, площа кола є функція його радіуса. Іноді кожному значенню аргумента ставиться у відповідність не одно, а декілька значень функцій. Функція тоді називається многозначною. Наприклад, для кола, рівняння якого х² + у² = R², кожному значенню абсциси х відповідають за формулою два значення ординати у.

 В нашому курсі ми будемо вивчати тільки однозначні функції.

 

4.2 Способи задавання функції

 

 Функціональна залежність вважається заданою, якщо приведено правило визначення значення функції, яке відповідає даному значенню аргумента.

 Таке правило може бути представлено різними способами: аналітичним, графічним і табличним.

 1.Аналітичний спосіб є таким, що задається формула, яка вказує на те, які математичні дії слід виконати із ножним значенням аргумента, щоб отримати відповідне значення функції. Цей спосіб задавання функції є найбільш важливим у математичному аналізі, тому що для заданої функції формулою можна обчислити будь-яке значення її і зручно дослідити властивості функції.

 

 Наприклад:  ;  ; .

 Інколи правило відповідності між значеннями х і у задається двома або більшим числом формул.

 

 Приклад. .

 

 Область визначення функції є всі значення аргумента х, при яких функція визначена.

 

 Приклад 1.

 Область визначення цієї функції відрізок [-1; 1], тобто -1 ≤ х ≤ 1.

 

Приклад 2. .

Область визначення функції -2 ≤ х ≤ 2.

 

Приклад 3. .

Область визначення (-2; 2), тобто -2 < х < 2.

 

Введемо поняття складної функції.

Наприклад, . Цю функцію можна записати у вигляді , де n = sinx. В цьому прикладі має місце ланцюг із двох частин. На практиці вивчення функцій зустрічаються і більш складні залежності. Отже, функція може бути представлена у вигляді складної функції, яка містить три частини:

;  ;   .

 

У цьому запису змінна n є проміжним аргументом, який залежить від іншого проміжного аргумента v, який в свою чергу залежить від незалежної змінної х.

 

2.Графічний спосіб задавання функції.

Цей спосіб полягає в тому, що в даній прямокутній системі координат задається деяка крива. (Будь-яка пряма, паралельна осі Оу перетинає цю криву не більш як в одній точці).

Абсциса кожної точки кривої дає значення аргумента х, а ордината тієї

ж точки – відповідно значення функції у. Наприклад, за графіком можна відразу встановити, що при х = -2 значення функції у = 4, при х = 1 отримаємо у = 3, при х = 4 маємо у = 5. Цей спосіб є дуже наочним. По графіку виявляються                                                      Рис.68

основні властивості представленої функції, весь рух її змінення. Результати деяких досліджень також представляються у вигляді графіка, і для цього використовуються самопишущі пристрої. Так, наприклад, індикатор викреслює графік залежності між об’ємом і тиском пара в циліндрі парової машини, термограф дає криву залежності температури від часу; у розривній машині осцилограф викреслює графік залежності відносної деформації від напруження (діаграму розтягу м’якої сталі).

 

 3.Табличний спосіб полягає в тому, що функціональна залежність

задається у вигляді таблиці, яка містить низку чисельних значень аргумента і відповідних їм значень функції. Цей спосіб є дуже зручним, коли вивчається залежність між змінними величинами за результатами спостережень. Ось приклад такої таблиці. Залежність температури повітря від часу:

                                                                                   Рис.69

Час	9.00 год.	12.00 год.	16.00 год.	19.00 год.
температура	110 С	130 С	140 С	100С

  

Класифікація функцій

Функції, які задаються аналітично в явному вигляді розподіляються на два класи: алгебраїчні і неалгебраїчні.

Якщо значення функції отримуються в результаті виконання над аргументом кінцевого числа алгебраїчних дій, то така функція називається алгебраїчною функцією.

Під алгебраїчними діями маються на увазі: додавання, множення, ділення, підведення до степеня та здобування кореня.

Серед алгебраїчних функцій розрізняють раціональні і ірраціональні, а серед раціональних – цілі і дробові.

Цілою раціональною функцією, або многочленом степеню n, називається функція такого вигляду:

 

Тут n – ціле додатне число, а коефіцієнти а₀, а₁, а₂, ….а_n – сталі величини.

Серед функцій цього класу слід зазначити: лінійну y = kx + b, квадратичну y = ax² + bx + c і степеневу y = xⁿ (n – натуральне число).

 

Дробно-раціональна функція є відношенням двох многочленів .

 

Найпростіша дробно-лінійна функція ; в особливому випадку, при a = d = 0, це є зворотна пропорційність . До цього класу можна віднести степеневу функцію у = хⁿ при цілому від’ємному n. Алгебраїчна (явна) функція називається ірраціональною, якщо у складі вказаних операцій над аргументом міститься здобування кореня, або підведення до дробового степеня.

 

Наприклад: ,  .

 Найпростішою ірраціональною функцією є . До класу неалгебраїчних функцій за шкільним курсом належать наступні:

 а)показникова функція у = а^х (а > 0 і а ≠ 1).

 б)логарифмічна функція y = log_a x (a > 0 і а ≠ 1).

 в)степенева функція у = х^m (m – ірраціональне число).

 г)тригонометричні функції: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y = secx, y = cosecx;

 д)зворотні тригонометричні функції: y = arcsinx, y = arccosx,

y = arctgx, y = arcctgx.

 

 Нехай змінні х і у пов’язані між собою рівнянням

Ах + Ву + С = 0.    (1)

 

 Коли відомо значення однієї із змінних х чи у, то значення іншої не може бути будь-яким, тому що значення обох змінних повинні задовольняти рівнянню (1). Отже, це рівняння відображає функціональну залежність між х і у. Ми маємо тут приклад задавання функції у за допомогою рівняння, яке не пов’язане відносно у. Такий спосіб задавання функції називається неявним. Функція в такому випадку називається неявною функцією. Якщо рівняння (1) розв’язати відносно у, то функція у стане явною:

.

 

Але ж не будь-яку повну функцію можна зробити явною. Наприклад,

.

 Це рівняння не можливо розв’язати відносно у, і ця функція у не може стати явною. У загальному вигляді неявна функція може бути задана так:

F(x; y) = 0.

 

 

4.3 Границя функції

 

 Початкові поняття про границі функції зустрічаються у шкільному курсі математики. В алгебрі із поняттям границі пов’язане питання про суму членів нескінченно спадаючої геометричної прогресії; у геометрії – питання обчислення довжини кола і площі круга; поверхонь і об’ємів округлих тіл. В курсі вищої математики поняття границі є одним із головних. За допомогою границі вводяться поняття похідної і інтегралу. Спочатку познайомимося із поняттям числової послідовності .

 Зазвичай числову послідовність задають формулою .

 

 Наприклад:

 1.Формула a_n = 2n – 1 числам натурального ряду становить у відповідність послідовність непарних чисел 1, 3, 5, 7, 9, …;              (1)

 

 2.Формула a_n = 1 – 2n задає числову послідовність -1, -3, -5, -7, …, (2) яка є нескінченно спадаючою арифметичною прогресією;

 

 3.Фломула задає зростаючу послідовність правильних дробів

     (3)

 

 4.Формула задає спадаючу послідовність неправильних дробів                               (4)

 

 У всіх приведених прикладах данні послідовності є нескінченними: для кожної з них не існує останнього члена.

 Разом з тим члени послідовності (1) при збільшенні їх номера можуть стати більше за будь-якого вибраного числа, а члени послідовності (2) – менше будь-якого вибраного числа. Тому послідовність (1) називають необмежено зростаючою, а послідовність (2) – необмежено спадаючою. Послідовності (3) і (4) є обмеженими. Члени послідовності (3), хоча і зростають, але залишаються менше за ; а члени послідовності (4) спадають, але залишаються більше за . Порівнюючи члени послідовності (3), тобто значення змінної , з числом , ми бачимо, що із зростанням номера члена різниця за своєю абсолютною величиною спадає і може стати менше за будь-яке наперед задане додатне число. Дійсно, приймає при n = 3 значення , при n = 10 – значення , при n = 100 – значення і т.інше. Задамося деяким малим числом, наприклад . Можемо установити, що, починаючи із числа за номером 2500, абсолютна величина різниці (число n = 2500 отримаємо із нерівності 2(2n + 1) > 10000). Тільки число має таку особливість по відношенню до членів послідовності (3). Аналогічно щодо членів послідовності (4), тобто при n → ∞ .

 Таким чином, значення змінної   по мірі зростання номера (n) наближаються до числа так, що абсолютна величина різниці залишається лише за будь-яке додатне число. Число називають границею змінної а_n, або числової послідовності , при n → ∞. Також і для змінної число є границею цієї змінної, якщо n → ∞.

 

 Означення. Число А називається границею послідовності a_n, якщо для будь-якого малого додатнього числа E можна вказати такий номер N, що при будь-якому n ≥ N виконується нерівність .

 

 Це коротко записується так:

, або , якщо при n ≥ N.

Або так:

  

 

 

 Визначення границі функції аналогічно. Якщо для всіх значень х, достатньо близьких до числа а (х ≠ а), відповідні їм значення функції y = f(x) є дуже близьким до числа А, то

 

 

 

 Приклад 1. Довести, що .

 

Розв’язання.

 Нехай E  > 0, але дуже мале число. Для того, щоб виконувалася нерівність , треба щоб виконувалися наступні нерівності:

,  ;  .

 

 Таким чином, при будь-якому E для всіх значень х, які задовольняють нерівності , значення функції 3х + 1 буде відрізнятися від 7 менш ніж на E. А це означає, що число 7 є границею функції, якщо х → 2.

 

Приклад 2. Довести, що .

 

Розв’язання.

 Функція не визначена при х = 2.

 

(1) , якщо .

 

 Але при х ≠ 2 нерівність (1) еквівалентна нерівності . Або   (2)

 Таким чином, при будь-якому E нерівність (1) буде виконуватись, якщо буде виконуватись (2) (тут S = E ). А це означає, що дана функція має границю число 4, якщо х → 2.

 

 

 Означення 2. Функція f(x) прямує до границі b при х → ∞, якщо для кожного будь-якого малого додатного числа E, можна вказати на число N таке, що для всіх значень х, які задовольняють нерівності , буде виконуватися нерівність .

 

Приклад 3. Довести, що , або .

 

Розв’язання.  , або .   . Це означає, що .

                                                                                            Рис.70

 Приклад 4. Знайти , якщо .

Накреслимо графік цієї функції. Із графіка видно, що . Ця функція приймає лише додатні значення.

                                                                                    Рис.71

 

4.4 Нескінченно малі та нескінченно великі функції

 

 Означення. Змінна величина, границя якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою.

Приклади. 1);

2)

 

 

3)

               Рис.72                                                                                                        Рис.73

 Означення. Функція α = α(х) називається нескінченно малою за умови х → а або х → ∞, якщо або .

 

 

Властивості нескінченно малих функцій

1.Якщо α = α(х) прямує до нуля при х → а (або при х → ∞) та не стає рівним нулю, то прямує до нескінченності.

 

2.Алгебрачна сума кінцевого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала.

Нехай α₁(х), α₂(х), α₃(х) – нескінченно малі функції, тоді , (E – будь-яке мале додатне число).

 

3.Добуток сталої на нескінченно малу є величиною нескінченно малою.

С ∙ α(х) = α₁(х).

 

4.Добуток кінцевого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.

α₁(х) ∙ α₂(х)……α_n(х) = α(х)  (н.м.)

 

 

Нескінченно великі величини

Означення. Функція y = f(x) називається нескінченно великою, якщо її границею при х → а є нескінченність.

Приклади. 1..	Рис.74
2..

                                                                              Рис.75

 

4.5 Теореми про границі функції

 

Ознакою того, що стала А є границею змінної y = f(x), якщо х → а, є виконання при будь-якому E нерівності , тобто різниця (у – А) є нескінченно малою величиною.

 

Теорема 1. Границя алгебраїчної суми кінцевого числа функцій, які мають границю, дорівнює такій же сумі границь цих функцій.

 

Доведення: Нехай при х → а змінна f₁(x) має границю А₁, а змінна f₂(x) – границю А₂. Тоді кожна з цих функцій може бути зображеною так:

f₁(x) = A₁ + α₁ і  f₂(x) = A₂ + α₂ . Звідси

 

f₁(x) + f₂(x) = (A₁ + A₂) + (α₁ + α₂). Тобто

 

. Це означає, що

 

.

 

 

Теорема 2. Границя добутку кінцевого числа змінних, які мають границі, дорівнює добутку границь цих змінних.

 

Доведення: f₁(x) ∙ f₂(x) = (A₁ + α₁)(A₂ + α₂) = A₁A₂ + (A₂α₁ + А₁α₂ + α₁α₂). Тобто .

 

 

Теорема 3. Границя частного від ділення двох змінних, які мають границю, дорівнює частому від ділення границь цих змінних, якщо границя знаменника не дорівнює нулю.

 

 

Доведення: Нехай , .

 

 

f₁(x) = A₁ + α₁, f₂(x) = A₂ + α₂.

 

 

; .

 

 

Приклад. .

 

Знайдемо тепер результат шляхом безпосередньої підстановки значення х = 2 у дріб .                            .

 

Як бачимо, результати співпадають.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.6 Неперервність функції

 

Нехай для функції y = f(x), х – будь-яке початкове значення. Дамо йому прирощення ∆х. Тоді нове значення аргументу буде х + ∆х.  (його будемо називати прирощеним значенням). При цьому кінцеве значення функції буде f(x + ∆x), а прирощеним значенням функції є ∆y = f(x + ∆x) – f(x).

 

Наприклад: а) у = х².

1.у = х².  2.у + ∆у = (х + ∆х)² = х² + 2х ∙ ∆х + (∆х)²;

 

3.∆у = 2х ∙ ∆х + (∆х)² = (2х + ∆х) ∙ ∆х.

 

б) ;  ;  .

 

Означення. Функція y = f(x) називається неперервною у точці х₀, яка входить в область існування функції, якщо f(x) має своєю границею f(x₀), коли х → х₀, тобто якщо .

Означення неперервності можна сформулювати і так:

Функція y = f(x) неперервна в точці х₀, якщо нескінченно малому приросту аргумента відповідає нескінченно малий приріс функції, тобто якщо

.

 

 

4.7 Приклади розв’язування завдань

 

Обчислити границі функцій:

1..

 

2..

 

3..

 

4..

 

5..

 

6..

 

7..

 

8..

 

9..

10.. (a = const, b = const).

 

 

4.8 Питання для самоконтролю

 

1.Величини сталі і змінні.

2.Поняття функції і аргументу.

3.Способи задавання функції.

4.Деякі види функцій: лінійна, квадратична, зворотня пропорційність і дробно-лінійна функції, показникові і логарифмічна функції.

5.Нескінченно мала і нескінченно велика величини.

6.Еквівалентні нескінченно малі величини та їх властивості.

7.Поняття границі функції.

8.Теореми про границі функцій.

 

 

4.9 Вправи для самостійної роботи

 

Обчислити границі функцій.

1..     Відповідь: ∞.

 

2..     Відповідь: 4.

 

3..    Відповідь: 2.

 

4..      Відповідь: 0.

 

5..     Відповідь: 2.

 

6..     Відповідь: .

 

7..      Відповідь: 1.

 

8..     Відповідь: 0.

 

9..     Відповідь:

 

10..     Відповідь: 4.

 

11..      Відповідь: 3.

 

12..    Відповідь: .

 

13..     Відповідь: 1.

 

14..    Відповідь: .

 

15..    Відповідь: 0.

 

16..     Відповідь: 3х².

 

17..     Відповідь: .

 

18..     Відповідь: .

 

19..     Відповідь: .

 

20..    Відповідь: .

 

21..     Відповідь: 1.

 

22..     Відповідь: 1 якщо х → + ∞

         -1 якщо х → - ∞.

 

23..    Відповідь: якщо х → + ∞

         - ∞ якщо х → - ∞.

 

24..      Відповідь: 1.

 

25..     Відповідь: 4.

 

26..     Відповідь: .

 

27..     Відповідь: .

 

28..     Відповідь: 1.

 

29..     Відповідь: .

 

30..      Відповідь: .

 

31..    Відповідь: .

 

32..     Відповідь: 6.

 

33..     Відповідь: -32.

 

34..     Відповідь: 5.

 

35..    Відповідь: -7,2.

36..     Відповідь: ∞.

 

37..    Відповідь: + ∞.

 

38..    Відповідь: .

 

39..    Відповідь: .

 

40..     Відповідь: 0.

 

41..     Відповідь: .

 

42..     Відповідь: .

 

43..     Відповідь: .

 

44..     Відповідь: е².

 

45..     Відповідь: .

 

46..     Відповідь: е.

 

47..     Відповідь: 1.

 

48..    Відповідь: 1.

 

49..     Відповідь: .

 

50..     Відповідь: -2.

 

51..     Відповідь: 4.

 

52..     Відповідь: 1.

 

53..     Відповідь: .

 

54..     Відповідь: 4.

 

55..     Відповідь: е³.

 

56..     Відповідь: е⁵.

 

57..     Відповідь: .

 

58..     Відповідь: 2.

 

59..    Відповідь: .

 

60..     Відповідь: .

 

61..     Відповідь: .

 

62..     Відповідь: -4.

 

63..     Відповідь: .

 

64..     Відповідь: .

 

65..    Відповідь: 8.

 

66..     Відповідь: .

 

67..     Відповідь: 0.

 

68..    Відповідь: ∞.

 

69..    Відповідь: .

 

70..    Відповідь: -2.

 

71..     Відповідь: .

 

72..     Відповідь: .

 

73..    Відповідь: 1.

 

74..     Відповідь: .

 

75..     Відповідь: .

 

76..     Відповідь: 2.

 

77..     Відповідь: 4.

 

78..     Відповідь: 0.

 

79..    Відповідь: 5.

 

 

 

Глава 5 Похідна функції.

Дослідження функції за допомогою похідних

 

5.1 Задачі, які приводять до поняття похідної.

5.2 Поняття про похідну.

5.3 Зростання та спадання функції.

5.4 Максимум і мінімум функції.

5.5 Опуклість графіка функції. Точка перегину.

5.6 Загальна схема дослідження функції. Побудова графіків функції.

5.7 Найбільше і найменше значення функції.

5.8 Приклади розв’язування завдань за темою.

5.9 Питання для самоконтролю.

5.10 Завдання для самостійної роботи за темою.

 

 

5.1 Задачі, які приводять до поняття похідної

 

 Методи елементарної математики дають можливість вивчати сталі величини, а також процеси, які протікають рівномірно. Для рівномірного прямолінійного руху матеріальної точки швидкість (S – шлях, t – час). Для процесів, які відбуваються нерівномірно, елементарними методами можливо визначити лише середні характеристики.

 Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно нерівномірно

(V ≠ const) за таким законом S = S(t). Тоді S(t₁) - S (t₀) – переміщення точки, а - її середня швидкість за проміжок часу від t₀ до t₁. Чим менший проміжок часу, тим наочніше середня швидкість характеризує рух. Якщо при t₁ → t₀ середня швидкість наближається до деякого значення, тобто якщо існує , цю границю v(t₀) називають швидкість руху в момент часу t₀ (миттєвою швидкістю руху).

 

 

 

                      Рис.76

 Простим прикладом нерівномірного руху є вільне падіння тіла.

 Згідно із законом Галілея залежність пройденої відстані від часу виражається формулою , де S – відстань, t – час, g – деяка стала (прискорення вільного падіння); .

Знайдемо залежність швидкості від часу. Середню швидкість тіла на проміжку [t₀; t₁] можна обчислити за формулою:

.

 

Тоді миттєва швидкість:

,

Тобто швидкість вільного падіння тіла пропорційна часу руху.

Не акцентуючи увагу на конкретному фізичному змісті задач, введемо поняття швидкості змінювання функції відносно свого аргументу.

        Розглянемо деяку функцію                                      

y = f(x) на відрізку [x₀; x₁].

При наближенні x₁ до x₀ дістанемо

швидкість змінювання функції y = f(x)

 в точці x₀:

.

 

Як відомо, x₁ – x₀ = ∆x – приріст аргументу                                Рис.77  

∆y = f(x₀) – f(x₀) = ∆f(x₀) – приріст функції в точці x₀.

Так середня швидкість змінювання функції на відрізку [x₀; x₀ + ∆x] дорівнює tgα, тобто тангенсу кута нахилу січної М₀М.

Тобто швидкість змінювання функції y = f(x) в точці х₀ – це границя відношення приросту функції ∆f(x₀) до приросту аргументу ∆х, коли останній прямує до нуля, .

 

 

5.2 Поняття про похідну

 

 Швидкість змінювання функції в точці х₀ називають похідною функції в цій точці.

 

 Означення. Границя відношення приросту функції ∆f(x₀) в точці х₀ до приросту аргументу ∆х, коли останній прямує до нуля, називається похідною функції y = f(x) в точці х_0.

 

 Похідну позначають так: f’(x), y’, ,  тобто

 

 

 

 Правило: Для визначення похідної функції y = f(x) по аргументу х треба знайти:

 1.Наращене значення функції, тобто у + ∆у.

