Вивчаємо геометрію із GeoGebra. Посібник для учнів і учителів
Василь Гречук
Марія Лукашенко Роман Пастушак
Вивчаємо геометрію із GeoGebra
Вивчаємо геометрію із GeoGebra. Посібник для вчителів і учнів базової середньої школи.
Посібник допоможе реалізувати комп’ютерно-орієнтоване навчання геометрії у системі базової загальної середньої освіти школі через системне використання можливостей інструментів програмного засобу GeoGebra. Освоєння інтерфейсу програми відбувається паралельно із ознайомленням з геометричними фігурами та відношеннями. Динамічні моделі використовуються для формування геометричних понять та виявлення властивостей фігур. Для обґрунтування фактів, поряд із традиційними логічними міркуваннями широко використовується машинний експеримент.
Посібник можна використовувати як доповнення до будь-якого чинного підручника або для самоосвіти вчителя чи організації гурткової роботи, з метою формування в учнів вміння будувати і досліджувати динамічні моделі фігур.
Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості............................. 10
1.2 Пряма. Властивості прямої................................................................. 13
1.5 Вимірювання відрізків. Відстань. Властивості відстані..................... 21
1.6 Порівняння відрізків. Відкладання відрізка рівного даному............... 24
1.8 Побудова кута заданої величини. Відкладання кута від променя....... 30
1.9 Обертання променя. Напрям обертання.............................................. 31
1.10 Кут між прямими. Суміжні і вертикальні кути.................................. 32
1.11 Перпендикулярні і паралельні прямі................................................. 33
1.12 Ознаки паралельності прямих........................................................... 36
1.13 Перпендикуляр і похила.................................................................... 39
1.14 Про логічну будову геометрії............................................................ 41
Розділ 2. Початкові відомості про плоскі фігури. Трикутники........................... 45
2.5 Види трикутників за кутами............................................................... 55
2.6 Медіани трикутника. Читання зображень........................................... 58
2.7 Бісектриси трикутника........................................................................ 60
2.9 Властивості кутів трикутника............................................................. 61
2.10 Зовнішній кут трикутника................................................................. 63
2.11 Види трикутників за сторонами........................................................ 65
2.12 Властивості рівнобедреного трикутника........................................... 67
2.13 Залежність між сторонами і кутами трикутника............................... 69
2.14 Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між .
2.15 Друга ознака рівності трикутників (за стороною і прилеглими ...........
2.16 Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)................ 73
2.17 Ознаки рівності прямокутного трикутника....................................... 74
3.1 Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична...................................... 77
3.2 Взаємне розміщення двох кіл.............................................................. 80
3.4 Геометричні місця точок (ГМТ).......................................................... 86
3.5 Побудова серединного перпендикуляра.............................................. 88
3.6 Побудова перпендикулярної прямої.................................................... 90
3.7 Побудова паралельної прямої............................................................. 92
3.8 Побудови, пов’язані з колом............................................................... 93
3.9 Побудови, пов’язані з кутом................................................................ 95
3.10 Метод ГМТ при розв’язуванні задач на побудову............................. 97
3.11 Коло, описане навколо трикутника................................................... 99
3.12 Коло, вписане у трикутник.............................................................. 101
3.13 Зовні вписане коло у трикутник...................................................... 103
4.1 Чотирикутник. Властивості кутів чотирикутника............................. 104
4.7 Центральний кут. Кутова міра дуги.................................................. 124
4.9 Побудова ГМТ, з яких відрізок видно під заданим кутом................. 128
4.10 Вписані чотирикутники.................................................................. 130
4.11 Описані чотирикутники.................................................................. 132
Розділ 5. Пропорційні відрізки. Подібність фігур............................................ 137
5.2 Середня лінія трикутника і трапеції.................................................. 138
5.3 Відношення відрізків. Пропорційні відрізки.................................... 140
5.4 Подібність трикутників. Ознаки подібності трикутників................. 142
5.5 Узагальнена теорема Фалеса............................................................. 144
5.6 Пропорційні відрізки на паралельних прямих.................................. 145
5.7 Властивості медіан і бісектрис трикутника...................................... 146
5.8 Пропорційні відрізки у колі.............................................................. 147
5.9 Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику. Теорема ....