 2.Приріст функції, тобто ∆у.

3.Відношення приросту функції до приросту аргументу, тобто .

4.Границю цього відношення при ∆х →0, тобто .

 

Процес знаходження похідної називається диференціюванням функції.

 

Отже, в результаті розглядання деяких прикладів можна казати про фізичний зміст похідної.

Фізика, технічна механіка вивчають не лише простіший вид руху: рівномірний, але й змінний рух.

В змінному русі миттєву швидкість розглядають як границю середньої швидкості (V_сер) при ∆t → 0:

;  .

 

 

 Геометричний зміст похідної

 

 Дотична до кола – це пряма, яка має                               

з нею одну спільну точку. Таке визначення

годиться не для всякої кривої лінії.

 Наприклад: пряма MN дотикається

до кола в точці С, алей має із цією кривою

не одну, а дві спільні точки. З іншої сторони,

пряма KL має з кривою одну спільну точку, але не є дотичною до неї.                            Рис.78

 

 Для визначення поняття дотичної до кривої в точці М візьмемо на ній ще одну точку М₁ і проведемо січну ММ₁.

 Якщо переміщувати точку М₁ по    

кривій так, щоб вона наближалася до М,

то січна ММ₁ буде обертатися навколо

точки М і займе положення дотичної MN.

 

                                                                                            Рис.79

Означення. Дотичною до даної кривої в даній на ній точці М називається граничне положення січної ММ₁, коли точка М₁ необмежено наближається до точки М, рухаючись вздовж графіка функції.

 

Нехай дано неперервну функцію y = f(x).                                                                                                               

На графіку цієї функції візьмемо точку М(х; у);

тоді ОР = х, РМ = у. Дамо х приріст РР₁ = ∆х;

в цьому випадку нарощеному значенню абсциси ОР₁ = х + ∆х буде відповідати нарощене значення ординати

Р₁М₁ = f(x + ∆x) точки М₁ кривої. В прямокутному трикутнику М₁МQ                                                                                           

MQ = ∆x; QM = P₁M₁ – PM = f(x + ∆x) – f(x) = ∆y.                                                                                                                                           Рис.80

 

 Позначимо кут нахилу січної М₁R до додатного напряму осі ОХ через β і тоді: M₁MQ = MRP = β.

 

 Із трикутника M₁MQ маємо: QM₁ = MQ ∙ tgM₁MQ, або ∆у = ∆х ∙ tgβ.

Звідси      (1)

 

 Із рівності (1) видно, що відношення приросту функції до приросту аргументу дорівнює тангенсу кута нахилу січної M₁R до додатнього напряму осі ОХ.

 Нехай ∆х →0, тоді ∆у →0, тому, що дана функція неперервна. Внаслідок цього точка М₁ буде необмежено наближатися до М, а січна M₁R – обертатися навколо точки М, намагаючись зайняти положення дотичної NL. Знайдемо границю обох частин рівності (1) за умови ∆х→0; отримаємо:

.   (2)

 

 Нахил січної до осі Ох при її обертанні змінюється. Отже кут β стає змінною величиною і прямує до величини кута, утвореного дотичною NL із додатнім напрямом осі Ох. Позначимо NLP = α і можемо записати:

.

 

 Тоді рівність (2) можна переписати так:

    (3)

 

 Ліва частина рівності (3) є похідна даної функції, а права частина – кутовий коефіцієнт k дотичної NL.

 

 Похідна функції y = f(x), якщо х = а, дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, яка проведена до графіку даної функції в його точці із абсцисою

х = а.

 

 

 Задача 1. Знайти швидкість змінного руху точки, який здійснюється за законом (S – пройдений шлях, v₀ – початкова швидкість, t (аргумент) – час, а – прискорення).

 

 

 Розв’язання.

 1.;

 

 2.;

 

 3.;

 

 4..

 

 Із курсу елементарної фізики, або теоретичної механіки це – відома формула швидкості при рівнозмінному русі.

 

 

  Задача 2. Знайти тангенси кутів нахилу      

дотичних до кривої у = х² в точках ;

М₂(-1; -1).

 

 Розв’язання.

у’ = 2х.

;                                                    Рис.81                 

 

 Відповідь: 1 і 2.

 

 

Похідні вищих порядків

 

 Як було встановлено, швидкість прямолінійного руху точки є похідна від пройденого шляху за часом: v(t) = S’(t). Оскільки швидкість v(t) сама є функцією часу, то можна говорити про швидкість її зміни. У фізиці і механіці швидкість зміни швидкості називається прискоренням. Як і при введенні поняття миттєвої швидкості, матимемо, що прискорення у момент часу t дорівнює:

,

 

тобто a(t) = v’(t) = (S’(t))’. Прискорення a(t) є похідною від похідної S’(t), або, як кажуть прискорення руху є друга похідна шляху за часом.

 

 

  Задача. Матеріальна точка рухається за законом S = 2t² + t – 2. (S – в м, t – сек). Знайти швидкість і прискорення точки в момент часу t = 3 с.

 

Розв’язання.

S’_(t) = v(t) = 4t + 1; v(3) = 13м/с.

 

(S_(t))’ = v’(t) = a(t) = 4; а(3) = 4 м/с².

 

Виявляється, що прискорення стале для довільного значення t, тобто точка рухається рівноприскоренно.

 

 

Диференціювання функцій за формулами

 

Похідна складної функції.

 

Розглянемо функцію y = lnsinx. Тут ми маємо логарифмічну функцію, аргументом якої є не незалежна змінна х, а функція sinx цієї змінної. Такого роду функції називаються складними функціями, або функціями від функції.

Позначимо sinx = u. Тоді y = lnu, де u = sinx, ми ввели допоміжну змінну u і представили залежність у від х як залежність у від u, а u від х.

Аналогічно у залежності позначимо 1 + х² = u, тоді , тобто у залежить від u, а u залежить від х.

Взагалі, якщо y = f(u), де u = φ(x), то кажуть, що ці функціональні залежності визначають у як складну функцію від х і записують y = f[φ(x)] .

 

За яким правилом можна знайти похідну складної функції?

Отже, y = f(u), де u = φ(x).

1.; .

 

2.;

.

 

3..

 

Для знаходження границі цього відношення при ∆х → 0 представимо його в такому вигляді: .

 

4..

 

Тобто: , або

 

 

Приклад 1. Знайти похідну складної функції .

 

Відповідь: .

 

 

Приклад 2. f(x) = sin²x. Знайти .

Функція складна, тому ;  .

 

.    Відповідь: 1.

 

 

Приклад 3. Знайти значення похідної функції за даним значенням аргументу:

1.f(x) = lncosx;  .

 

Розв’язання.  ;

 

.  Відповідь: .

 

2.;  t = 0.

 

Розв’язання.

.

 

;

 

.   Відповідь: 1.

 

 

3.;   х = 1.

 

Розв’язання.  .

 

 

;

       Відповідь: .

 

 

4.,   .

 

Розв’язання.

;   .

      

       Відповідь: 2.

 

 

5.;   х = 0.

 

;   .

 

       Відповідь: 1.

 

 

Приклад 4. Знайти похідні складних функцій:

1.;   ;

 

;

       Відповідь: .

 

2.. (за формулою ).

 

;

     Відповідь: .

 

 

3.. (за формулою )

 

 

     Відповідь: .

 

 

4..   .

 

     Відповідь: .

 

 

5.;   .

 

     Відповідь: .

 

 

 

5.3 Зростання та спадання функції

 

Із різних способів задавання функції найбільшу наочність має графічний, що робить його незамінним допоміжним засобом при розв’язуванні різних задач. Наприклад, при розв’язуванні квадратних нерівностей ми користувалися графіком параболи; при розв’язуванні системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими розглядали взаємне розміщення двох прямих на площині та інш. Тому дуже важливим є вміння будувати графіки функцій. Графік функції повинен відображати такі важливі особливості функції, як неперервність, диференційованість, зростання, спадання, сталість, поведінку на нескінченності тощо. Тому будувати графік треба не за довільними точками, як раніше, а за характерними, «опорними». До характерних точок належать, наприклад, точки розриву, точки, в яких функція не диференційована, «поворотні» точки, де графік переходить від зростання до спадання. Знаходити характерні точки функції і будувати її графік нам допоможуть методи диференціального числення.

 

 

Ознаки сталості; зростання та спадання функції

 

При побудові графіків функції важливо вміти знаходити проміжки зростання, спадання і сталості функції, або ж, іншими словами, проміжки її монотонності.

 

Означення. Якщо на деякому

інтервалі більшому значенню аргументу

(х₂ > х₁) відповідає більше значення функції (f(x₂) > f(x₁)), то така функція називається         

зростаючою на цьому інтервалі; якщо

більшому значенню аргументу (х₂ > х₁)

відповідає менше значення функції

(f(x₂) < f(x₁)), то така функція називається

спадаючою.

 

                                                                                                                                                                                        Рис.82

                                                                                                                                                                                    

 Теорема 1. (ознака сталості функції). Якщо на деякому інтервалі похідна тотожно дорівнює нулю, то функція стала на цьому інтервалі.

 

Теорема 2. (ознака монотонності функції). Якщо на деякому інтервалі похідна додатна, то функція зростає на цьому інтервалі; якщо похідна від’ємна, то функція спадає на цьому інтервалі.

 

Справедливість цієї теореми проілюструємо геометрично.       

І справді, використаємо

геометричний зміст похідної.

Проведемо дві дотичні у двох точках.

Кожна з них утворює гострий кут із

Додатним напрямом осі Ох (α₁ і α₂).

Тангенс гострого кута додатний. Тобто

Кутові коефіцієнти дотичних додатні,                                                                                        Рис.83

а це означає, що похідна функції в точках дотику додатна.

 Із таких міркувань, оскільки дотичні до спадаючої функції утворюють тупі кути із додатним напрямом осі Ох, це означає, що похідна у точках дотику від’ємна.

 

 Приклад. Визначити проміжки зростання і спадання функції

у = х³ – 3х² + 5.

 

Розв’язання. Знаходимо похідну даної функції

, або

.

Добуток 3х(х – 2) додатний при всіх х < 0.     

При 0 < x < 2 це добуток від’ємний, і при

х > 2 знову додатний. Отже функція на

проміжку (-∞; 0) -зростає; в проміжку

(0; 2) – спадає і в проміжку (2; +∞) знову зростає.                           Рис.84

 

 

5.4 Максимум і мінімум функції

 

Означення. Функція f(x) в точці х₁ має                              

максимум, якщо значення функції f(x) в точці х₁

більше за її значення у всіх точках деякого

інтервалу, який містить точку х₁. Інакше кажучи,

функція f(x) має максимум при х = х₁, якщо

f(x₁) > f(x₁ + ∆х) (∆х – будь-яке достатньо мале

за абсолютною величиною).

                                                                                                           Рис.84

Означення 2. Функція f(x) має мінімум при х = х₂, якщо . (∆х – будь-яке достатньо мале за абсолютною величиною).

 

Так, на графіку зображена функція, яка визначена на відрізку [a; b], яка  при х = х₁ і х = х₃ має максимум, при х = х₂ має мінімум.

Максимум і мінімум функції називають екстремумами.

Точки, в яких функція має екстремуми називаються критичними точками. В цих точках дотична до графіка функції f(x) паралельна осі Ох. Це означає, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює нулю. Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної у цій точці, то це означає, що в критичних точках похідна функції дорівнює нулю.

А як же обстоять справи у тих точках, де похідна не існує?

В таких точках може бути чи максимум, чи мінімум, а може не бути ні того, ні іншого.

 

Приклад 1. Функція не має                                                                   

похідної в точці х = 0 (в цій точці крива

не має визначеної дотичної), але в цій

точці ця функція має мінімум: у = 0 при

 х = 0. Для інших точок маємо у > 0.

 

 

 Приклад 2. Функція не

має похідної при х = 0.

. (при х → 0, y’ →∞).

 В цій точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму:

f(0) = 0; f(x) < 0;  для  x < 0;  f(x) > 0   для  x > 0.                                            Рис.85

 

 Таким чином, функція може мати екстремум лише в двох випадках:

або в тих точках, де похідна існує і дорівнює нулю.

або в тих точках, де похідна не існує.

 

Перше правило екстремуму функції

 

 Із приведених графіків бачимо, що:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                Рис.86                                                                    Рис.87

               

якщо похідна при переході через критичну точку міняє знак з (+) на (-), то і цій точці функція має максимум; якщо  з (-) на (+) – то мінімум.

 

Задача. Дослідити на екстремум функцію .

Розв’язання.                                                     

1.Знаходимо першу похідну: y’ = x2 – 4x + 3. 2.Знаходимо дійсні корені похідної: х2 – 4х + 3 =0;  х1 = 1, х2 = 3. 3.Досліджуємо критичні точки: х1 = 1, y’= (х - 1)(х - 3). Тобто маємо: при х < 1, y’ = (-) ∙ (-) > 0 при х > 1 y’ = (+) ∙ (-) < 0.

Рис.88

При переході (зліва направо) через значення х₁ = 1 похідна міняє знак з плюса на мінус. Отже, при х = 1 функція має максимум, а саме .

Досліджуємо другу критичну точку х₂ = 3:

при x < 3 y’ = (+) ∙ (-) < 0 (-)

при x > 3 y’ = (+) ∙ (+) > 0 (+)

 

 При переході через значення х = 3 похідна міняє знак з мінуса на плюс. Отже, при х = 3 функція має мінімум; а саме .

Друге правило екстремуму функції

 

 Якщо в деякій точці х₀ перша похідна функції дорівнює нулю, а друга – більше від  нуля, тобто f’(x₀) > 0, то х₀ – точка мінімуму функції.

 Якщо в деякій точці х₀ перша похідна функції дорівнює нулю, а друга – менше від нуля, тобто f’(x₀) = 0, f’’(x₀) < 0, то х₀ – точка максимуму функції.

 

 

5.5 Опуклість графіка функції. Точка перегину

 

 При побудові графіка функції враховується знак її першої похідної.

Знак другої похідної також має геометричний зміст.

 

                              Рис.89                                                                                                                                     Рис.90

 На рис. зображено графіки функцій, кожна з яких є зростаючою. Однак, неважко помітити відмінність в їхній поведінці: графік функції y = f(x) опуклий вниз, а графік функції y = g(x) опуклий вгору.

 Охарактеризуємо зазначені особливості графіка за допомогою похідної.

Якщо рухатися вздовж графіка функції (рис.а) зліва направо, то дотична повертається у напрямі, оберненому напряму обертання стрілки годинника. При цьому кут нахилу дотичної до осі х зростає (α₁ < α₂ < α₃). Тому кутовий коефіцієнт дотичної tgα = f’(x) є функцією зростаючою.

 Якщо рухатися вздовж графіка функції y = g(x) (рис.б) зліва направо, то відповідний кут нахилу дотичної зменшується, тобто кутовий коефіцієнт дотичної tgα = g’(x) до графіка функції є функцією спадної.

 Отже, напрям опуклості графіка диференційованої функції залежить від зростання чи спадання функції у = f’(x), тобто від знака її похідної (f’(x))’. Оскільки (f’(x))’ = f’’(x), то можна припустити, що напрям опуклості графіка функції у = f(x) залежить від знака її другої похідної.

 Справді, має місце таке твердження: якщо друга похідна функції додатна на деякому інтервалі, то графік функції опуклий донизу на цьому інтервалі.

 Якщо друга похідна функції від’ємна на деякому інтервалі, то графік функції опуклий вгору на цьому інтервалі.

 Щоб відшукати інтервали опуклості графіка функції треба:

 1.Знайти всі точки з області визначення функції, де її друга похідна не існує або ж дорівнює нулю;

 2.Визначити знак другої похідної у кожному з інтервалів, на які область визначення функції поділена знайденими точками.

 Якщо у даному інтервалі друга похідна додатна, то на цьому інтервалі графік функції опуклий вниз, а якщо друга похідна від’ємна, то графік функції опуклий вгору.

 

 Приклад 1. Знайти інтервали опуклості функції .

 

Розв’язання. Знайдемо першу та другу похідні функції:

;

 

.

 

 Друга похідна не визначена в точці х = 0 і перетворюється в нуль у точці х = - 0,2 (1 + 5х = 0). Ці точки розбивають область визначення функції (-∞; +∞) на три інтервали: (-∞; -0,2), (-0,2; 0), (0; +∞), у кожному з яких друга похідна зберігає свій  знак: f’’ (x) < 0 при x > 0 і  -0,2 < x < 0;              f’’(x) > 0 при x < -0,2.  Тому на інтервалі (-∞; -0,2) графік функції є опуклим вниз, а на інтервалах (-0,2; 0), (0; +∞) – опуклим вгору.                      

 Може так статися, що графік функції

у = f(x) опуклий вниз в одних інтервалах і

опуклий вгору на інших.

 Наприклад крива на цьому рис.

В інтервалах (а, b) і (c, d) опукла вниз,

а в (b, c) опукла вгору.

                                                                                                                                              Рис.91

 Означення. Точка В, або С, називається точкою перегину, якщо при переході через цю точку крива змінює напрям опуклості.

 

 Теорема. Точка М₀ (х₀; у₀) буде точкою перегину графіка функції

у = f(x) тоді, коли функція неперервна в точці х₀ і її друга похідна змінює знак у точці х₀.

 

 Отже, щоб знайти точку перегину графіка функції, треба:

 1.Знайти всі точки з області визначення функції, де друга похідна не існує або ж перетворюється в нуль;

 2.Дослідити знак другої похідної у деякому околі кожної з цих точок.

 

 Якщо функція неперервна в точці х₀ і її друга похідна змінює знак у цій точці, то х₀ є абсцисою точки перегину графіка функції.

 

 

 Приклад. Знайти точки перегину графіка функції .

 Розв’язання. ;  .

Друга похідна існує і неперервна скрізь при х = 2 вона дорівнює нулю. Значення х = 2 розбиває інтервал (-∞; +∞) на частини: (-∞; 2); (2; +∞). Визначимо знаки другої похідної, наприклад, при х = 0 і при х = 3, знаходимо знаки її відповідно в інтервалах (-∞; 2) і (2; +∞). Таким чином, маємо:   і .

Отже, в інтервалі (-∞; 2) y’’ < 0             

 В інтервалі (2; +∞) y’’ > 0

 

Це означає, що при х = 2 графік

функції має точку перегину і що в

інтервалі (-∞; 2) крива опукла вниз, а

в інтервалі (2; +∞) – опукла вгору.

                                                                                              Рис.92

 

 

5.6 Загальна схема дослідження функції.

Побудова графіків функції

 

Вивчати функцію та її графік за допомогою похідної доцільно за такою схемою:

1.Знайти область визначення функції, якщо вона не вказана.

2.З’ясувати, чи є функція парною або непарною.

3.З’ясувати, чи є функція періодичною.

4.Знайти точки перетину графіка функції з осями координат і проміжки знакосталості функції.

5.Дослідити функцію на неперервність.

6.Знайти для відповідних областей визначення поведінку функції на нескінченності.

7.Знайти інтервали зростання і спадання функції.

8.Знайти точки екстремуму (критичні точки) і обчислити значення функції в точках екстремуму.

9.Знайти точки перегину, якщо вони є.

10.Користуючись знайденими результатами, побудувати графік функції.

 

Приклад 1. Побудувати графік функції .

Розв’язання.

1.Область існування (визначення) функції – вся дійсна ось, за винятком точки х = 0, тобто х ∈(-∞; 0) ∪ (0; +∞).

2., . Тобто функція не є парна, і не є непарна.

 

3.Функція неперіодична.

 

4.Знайдемо нулі функції: f(x) = 0.

,  х = 2.

 

Графік цієї функції ось Оу не перетинає, оскільки х ≠ 0 (нуль не входить в область визначення функції).

 

5.Знайдемо критичні точки і встановимо інтервали знакосталості функції: .

 

10х – 5х² = 0. х₁ = 0, х₂ = 2 – критичні точки.

 

Критичні точки х₁ = 0 і х₂ = 2 розбивають числову ось на три інтервали (-∞; 0), (0; 2), (2; +∞), в кожному з яких значення функції мають сталі знаки (див. таблицю).

х	-∞ < x < 0	0 < x < 2	2 < x < +∞
f(x)	-	-	+

 

6.Розглянемо питання про асимптоти графіка функції.

.  .

 

Отже, пряма у = 0, тобто ось Ох с горизонтальною асимптотою.

А, оскільки , то пряма х = 0, тобто ось Оу є вертикальною асимптотою.

 

7.Дослідимо функцію на опуклість і точки перегину: .

а) . х = 6;

 

б)f’’(x) не існує в точці х = 0.

 

Оскільки точка х = 0 не належить до області визначення функції, то в точці, з абсцисою х = 0 не може бути точки перегину графіка, тому точкою перегину може бути лише точка з абсцисою х = 6. Дослідимо знак другої похідної і результати запишемо у таблицю.