6.1 Поняття про тригонометричні функції............................................. 151
6.2 Знаходження значень тригонометричних функцій............................ 153
6.3 Значення тригонометричних функцій базових кутів........................ 154
6.4 Властивості тригонометричних функцій.......................................... 156
6.5 Розв’язування прямокутних трикутників з використанням ...............
6.6 Тригонометричні функції довільних кутів........................................ 158
7.2 Площа прямокутника........................................................................ 164
7.3 Формули площі паралелограма......................................................... 165
7.4 Формули площ трикутника і трапеції............................................... 167
7.5 Кілька корисних формул для обчислення площі трикутника............ 169
7.6 Формули площ деяких многокутників.............................................. 171
8.1 Співнапрямлені промені. Напрям. Кут між напрямами.................... 173
8.3 Відкладання вектора від точки. Кут між векторами.......................... 177
8.4 Додавання і віднімання векторів....................................................... 179
8.5 Множення вектора на число.............................................................. 183
8.6 Закони множення вектора на число................................................... 185
8.7 Розклад вектора за базисом............................................................... 186
8.8 Скалярний добуток векторів............................................................. 187
8.10 Наслідки із теореми косинусів........................................................ 191
8.11 Координатна форма скалярного добутку......................................... 192
8.12 Координати середини відрізка......................................................... 193
9.1 Сума внутрішніх і зовнішніх кутів многокутника............................ 197
9.2 Многокутник, вписаний у коло, і описаний навколо кола................ 198
9.3 Правильні многокутники.................................................................. 199
9.5 Площа круга і сектора....................................................................... 203
10.1 Поняття про геометричні перетворення.......................................... 205
10.3 Центральна симетрія....................................................................... 212
10.4 Паралельне перенесення................................................................. 216
10.5 Поворот навколо точки.................................................................... 218
10.6 Композиція осьових симетрій......................................................... 220
10.7 Гомотетія. Подібні фігури............................................................... 223
10.8 Властивості гомотетії...................................................................... 226
10.9 Властивості подібних фігур............................................................ 229
10.10 Площі подібних фігур................................................................... 230
10.11 Розв’язування задач на побудову методом геометричних ...................
Передмова
Серед основних пріоритетів стратегічного плану діяльності МОН до 2027 передбачена цифровізація освітнього процесу, що має докорінно змінити освітній процес, перетворити здобувачів освіти зі «споживачів знань» у дослідників, які здатні самостійно відкривати знання. Одним із ефективних засобів, що сприяють досягненню поставлених цілей може стати міжнародний проєкт з відкритим кодом GeoGebra. Це середовище динамічної математики із широкими функціональними можливостями та україномовним інтерфейсом. Воно забезпечує візуалізацію навчальної інформації, комп'ютерне моделювання досліджуваних об'єктів, сприяє розвитку конструктивно-геометричної діяльності учнів, навичок побудови математичних моделей та дослідницьких умінь, дозволяє організувати «машинний експеримент» для аналізу та дослідження математичних закономірностей чи властивостей об’єктів, полегшує сприйняття та засвоєння учнями нового матеріалу.
Завдяки програмному середовищу з’являється можливість доповнити класичну евклідову геометрію моделюванням і кінематикою. Створюються умови, за яких здобувачі освіти мають можливість самостійно виявляти нові властивості фігур, формулювати проблеми і розв’язувати їх, бути активними учасниками розвитку геометричної теорії. Водночас, таке навчальне середовище сприяє інтелектуальній кооперації, активній взаємодії вчителя і учнів, груповій та парній роботі школярів, використанню різних цифрових засобів для спілкування в позаурочний час. Зокрема, використання даного середовища практично повністю вирішує проблему викладання математики в умовах дистанційного навчання. Динамічні моделі дозволяють якісно візуалізувати усі геометричні фігури та пов’язані з ними властивості, факти та теореми як у синхронному, так і асинхронному режимах.