 

х	-∞ < x < 0	0 < x < 6	х = 6	6 < x < +∞
f’’(x)	-	-	0	+
Інтервали опуклості і точки перегину	Опуклість вгору	Опуклість вгору	Точка перегину	Опуклість вниз

 

8.За отриманими даними дослідження функції будуємо графік цієї функції.

 

                                                Рис.93

 

 

Приклад 2. Дослідити функцію f(x) = 3х⁵ – 5х³ + 2 і побудувати її графік.

 

1.Знаходимо область визначення D(f) = R, тобто (-∞; +∞) оскільки f(x) – многочлен.

 

2.f’(x) = 15х⁴ – 15х²;

 

3.15х⁴ – 15х² = 0; х²(х² – 1) = 0, х₁ = -1, х₂ = 0, х₃ = 1.

Функція має три критичних точки.

 

4.Обчислимо значення функції в критичних точках:

f(-1) = 4;   f(0) = 2;   f(1) = 0.

 

Складемо таблицю:

х	(-∞; 1)	-1	(-1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
f’(x)	+	0	-	0	-	0	+
f(x)	↗	4	↘	2	↘	0	↗
		max				min

 

За результатами дослідження        

функції будуємо її графік.

 

 

 

 

                                                                                 Рис.94

5.7 Найбільше і найменше значення функції

 

Розв’язування багатьох практичних задач зводиться до умов, за яких досліджувана величина набуває свого найбільшого чи найменшого значення.

Наприклад, які розміри повинен мати ящик, щоб при певній кількості матеріалу, витраченого на його виготовлення, об’єм ящика був найбільшим?

Як із круглої деревини виготовити прямокутну балку з найменшими затратами матеріалу? На якій висоті над центром круглого майдану потрібно підвисити ліхтар, щоб освітлення було максимальним?

Потрібні задачі розв’язуються за допомогою похідних. Насамперед уточнимо поняття найбільшого та найменшого значень функції.

В курсі математичного аналізу стверджується, що неперервна на відрізку [a; b] функція f має на цьому відрізку найбільше і найменше значення, тобто існують точки відрізка [а; b], в яких f приймає найбільше і найменше значення.

 

Означення 1. Значення функції y = f(x) в деякій точці х₀ множини Х називається найбільшим значенням функції на цій множині, якщо для всіх х з множини Х справджується нерівність f(x₀) ≥ f(x); записується так:

 

Означення 2. Значення функції y = f(x) в деякій точці х₀ множини Х називається найменшим значенням функції на цій множині, якщо для всіх х з множини Х справджується нерівність f(x₀) ≤ f(x); записується так:

 

Наприклад, для функції на рис. 95            

;

 

                                                                         Рис.95                                                                         

Нехай функція f(x) на відрізку [a; b] не має критичних точок:

 

            Рис.96                                                                                               Рис.97

                                  

                                

 

На цьому графіку х₁, х₂, х₃ – абсциси

критичних точок.

 

 

 

 

 

 

                                                                                                               Рис.98

 

 Щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної функції, яка має на заданому відрізку скінченну кількість критичних точок, треба обчислити значення функції у цих критичних точках і на кінцях відрізка, а потім серед отриманих чисел обрати найбільше і найменше.

 

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції у= х³ – 3х+ 3 на відрізку .

 

Розв’язання.

1.Знаходимо екстремуми функції на відрізку:

y’ = 3х² – 3;  3х² – 3 = 0;   х₁ = -1;  х₂ = 1.

 

y’’ = 6x;  (y’’)_x=1 = 6 > 0.

Тобто, в точці х = 1 має місце мінімум: (y’’)_x=1 = 1.

 

(y’’)_x=-1 = -6 < 0.

Тобто, в точці х = -1 має місце максимум: (у)_х=-1 = 5.

 

2.Визначимо значення функції на кінцях відрізка.                        

;  .

 

Таким чином,

;

 

.

 

Побудуємо графік цієї функції.

 

 

                                                                                                         Рис.99

 

 

 

 

 

5.8 Приклади розв’язування завдань за темою

 

1.Знайти похідні функції при даному значенні аргументу.

 

1).   Знайти f’(2).

f’(x) = 3х² – 6х + 4. f’(2) = 3 ∙ 2² – 6 ∙ 2 + 4 = 4;

        Відповідь:  f’(2) = 4.

 

2).   Знайти f’(5).

.

        Відповідь:   f’(5) = 3,5.

 

3).    Знайти f’(3).

.

        Відповідь:   .

 

4).    Знайти f’(0).

.

        Відповідь: .

 

5).   Знайти f’().

.

        Відповідь: .

 

6).  Знайти f’().

.

        Відповідь: .

 

7).  Знайти f’().

;  .

        Відповідь: .

 

8.     .                Знайти f’().

 

;

 

Відповідь: .

 

 9);   Знайти f’().

 

;

         Відповідь: .

 

10).   Знайти f’(0).

.

         Відповідь: .

 

11).  Знайти f’.

.

         Відповідь: .

 

12) .   Знайти f’.

.

         Відповідь: .

 

13) .   Знайти f’.

         Відповідь: .

14);  Знайти f’(0).

.

         Відповідь: .

 

15).   Знайти f’().

.

         Відповідь: .

 

16).   Знайти f’.

.

         Відповідь: .

 

 17).   Знайти f’.

.

         Відповідь: .

 

18).  Знайти f’.

.    Відповідь: .

 

19).  Знайти f’.

.

         Відповідь: .

 

20).  Знайти f’.

.

         Відповідь: .

 

21)Залежність шляху від часу при прямолінійному русі точки задана рівнянням: . Обчислити її швидкість в момент часу t = 4 сек.

Розв’язання.

;  S’ = v; од.шв.

        Відповідь: 32 од.шв.

 

22)Скласти рівняння дотичної до параболи у = х² – 6х + 5 в точці абсциси х = 4.

 

Розв’язання.

х = 4 – це абсциса точки дотику; знайдемо її ординату:

у = 4² – 6 ∙ 4 + 5 = 16 – 24 + 5 = -3. Тобто М(4; -3).

 За рівнянням пучка прямих у – у₁ = k(х – х₁) ми запишемо рівняння дотичної, але спочатку знайдемо її кутовий коефіцієнт k.

;  ;  .

        Відповідь: у + 3 = 2(х-4).

 

23)Знайти проміжки зростання і спадання функції у = х³ + 3х² + 4.

 

Розв’язання.                                                              

y’ = 3х² + 6х; 3х² + 6х = 0;

 

х₁ = -2; х₂ = 0.

 

                                    Рис.100

                                           

                                                                                     Відповідь: (-∞; -2)↗, (-2;0)↘(0; +∞)

 

24)Дослідити криву на екстремум і точки перегину.

Розв’язання.

y’ = х² + 4х, критичні точки: х² – 4х = 0

х₁ = 0; х₂ = -4; y’’₍₀₎ = +4, y’’_(-4) = -4.

 

Тобто в точці х = 0 функція має мінімум,

а в точці х = -4 функція має максимум.

 

 Знайдемо y_max і y_min.

 

 ;  .

 

 2х + 4 = 0; х = -2;

   у = 5.

Відповідь:-точка max.

 -точка min.

 -точка перегину.

25)Знайти проміжки опуклості графіка функції .

 

Розв’язання.

;  ;

6х + 6 > 0;  х > -1 (опуклість вниз)

6х + 6 < 0;  х < -1 (опуклість вгору).

       Відповідь: (-∞; -1) – опуклість вгору.

         (-1; +∞) – опуклість вниз.

 

 

5.9 Питання для самоконтролю

 

 1.Яка з даних функцій , має при х = 0 більшу швидкість зміни?

 

 2.За допомогою якої функції описується закон рівноприскореного руху?

 

 3.Кут повороту маховика змінюється за законом φ = φ(t). Що розуміють під кутовим прискоренням обертання?

 

 4.Який фізичний зміст має перша похідна від шляху за часом?

 

 5.Який фізичний зміст має друга похідна від шляху за часом?

 

 6.Дайте механічне тлумачення таким фактам:

а);   б);

в) і похідна змінює знак і точці х₀;

г), але похідна не змінює знак в точці х₀.

 

 7.Наведіть приклад функції:

а)що має нескінченну кількість точок екстремуму.

б)похідна якої в деякій точці дорівнює нулю, але ця точка не є точкою екстремуму.

 

 8.Чи обо’язково критична точка (корінь першої похідної) функції є точкою екстремуму?

 

 9.Чи можуть точки екстремуму не збігатися з критичними точками функції?

 

 10.Областью визначення функції є відрізок [a; b]. Чи можуть точки a, b бути точками екстремуму функції?

 

11.Чи може зростаюча функція мати точки екстремуму?

12.Опишіть поведінку функції y = f(x), якщо:

а) f’(x) > 0, f’’(x) < 0;

б) f’(x) < 0, f’’(x) > 0.

 

 13.Чи може обмежена на відрізку функція не мати найбільшого значення?

 

 14.Чи обов’язково найбільше (найменше) значення функції збігається з деяким максимумом (мінімумом) функції?

 

 15.Схема дослідження функції на максимум і мінімум функції.

 

 16.Схема знаходження найбільшого і найменшого значень функцій.

 

 17.Ознаки опуклості (вниз і вгору) графіків функції.

 

 18.Точка перегину і правило її знаходження.

 

 19.Схема дослідження функції і побудова графіків.

 

 

5.10 Завдання для самостійної роботи

 I.Знайти похідні функції при даному значенні аргументу.

1.,   х = 2.

        Відповідь:.

 

2.,   х = 3.

        Відповідь:

 

3.,    х = 2.

        Відповідь:

 

4..   t = 0.

        Відповідь:

 

5.;   .

        Відповідь:

 

6.. х = 1.

        Відповідь:

7..  t =1.

        Відповідь:

 

8..   .

        Відповідь:.

 

9..   х = 2.

        Відповідь:.

 

10..   х = 0.

        Відповідь:.

 

11.. х = 1.

        Відповідь:.

 

12..  z = e.

        Відповідь:.

 

13..   х = 4.

        Відповідь:.

 

14..  х = 2.

        Відповідь:.

 

15..   х = 1.

        Відповідь:.

 

16..   .

        Відповідь:.

17..   .

        Відповідь:.

 

18..  .

        Відповідь:.

 

19..  х = 0.

        Відповідь:.

 

20..   х = 0.

        Відповідь:.

 

ІІ.Розв’язати задачі:

 

21.Вікно має форму прямокутника, периметр якого дорівнює 8м. Якими повинні бути розміри вікна, щоб воно пропускало найбільшу кількість світла?

        Відповідь: 2 х 2 м.

 

22.Число 162 представити у вигляді трьох додатних чисел так, щоб одне з них було у 5 разів більше, ніж друге, а добуток цих трьох чисел був найбільшим.

        Відповідь: 18, 90, 54.

 

23.В прямокутний трикутник з катетами, рівними 2 см і 4 см, вписати прямокутник найбільшої площі зі сторонами, паралельними катетам трикутника.

 

24.Розрізати відрізок довжиною 18 см на дві частини так, щоб, якщо взяти їх за катети, отримати прямокутний трикутник з найменшою гіпотенузою.

        Відповідь: 9 см і 9 см.

 

25.Розділити число 10 на дві частини так, щоб сума їх квадратів була найменшою.

        Відповідь: 5 і 5.

 

26.Розділити число 8 на дві частини так, щоб сума їх кубів була найменшою.

        Відповідь: 4 і 4.

 

27.Який із прямокутників з периметром 50 м має найбільшу площу?

       Відповідь: квадрат (12,5х12,5)м².

 

28.Сума основи і висоти трикутника дорівнює 10м. Якими повинні бути розміри основи, щоб площа трикутника була найбільшою?

       

29.Із квадратного листа заліза, сторона якого дорівнює 30 см треба вирізати по кутам чотири квадрати так, щоб із залишкової частини після згинання отримати коробку найбільшої ємкості. Якими повинні бути розміри відрізаних квадратів?

       Відповідь: а = 5 см.

 

30.Січення шлюзового каналу має вигляд прямокутника, який закінчується півколом. Периметр січення дорівнює 4,5 м. При якому радіусі півкола січення буде мати найбільшу площу?

       Відповідь: ≈ 0,63 м.

 

31.Об’єм правильної чотирикутної призми дорівнює 8 дм³. Якою повинна бути сторона основи призми, щоб повна поверхня її була найменшою?

       Відповідь: 2 дм.

 

32.Треба виготовити конусну воронку с твірною 20 см. Якою повинна бути висота воронки, щоб її об’єм був найбільшим?

       Відповідь:см.

 

33.Залежність шляху від часу в прямолінійному русі точки задана рівнянням: . Знайти її швидкість і прискорення в момент часу

t = 3c.

        Відповідь:.

 

 34.Скласти рівняння дотичної до параболи в даній точці:

а), х = 4.     Відповідь:.

б), х = 2.     Відповідь:.

в), х = -2.    Відповідь:.

г), х = 2.     Відповідь:.

д), х = 4.    Відповідь:.

 

 35.Знайти гострий кут між параболами:

а) у = х² і у = 8 – х² в точці їх перетину, яка має додатну абсцису.

б) у = -3х² і у = х² – 4.

 36.Залежність шляху від часу в прямолінійному русі двох тіл задана рівняннями: ,                            .

В який момент часу їх швидкості будуть рівними?

        Відповідь: (t = 4 с).

 

 37.Скласти рівняння дотичної о кривої в точці (5; 6).

        Відповідь: 10х – 3у – 32 = 0.

 

 38.Дослідити криву на екстремум і точки перегину.

        Відповідь:-max.

          (0; -10) –min

          -точка перегину

 

 39.Знайти проміжки зростання і спадання функції .

        Відповідь: (-∞;0)↘, (0; 2)↗,(2;+∞)↘

 

 40.Знайти найбільше і найменше значення функції у = х² – 6х + 3 на проміжку [0; 5].

 

 41.Дослідити криву у = х³ + 3х² + 24х – 8 на опуклість.

        Відповідь: (-∞; -1), (-1;+∞).

 

 42.Дослідити криву  на екстремум і точки перегину.

        Відповідь:

         (-1; 1)-точка перегину.

 

 43.Дослідити криву у = х³ – 9х² – 24х + 12 на опуклість.

        Відповідь: .

 

 44.Дослідити криву на екстремум і точки перегину.

        Відповідь: (0; 6) – max,

          -min.

         - точка перегину.

 45.Знайти проміжки зростання і спадання функції .

        Відповідь: (-4; 0)↗, (0; +∞)↘.

 

 46.Дослідити криву у = х³ + 3х² + 4 на опуклість.

        Відповідь:.

 

 47.Дослідити криву на екстремум і точки перегину.

        Відповідь: – max,

          -min.

         - точка перегину.

 

 48.Дослідити криву у = х³ – 6х² + 9х – 3 на екстремум і точки перегину.

        Відповідь: (1; 3) – max,

          -min.

         - точка перегину.

 

 49.Дослідити функцію у = х³ + 6х² + 4 на опуклість.

        Відповідь:.

 

 50.Знайти інтервали опуклості, а також абсциси точок перегину графіка функцій:

1.у = х³ – 10х + 1.

2.у = 2х³ – 6х² – 18х + 7.    Відповідь:, х = 1.

3.у = (х – 1)(х – 2)(х – 3).    Відповідь:, х = 2.

4.у = х + 36х² – 2х³ – х⁴.     Відповідь:,

х = -3, х = 2 .

5.у = (х – 1)⁴ ∙ 93х + 7).     Відповідь:, х =1.

6..       Відповідь:,

        , .

 

7..      Відповідь:,

х = 0, х = 1.

 

8..       Відповідь:.

 

9..       Відповідь:.

 

10..      Відповідь:, х = 0.

 

11..      Відповідь:.

 

12..      Відповідь:.

 

 51.Побудувати графіки функцій:

1.;     2.;

 

3.;     4.;

 

5.;      6.;

 

7.     8.;

 

9.;       10.;

 

11.;      12.;

 

13.     14.;

 

15.;      16.;

 

17.;      18.;

 

19.;      20..

 

 52.Знайти найбільше і найменше значення функції на вказаному проміжку:

1.  [0; 1]    Відповідь:

         

 

2.   [0; 1]    Відповідь:

         

 

3.  [1; 4]    Відповідь:

         

 

 

4..  [1; +∞)   Відповідь:

         

 

5. [-1; 1]    Відповідь:

         

 

6.  [0; 1]    Відповідь:

         

 

7.  [-2; 1]    Відповідь:

         

 

8.  [-∞; +∞]   Відповідь:

 

9.   [-π; π] 

 

10.   

 

11.  [0; π] 

 

12.   [0,1; 10] 

 

13.   [0; +∞] 

 

14.  [-2; 2]    Відповідь:

         

15.     Відповідь:

         

 

 

 

 

 

 

 

Глава 6 Функції багатьох змінних.

Частинні похідні; повний диференціал

 

6.1 Основні поняття про функцію багатьох змінних.

6.2 Частинний  та повний приріст функції.

6.3 Неперервність функції багатьох змінних.

6.4 Частинні похідні функції 2-х змінних.

6.5 Повний диференціал функції багатьох змінних.

6.6 Екстремуми функцій багатьох змінних.

6.7 Приклади розв’язання завдань.

6.8 Питання для самоконтролю.

6.9 Завдання для самостійної роботи. 

 

 

6.1 Основні поняття про функцію багатьох змінних

 

 Досі ми вивчали функцію однієї змінної y = f(x), де х – аргумент (незалежна змінна), у – залежна змінна або функція.

 Із фізики, наприклад, відомо, що при даній температурі тиск газу у закритій судині зворотньо пропорційний його об’єму; величина заробітку робітничого при здільній роботі залежить від фактичної виробітки. Якщо змінити радіус кола, то при цьому певним чином зміниться його площа

(S = πR²).

 У наведених прикладах тиск газу у замкнутій судині є функція його об’єму; заробіток робочого є функція його працездатності; площа круга є функція його радіуса.

 Іноді кожному значенню аргумента ставиться у відповідність не одно, а декілька значень функції. Тоді функція називається многозначною. Із такими випадками ми зустрічаємося при вивченні кривих другого порядку в аналітичній геометрії. Наприклад, для кола, рівняння якого х² + у² = R², кожному значенню абсциси х відповідає за формулою два значення у. В деяких задачах ми маємо справу із функціями, які залежать від декількох змінних. Наприклад, із елементарної геометрії знайомо, що площа паралелограма визначається добутком основи на висоту, а об’єм паралелепіпеда – добутком трьох його вимірювань. Відповідно, формули

S = xy і V = xyz визначають площу паралелограма як функцію двох змінних, а об’єм паралелепіпеда – як функцію трьох змінних.

 

 Означення. Величина Z називається функцією двох незалежних змінних х і у, якщо кожній парі значень цих змінних за деяким правилом або законом ставиться у відповідність визначене значення Z.

 

 Аналогічно вводиться поняття функції трьох і більшого числа незалежних змінних; тоді у випадку трьох змінних правило відповідності будується у відношенні кожної трійки значень цих змінних; а у випадку n незалежних змінних – по відношенню кожної сукупності значень цих n змінних.

 

Означення. Величина u називається функцією декількох незалежних змінних (x, y, z,….), якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність визначене значення величини n.

 

 

6.2 Частинний і повний приріст функції

 

Нехай задано функцію двох змінних Z = f(x; y).

Якщо значення незалежних змінних х і у отримують деякі прирости ∆х і ∆у, то і значення функції Z теж отримає деякий приріст ∆Z, який визначається різницею між наращеним значенням функції

Z + ∆Z = f(x + ∆x; y + ∆y)

 

та її початковим значенням Z = f(x; y) у вигляді

∆Z = f(x + ∆x; y + ∆y) – f(x; y).

 

 Цей приріст називається повним приростом. Отже, для функції

Z = x² + 3xy наращене значення буде таким Z + ∆Z = (x +∆x)²+3(x+∆x)(y+∆y).

Таким чином, повний приріст цієї функції буде

∆Z = (x + ∆x)² + 3(x + ∆x)(y + ∆y) – x² – 3xy, або

 

∆Z = 2x ∙ ∆x + (∆x)² + 3x ∙ ∆y + 3y ∙ ∆x + 3∆x ∙ ∆y.

 

 В окремих випадках для заданих значень отримуємо:

х	у	∆х	∆у	∆Z
1	1	1	1	12
2	3	1	1	23
3	2	1	1	25

 

 Якщо дамо приріст лише одній змінній (інші змінні не змінюються), ми отримуємо частинний приріст функції за цією змінною.

 Отже, різниця ∆_x f(x; y) = f(x + ∆x; y) – (x; y), називається частинним приростом функції Z = f(x; y) за змінною х.

 Якщо приріст функції відбувається за змінною тільки змінною х, записується таким чином

∆_х Z або ∆_х f(x; y).

 

Аналогічно за змінною у:

∆_у f(x; y) = f(x; y + ∆y) – f(x; y).

 

Для вказаної раніше функції Z = x² + 3xy матимемо:

∆_xZ = (x + ∆x)² + 3(x + ∆x) ∙ - x² – 3xy = 2x ∙ ∆x + (∆x)² + 3y ∙ ∆x;

 

∆_yZ = x² + 3x ∙ (y + ∆y) – x² – 3xy = 3x ∙ ∆y.

 

Легко помітити на прикладі цієї функції, що сума ∆_xZ + ∆_yZ ≠ ∆Z, тобто сума всіх частинних приростів функції не завжди дорівнює її повному приросту. Разом з тим, наприклад, для лінійної функції

Z = ax + by + c

 

маємо    ∆Z = ∆_xZ + ∆_yZ.

 

 

6.3 Неперевність функції багатьох змінних

 

За аналогією із функцією однієї змінної неперервність функції двох змінних визначається таким чином:

Функція Z = f(x; y) називається неперервною при х = х₀ і у = у₀, або в точці (х₀; у₀), якщо її повний приріст ∆Z прямує до нуля, коли ∆х→0 і ∆у →0, тобто:

.

 

 

6.4 Частинні похідні функції

 

Нехай задано функцію двох змінних Z = f(x; y), яка неперервна в точці (х₀; у₀).

Розглянемо відношення:

,

 

тобто відношення частинного приросту функції по змінній х до приросту цієї змінної. Якщо при ∆х → 0 границя цього відношення існує, то його називають частинною похідною функції .

Тобто .

 

 

 

Приклад 1. Для функції Z = x² – 3yx + 4y² знайти похідні по змінній х і змінній у.

Розв’язання. (у вважається сталою).

 

(х вважається сталою).

 

 

Приклад 2. .

Отже, (у вважається сталою)

 

(х вважається сталою).

 

 

Приклад 3. .

Отже, ( по х).

 

(по у).

 

 

Приклад 4. n = xy²sinZ – yZ²sinx. (функція трьох змінних).

 

(по х)

 

(по у)

 

(по Z).

 

Ці приклади приведемо без проміжних операцій.

 

 

 

 

6.5 Повний диференціал функції багатьох змінних

 

Означення. Нехай функція Z = f(x; y) має частинні похідні і . Тоді добуток кожної частинної похідної на диференціал відповідної незалежної змінної, називається частинним диференціалом даної функції, який взято по цій змінній.

Частинний диференціал функції Z = f(x; y) по змінній х позначається d_xZ, а по змінній у - d_yZ. Таким чином для функції Z = f(x; y) маємо:

(частинний диференціал по х).

 

(частинний диференціал по у).

 

Означення. Повним диференціалом dZ функції Z = f(x; y) називається головна лінійна частина приросту функції, або це – сума всіх її частинних диференціалів.

Таким чином, . (dx = ∆x, dy = ∆y).

 

 

6.6 Екстремуми функції двох змінних

 

Означення. Функція функції Z = f(x; y) в точці (х₁; у₁) має максимум, якщо для всіх значень х і у, досить близьких до х₁ і у₁, але ж одночасно не рівних їм, виконується нерівність f(x; y) < f(x₁; y₁), тобто різниця

 f(x; y) – f(x₁; y₁) < 0 (від’ємна); і функція Z = f(x; y) має мінімум, якщо в точці (х₂; у₂), якщо f(x; y) > f(x₁; y₁), тобто рівзниця f(x; y) – f(x₂; y₂) > 0 (додатна).

 

 

6.7 Приклади розв’язання завдань

 

Приклад 1. Функція Z = (x + 1)² + (y – 2)² – 1 досягає мінімуму при

х = 1, у = 2, тобто в точці (1; 2).

Дійсно, f(1; 2) = -1; (х – 1)² і (у – 2)² завжди                                                                                                                   

додатні при х ≠ 1, у ≠ 2, і тоді

(х – 1)² + (у – 2)² – 1 >  -1.

Тобто f(x; y) > f(1; 2).

 

 

                                                                                              

                                                                                                    Рис.101

 

Приклад 2. Функція при   

х = 0, у = 0 досягає максимуму.                                               

Дійсно , тоді у середині

кола буде sin (x² + y²) > 0

і тому , тобто

f(x; y) < f(0; 0).

 

                                                                                               Рис.102

 

Приклад 3. Дослідити на екстремум функцію Z = x² – xy + y²+3x–2y+1.

 

Розв’язання.

1.Знайдемо критичні точки: ; .

Розв’яжемо систему рівнянь і отримаємо .

 

 2.Знаходимо похідні другого порядку в критичній точці і визначимо характер критичної точки: ; ; .

АС – В² = 2 ∙ 2 – (-1)² = 3 > 0.

 

 Отже, в точці задана функція має мінімум .

 

 

Приклад 4. Дослідити на екстремум функцію Z = x³ + y³ – 3xy.

 

Розв’язання.

1.Знаходимо критичні точки:   .

 

2.Знаходимо похідні другого порядку:

;  ;  .

3.Визначимо характер першої і критичної точки:

;  ; .

 

АС – В² = 36 – 9 = 27 > 0. А > 0.

 

Отже, в точці (1; 1) задана функція має мінімум, а саме Z_min = -1. 

 

4.Визначимо характер другої критичної точки:

М₂(0; 0). А = 0;  В = -3; С = 0.

 

 АС – В² = -9 < 0.

 

 Отже, в точці (0; 0) задана функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

 

Приклад 5. Знайти частинні похідні наступних функцій:

а);  ;  .

 

б);  ;  .

 

в);  ;  ;

 

 .

 

 

6.8 Питання для самоконтролю

 

 1.Означення функції багатьох змінних.

2.Частинний і повний приріст функції.

3.Теореми про неперервність функції багатьох змінних.

4.Означення частинних похідних.

5.Повний диференціал функції багатьох змінних.

6.Максимум і мінімум функції багатьох змінних.

 

 

6.9 Завдання для самостійної роботи

 

 1.Знайти перші частинні похідні по х і у функції.

а)Z = x²y³;  б) Z = e^xy;  в).

 2., довести, що .

 

 3., довести, що .

 

 4., довести, що .

 

 5.Знайти повні диференціали функцій:

а).    Відповідь: .

 

б).    Відповідь: .

 

в).     Відповідь: .

 

г).   Відповідь: .

 

д).     Відповідь: .

 

6.Обчислити:

а) і , якщо f(х; у) = х² + у².

      Відповідь: ; .

 

б)df(x; y) при х = 1, у = 0, , якщо .

      Відповідь: .

 

 7.Знайти і , якщо ; u = -cosx; v = cosx.

      Відповідь: ;  .

 

 

 

 

 

 

Глава 7 Диференціал функції. Невизначений інтеграл

 

7.1 Диференціал функції

 

З похідною функції тісно пов’язане інше важливе поняття в математиці  - диференціал.

Якщо функція y = f(x) має похідну в точці х відрізка, то похідна цієї функції в цій точці визначається рівністю:

 

Відношення при Δх→0 прямує до визначеного числа f’(x) і тому відрізняється від похідної f’(x) на величину нескінченно малу:

, де α → 0 при х → 0.

 

Помножимо всі члени цієї рівності на Δх і отримаємо:

         

(1) 

                                                                                                                                                                                                         

Оскільки в загальному випадку f’(x) ≠ 0, то при сталої х і змінному Δх→0  добуток f’(x) ∙ Δх є нескінченно малою першого порядку відносно Δх. Добуток α ∙ Δх є завжди величина нескінченно мала вищого порядку відносно Δх, тому що

.

 

Таким чином, приріст Δу функції складається з двох чистин, з яких перша частина (при f’(x) ≠ 0) є так званою, головною частиною приросту, лінійною відносно Δх.

Добуток f’(x) ∙ Δх називають диференціалом функції і позначають через dy або df(x).

Таким чином, якщо функція y = f(x) має похідну f’(x) в точках х, то добуток похідної f’(x) на приріст Δх аргументу називається диференціалом функції і позначається символом dy:

     

(2) 

      

Знайдемо диференціал функції f(x) = х, в цьому випадку f’(x) = (x)’ = 1, і тому df(x) = dx = Δx, тобто dx = Δx.

Таким чином, диференціал dx незалежної змінної х співпадає з її приростом Δx. Рівність dx = Δх можна було б розглядати також як визначення диференціалу незалежної змінної, і тоді цей приклад показав би, що це не протирічіть визначенню визначенню диференціалу функції.

В будь-якому випадку формулу (2) ми можемо записати так:

.

 

Повернемося до формули (1), яку, з урахуванням (2) перепишемо так:

  

(3) 

      

Таким чином, приріст функції відмінний від диференціала функції на величину нескінченно малу вищого порядку відносно Δх. Якщо f’(x) ≠ 0, то α∙Δх є нескінченно малою вищого порядку і відносно Δу і тоді

.

 

У наближених обчисленнях іноді користуються наближеною рівністю

Δу ≈ dy, або f(x + Δ(x) – f(x) ≈ f’(x) ∙ Δx.

 

 Приклад 1. Знайти диференціал dy і приріст Δу функції у = х², якщо

х = 20, Δх = 0,1.

 

 Розв’язання.

 1.,

 .

 

 2.

 

 

 Похибка при зміні Δу на dy дорівнює 0,01. У багатьох випадках її можна вважати малою у порівнянні із Δу = 4,01 і нею можна знехтувати.

 

 Задачі, пов’язані з находженням диференціалу рівнозначні знаходженню похідних. Тому майже всі формули для похідних мають місце і при знаходженні диференціалів функції.

 

Геометричний зміст диференціалу

 

 Проведемо дотичну до графіка функції y = f(x) у точці М₀(х₀; f(x₀)). Оскільки df(x₀) = f’(x₀) ∙ dx = tgα ∙ Δx = PN,

то диференціал функції у точці х₀ дорівнює   

приросту ординати точки дотичної, який є

відповідним приросту аргументу Δх = х – х₀.

 

 

 

                                                                                                  Рис.103

 

 Приклад 2. На скільки приблизно зміниться значення функції f(x)=sinx, якщо збільшити кут від 60⁰ до 60⁰1’?

 За формулою маємо х₀ = 60⁰, х = 60⁰1’, Δх = 1’ ≈ 0,017 дістанемо sin 60⁰1’ – sin 60⁰ ≈ cos 60⁰ ∙ 0,017 ≈ .

 

 Приклад 3. За допомогою диференціала знайти наближене значення .

 

 Розв’язання.

 Нехай . Найближче точне значення х = 27 і тому Δх = -3.

Отже, .

Із похідної знаходимо . Звідси .    Відповідь: .

 

 

 

7.2 Первісна функції та її властивості

 

У теорії похідної ми розв’язали задачу про знаходження миттєвої швидкості руху. Маючи закон S = f(t), який визначає зміну шляху S в залежності від часу, ми знайшли швидкість v руху як похідну шляху S по часу t:

V = S’ = f’(t).

 

Однак, часто необхідно розв’язувати як раз обернену задачу, тобто за даною швидкістю v = φ(t) знаходити пройдений шлях S. Таким чином, це потребує за заданою швидкістю v = φ(t) відтворити закон руху S = f(t), або, іншими словами кажучи, за даною функцією v = φ(t) відтворити ту функцію

S = f(t), для якої v є похідною.

 Іншими словами ми повинні розв’язати задачу, яка обернена до задачі диференціювання. Обернені задачі доводиться розв’язувати нерідко: за відомою швидкістю знайти закон руху тіла, за прискоренням – швидкість, за кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої – рівняння самої кривої і т.п.

 Розв’язування кожної із сформульованих задач зводиться до знаходження функції за її похідною. Знаходження функції за похідною називається інтегруванням. Інтегрування – дія, обернена диференціюванню.

 Нехай дано дві функції y = f(x) і y = F(x), причому функція y = f(x) є похідною функції y = F(x), тобто F’(x) = f(x). Тоді функцію y = F(x) називають первісною функції y = f(x).

 Поняття первісної, як і поняття похідної, одне з основних понять у математиці.

 

 Означення. Функція y = F(x) називається первісною функції y = f(x) на заданому проміжку якщо для всіх х із цього проміжку виконується співвідношення F’(x) = f(x).

 

 Наприклад, функція є первісною функції на інтервалі (0; +∞), однак не є первісною цієї функції на проміжку [0; +∞), оскільки співвідношення F’(x) = f(x) не виконується при х = 0.

 Неважко впевнитись у тому, що первісною функції є не тільки функція , а й довільна функція F(x) + c, де с – будь-яка стала. Справді: .

 

 Взагалі, якщо y = F(x) – первісна для y = f(x), то функції виду y =F(x)+c є також первісними для y = f(x).

 Отже, якщо y = F₁(x) і y = F₂(x) – дві первісні функції y = f(x), то вони відрізняються на деяку сталу.

 

 Теорема. Якщо y = F(x) – первісна функції y = f(x) на деякому проміжку, то існує нескінченна кількість первісних для y = f(x) на цьому проміжку і всі вони мають вигляд y =F(x) + С, де С – довільна стала.

 

 Основна властивість первісних має простий геометричний зміст:

графіки будь-яких двох первісних функцій                      

можна отримати один з другого паралельним       

перенесенням вздовж осі ординат. (рис.).

Однією з основних задач вищої математики

в розділі «Інтегральне числення» є знаходження

для даної функції всіх її первісних, якщо вони

існують.

                                                                                                     Рис.104

 Приклад 1. Швидкість матеріальної точки, що рухається прямолінійно, змінюється за законом v = 3t, де v – швидкість , t – час, (с).

 Знайти:

 1.Закон руху точки, якщо в початковий момент часу t = 0 точка знаходилась у початку координат.

 2.Координату точки через перші дві секунди руху.

 

Розв’язання. Швидкість є похідною від закону руху за часом. Тому за даною похідною v = 3t потрібно знайти функцію. Первісними функції v = 3t є функції виду , де С – довільна стала. Сталу С знайдемо з початкової умови: х(0) = 0. Звідси С = 0. Таким чином, матеріальна точка рухається за законом , де х – координата, (м); t – час, (с). Підставивши в формулу t = 2, знайдемо координату точки через перші дві секунди руху:

м.    Відповідь: 6 м.

 

 

7.3 Невизначений інтеграл, його властивості

 

Означення. Сукупність усіх первісних F(x) + С для функції y = f(x) на деякому проміжку називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається символом: :

 

 Функція y = f(x) називається підінтегральною, f(x)dx – підінтегральним виразом, х - змінною інтегрування. Символ ∫ називається знаком інтеграла.

 

 Наприклад, , оскільки первісними функціями функції y = cosx є функції y = sinx + c.

 

 Властивість 1. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від цих функцій, тобто

.

 

Властивість 2. Сталий множник можна винести за знак невизначеного інтеграла, тобто

.

 

 

Безпосереднє інтегрування

 

Оскільки кожній формулі F’(x) = f(x) диференціального числення відповідає формула інтегрального числення, і навпаки, то, використовуючи відомі формули для похідних степеневих, показникових, тригонометричних функцій, дістанемо таблицю невизначених інтегралів:

1.;   2.;

 

3.;     4.;

 

5.;    6.;

 

7.;     8.;

 

9.;    10..

 

Правильність кожної з цих формул можна перевірити за допомогою диференціювання.

Щоб знайти інтеграл, відмінний від наведених вище, досить звести його до табличного або ж лінійної комбінації табличних інтегралів. Часто це вдається зробити за допомогою перетворення підінтегрального виразу і застосування правил інтегрування.

 

 

7.4 Приклади знаходження невизначених інтегралів

 

1.;

 

2.;

 

3.;

 

4.;

 

5..

 

 

 

7.5 Інтегрування способом підстановки

 

Не завжди за допомогою перетворень підінтегрального виразу вдається звести інтеграл до табличного. В таких випадках використовують інші способи знаходження невизначених інтегралів.

Зокрема, дуже часто використовується так званий спосіб підстановки або заміни змінної.

 

Приклад:

 

а) Зробимо підстановку sinx = t; тоді cosx ∙ dx = dt;

 

отже ;

 

 

б) Позначимо х + х³ = t, (1 + 3x²)dx = dt.

 

 .

 

 

7.6 Інтегрування за частинами

 

Нехай u і v – дві диференційовані функції від х. Тоді, як відомо, диференціал добутку u ∙ v обчислюється за формулою:

d(u ∙ v) = u ∙ dv + v ∙ du.

 

Звідси, після інтегрування, маємо:

, або

    (1)

 

 

Формула (1) називається формулою інтегрування за частинами.

 

Приклад 1.

 

Нехай u = x, dv = sinх ∙ dx, тоді du = dx, v = - cosx.

 

Отже,

 

Приклад 2.

 

Нехай u = arctgx, dv = dx;

, v = x.

 

Отже, .

7.7 Приклади розв’язування завдань за темою

 

Знайти невизначені інтеграли:

1.;

 

2.;

 

3.;

 

4.

 

5.

;      

 

6.;   ;

 

7.;  ;

 

8.;    ;

 

9.;

         ;

 

10.;

         ;

 

11.

;       ;

 

12.

       ;

 

13.;    

 

14.      ;

 

 

;

 

 

15.      

;

 

Знайдемо окремо .

Звідси .

 

 

7.8 Питання для самоконтролю

 

1.Визначення диференціалу функції.

2.Геометричне значення диференціалу функції.

3.Скільки первісних може мати функція, неперервна на відрізку?

4.Чи можуть графіки первісних однієї функції перетинатися?

5.Нехай y = F(х) – первісна функції y = f(x) на інтервалі (а; b):

а)чи може функція y = F(х) мати точки розриву на цьому проміжку?

б)чи може графік функції y = F(х) в деякій точці не мати дотичної?

6.Поняття невизначеного інтегралу.

7.Властивості невизначеного інтегралу.

8.Чи вірно, що

а)?

б)?

в)інтеграл від довільної степеневої функції знову є степенева функція?

 9.Формули інтегрування.

 10.Способи інтегрування.

 

 

7.9 Завдання для самостійної роботи

 

І.Знайти невизначені інтеграли способом підстановки:

1..    Відповідь: ;

 

2..     Відповідь: ;;

 

3.;    Відповідь: ;

 

4.;    Відповідь: ;

 

5.;     Відповідь: ;

 

6.;    Відповідь: ;

 

7.;    Відповідь: ;

 

8.;    Відповідь: ;

 

9.;    Відповідь: ;

 

10.;    Відповідь: ;

 

11.;    Відповідь: ;

 

12.;    Відповідь: ;

 

13.;     Відповідь: ;

 

14.;    Відповідь: ;

 

15.;   Відповідь: ;

 

16.;     Відповідь: ;

 

17.;    Відповідь: ;

 

18.;    Відповідь: ;

 

19.;     Відповідь: ;

 

20.;    Відповідь: ;

21.;    Відповідь: ;

 

22.;   Відповідь: ;

 

23.;   Відповідь: ;

 

24.;    Відповідь: ;

 

25.;     Відповідь: ;

 

26.;     Відповідь: ;

 

27.;    Відповідь: ;

 

28.;    Відповідь: ;

 

29.;    Відповідь: ;

 

30.;    Відповідь: ;

 

31.;    Відповідь: ;

 

32.;    Відповідь: ;

 

33.;     Відповідь: ;

 

34.;    Відповідь: ;

 

35. (позначити )  Відповідь: .

 

 ІІ.Знайти невизначені інтеграли, користуючись  методом інтегрування за частинами.

 

36.  (позначити u = lnx, dv = x³dx)

      Відповідь: .

 

37.   (позначити dх = dv)

      Відповідь: .

 

38. (заміна dх = dv)

      Відповідь: .

 

39.   (заміна dх = dv)

      Відповідь: .

 

40.  (заміна  dх = dv)

      Відповідь: .

 

41.    Відповідь: .

 

42.;    Відповідь: .

 

43.;    Відповідь: .

 

44.;   Відповідь: .

 

45.;     Відповідь: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 8 Визначений інтеграл і його застосування

 

8.1 Визначений інтеграл.

8.2 Геометричний зміст визначеного інтеграла.

8.3 Методи обчислення визначеного інтеграла.

8.4 Методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

8.5 Приклади розв’язування завдань на обчислення визначеного інтеграла і застосування його до розв’язання геометричних та фізичних задач.

8.6 Питання для самоконтролю.

8.7 Завдання для самостійної роботи.

 

 

8.1 Визначений інтеграл

 

 Нехай на відрізку [a; b] дана неперервна функція f(x).

 

 Означення. Різниця значень при х = а і при х = b будь якої первісної функції для f(x) називається визначеним інтегралом функції f(x) і позначається символом:

, де

(а – нижня межа інтегралу)

(b – верхня межа інтегралу)

 

 Отже, якщо F(x) є будь-яка первісна для f(x), то за визначенням маємо:

      (1)

 

 

 Формула (1) є формулою Ньютона-Лейбніца.

 Різницю F(b) – F(a) зображають символом і тому пишуть .

 Наприклад,

 

 

Властивості визначеного інтегралу

 1.Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтегралу:

.

 2.Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від кожної функції окремо:

.

 

 3..

 

 4.Якщо С ∈ [a; b], то .

 

 

8.2 Геометричний зміст визначеного інтегралу

 Нехай функція у =  f(x) визначена і неперервна на відрізку [a; b]. Розіб’ємо цей відрізок точками.