Посібник може бути використаний вчителем:
- для самоосвіти з метою освоєння інтерфейсу GeoGebra; оволодіння технологією побудови і дослідження динамічних моделей; проведення уроків з використанням комп’ютерної підтримки;
- як доповнення до обраного підручника з метою формування навичок дослідження динамічних моделей, які можна завантажити за посиланнями, поданими в посібнику і досліджувати їх за методологією, описаною у ньому;
- для організації позакласної роботи з метою розвитку математичної компетентності, формування навичок побудови і дослідження динамічних моделей за допомогою освоєння інтерфейсу GeoGebra.
Крім того учні можуть самостійно працювати з посібником, що дозволить їм освоїти середовище GeoGebra, оволодіти навичками проведення машинного експерименту, поглибити знання із геометрії, готуватися до занять та складання тестів.
Для роботи можна скористатися веб-версією або встановити програму GeoGebra 6 на своєму комп’ютері чи мобільному додатку. Після завантаження програми, появиться наступне вікно:
Для початку можна закрити віртуальну клавіатуру. Також бажано виконати початкові налаштування. Для цього потрібно відкрити Системне меню, у правому верхньому куті вікна, обрати Вид і вибрати потрібні панелі, наприклад Алгебра, Полотно і Рядок вводу.
Крім того, у меню Налаштування стилю, яке знаходиться під системним меню, вибрати пункт Налаштування і у закладці Сітка вибрати Основні лінії сітки. Якщо хочемо, щоб розмір сітки, регулювався кільцем миші, то варто задати Відстань 1 по обох осях.
Щоб усі налаштування збереглися, знову відкриваємо Системне меню - Налаштування - Зберегти налаштування.
7 клас
Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості
1.1 Точка і координати
Найпростішою фігурою у геометрії є точка. Точка вказує (фіксує) місце на площині або у просторі. Моделлю площини є робоча область (полотно) вікна GeoGebra. Це вікно моделює деяку плоску поверхню: аркуша паперу, поверхню стола, підлоги тощо. Щоб легше було зафіксувати місце на цій площині, на ній задана система координат: горизонтальна і вертикальна прямі, які називаються координатними осями. На координатних осях задані шкали, початком відліку яких є місце, де перетинаються координатні осі. Надалі будемо говорити «точка перетину координатних осей». За допомогою шкали можна вказати скільки кроків вправо або вліво, вгору чи вниз потрібно зробити від початку відліку, щоб попасти у потрібне місце площини. Надалі будемо говорити «у потрібну точку». Кроки вправо та вгору позначені додатними числами, а вліво та вниз – від’ємними. Наприклад, якщо у рядок вводу вписати текст (5,2)[1] і натиснути клавішу Enter, то на полотні відобразиться точка (Рис.1.1):
Рис.1.1 Зображення точки А з координатами (5;2)
Як видно, точка зображена у формі кружечка, що нагадує слід, який лишається на папері після дотику олівця. Якщо клацнути по зображенню точки правою клавішею миші і у контекстному меню вибрати пункт Налаштування, то відкриється вікно властивостей точки (Рис.1.2).
|
|
|
|
Рис.1.2 Властивості точки
Як бачимо на Рис.1.2, у закладці Стиль можна змінювати форму точки та її розміри. За допомогою інструментів закладки Колір можна змінювати її колір. Однак, у геометрії ці властивості не враховуються, тобто від цих властивостей абстрагуються. Вважається, що точка не має розмірів, форми і кольору. Основне призначення точки – фіксувати місце на площині або у просторі. У закладці Основні, точка задається своїми координатами. Для зручності точки також позначають великими буквами латинського алфавіту. Якщо ми хочемо, щоб у GeoGebra відображалися позначення точки, то відкриваємо меню Налаштування/Позначення/Показувати (Рис.1.3).