         

 

                                                                                                            

                                                                                                            Рис.105

тобто а = х₀ < х₁ < х₂ < …… < x_n = b  на n рівних проміжків, кожен з яких має довжину . Суми виду:

 

називаються інтегральними сумами для функції y = f(x)  на відрізку [a; b].

 

Приклад. Складемо інтегральні суми для функції у = 2х на відрізку

[0; 1].

  ;

 

 ;

 

 ;

…………………………………………………………………………………..

 

 

.

 

 Ця послідовність інтегральних сум (S_n), як неважко впевнитись, має границю:

 

 Виникає питання, чи завжди існує границя послідовності інтегральних сум?

 Можна довести, що границя послідовності інтегральних сум для кожної неперервної на даному відрізку функції завжди існує. Це дає змогу ввести означення.

 

 Означення. Границя послідовності інтегральних сум неперервної на відрізку [a; b] функції y = f(x) називається визначеним інтегралом від цієї функції на даному проміжку і позначається , тобто

.

 

 Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування,  f(x) – підінтегральною функцією f(x)dx – підінтегральним виразом, х – змінною інтегрування.

 Як доведено вище .

 Визначений інтеграл має простий геометричний і фізичний зміст.

 

 Задача 1. Обчислити площу криволінійної трапеції, тобто фігури,       

Обмеженої графіком невід’ємної, неперервної                                        

на відрізку [a; b] функції y = f(x), прямими

х = а, х = b і віссю абсцис.

 

 Розв’язання. Розіб’ємо криволінійну

трапецію аАВв на n вертикальних смуг так,

як це показано на рис. (х₀ = а, х_n = b).

Полощу і-ої смуги з основою (х_і-1; х_і) можна

наближено замінити прощею прямокутника з                                      Рис.106

тією самою основою і висотою, яка дорівнює                            

значенню функції y = f(x) в точці х_і-1, і = 1, 2, …. n. Тоді площа S всієї криволінійної трапеції аАВв наближено дорівнює площі фігури, складеної з n прямокутників завдовжки і висотами f(x_і-1), і = 1, 2, …. n.

 

Оскільки функція y =f(x) неперервна, то площа S_n східчастої фігури при великих n як завгодно мало відрізняється від площі аАВв. Тому площу криволінійної трапеції природно вважати такою, що дорівнює границі

Тобто,                                                                                                 

 

 

 

(оскільки ).

 

 Отже, висновок:

 З геометричної точки зору є площа 

криволінійної фігури, обмеженої зверху графіком                                    Рис.107                                         

функції y =f(x), прямими х = а, х = b, знизу віссю абсцис.

 

 

8.3 Методи обчислення визначеного інтегралу

 

 І.Безпосереднє інтегрування.

1..

 

2. .

 

3..

 

4..

 

5.

 

.

6..

 

7..

 

8..

 

9..

 

10.

 

.

 

 

 ІІ.Обчислення визначеного інтегралу способом підстановки.

Цей спосіб при знаходженні невизначеного інтегралу полягає в тому, що заміною х = φ(t), де φ(t) – диференційована функція від t, ∫f(х)dx зводиться до виразу через повну змінну інтегрування:

,

 

а потім Ф(t) знаходиться первісна у вигляді F(φ(t)) з наступним переходом до F(x).

 Якщо ж підстановка використовується при обчисленні визначеного інтегралу, то зворотне приведення первісної до функції від х не є обов’язковим, оскільки формула Ньютона-Лейбніца може використовуватися до будь-якої змінної інтегрування. Але при цьому з’являється необхідність зміни межі інтегрування.

 Щоб встановити межі при новій змінній інтегрування t, слід визначити ті значення t₁ і t₂ цієї змінної, при яких стара змінна х = φ(t) відповідно приймає значення а = φ(t₁) і b = φ(t₂).

Тоді ми матимемо

Цим доведемо формулу переходу до нової змінної під знаком визначеного інтегралу:

 

 

 

 

Приклад 1. Обчислити .

 

Розв’язання. Заміна 7 – 2х – t, або , . Поміняємо межі інтегрування: t₁ = 7 – 2(-1) = 7 + 2 = 9; t₂ = 7 – 2 ∙ 3 = 1.

 

Тому: .

 

 

Приклад 2. Обчислити .

 

Розв’язання. Заміна sinx = z, cosxdx = dz, а межі інтегрування зміняться так:

значенню відповідає ;

 

значенню відповідає .

 

Тому: .

 

ІІІ.Обчислення визначеного інтегралу інтегруванням за частинами.

Інтегрування за частинами при обчисленні визначеного інтегралу може бути виконано, якщо u і v – диференційовані функції на всьому відрізку інтегрування. Відповідно формула здійснюється із рівності:

Виконання інтегрування за частинами дає

, а тому

 

, звідки

     (1)

 

 

 

Формула (1) – формула обчислення визначеного інтегралу за частинами.

 

Приклад 3. Обчислити .

 

Розв’язання. Приймаємо  u = lnx, dv = x∙dx,

 

      .

 

В даному випадку u = lnx і мають кінцеві похідні  на відрізку

[e; e²], тому використання інтегрування за частинами можливо.

 

 

 

.

 

 

Приклад 4. Обчислити .

 

Розв’язання. Приймаємо u = x,  , тоді du = dx, .

Тому

 

.

8.4 Методи наближеного обчислення

визначеного інтегралу

 

 Обчислення визначеного інтегралу за допомогою формули Ньютона-Лейбніца не завжди можливе і доцільне. По-перше, як ми вже знаємо існують функції, первісні яких не є елементарними функціями. По-друге, функція, яку треба інтегрувати, може бути задана таблицею чи графіком. У цих та інших випадках, коли знаходження первісної пов’язане зі складними перетвореннями, використовують методи наближеного обчислення визначеного інтегралу, з якими ми зараз ознайомимось.

 

 

1.Метод прямокутників для наближеного обчислення

визначеного інтеграла

 

 Як відомо, визначений інтеграл – це границя послідовності інтегральних сум. Тому інтегральні суми доцільно прийняти за наближені значення шуканого інтегралу:

,                                            

де , і = 0, 1, 2, ….., n – 1.

Отже

 

 

 

                                                                                                                Рис.108

 Цю формулу називають формулою прямокутників для наближеного обчислення визначеного інтеграла.

 

 

2.Метод трапецій для наближеного обчислення

визначеного інтеграла

 

 Площу криволінійної трапеції можна також замінити площею фігури, зображеної на даному рис.

 Криволінійну трапецію, обмежену графіком                                          

функції y = f(x) і відрізками прямих х = а, х = b,

у = 0, розбивають на n вертикальних смуг. Кожну

таку смугу х основою [x_i-1, x_i] заміняють трапецією

з основами, що дорівнюють f(x_i-1), f(x_i), і = 1, 2, ….., n

 і висотою . У результаті маємо таку формулу:

.

Тобто                                                                           Рис.109

 

 

 

 

 Ця формула називається формулою трапецій для наближеного обчислення визначених інтегралів.

 Можна її записувати так:

 

 

Інтеграл зі змінною верхньою границею

 

 Нехай у визначеному інтегралі нижня границя а закріплена, а верхня границя b змінюється. Тоді буде змінюватися і значення інтеграла, тобто інтеграл є функцією верхньої границі.                                                                        

 Для того, щоб мати звичне позначення,                                                                

верхню границю позначимо х, а змінну інтегрування

позначимо через t. Маємо інтеграл . При

сталій а цей інтеграл буде уявляти собою функцію

верхньої границі х (див.рис.). Цю функцію ми

позначимо через  Ф(х):

      (1)                                           Рис.110

Якщо f(t) – невід’ємна функція, то величина Ф(х) рівна площі криволінійної трапеції аАХх. Очевидно, що ця площа змінюється в залежності від змінювання х. Знайдемо похідну від Ф(х) по х, тобто знайдемо похідну визначеного інтеграла (1) по верхній границі.

 

Теорема. Якщо f(х) – неперервна функція і , то має місце рівність , тобто похідна від визначеного інтеграла по верхній границі дорівнює підінтегральній функції, в яку замість змінної інтегрування підставимо значення верхньої границі (при умові, що підінтегральна функція неперервна).

 

З цієї теореми витікає, що всяка неперервна функція має первісну.

8.5 Приклади на розв’язування завдань

на обчислення визначеного інтеграла

і застосування його до розв’язання геометричних

та фізичних задач

 

І. Обчислити визначені інтеграли:

1..

 

2..

 

3..

 

4..

 

5..

 

6..

 

7..

 

8..

 

 

ІІ. Обчислити визначені інтеграли, зробивши необхідну заміну:

9..

         

 

10..

         

 

ІІІ. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:                 

 

11.у = х² – 1, х ≥ 1, у = 0, х = 3.

 

Розв’язання.

.                                          Рис.111

        Відповідь: кв.од.

 

12.у =2^х, у = 0,  х =0,  х = 2.                                                 

 

Розв’язання.

.

                                                                     Рис.112                

                                                                              Відповідь: кв.од.

 

13.у = 2х  – х², у = х.                                                      

 

Розв’язання.

.

                                                                                                       Рис.113

        Відповідь: кв.од.

 

 IV.Знайти площі зазначених фігур:                   

 

14. Розв’язання.

 

S = S₁ – S₂.  S₁ = π ∙ 1 = π (кв.од).

(кв.од.)                    Рис.114

S = π – 2.

                                                                   Відповідь: (π – 2) кв.од.

15. Розв’язання.                                                                     

 

(кв.од).

        

 

 

                                                                                                      Рис.115

                                                                                     Відповідь: кв.од.

 

16.Швидкість точки, яка рухається прямолінійно, задана рівнянням

v = 3t² – 2t – 1. Обчислити її шлях за 5 с. від початку руху.

 

 Розв’язання.

Оскільки , маємо .

        Відповідь: 95 од.довж.

 

17.Швидкість точки, яка рухається прямолінійно, задана рівнянням

S = 2t⁴ + t² – 3. Обчислити шлях, пройдений точкою за третю секунду.

 

Розв’язання.

 

.

        Відповідь: од.довж.

 

18.Два тіла починають рух одночасно із однієї точки: одне зі швидкістю , інше за швидкістю . На якій відстані одне від одного вони будуть через 10 сек, якщо вони рухаються по прямій лінії в одному й тому ж напрямку?

 

Розв’язання.

см.

см.

см.

        Відповідь: 100 см.

 

19.Два тіла рухаються по одній прямій лінії; одне зі швидкістю ; друге зі швидкістю . Якщо на початку руху вони були разом, то коли і на якій відстані вони знову будуть разом?

 

Розв’язання.

.

.

S₁ = S₂, тобто t³ + t² = 4t² + 10t.

 

t³ + t² – 4t² – 10 = 0,   t³ – 3t² – 10 = 0.

 

t(t² – 3t – 10) = 0.    t₁ = 0,    t₂ – 3t – 10 = 0

 

t₂ = -2 (не задовольняє),  t₃ = 5с.

 

S = t³ + t²,  S_(t=5) = 150 м.

        Відповідь: t = 5 с.

          S = 150 м.

 

20.Сила в 10 Н розтягує пружину на 3 см. Яку роботу вона при цьому здійснює?

 

Розв’язання.

За законом Гука маємо F = kx, де х – величина розтягу або стиску її, k – коефіцієнт пропорційності. Щоб знайти значення k, підставимо дані величини в формулу закону Гука: 10 = k ∙ 0,03,              .

Тобто: .

Знайдемо роботу за формулою:

Дж.

        Відповідь: 0,15 Дж.

 

 

 

 

 

 

8.6 Питання для самоконтролю

 

1.Поняття визначеного інтегралу.

2.Властивості визначеного інтегралу.

3.Формула Ньютона-Лейбніца.

4.Методи обчислення визначеного інтеграла (метод підстановки; метод інтегрування за частинами).

5.Методи наближеного обчислення визначеного інтеграла: метод прямокутників і метод трапецій.

6.Геометричний зміст визначеного інтеграла.

7.Застосування визначеного інтеграла у фізиці.

 

 

8.7 Завдання для самостійної роботи

 

І.Обчислити інтеграли:

1..       Відповідь: .

 

2..       Відповідь: .

 

3..       Відповідь: .

 

4..       Відповідь: .

 

5..       Відповідь: .

 

6..       Відповідь: .

 

7..       Відповідь: 1.

 

8..       Відповідь: .

 

9..      Відповідь: .

 

10..      Відповідь: .

 

11..      Відповідь: .

 

12..      Відповідь: .

 

13. .  (Заміна 2+4x =t²)  Відповідь: .

 

14..  (Заміна х - 1 =t²)   Відповідь: .

 

15..  (Заміна )   Відповідь: .

 

 

          Обчислити визначені інтеграли інтегруванням за частинами:

16..      Відповідь: .

 

17..       Відповідь: .

 

18..      Відповідь: .

 

19..      Відповідь: .

 

20..      Відповідь: 1.

 

21..      Відповідь: .

 

22..       Відповідь: .

 

23..      Відповідь: .

 

24..      Відповідь: .

 

25..      Відповідь: .

 

 

ІІ.Знайти площу фігури, обмеженої лініями.

 

26.у = е^х, у = е, х = 0.     Відповідь: 1 кв.од.

 

27.у = х² - 1, у = 0, х = 3.    Відповідь: 8 кв.од.

 

28.y = sinx, , y = 0.    Відповідь: кв.од.

 

29. у = 2 – x², у = 1.     Відповідь: кв.од.

 

30.y = sinx, y = cosx, , y = 0.  Відповідь: кв.од.

 

31., y = 1, x = 0.     Відповідь: кв.од.

 

32.y = 2^x – 2, y = -2, x = 0, x = 2.   Відповідь: кв.од.

 

33. , y = x, x ≥ 0.     Відповідь: кв.од.

 

34. y =2x – x², y = x.     Відповідь: кв.од.

 

35. 4y – x³ = 0 , y – x = 0.    Відповідь: 2 кв.од.

 

 

 

 

 

Глава 9 Диференціальні рівняння

 

9.1 Основні поняття.

9.2 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

9.3 Однородні диференціальні рівняння 1-го порядку.

9.4 Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.

9.5 Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку із сталими коефіцієнтами.

9.6 Питання для самоконтролю.

9.7 Завдання для самостійної роботи.

 

 

9.1 Основні поняття

 

 Означення 1. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке зв’язує незалежну змінну х, шукану функцію у та її похідні (або диференціали). 

 Символічно диференціальне рівняння можна записати так:

або

 

.

 

Означення 2. Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, яка входить до рівняння. 

 

Наприклад, рівняння y’ – 2xy² + 5 = 0 є рівняння першого порядку.

Розв’язком диференціального рівняння є функція y = f(x), яка при підстановці у це рівняння перетворює його на тотожність.

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд:

     ,  (1)

 

де х – незалежна змінна, у – шукана функція, у’ – похідна шуканої функції.

Якщо рівняння можна розв’язати відносно похідної, то його записують у вигляді:

y’ = f(x; y).

 

Розв’язком диференціального рівняння (1) на деякому інтервалі (а; b) називається диференційована на цьому інтервалі функція y = f(x), яка при підстановці в рівняння (1) перетворює його на тотожність на (а; b). Функція y= φ(x; С), де С – довільна стала, називається загальним розв’язком рівняння (1) в області G, якщо вона задовольняє дві умови:

1.Функція y= φ(x; С) є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої С з деякої множини;

2.Для довільної точки (х₀, у₀) є G можна знайти таке значення С = С₀, що функція y= φ(x; С₀) задовольняє початкову умову:

.

 

Частинним розв’язком рівняння (1) називається функція y= φ(x; С₀), яка утворюється із загального розв’язку y= φ(x; С), при певному значенні С = С₀.

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто Ф(х, у, С) = 0, то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (1).

 

 

Види диференціальних рівнянь першого порядку

 

1.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

2.Однородні диференціальні рівняння.

3.Лінійні диференціальні рівняння.

4.Диференціальні рівняння Бернуллі.

 

 

9.2 Диференціальні рівняння з

відокремлюваними змінними

 

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними мають вигляд:

        (2)

 

де f(x) і g(y) – задані і неперервні на деякому інтервалі функції. Вважаючи, що , дістанемо , або

      (3)

 

 

 

 Рівняння (3) називається рівнянням з відокремленими змінними.

 Інтегруючи обидві частини рівняння (3) отримаємо загальний інтеграл диференціального рівняння з відокремлюваними змінними:

 

 Диференціальне рівняння (2) є окремим випадком рівняння види:

      (4)

 

 Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на добуток N₁(y) ∙ M₂(x),              N₁(y) ≠ 0;              M₂(x) ≠ 0.

 Функція f(x, y) називається однорідною функцією n-го виміру відносно змінних х та у, якщо для довільного λ ≠ 0 виконується тотожність:

 

 

3.Однорідні диференціальні рівняння

1-го порядку

 

Означення. Функція f(x, y) називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність:

 

Приклади:

1. - однорідна функція першого порядку тому, що

 

 2. - однорідна функція другого порядку, тому що .

 

 3. - однорідна функція нульового порядку, тому, що .

 

 Однорідне диференціальне рівняння має вигляд:

.

 

 Для розв’язання таких рівнянь робиться заміна , тобто ми від функції у переходимо до функції Z. Очевидно, що y = xZ. Диференціюємо цю рівність по х, вважаючи Z функцією залежною від х, у’ = Z + х ∙ Z’.

 Підставляємо у рівняння і одержуємо: xZ’ + Z = f(Z), яке очивидно є  рівнянням з відокремленими змінними.

 

 Приклад 1. Розв’язати диференціальне рівняння

а).

 

Розв’язання.

y’ = Z + x ∙ Z’, Z + xZ’ = Z,

xZ’ = 0, x ≠ 0,   Z = c,  або 

 

      Відповідь: у = сх.

 

 б).

 

Розв’язання.

Робимо заміну  y’ = Z + x ∙ x’, тоді

 

   ,

 

, 

 

sin Z = cx, Z = arcsincx.

      Відповідь: у = x ∙ arcsin(cx).

 

 

в)

 

Розв’язання.

 

;  . Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням. Зробимо заміну  отримаємо:

;  ;

 

 ; . Це рівняння з відокремленими змінними:

 

;

 

; ;  .

        Відповідь: .

 

 

 Приклад 2. Розв’язати задачу Коші.

, у(1) = 2.

 

 

 Розв’язання.

.

  

 

 

y = Zx, y’ = Z’ ∙ x + Z, 1 + 2Z – Z’ ∙ x – Z = 0.

 

1 + Z – Z’ ∙ x = 0,  .

 

;  ,

 

,  ,

 

,  ,  ,  

 

- загальний розв’язок.

 

 Знайдемо частинний розв’язок, який задовольняє початковій умові:

у(1) = 2; 

 

, С₁ = 3.

       Відповідь: - розв’язок

задачі Коші.

 

 

 

9.4 Лінійні диференціальні рівняння

1-го порядку

 

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду:

       (6)

 

де Р(х) і Q(х) – задані неперервні на деякому проміжку функції.

 Розв’язок рівняння (6) знаходимо у вигляді:

    y = u ∙ v     (7)

 

де u(х) і v(х) – невідомі функції, причому одна з них довільна (але не дорівнює тотожно нулю).

 Після підстановки (7) в рівняння (6) рівняння (6) перетворюється на систему 2-х рівнянь з відокремлюваними змінними.

 

 Рівняння Бернуллі має вигляд:

       (8)

 

де α ∈ R, α ≠ 0, α ≠ 1.

 При α = 0 рівняння (8) буде лінійним, при α = 1 – рівнянням з відокремлюваними змінними. Метод розв’язання рівняння Бернуллі такий саме, як і для лінійного рівняння, тобто розв’язок його знаходимо у вигляді

y = u ∙ v .

 

 Приклад 1. Розв’язати рівняння: .

 

 Розв’язання. Це рівняння є диференційним рівнянням з відокремлюваними змінними. Для того, щоб відокремити змінні, поділимо обидві частини рівняння на (у² + 9), а потім про інтегруємо його:

 

,  .

 

 Для того, щоб обчислити інтеграл, що знаходиться у правій частині, використаємо заміну змінної в невизначеному інтегралі:

,  ,  .

 

Маємо: , або .

 

 Повертаємось до старої змінної:

,  - загальний розв’язок рівняння.

        Відповідь: .

 

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

    .

Розв’язання. Вважаючи, що , маємо:

 

    .

 

Помножимо обидві частини на dx, а потім відокремимо змінні. Для цього рівняння розділимо на у:  . Після інтегрування отримаємо:

;  .

      Відповідь:   -загальний 

                 розв’язок 

         

 

Приклад 3. Розв’язати задачу Коші:

, у(1) = 1.

 

 Розв’язання. Для того, щоб відокремити змінні, треба спочатку винести за дужки співмножники в кожній з частин рівняння,тобто х² та у² з лівої і правої частин рівняння відповідно, а потім розділити рівняння на

(х² ∙ у²) і про інтегрувати:

   ,

 

,   ,

 

,  .

        - загальний

           розв’язок.

 

 Підставимо початкові умови в загальний розв’язок та отримаємо частинний розв’язок рівняння:

      Відповідь: - частинний

           розв’язок.

 

 

 

9.5 Лінійні однорідні диференціальні рівняння

другого порядку із сталими коефіцієнтами

 

Рівняння виду (1) є лінійним однорідним рівнянням 2-го порядку, де p і q – дійсні числа.

Прийнято частинні розв’язки такого рівняння шукати у вигляді:

          (2)

 

де k  - стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставимо функцію (2) в рівняння (1) і дістанемо:

       

 

 Оскільки e^kx ≠ 0, то k² + pk +  q = 0      (3)

 

 Отже, якщо k  буде коренем рівняння (3), то функція (2) буде розв’яком рівняння (1).

Квадратне рівняння (3) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (1).

Позначимо корені характеристичного рівняння через k₁ і k₂. Можливі три випадки:

1.k₁ і k₂ – дійсні і різні числа (k₁ ≠ k₂).

2.k₁ і k₂ – комплексні числа (k_1,2 = а ± bi).

3.k₁ і k₂ – дійсні і рівні числа (k₁ = k₂).

 

Розглянемо кожен випадок окремо.

1. k₁ ≠ k₂. У цьому випадку частинними розв’язками рівняння (1) є

функції:

     , .

 

 Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при k₁ ≠ k₂:

     .

 

 Загальний розв’язок рівняння (1) знаходять за формулою

        (4).

 

 2.Корені характеристичного рівняння комплексні, спряжені:

   k₁ = a – bi,  k₂ = a – bi.

 

 Підставимо значення k₁ і k₂ у формули для у₁ і у₂ і знайдемо розв’язки:

   ,  

 

 За формулою Ейлера маємо

   

 

 

 Зауважимо, що коли функція є розв’язком рівняння (1), то розв’язками будуть також функції u(x) і v(x).

 Дійсно, підставивши функцію Z(x) в рівняння (1), дістанемо:

, або

 

 

 Остання тотожність можлива, коли вирази і дужках дорівнюють нулю. Це означає, що функції u та v – розв’язки рівняння (1). Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння (1) є функції:

  ,  

 

 Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки , тому загальний розв’язок рівняння (1) запишеться у вигляді

       (5).

 

 3.Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: k₁ = k₂ = k. За формулою (2) дістанемо один з розв’язків:

    

 

 Другий розв’язок шукатимемо у вигляді: , де u – невідома функція від х. Знайшовши y’₂ і y”₂ та підставивши їх у рівняння (1), дістанемо , або .

 

 Оскільки k – корінь рівняння (3), то k² + pk + q = 0 і за теоремою Вієта 2k = -p, тому 2k + p = 0 і u’’ = 0, звідки u = C₁x + C₂, де С₁, С₂ – довільні сталі. Поклавши С₁ = 1, С₂ = 0 (нас цікавить який-небудь розв’язок u(x) ≠ 0), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння (1):

    

 

 Розв’язки у₁ та у₂ – лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння (1) має вигляд:

        (6)

 

 Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння: .

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені

k₁ = 2, k₂ = 3. Шуканий розв’язок має вигляд:   .

 

9.6 Питання для самоконтролю

 

1.Означення диференціального рівняння.

2.Диференціальні рівняння 1–го порядку. Основні поняття.

3.Загальні розв’язки диференціальних рівнянь.

4.Частинний розв’язок диференціального рівняння. Задача Коші.

5.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

6.Загальний вигляд однорідного диференціального рівняння 1-го порядку.

7.Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.

8.Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Види розв’язку.

 

    

 

9.7 Завдання для самостійної роботи

 

І.Розв’язати диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними:

 

1.      Відповідь: у = сх.

 

2.     Відповідь: (1 + у)(1 – х) = с.

 

3.    Відповідь: .

 

4.    Відповідь: .

 

5.     Відповідь: .

 

 ІІ.Знайти частинні розв’язки, які задовольняють початковим умовам:

 

6.    у(0) = 1.

        Відповідь: .

 

7.;     у(0) = 2

        Відповідь: у = 2сosх.

 

8.  

        Відповідь: .

9.Задача. Швидкість тіла, яке вийшло із стану спокою, дорівнює 5t² м/сек через період часу t с. Визначити:

 1.як далеко буде воно відстояти через 3 сек від точки відправлення;

 2.за який час тіло пройде 360м, відлікуючи від точки відправлення.

        Відповідь: 1) 45 м;  2) 6 с.

 

10.Задача. Знайти закон руху тіла, яке рухається зі швидкістю, пропорційною пройденому шляху, якщо відомо, що за 10 сек тіло проходить 100 м і за 15 сек проходить 200 м.

        Відповідь:.

 

 

 ІІІ.Розв’язати однорідні рівняння.

 

12.       Відповідь: х² + 2ху = с.

 

13.     Відповідь: х² – у² = Сх.

 

14.     Відповідь: .

 

15.   Відповідь: .

 

 

 IV.Розв’язати лінійні рівняння першого порядку.

 

16.      Відповідь: .

 

17.   Відповідь: .

 

18.      Відповідь: .

 

19.     Відповідь: .

 

20.      Відповідь: .

 

 

 

 

V.Розв’язати лінійні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

 

21.    Відповідь: .

 

22.     Відповідь: .

 

23.     Відповідь: .

 

24.    Відповідь: .

 

25.   Відповідь: .

 

26.    Відповідь:.

 

27.    Відповідь:.

 

28.    Відповідь:.

 

29.     

Відповідь:.

 

30.

      Відповідь: .

 

 

 

Глава 10 Ряди

 

10.1 Поняття про числові ряди.

10.2 Функціональні ряди.

10.3 Степеневі ряди.

10.4 Розв’язання прикладів.

10.5 Питання для самоконтролю.

10.6 Завдання для самостійної роботи.

 

 

 

10.1 Поняття про числові ряди

 

 Нехай задано числову послідовність а_n, n ∈ Z. Тоді послідовність

,  n ∈ Z  (1)

 

називається нескінченним числовим рядом і позначається

а₁ + а₂ + …+ а_n + ….. або    (2)

 

 Числа а₁, а₂ … називаються членами ряду (2), відповідно першим, другим, тощо а_n називається n – м або загальним членом ряду (2).

 

 Суми S₁ = а₁, S₂ = а₁ + а₂, …., S_n = а₁ + а₂ + ….+ а_n називаються частковими сумами ряду (2).

 

 При змінюванні n змінюється також і S_n; при цьому можливі два випадки:

 1.Величина S_n при n → ∞ має границю S, тобто

;

 

 2.Величина S_n при n → ∞ границі немає або її границя дорівнює ∞.

 

 У першому випадку ряд називається збіжним, а число - його сумою.

 У другому випадку ряд називається розбіжним: такий ряд суми не має.

 

 Наприклад, ряд , складений із членів нескінченно спадаючої геометричної прогресії, є збіжним, оскільки за знайомою формулою для такої прогресії

 

 Такий ряд 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ….+ 2ⁿ+ …, який складається із членів нескінченно зростаючої геометричної прогресії – розбіжний.

 Дійсно,

 

 Приклад. Розглянемо ряд та покажемо, що він збігається, якщо і розбігається, якщо .

 Нагадаємо, що

для всіх n ∈ Z

 

 Якщо , то і тому

.

 

 Отже, якщо , то заданий ряд збігається, і

.

 

 Якщо , то , і тому послідовність (qⁿ⁺¹) необмежена, тобто немає границі. Це означає, що послідовність (S_n) також немає границі, тобто даний ряд розбігається, якщо .

 

 Нехай , маємо

S₁ = 1, S₂ = 2, …., S_n = n…, і, як бачимо, цей ряд розбігається.

 

 Якщо q = -1, то S₁ = -1, S₂ = -1 + 1 = 0, S₃ = -1, …., тобто часткові суми з непарними номерами дорівнюють -1, а з парними номерами дорівнюють 0. Така послідовність не має границі. Це означає, що якщо , то ряд розбігається.

 

 

 

 

 

10.2 Функціональні ряди

 

 Нехай заданий ряд

   (1)

 

членами якого є не числа, а функції аргументу х. Такий ряд називається функціональним. Прикладом функціонального ряду може бути ряд

1 + х + х² + х³ + …+ хⁿ + ….,    (2)

 

який складено із членів геометричної прогресії. Якщо задати аргументу х будь-яке числове значення, то функціональний ряд обернеться у числовий.

 Може бути так, що функціональний ряд при одних значеннях х збігається, при інших – розбігається.

 Сукупність всіх значень х, при яких ряд (1) збігається, називається областю збігіння ряду, що збігається. В межах збігання ряду, сума його членів буде функцією х.

 Позначимо цю суму через f(x) і можемо записати,

 

Ця рівність справедлива лише для значень х в області сходження ряду; в цьому випадку вона уявляє собою розкладання функції f(x) в ряд функцій f₁(x), f₂(x), f₃(x),…. Розберемо приклад. Члени ряду (2) при уявляють собою нескінченно спадаючу геометричну прогресію, і тому ряд (2) збігається; при члени цього ряду уявляють собою нескінченно зростаючу геометричну прогресію, і тому ряд розбігається. Даний ряд розбігається і при . Таким чином, областю сходження ряду (2) є , або, інакше -1< x< 1. Знайдемо суму ряду (2) як суму нескінченно спадаючою геометричної прогресії.

.

 

Тепер ми можемо записати рівність яка має сенс тільки при . Ця рівність є розкладанням функції в ряд за степенями х.

 

 

 

10.3 Степеневі ряди

 

Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

   (1)

де а₀, а₁, а₂, а₃, а_n….  – сталі коефіцієнти.

 

 Якщо в ряду (1) задати аргументу х будь-яке значення, то дістанемо числовий ряд, який буде збігатися або розбігатися в залежності від значення х.

 

 Приклад. Дослідити збіжність ряду

    (2)

 

 Розв’язання. За ознакою  Даламбера можемо записати

    (3)

 

 

 Для цього ряду маємо:

    .

 

 Звідси знаходимо:

.

 

Для збігання ряду (3) достатньо, щоб , тобто , або інакше -1 < x < 1.

 

Отже ряд (2) збігається абсолютно при значеннях х, задовольняючих останньої нерівності, тобто при всіх між -1 і 1, окрім крайніх значень.

х = -1   і х = +1.

 

Питання в тому, а чи буде ряд (2) збігатися при х = -1 і х = 1, треба дослідити окремо.

Нехай в ряду (2) х = -1  і х = +1.

 

 і

 

 

Перший ряд знакозмінний і тому збігається, другий – гармонічний, і тому розбігається. Отже, ряд (2) збігається при , при чому при збігається абсолютно.

Диференціюємо ряд (1) і отримаємо також степеневий ряд:

 

 Степеневі ряди можна почленно диференціювати і інтегрувати будь-скільки разів, і при цьому отримані ряди мають той же проміжок збіжності, що й початковий.

 

 

 

 

10.4 Розв’язання прикладів

 

 Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд , де α > 1.

 

 Розв’язання. Цей ряд збігається, і більш того, збігається абсолютно.

Дійсно, ;  ,

і ряд збігається, де α > 1. Це означає, що даний ряд збігається абсолютно.

 

 

Приклад 2. Розглянемо ряд , де α > 1, а х – будь-яке дійсне число. Цей ряд абсолютно збігається, оскільки , для всіх n, і ряд при α > 1 збігається.

 

 

Приклад 3. Знайти радіус збіжності степеневого ряду .

 

Розв’язання. Тут для всіх n. За формулою . Таким чином, даний ряд збігається в усіх точках Z, , і розбігається в усіх точках Z,  . Для повноти досліду зауважимо, що цей ряд розбігається в усіх точках Z, , оскільки в них не виконана необхідна умова збіжності ряду.

Приклад 4. Розглянемо ряд . У ньому всі коефіцієнти додатні: для всіх n. За формулою отримаємо .

 

Отже, - коло збіжності даного ряду. Оскільки ряд збігається, то даний ряд збігається абсолютно для будь-якого Z, . Таким чином, даний ряд збігається абсолютно при всіх Z, , і розбігається при інших Z. Для ряду теж доводиться, що його радіус збіжності дорівнює 1. Однак на межі кола збіжності, тобто на колі знаходяться як точки, в яких ряд збігається, так і точки, в яких ряд розбігається. Наприклад, в точці Z = 1 ряд розбігається, а в точці Z = -1 за ознакою Лейбніца він збігається.

 

 

 

10.5 Питання для самоконтролю

 

1.Поняття про числові ряди.

2.Функціональні ряди.

3.Степеневі ряди.

 

 

 

10.6 Завдання для самостійної роботи

 

1.Знайти суми наступних рядів:

 

а).    Відповідь: -1.

 

б) .    Відповідь: .

 

в) .      Відповідь: .

 

г) .      Відповідь: .

 

д) .    Відповідь: .

 

 

 2.Збігаються чи розбігаються наступні ряди:

 

а) .     Відповідь: Розбігається.

 

б) .     Відповідь: Розбігається.

 

г) .     Відповідь: Розбігається.

 

 

3.Використовуючи ознаку порівняння, дослідити на збіжність наступні ряди:

 

а) ;      Відповідь: Збігається.

 

б) .      Відповідь: Розбігається.

 

в) .      Відповідь: Розбігається.

 

г) .     Відповідь: Збігається.

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 11. Події. Ймовірності

 

11.1 Випадкова подія.

11.2 Статистичне означення ймовірності випадкової події.

11.3 Операції над подіями.

11.4 Теорема додавання ймовірностей.

11.5 Умовні ймовірності.

11.6 Незалежні події.

11.7 Класичне означення ймовірності.

11.8 Питання для самоконтролю.

11.9 Вправи для самостійної роботи.

 

 

 

11.1 Випадкова подія

 

 Закономірності, властиві кожному явищу, проявляють себе через сукупність випадковостей. Для багатьох явищ вплив випадку настільки суттєвий, що дослідження їх неможливе без вивчення і кількісної оцінки впливу випадкового. Теорія ймовірностей розглядає математичні моделі явищ, що враховують вплив випадку. Аналізом результатів, одержаних за допомогою ймовірнісних моделей, займається математична статистика. Вона розробляє методи, які дають змогу за результатами випробувань робити певні висновки.

 Розглянемо три основні поняття теорії ймовірностей – експеримент, подія, ймовірність.

 

 Для більшості процесів, що відбуваються як у різних галузях народного господарства, так і в повсякденному житті, неможливо наперед з упевненістю передбачити наслідок того чи іншого явища. На підтвердження цього наведемо кілька прикладів.

 1.Перевіряється якість деяких виробів, що випускаються серійно. Не можна до перевірки передбачити, чи буде «навчання» взята з партії деталь якісною, чи бракованою.

 2.Розглянемо можливість виграшу в лотереї. Після проведення тиражу на придбаний лотерейний білет може випасти будь-який виграш, що  розігрується. Але до тиражу неможливо передбачити, виграє цей білет чи ні якщо виграє, то яким буде виграш.

3.На токарному верстаті виготовляються валики, у кожного з яких контролюється певний розмір, наприклад, зовнішній діаметр – d. Вимірювання діаметрів валиків дає результати, які коливаються близько номінального розміру, що викликано відмінностями в сировині кваліфікації робітників тощо. Тому значення діаметра – d наперед вказати неможливо.

4.При підкиданні кубика, виготовленого з однорідного матеріалу, може випасти 1-6 очок. Однак неможливо впевнено сказати, яка кількість очок випаде при кожному підкиданні.

5.Неможливо наперед точно передбачити, скільки часу займуть вантажні операції на тому чи іншому судні в порту. Навіть для певного судна цей час змінюється залежно від вантажу, його упакування тощо. Для суден різних класів він залежить також від конструкції, вантажності, доступності трюмів.

6.На станції швидкої медичної допомоги неможливо точно передбачити, скільки лікувальних бригад має чергувати в той чи інший день, адже наперед невідомі ані кількість викликів, ані відстань від лікарні до хворого, ані час, який потрібно приділити тому чи іншому хворому. Разом з тим це питання має вирішуватись практично: з одного боку, медперсонал не повинен простоювати, а з іншого – хворий не повинен довго чекати допомоги.

Усі наведені в цих прикладах явища мають між собою дещо спільне, а саме: результат окремих випробувань тут передбачити неможливо.

Тому вони називаються випадковими.

 

 

Означення. Під випадковим дослідом або випадковим експериментом будемо розуміти будь-яку дію, яку можна повторити велику кількість разів, в приблизно однакових умовах і результати якої передбачити неможливо.

 

 

Означення. Будь-який наслідок випадкового досліду називається випадковою подією.

 

У результаті такого досліду ця подія може відбутися, або не відбутися. Випадкові події позначаються великими латинськими літерами А, В, С…. Випадковими подіями є, наприклад «випадання парного числа очок» при підкиданні грального кубика., «влучання в ціль» при пострілі, «виграш» при придбанні лотерейного білета. Якщо продовжити багаторазове повторення випадкового експерименту, то одні події при цьому відбуватимуться частіше за інші. Отже, при одноразовому виконанні експерименту появу перших подій можна сподіватися з більшою підставою, ніж других. Так, для відмінного стрільця очікувати влучення при одноразовому пострілі можна з більшою підставою, ніж промаху. Припустимо, що при незмінних умовах проведено n випадкових дослідів і в n(А) з них відбулась подія А.

 

 

 

 

 

11.2.Статистичне означення ймовірності випадкової події

 

Означення. Відношення називається відносною частотою події А.

Наприклад, якщо в деякому тексті із 1200 знаків буква «і» зустрічалася 60 разів, то відносна частота події «зустрілась буква «і» становить: .

Наявність  у події за певних умов ймовірності, що дорівнює р, проявляється в тому, що майже в кожній досить тривалій серії дослідів відносна частота події наближено дорівнює р.

Ймовірність події А позначимо символом Р(А) (від латинського слова probabilitas – ймовірність).

Наведене означення ймовірності найчастіше називають статистичним.

 

Класичними прикладами статистично стійких дослідів є досліди Ж.Бюффона і К.Пірсона, пов’язані з підкиданням монети. Результати цих дослідів наведені в таблиці.

 

Дослідник	Кількість підкидань монети	Кількість випадання герба (подія А)	Відносна частота події А
Ж.Бюффон	4040	2048	0,5080
К.Пірсон	12000	6019	0,5016
К.Пірсон	24000	12012	0,5005

 

Ці дані показують, що передбачення того, що з імовірністю 0,5 являється будь-яка сторона монети, добре узгоджується з дослідом.

Випадковими подіями, що мають статистично стійкий характер, є народження дітей. Відомо, зо хлопчиків народжується приблизно стільки ж, скільки й дівчаток, тобто відносна частота народження хлопчиків, наприклад, у Одесі в червні поточного року наближається до половини. Отже, якщо кажуть, що ймовірність деякої події дорівнює, наприклад, 0,76, то це практично означає, що в середньому в кожних 100 дослідах ця подія відбувається приблизно 76 разів.

 

 

11.3 Операції над подіями

 

Для обчислення ймовірностей часто користуються правилами, які дають можливість за відомими ймовірностями одних подій знаходити ймовірності інших подій, що одержують з перших за допомогою деяких операцій.

 

Означення 1. Якщо деяка подія u відбувається при кожному здійсненні експерименту, то вона називається достовірною (вірогідною) в даному експерименті.

 

 

Означення 2. Подія V називається неможливою, в даному експерименті, якщо вона не може відбутися ні при якому здійсненні експерименту.

 

Наприклад, в досліді з підкиданням грального кубика подія «число очок, що випали, не перевищує шести» вірогідна, а подія «випало 9 очок» - не можлива.

Ймовірність достовірної події дорівнює 1, оскільки n(U) = n. Ймовірність неможливої події дорівнює 0, оскільки n(V) = 0. Отже, маємо такі властивості ймовірності:

1.P(U) = 1;  2.P(V) = 0;  3.0 ≤ P(A) ≤ 1, для будь-якої події А.

 

 

Означення 3. Подія , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли подія не відбувається, називається протилежною події А.

 

Так, у досліді з одним пострілом по мішені події А – «влучення в ціль» протилежна подія - «невлучення в ціль». У досліді з придбанням лотерейних білетів події А = {жоден з білетів не виграв} протилежна подія

А = {хоча б один з білетів виграв}.

 Зрозуміло, що , тобто в кожному досліді відбувається одна і тільки одна з подій: або А або .

 Тому сума ймовірностей подій і А дорівнює 1:

 або .

 

 

Означення 4. Подія С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли події А і В відбуваються одночасно, називається перетином або добутком подій А і В і позначається: С = А  В або С = А ∙ В.

 

Так, у досліді з підкиданням грального кубика добутком подій

А = {випала парна кількість очок} і В = {число очок, що випало, кратне 3} є подія С = {випало 6 очок}.

 

 

Означення 5. Перетином подій А₁, А₁,….А_n називається подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається і подія А₁, і подія А₂, і т.д. і подія А_n.

Позначається це так: А₁А₂… А_n, або , або А₁ ∙ А₂…∙ А_n.

 

Неважко побачити, що АА = А, АV = V, і АU = A для будь-якої події А.

 

 

Означення 6. Якщо АВ = V, тобто події А і В не можуть відбутися одночасно, то такі події називаються несумісними.

Події А, - «несумісні».

У досліді з підкиданням грального кубика події А = {випало більше чотирьох очок} і В = {випало менше трьох очок} – несумісні.

 

 

Означення 7. Подія D, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли або відбувається подія А, або відбувається подія В, або відбуваються А і В одночасно, називається об’єднанням, або сумою подій А і В, і позначається

D = АВ або D = А + В.

 

 Зрозуміло, що для будь-якої події А мають місце рівності:

АU = U,  АА = А,  ,   АV = А.

 

 

 Означення 8. Об’єднанням подій А₁, А₁,….А_n називається подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається хоча б одна із даних подій.

Позначається: А₁А₂… А_n, або , або А₁ + А₂ +…+ А_n.

 

 

 

11.4 Теорема додавання ймовірностей

 

Розглянемо теореми, за допомогою яких можна за ймовірностями одних подій обчислювати ймовірності інших подій, пов’язаних якимось чином з першими.

 

Задача. Прилад, що складається з двох блоків, виходить з ладу якщо виходять з ладу обидва блоки. Ймовірність безвідмовної роботи першого блоку за певний проміжок часу становить 0,9, а другого – 0,8. Яка ймовірність безвідмовної роботи приладу за вказаний проміжок часу.

 

Розв’язання. Із 100 вищевказаних проміжків часу в середньому протягом 90 проміжків працює безвідмовно перший блок і протягом 80 проміжків – другий. Знайдемо кількість проміжків часу, коли обидва блоки працюють разом. Оскільки ймовірність безвідмовної роботи другого блока 0,8, то з 90 проміжків часу, протягом яких безвідмовно працює перший блок, приблизно 90 ∙ 0,8 = 72 проміжках працюють обидва блоки. Тому, кількість проміжків часу, протягом яких безвідмовно працює хоча б один блок (тобто працює прилад), дорівнює 90 + 80 – 72 = 98.

Таким чином, можна вважати, що ймовірність безвідмовної роботи приладу становить 0,98. Розв’язання цієї задачі було проведено без використання жодної формули чи теореми.

За відомими ймовірностями простіших подій (безвідмовна робота кожного з блоків) знайдено ймовірність складнішої події (безвідмовна робота приладу в цілому).

Відносна частота події «прилад працює безвідмовно» дорівнює:

 

 Нехай подія А = {перший блок працює безвідмовно}, В = {другий блок працює безвідмовно}. Тоді подія (А + В) = {прилад працює безвідмовно}. Р(А) = 0,9;              Р(В) = 0,8, число 0,72 відповідає відносній частоті безвідмовної роботи обох блоків, тобто це – ймовірність події А ∙ В:               Р(А ∙ В) = 0,72.

 Отже для даної задачі маємо: Р(А+ В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∙ В).

 

 Теорема. Ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності добутку їх.

 

 

 

11.5 Умовні ймовірності

 

Для оцінки можливості реалізації явищ часто доводиться враховувати різні додаткові умови, які впливають на їхню реалізацію і, отже, здатні змінити значення ймовірностей явищ, що відбуваються в ході проведення досліду. Оцінка ймовірностей таких явищ здійснюється за допомогою так званої умовної ймовірності.

 

Наведемо кілька прикладів:

1.Гральний кубик підкидають двічі. Нехай подія А означає, що сума очок, що випали, дорівнює 11, тобто А = {а₁ + а₂ = 11}, а подія В означає, що в результаті першого підкидання випало 6 очок, тобто В = {а₁ = 6}. Зрозуміло, що шанси для здійснення події А змінюються залежно від того, відбулась чи не відбулась подія В.

2.Якщо події А і В несумісні, то ймовірність здійснення події А, якщо відомо, що подія В відбулась, дорівнює нулю.

3.З першого верстата у складальний цех надходить 40%, а з другого 60% всіх деталей. 3% всіх деталей, що виготовлені на першому верстаті, і 5% усіх деталей, що виготовлені на другому – браковані. Неважко знайти що з кожних 1000 деталей, які надійшли на складання, в середньому 42 браковані: 400 ∙ 0,03 + 600 ∙ 0,05 = 42. Іншими словами, ймовірність того, що навмання взята деталь буде бракованою (подія А), дорівнює 0,042: Р(А) = 0,042.

Разом з тим, якщо деталь виготовлена на першому верстаті (подія В), то, як випливає з умови, ймовірність бути її бракованою становить 0,03. Цю ймовірність позначатимемо , і читатимемо: умовна ймовірність події А за умови, що подія В₁ відбулася:

= 0,03

 

 Аналогічно:       = 0,05

 Приклади 1 – 3 дають можливість зробити висновок про те, що додаткові умови змінюють ймовірність події. Застосуємо поняття умовної ймовірності, продовжуючи розгляд прикладу 3.

 Обчислимо ймовірність одночасного здійснення подій А і В₁, тобто події А ∙ В₁.

 Із кожної 1000 деталей, що надійшли на складання, в середньому 400 виготовлені на першому верстаті, і з них близько 3%, тобто 12, бракованих. Тому .

 

 Теорема множення ймовірностей. Ймовірність двох подій, що відбуваються одночасно, дорівнює добутку ймовірності однієї з них, на умовну ймовірність іншої за умови, що перша подія вже відбулася.

 

 

 

11.6 Незалежні події

 

При дослідженні випадкових подій іноді важливо встановити залежність між деякими з них.

Поняття незалежності є дуже важливим у теорії ймовірностей. Воно досить точно відображає поняття незалежності явищ у звичайному розумінні, тобто в розумінні відсутності впливу одних подій на інші. Разом з тим звичайні поняття незалежності і ймовірнісної незалежності мають відмінності.

 

Приклад. Два дослідники проводять вимірювання деякої фізичної величини. Ймовірності зробити помилку при знятті показів з приладу для них становлять відповідно 0,1 і 0,15. Яка ймовірність того, що при одноразовому вимірювані обидва дослідники допустять помилки?

 

Розв’язання. Позначимо через А_і, і = 1, 2, …. подію, яка полягає в тому, що і-й дослідник зробить помилку. Потрібно знайти Р(А₁ ∙ А₂).

За теоремою множення ймовірностей:

 

За умовою, Р(А₁) = 0,1. А що таке ?

Це умовна ймовірність того, що другий дослідник помилиться при знятті показів з приладу за умови, що перший теж помилився. Але ми маємо право вважати, що ймовірність події А₂ не залежить від того, чи відбулась подія А₁, чи ні. Адже другий дослідник міг знімати  покази приладу, не знаючи результату роботи першого. Отже, .

Тому Р(А₁ ∙ А₂) = Р(А₁) ∙ Р(А₂) = 0,1 ∙ 0,15 = 0,015.

 

У розглянутому прикладі умовна ймовірність дорівнює безумовній ймовірності Р(А₂). У цьому разі кажуть, що подія А₂ не залежить від події А₁.

 

Означення. Подія А не залежить від події В, якщо .

 

 

 

11.7 Класичне означення ймовірності

 

Наявність ймовірності у деякої події досі ми пов’язували з існуванням статистично стійких дослідів. Проведення масових експериментів у деяких випадках або неможливе, або надзвичайно ускладнене. У таких випадках іноді доцільно використовувати класичне означення ймовірності. Фактично на ньому ґрунтується доекспериментальний розрахунок ймовірностей. Нехай події В₁, В₂,…В_n – попарно несумісні, а їхня сума є достовірною подією:

В₁ + В₂ + ….+  В_n = U,

 

тобто внаслідок експерименту одна і тільки одна з цих подій обов’язково настане.

Зрозуміло, що

Р(В₁ + В₂ + ….+  В_n)=Р(U) = 1.

 

Застосовуючи теорему додавання ймовірностей дістанемо:

Р(В₁)+Р(В₂)+ ….+ Р(В_n)= 1.

 

Якщо ж немає ніяких підстав вважати, що одна з подій В_і настає частіше за інші, тобто якщо в середньому події В₁, В₂,  ….,  В_n  настають з однаковою частотою, то ймовірності цих подій дорівнюють одна одній:

.

 Приклад 1. Підкидання грального кубика. Події В_і = {випадання і очок} = {і = 1, 2, … 6} – попарно несумісні і одна з них обов’язково настане. Якщо кубик симетричний, ці події мають рівні ймовірності:

 

Приклад 2. Монету підкидають двічі. Можливі такі події: ГГ, ГЦ, ЦГ і ЦЦ. (де ГЦ, наприклад, означає, що при першому підкиданні випав герб (Г), а при другому – цифра (Ц)). Очевидно, ці події попарно несумісні і одна з них обов’язково настає. Тобто якщо монета симетрична, то ці події рівноймовірності:

 

Означення. (Класичне).

Ймовірність події дорівнює відношенню кількості наслідків, що сприяють настанню цієї події, до загального числа рівно можливих наслідків, що взаємно виключають один одного в даному досліді.

 

 

 

 

Приклад.  В урні 5 білих і 3 чорних кулі. Навмання одну за одною виймають дві кулі, причому вийняту кулю в урну не повертають. Яка ймовірність того, що:

1.Обидві кулі білі;

2.Друга куля біла?

 

Розв’язання.

1.Нехай подія А_і, і = 1, 2, полягає в тому, що і-та вийнята куля біла,

А =  {обидві кулі білі}, А = А₁ ∙ А₂.

 

Відомо, що куль всього вісім, виймання будь-якої з них – рівноможливе (вибір проводиться навмання) і подія А_і відбувається при кожному з п’яти результатів (п’ять білих куль), тоді . Якщо перша вийнята куля біла, то після її виймання в урні лишається сім куль, з яких чотири білі. Отже,

; .

 

2.Подія А₂ = {друга вийнята куля біла} – настає тоді, коли або обидві вийняті кулі білі, або перша чорна, а друга біла:

.

Застосовуючи послідовно теореми додавання і множення ймовірностей, дістанемо:

.

 

Раніше ми знайшли, що , а .

 

Аналогічно знаходимо , . Звідси

.

 

Зауважимо, що .

 

 

 

11.8 Питання для самоконтролю

 

1.Ймовірність настання події А в деякому досліді дорівнює 0,83. Чи можна стверджувати, що у 100 таких самих дослідах, проведених в тих самих умовах, ця подія настає рівно 83 рази?

2.Ймовірність того, що в навмання взятій сім’ї є комп’ютер, дорівнює 0897. Скільки в середньому телевізорів буде в 500 сім’ях?

3.Яка з подій протилежна події:

а)вийнято хоча б одну білу куля;

б)вийнято більше двох білих куль;

в)серед вийнятих куль білих немає?

4.Чи може сума двох подій збігатися з одним із доданків? Якщо так, то що можна сказати про другу подію?

5.Що можна сказати про події А і В, якщо їхній добуток є:

а)достовірна подія;

б)неможлива подія;

в)подія А?

 6.Чи може бути достовірною подією сума двох несумісних подій?

 7.Чи може ймовірність суми двох подій:

а)бути меншою від суми ймовірностей цих подій;

б)дорівнювати сумі ймовірностей цих подій;

в)бути більшою за суму ймовірностей цих подій?

 8.Як за допомогою теореми додавання ймовірностей встановити зв’язок між ймовірностями протилежних подій?

 9.Чи вірно, що ймовірність суми трьох подій не перевищує суми ймовірностей цих подій?

 10.Чи вірно, що ?

 11.Чому дорівнює , якщо А і В – несумісні події і Р(В) ≠ 0?

 12.Чи має зміст ?

13.Чи вірно, що, ?

14.Чому дорівнює ймовірність суми двох незалежних подій?

15.При 10 підкиданнях правильної монети кожного разу випадав герб. Що ймовірніше при наступному підкиданні: випаде герб чи цифра?

 

 

11.9 Вправи для самостійної роботи

 

1.Для перевірки якості було досліджено 200 деталей, серед яких 5 виявились бракованими. Якою можна вважати ймовірність того, що навмання взята деталь буде:

1.придатною;

2.бракованою?

Скільки бракованих деталей виявиться в середньому в партії із 1000 деталей?

        Відповідь: 1)0,975;    2)0,025.

 

 2.Прилад складається із блока першого типу і двох блоків другого типу. Подія А = {справний блок першого типу}, В_і = (і = 1, 2) = {справний і-й блок другого типу}. Прилад працює, якщо справний блок першого типу і хоча б один із блоків другого типу. Виразіть через А і В подію С, яка полягає в тому, що прилад працює.

        Відповідь: С = А(В₁  В₂).

 

 3.Електричні лампи виробляють на трьох заводах, причому перший з них постачає 40% продукції, другий – 35%. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання взята лампа виготовлена на другому, або третьому заводі?

        Відповідь: 0,6.

 

 4.Три події попарно несумісні. Їхньою сумою є достовірна подія. Ймовірності цих подій відносяться як 3:2:1. Знайти ймовірності кожної з цих подій.

        Відповідь: .

 

 5.Пасажир чекає автобус 32 або 35 маршруту на зупинці, де проходять три автобусні маршрути: 32, 33, 37. Вважаючи, що автобуси всіх маршрутів з’являються в середньому з однаковою частотою, знайти ймовірність того, що перший з автобусів, який підійде до зупинки, буде автобус, потрібного маршруту.

        Відповідь: .

6.На деякому підприємстві 96% виробів визначаються придатними. З придатних виробів у середньому 75% становлять вироби першого сорту, решта – другого сорту. Знайти ймовірність того, що виріб, виготовлений на цьому підприємстві, виявиться другосортним.

       Відповідь:  0,24.

 

7.З повного набору кісточок доміно (28 штук) навмання виймають одну. Знайти ймовірність того, що:

1.вийнята кісточка має 6 очок;

2.сума очок дорівнює 5.

        Відповідь: 1) 0,25;  2).

 

 8.В ящику в три рази більше червоних куль, ніж чорних (кулі однакові в усьому, крім кольору). Навмання виймають одну кулю. Яка ймовірність того, що вона:

1.червона;

2.чорна?

        Відповідь: 1) 0,75   2) 0,25.

 

 9.Числа від 1 до 20 написані на аркушах паперу, які помістили в коробку і перемішали. З коробки навмання взяли один аркуш. Яка ймовірність того, що число на вийнятому аркуші буде або простим, або кратним трьом?

        Відповідь: 0,65.

 

 10.В ящику є десять деталей, серед яких сім пофарбованих. Робітник навмання по одній виймає дві деталі. Знайти ймовірність того, що:

1.друга деталь пофарбована, якщо перша пофарбована;

2.друга деталь пофарбована, якщо перша не пофарбована;

3.обидві деталі не пофарбовані;

4.обидві деталі пофарбовані.

        Відповідь: 1);  2);

          3);   4) .

 

Глава 12 Випадкова величина

 

12.1 Поняття випадкової величини.

12.2 Закон розподілу випадкової величини.

12.3 Математичне сподівання випадкової величини.

12.4 Дисперсія випадкової величини.

12.5 Приклади розв’язання завдань.

12.6 Питання для самоконтролю.

12.7 Вправи для самостійної роботи.

 

 

12.1 Поняття випадкової величини

 

 Будь-який експеримент може бути описаний сукупністю всіх його наслідків, що взаємно виключають один одного. Таку сукупність називають простором елементарних подій експерименту (пеп). Багато практичних задач зводиться до дослідження деякої функції, яка задана в просторі елементарних подій.

 Такі функції називають випадковими величинами. Ймовірнісні властивості таких величин визначаються деяким розподілом, тобто ймовірністю набувати певних значень. Нерідко розв’язування задач зводиться до визначення числових характеристик випадкової величини. На практиці часто зустрічаються ситуації, коли величина, яка цікавить дослідника, може набувати різних значень залежно від випадкових обставин. Наприклад, кількість викликів, що надходять на телефонну станцію протягом певного проміжку часу, піддається випадковим коливанням. Аналогічно не можна точно вказати кількість аварій автотранспорту протягом наступної доби в будь-якому місті. У подібних ситуаціях ми маємо справу з випадковими величинами.

 

 Задача. Численними спостереженнями встановлено, що стрілець при 100 пострілах приблизно 20 разів вибиває вісім очок, 50 разів – дев’ять і 30 разів – десять очок. Що можна сказати про кількість очок, які вибиває стрілець при двох незалежних пострілах?

 

 Розв’язання. Простір елементарних подій (пеп) експерименту, що складається з двох незалежних пострілів, має вигляд:

U = {(8,8), (8,9), (8,10), (9,8), 9,9), (9,10), (10,8), (10,9), (10,10)}.

 

 Наприклад, подія (8,9) полягає в тому, що при першому пострілі випало вісім очок, а при другому – дев’ять. Сума очок повністю визначається результатом експерименту. Кожному елементу ПЕП можна поставити у відповідність число, яке дорівнює сумі очок, які випали:

 

Результати	(8,8)	(8,9)	(8,10)	(9,8)	(9,9)	(9,10)	(10,8)	(10,9)	(10,10)
Кількість очок	16	17	18	17	18	19	18	19	20

 

 Ця таблиця задає деяку функцію Х(u) в ПЕП. Її область визначення – множина u, множина значень {16, 17, 18, 19, 20}.

 

 Випадковою величиною називається числова функція, яка визначена в просторі елементарних подій. Позначаються випадкові величини буквами

Х = Х(u), У = у(u), Z = Z(u), а їх значення – відповідними малими буквами.

 На випадкові величини розповсюджуються всі правила дій над функціями, що задані на числовій множині: їх можна додавати, віднімати, множити і т.п.

 Що потрібно знати про випадкову величину для того, щоб мати про неї вичерпні дані? Очевидно, потрібно знати всі значення, яких вона може набувати. Проте цього недостатньо. Наприклад, нехай проводяться два тиражі, кожен з яких містить по 100 білетів.

 У першій лотереї виграші по 1,5 і 10 грн. припадають відповідно на 20, 5 і 1 білет, а в другій – ті самі виграші припадають на 4, 10 і 5 білетів відповідно. Ясно, що виграші, які припадають на один білет, в обох лотереях – випадкові величини, що набувають однакових значень, але істотно відрізняються одна від одної. Важливо знати, як часто випадкова велична набуває того чи іншого значення, тобто ймовірність, з якою вона набуває кожне своє значення.

 

 

12.2 Закон розподілу випадкової величини

 

 У цій задачі визначимо ймовірність наслідків експерименту. Подія (8,8) є добуток двох незалежних подій: «при  першому пострілі вибито вісім очок» і «при другому пострілі вибито вісім очок». За теоремою множення ймовірностей Р(8,8) = 0,2 ∙ 0,2 = 0,04.

 Аналогічно: Р(8,9) = 0,2 ∙ 0,5 = 0,1;  Р(8,10) = 0,2 ∙ 0,3 = 0,06

   Р(9,8) = 0,5 ∙ 0,2 = 0,1;  Р(9,9) = 0,5 ∙ 0,5 = 0,25

   Р(9,10) = 0,5 ∙ 0,3 = 0,15; Р(10,8) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06

   Р(10,9) = 0,3 ∙ 0,5 = 0,15 ; Р(10,10) = 0,3 ∙ 0,3 = 0,09.

 

 Якщо через Х позначити суму очок, що вибито при двох пострілах, тоді:                            Р(Х = 16) = Р(8,8) = 0,4,                            Р(Х = 20) = Р(10,10) = 0,09.

 

 Подія (Х = 17) відбувається при одному із таких результатів: (8,9) чи (9,8). За теоремою додавання ймовірностей Р(Х=17)= Р(8,9)+ Р(9,8)=0,1+0,1=0,2.

 Аналогічно:

Р(Х = 18) = Р(8,10) + Р(9,9) + Р(10,8) = 0,06 + 0,25 + 0,06 = 0,37.

Р(Х = 19) = Р(9,10) + Р(10,9) = 0,15 + 0,15 = 0,3.

 

 Отже дістанемо таблицю:

 

Кількість очок	16	17	18	19	20
Ймовірність	0,04	0,2	0,37	0,3	0,09

 

 У верхньому рядку наведені всі можливі значення, що їх набуває випадкова величина Х, у нижньому – відповідні ймовірності.

 

 Ця таблиця називається законом розподілу випадкової величини Х. Закон розподілу випадкової величини Х кожному значенню х випадкової величини Х ставить у відповідність Р(Х = х). У загальному випадку закон розподілу випадкової величини записують так:

 

xk	х1	х2	…..	хn
pk	р1	р2	…..	pn

 

(х₁, х₂,…. х_n – різні значення випадкової величини Х, а р_к = Р(Х = х_k), (k – 1,…,  n – ймовірності, з якими Х набуває цих значень).

 

 Події попарно несумісні і сума їх є достовірною подією. Тому сума ймовірностей цих подій р₁ + р₂ +…. +р_n = 1. Дану рівність можна використовувати для перевірки правильності складання закону розподілу випадкової величини.

 

 Приклад. Випадкова величина Х набуває значень 1, 2, 3, 4, причому Р(Х = 1) = 0,4; Р(Х = 2) = 0,3; Р(Х = 3) = 0,2.

 Знайти: Р(Х = 4), Р(Х > 2), Р(Х ≤ 3); Р(1,5 < Х< 3,7)

 

 Розв’язання. Оскільки

Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 1, то

Р(Х = 4) = 1 – (0,4 + 0,3 + 0,2) = 0,1

Р(Х > 2) = Р(Х = 3 або Х = 4) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 0,2 +0,1 = 0,3

Аналогічно:

Р(Х ≤ 3) = Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) = 0,9

Р(1,5 < Х < 3,7) = Р(Х = 2) + Р(Х = 3) = 0,5

 

 Зауважимо, що ПЕП разом з ймовірностями елементарних подій є не що інше, як імовірнісна модель експерименту.

 Закон розподілу випадкової величини фактично є новою ймовірнісною моделлю досліду. Роль ПЕП відіграє множина значень випадкової величини , а ймовірність настання події (Х = х_k) дорівнює р_k = Р(Х = х_k).

12.3 Математичне сподівання випадкової величини

 

 Закон розподілу випадкової величини містить всю ймовірнісну інформацію про неї. Проте в ряді випадків дуже корисними бувають деякі сталі числові характеристики, які дають уявлення про випадкову величину. Серед таких характеристик особливе значення має математичне сподівання.

 Нехай, наприклад, кількості очок, що вибивається при одному пострілі кожним з двох стрільців, мають відповідно закони розподілу:

 

xk	8	9	10
pk	0,4	0,1	0,5

 

 

xk	8	9	10
pk	0,1	0,6	0,3

 

 Тільки за зовнішнім виглядом законів розподілу важко відповісти на питання, який з двох стрільців стріляє краще: вісім очок перший вибиває частіше, ніж другий, але і ймовірність попадання в «десятку» у нього вища. Потрібна числова характеристика, яка б допомогла оцінити якість стрільби кожного стрільця.

 

 Приклад 1. Випущено 500 лотерейних білетів, причому на кожний з 40 білетів припадає виграш в 1 грн, 10 білетів принесуть їх володарям виграш по 5 грн, 5 білетів - по 10 грн. Решта білетів не виграє. Який середній виграш припадає на один білет?

 

 Розв’язання. Середній  виграш, що припадає на один білет, дорівнює сумі всіх виграшів, поділений на кількість випущених білетів:

 

грн.

 

 У даному прикладі мова йде про випадкову величину – виграш, що припадає на один вибраний навмання лотерейний білет.

 Її закон розподілу такий:

 

xk	0	1	5	10
pk	0,89	0,08	0,02	0,01

 

 Зауважимо, що середній виграш дорівнює сумі добутків значень випадкової величини на ймовірності, з якими вона набуває цих значень.

 

 Означення. Нехай випадкова величина Х має закон розподілу:

 

 

xk	х1	х2	…..	хn
pk	р1	р2	…..	pn

 

 Сума добутків значень випадкової величини на відповідні ймовірності називається математичним сподіванням (або середнім значенням) випадкової величини Х і позначається символом МХ:

МХ = х₁р₁ + х₂р₂+ …. + х_n p_n.

 

Тепер можна відповісти на запитання, поставлене на початку задачі про двох стрільців.

Якщо Х_і(і – 1,2) – число очок, що вибиває і-й стрілець при одному пострілі, тоді МХ₁ = 8 ∙ 0,4 + 9 ∙ 0,1 + 10 ∙ 0,5 = 9,1.

 МХ₂ = 8 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,6 + 10 ∙ 0,3 = 9,2.

 

Середня кількість очок, що вибиває другий стрілець при одному пострілі, дещо більша, ніж у першого. Отже, другий стрілець стріляє краще за першого.

Поняття математичного сподівання було введено в науку в XVII ст. під назвою «справедлива ціна шансу». Фактично вперше його ввів і використовував Х.Гюйгенс. Воно широко використовувалося в торгівлі і промисловості для визначення середніх цін, середнього прибутку тощо.

Отже, для обчислення математичного сподівання випадкової величини потрібно знати її закон розподілу. Проте на практиці встановити закон розподілу випадкової величини (тобто вказати всі її значення і відповідні ймовірності) не завжди можливо. Доводиться задовольнятися результатами великої кількості незалежних спостережень даної величини, що проведені в приблизно однакових умовах. Така сукупність спостережень називається вибіркою із значень, що їх набуває дана випадкова величина.

 

 

 

Властивості математичного сподівання

 

 Ми вже знаємо, що випадкові величини, як всі числові функції, можна додавати, перемножати, множити на число.

 Досить часто виникає необхідність обчислювати середнє значення суми, добутку випадкових величин, якщо відомі середні значення кожної з цих величин. Для цього використовують властивості математичного сподівання.

 

 Властивість 1. Для довільної випадкової величини Х і довільного числа с має місце рівність:

М(сХ) = сМХ.

 

 Властивість 2. Математичне сподівання сталої с дорівнює самій сталій:

Мс = с

 

Властивість 3. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань цих величин:

М(Х + У) = МХ + МУ.

 

 

12.4 Дисперсія випадкової величини

 

Середнє значення випадкової величини є приблизною,орієнтовною її характеристикою. Однак іноді практично важливі властивості випадкової величини не визначаються її середнім значенням, а вимагають докладнішого вивчення закону її розподілу. Нехай Х – відхилення значення величини, що вимірюється, від її істинного значення. Якщо похибки вимірів мають випадковий характер, вони будуть як додатні, так і від’ємні. Тоді, коли їхні шанси приблизно однакові, математичне сподівання дорівнює нулю, тобто кажуть, що виміри позбавлені систематичних похибок. При цьому однак, невідомо, як будуть розміщені здебільшого результати вимірів - ближче до істинного значення вимірювання величини чи, навпаки, розсіяні далеко від нього. Отже, виникає необхідність у спеціальній числовій характеристиці, розсіяння значень випадкової величини. Такою характеристикою і є дисперсія випадкової величини.

Іншими словами, потрібно оцінити відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання МХ, тобто випадкову величину Х-МХ. За міру такого відхилення природно було б взяти величину М(Х-МХ). Однак М(Х-МХ)=0, і цей факт інтуїтивно зрозумілий, адже мають місце відхилення обох знаків, отже їхнє середнє дорівнює нулю. Тому бажано було б не враховувати знак відхилення. Це можна зробити, розглянувши величину , або . Виявляється що більше зручною є друга величина – М(Х – МХ)². Вона і називається дисперсією випадковою величини.

 

Означення. Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

DX = М(Х – МХ)².

 

Дисперсія вимірюється в квадратах тих одиниць, в яких вимірюється сама випадкова величина (або її математичне сподівання). Тому поряд з дисперсією часто розглядають характеристику, яка вимірюється в тих самих одиницях, що і випадкова величина і так само є мірою відхилення її значень.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається корінь квадратний з її дисперсії:

 

Приклад 1. Випадкова величина Х має закон розподілу:

 

xk	-3	-2	-1	0	1	2
pk	0,1	0,1	0,2	0,1	0,2	0,3

 

Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

 

Розв’язання. Попередньо знайдемо МХ:

МХ = (-3) ∙ 0,1 + (-2) ∙ 0,1 + (-1) ∙ 0,2 + 0 ∙ 0,1 + 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,3 = 0,1

 

Складемо закон розподілу випадкової величини У = (Х – 0,1)²:

 

уk	(-3,1)2	(-2,1)2	(-1,1)2	(-0,1)2	(0,9)2	(1,9)2
pk	0,1	0,1	0,2	0,1	0,2	0,3

 

DX = М(Х – 0,1)² = 9,61 ∙ 0,1 + 4,41 ∙ 0,1 + 1,21 ∙ 0,2 + 0,01 ∙ 0,1 + 0,81 ∙ 0,2 +

+ 3,61 ∙ 0,3 = 2,89

 

= 1,7

 

Для обчислення дисперсії можна знайти іншу формулу, яка часто спрощує обчислення. Нехай МХ = а. Тоді  .

Використовуючи властивості математичного сподівання, маємо:

DХ = МХ² – 2аМХ + а² = МХ² – а² = МХ² – (МХ)².

 

 Отже, доведена така властивість.

 

 Властивість 1. DХ = МХ² – (МХ)².

 

 Властивість 2. Якщо с – стала, то D(Х + с) = DХ;

      D(сХ) =с²DХ; Dс = 0.

 

 

 

 

 

 

12.5 Приклади розв’язання завдань

 

Приклад 1. У цеху встановлено два різні верстати, які виготовляють однакові деталі. Кількість бракованих виробів, що можуть виготовити ці верстати за добу, мають відповідно закони розподілу:

 

xk	0	1	2	3
pk	0,6	0,2	0,15	0,05

 

 

уk	0	1	2	3
pk	0,5	0,25	0,2	0,05

 

 1.Знайти середню кількість бракованих деталей, що виготовляє перший верстат за 10 діб.

 

 2.Якою є середня кількість виготовлених цехом за добу бракованих деталей?

 

 Розв’язання. Нехай Х і У – кількість бракованих деталей, що виготовляють відповідно перший і другий верстати за добу: МХ = 0,65;

МУ = 0,6. за 10 діб перший верстат виготовляє 10Х бракованих деталей:

М(10Х) = 10МХ = 6,5. Цех за добу виготовляє (Х + У) бракованих деталей:

М(Х + У) = МХ + МУ = 0,65 + 0,6 = 1,25.

 

Приклад 2. Два стрільці виконали по 100 пострілів. Перший вибив

8 очок 40 разів, 9 очок – 10 разів і 10 очок – 50 разів. Другий – 8, 9, 10 очок вибив відповідно 10, 70, 20 разів. Який із стрільців стріляє краще?

 

 Розв’язання. Маємо дві вибірки, складені із спостережень за випадковою величиною Хі(і = 1,2) – числом очок, що вибиває кожний з двох стрільців. Підрахуємо вибіркові середні:

 

 

 Отже вибіркові середні у обох стрільців однакові. Можна говорити і про наближений збіг математичних сподівань цих величин. Тобто за цими даними стрільців можна було б визнати однаково умілими.

 Проте визначимо міру розсіяння результатів стрільби кожного зі стрільців, для чого підрахуємо вибіркові дисперсії. Обчислення зручно провести за такими таблицями:

 

 Для першого стрільця –

xk	nk	xknk
8	40	320	-1.1	1.21	48,4
9	10	90	-0,1	0,01	0,1
10	50	500	0,9	0,81	45,0
	∑ = 100	∑ = 910			∑ = 93,5

 

 

;

 

Для другого стрільця –

xk	nk	xknk
8	10	80	-1,1	1,21	12,1
9	70	720	-0,1	0,01	0,7
10	20	200	0,9	0,81	16,2
	∑ = 100	∑ = 910			∑ = 29

 

 

 

;

 

Оскільки , то можна вважати, що DХ₂ < DХ₁, тобто результати стрільби другого стрільця менш розсіяні, ніж першого. Отже, другий стрілець стріляє краще за першого.

 

 

12.6 Питання для самоконтролю

 

 1.Випадкова величина набуває значень 0 і 1. Чому дорівнює її математичне сподівання?

 2.Чи є вибіркове середнє величиною, чи ні?

 3.Відомо, що МХ = 3,7. Що можна сказати про значення, яких набуває випадкова величина Х в 100 дослідах?

 4.Як зміниться математичне сподівання випадкової величини, якщо всі її значення помножити на одне і те саме число?

 5.Як зміниться математичне сподівання випадкової величини, якщо до всіх її значень додати одне і те саме значення?

 6.МХ = 3. Чому дорівнює М(-Х)?

 7.Чи може випадкова величина У набувати більших значень, ніж випадкова величина Х, якщо МХ > МУ?

 8.Яка з нерівностей є правильною: DХ ≤ МХ²;  DХ >МХ²;  DХ ≥ МХ²; DХ > МХ².

 9.Чи може бути справедливою рівність DХ = МХ²?

 10.Чи є вибіркова дисперсія випадковою величиною?

 

 

 

12.7 Вправи для самостійної роботи

 

 1.Знайдіть дисперсію випадкової величини, якщо її закон розподілу має вигляд:

 

xk	-2	-1	0	2
pk	0,1	0,2	0,5	0,2

 

 

 2.Знайдіть D(2Х + 3), якщо закон розподілу випадкової величини Х має вигляд:

 

xk	-1	0	2	3
pk	0,2	0,1	0,1	0,6

 

 

 3.Випадкова величина Х має такий закон розподілу:

 

xk	2025	2050	2075
pk	0,1	0,4	0,5

 

 Знайдіть DХ:

 1.Безпосередньо за законом розподілу Х;

 2.Скориставшись властивостями дисперсії, попередньо перетворивши Х.

 

 

 

 

 

Перелік літератури

 

1. Чекова А.М. Алгебра. Навчальний посібник. – Х. Науково-методичний центр, 2003.
2. Чекова А.М. Алгебра. Навчальний посібник. – Х. Науково-методичний центр, 2003.

 3.Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Математика. – К. Вища школа, 2001.

 4. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Дидактичні матеріали з математики. – К. Вища школа, 2001.

 5.Башмаков М.И. Математика. – М. Вища школа, 1994.

 

 

 

Зміст

 

Передмова …………………………………………………………….….1

Глава 1.Елементи лінійної алгебри……………………..……….........3

1.   Визначники другого порядку та їхні властивості…………..……....3
2.   Наслідки із властивостей………………………………………..…....5
3.   Визначники третього порядку та їхні властивості……………….....5
4.   Наслідки із властивостей………………………………………...…...7
5.   Системи трьох лінійних рівнянь та методи їх розв’язування……...8
6.   Питання для самоконтролю……………………………………...….12
7.   Приклади розв’язування систем лінійних рівнянь……………...…12
8.   Вправи до самостійної роботи…………………………..………….14

 

Глава 2.Комплексні числа………………………………………….…16

2.1 Історія розвитку поняття про число………………………………..16

2.2 Уявна одиниця. Комплексні числа…………………………………27

2.3 Алгебраїчна форма комплексного числа…………………………..27

2.4 Тригонометрична форма комплексного числа…………….………29

2.5 Показникова форма комплексного числа…………………….……33

2.6 Приклади розв’язування завдань…………………………….……..34

2.7 Питання для самоконтролю…………………………………………35

2.8 Завдання для самостійної роботи..…………………………….…...35

 

 

Глава 3.Елементи аналітичної геометрії……………………………40

3.1 Метод координат……………….……………………………………40

3.1.1 Предмет аналітичної геометрії……………………………………40

3.1.2 Декартова прямокутна система координат………………………40

3.1.3 Перетворення координат………………………………………….40

3.1.4 Відстань між двома точками……………………………………...41

3.1.5 Ділення відрізка у даному відношенні…………………………...41

3.1.6 Приклади  розв’язування завдань………………………………...43

3.1.7 Питання для самоконтролю……………………………………….44

3.1.8 Завдання для самостійної роботи………………………………...45

 

3.2 Лінії та їхні рівняння. Пряма лінія………………………………….48

3.2.1 Поняття рівняння лінії…………………………………………….48

3.2.2 Пряма лінія на площині. Різні види рівняння прямої лінії……...49

3.2.3 Кут між двома прямими…………………………………………...53

3.2.4 Умови паралельності та перпендикулярності прямих…………..54

3.2.5 Поняття прямих…………………………........................................54

3.2.6 Відстань від точки до прямої……………………………………..55

3.2.7 Питання для самоконтролю……………………………………….57

3.2.8 Приклади  розв’язування завдань………………………………...57

3.2.9 Вправи для самостійної роботи………………………………......66

 

3.3 Криві другого порядку……………….……………………………...70

3.3.1 Загальне рівняння кривої другого порядку………………………70

3.3.2 Коло та його рівняння. Різні види рівнянь……………………….70

3.3.3 Еліпс та його рівняння. Різні види рівнянь………………………72

3.3.4 Гіпербола та її рівняння. Різні види рівнянь……………………..74

3.3.5 Парабола та її рівняння. Різні види рівнянь……………………...76

3.3.6 Приклади  розв’язування завдань………………………………...79

3.3.7 Питання для самоконтролю……………………………………….93

3.3.8 Вправи для самостійної роботи………………………………......94

 

 

Глава 4.Функція. Границя і неперервність функції……………...100

4.1 Функція. Область визначення функції……………….…………...100

4.2 Способи завдання функції…………………………………………101

4.3 Границя функції…………………………………………………….104

4.4 Нескінченно малі та нескінченно великі величини……………...107

4.5 Теореми про границі функції……………………………………...109

4.6 Неперервність функції…………………………..............................111

4.7 Приклади  розв’язування завдань………………………………....111

4.8 Питання для самоконтролю………………………………………..112

4.9 Вправи для самостійної роботи……………………………….......112

 

 

Глава 5.Похідна функції. Дослідження функції за допомогою

похідної…………………………………………………………………119

5.1 Задачі, які приводять до поняття похідної……………….……….119

5.2 Поняття про похідну……………………………………………….120

5.3 Зростання та спадання функції……………………………………127

5.4 Максимум і мінімум функції………………………………………129

5.5 Опуклість графіка функції. Точка перегину……………………...131

5.6 Загальна схема дослідження функції. Побудова графіків

 функції…………………………………………………………………..133

5.7 Найбільше і найменше значення функції………………………...136

5.8 Приклади розв’язування завдань за темою……………………….138

5.9 Питання для самоконтролю……………………………………......142

5.10 Завдання для самостійної роботи………………………………..143

 

 

Глава 6.Функції багатьох змінних. Частинні похідні; повний

диференціал …………………………………………………………...151

6.1 Основні поняття про функцію багатьох змінних………………...151

6.2 Частинний та повний прирост функції……………………………152

6.3 Неперервність функції багатьох змінних…………………………153

6.4 Частинні похідні функції 2-х змінних…………………………….153

6.5 Повний диференціал функції багатьох змінних …………………155

6.6 Екстремуми функції багатьох змінних……………………………155

6.7 Приклади розв’язування завдань ….……………………………...155

6.8 Питання для самоконтролю……………………………………......157

6.9 Завдання для самостійної роботи…………………………………157

 

 

Глава 7.Диференціал функції. Невизначений інтеграл………….159

7.1 Диференціал функції. Геометричний зміст диференціалу………159

7.2 Первісна функції та її властивості………………………………...161

7.3 Невизначений інтеграл, його властивості. Безпосереднє

 інтегрування…………………………………………………………….163

7.4 Приклади знаходження невизначених інтегралів………………..164

7.5 Інтегрування способом підстановки……………………...............164

7.6 Інтегрування за

частинами……………………………………………………………….165

7.7 Приклади розв’язування завдань………………………………….166

7.8 Питання для самоконтролю……………………………………......168

7.9 Завдання для самостійної роботи…………………………………168

 

 

Глава 8.Визначений інтеграл і його застосування……………….172

8.1 Визначений інтеграл……………………………………………….172

8.2 Геометричний зміст визначеного інтеграла……………………...173

8.3 Методи обчислення визначеного інтеграла………………………175

8.4 Методи наближеного обчислення визначеного інтеграла………179

8.5 Приклади розв’язування завдань на обчислення визначеного

інтеграла і застосування його до розв’язування геометричних та

фізичних задач………………………………………………………….181

8.6 Питання для самоконтролю……………………………………......185

8.7 Завдання для самостійної роботи…………………………………185

 

 

Глава 9.Диференціальні рівняння………………………………….188

8.1 Основні поняття…………………………………………………….188

9.2 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними………189

9.3 Однорідні диференціальні рівняння першого порядку………….190

9.4 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку……………..192

9.5 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із

сталими коефіцієнтами………………………………………………...195

9.6 Питання для самоконтролю……………………………………......197

9.7 Завдання для самостійної роботи…………………………………197

 

 

Глава 10.Ряди………………………………………………………….200

10.1 Питання про числові ряди………………………………………..200

10.2 Функціональні ряди……………………........................................202

10.3 Степеневі ряди……………………….……………………………202

10.4 Розв’язування прикладів …………………………………………204

10.5 Питання для самоконтролю……………………………………....205

10.6 Завдання для самостійної роботи………………………………..205

 

 

Глава 11.Події. Ймовірності…………………………………………207

11.1 Випадкова подія…………………………………………………...207

11.2 Статистичне означення ймовірності випадкової події…………209

11.3 Операції над подіями……………………………………………..209

11.4 Теорема додавання ймовірності………………………………….211

11.5 Умовні ймовірності……………………………………………….212

11.6 Незалежні події……………………………………………………213

11.7 Класичне означення ймовірності………………………………...214

11.8 Питання для самоконтролю……………………………………....216

11.9 Вправи до самостійної роботи…………………………………...217

 

 

Глава 12.Випадкова величина………………………………………219

12.1 Поняття випадкової величини……………………………………219

12.2 Закон розподілу випадкової величини……………………..........220

12.3 Математичне сподівання випадкової величини………………...222

12.4 Дисперсія випадкової величини………………………………….224

12.5 Приклади розв’язування завдань ………………………………..226

12.6 Питання для самоконтролю……………………………………....227

12.7 Завдання для самостійної роботи………………………………..228