Після цього, будуть відображатися позначення всіх побудованих об’єктів. Якщо ми хочемо, щоб відображалися позначення лише точок, то вибираємо пункт Тільки для точок. Щоб відмінити позначення об’єктів, вибираємо Не показувати.
Рис.1.3 Меню Налаштування
Точку вибрати можна також за допомогою інструменту Точка. Для цього натискаємо відповідну кнопку у меню інструментів і клацаємо в потрібному місці на полотні. Відразу у цьому місці появиться нова точка (Рис.1.4).
Рис.1.4 Побудова точки 𝐵 за допомогою інструменту Точка
Якщо панель Алгебра буде відкритою, як показано на Рис.1.4, то на ній будуть відображені координати побудованої точки 𝐵. Як бачимо, координатами точки не завжди є цілі числа.
Зауважимо, що на панелі Алгебра відображаються усі побудовані об’єкти у GeoGebra. За допомогою цієї панелі можна управляти відповідними об’єктами. Насамперед, ми бачимо, як система позначає кожен об’єкт. Тут є можливість приховувати або відображати об’єкти, клацаючи по кружечку, розміщеному перед позначенням об’єкта. Можна відкрити контекстне меню і змінювати значення властивостей кожного об’єкта. Але цей самий результат можна одержати, якщо відкрити контекстне меню безпосередньо клацнувши правою клавішею миші по об’єкту на полотні. Тому панель Алгебра можна закрити, забравши прапорець у відповідному пункті меню (Рис. 1.5).
Рис.1.5 Відображення або приховання панелі Алгебра
За допомогою інструменту Переміщення, що має вигляд стрілки 
можна перетягувати точки по площині (по полотну). Якщо нам потрібно будувати точки з цілочисельними координатами, то зручно відобразити сітку. Якщо координати не цікавлять, то приховуємо сітку і координатні осі. Іноді зручно, щоб полотно нагадувало аркуш паперу у клітинку. У цьому випадку координатні осі приховують, а сітку відображають. Усі ці дії викону.мо, використовуючи інструменти меню Налаштування стилю (Рис.1.5).
1.2 Пряма. Властивості прямої
Вслід за точкою у геометрії розглядають ще одну основну фігуру – пряму. Для побудови прямої у GeoGebra використовують відповідний інструмент.
Зверніть увагу, що у правому нижньому кутику кожної кнопки на панелі інструментів є маленька кнопка у формі трикутної стрілки. Якщо кнопку натиснути, то ця стрілка стає червоною. При натисканні на неї, відкривається меню, з якого вибираємо інструмент для побудови потрібної фігури. Для побудови прямої вибираємо інструмент Пряма (Рис.1.6).
Рис.1.6 Інструменти для зображення прямої, відрізка, променя
Якщо притримати вказівник на будь-якому інструменті, то відобразиться інтерактивна підказка, як ним користуватися Рис.1.6.
Як бачимо, пряма однозначно задається двома точками. Щоб її побудувати, досить клацнути по двох точках, які уже зображені, або у двох місцях (точках) полотна.
Так само, як і для точки, можна відкрити вікно властивостей прямої Рис.1.7.
|
|
|
|
Рис.1.7 Властивості прямої
Як бачимо з Рис.1.8, у GeoGebra можна змінювати товщину, стиль і колір лінії. Система задає пряму за допомогою лінійного рівняння, яке має вигляд 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐.
Однак, у геометрії вважають, що пряма не має товщини і кольору та однозначно задається двома точками.
Зазвичай пряму, яка проходить через точки 𝐴 та 𝐵, позначають 𝐴𝐵. Іноді також пряму позначають однією малою буквою латинського алфавіту. Наприклад, на панелі Алгебра (Рис.1.8) бачимо, що у GeoGebra пряма 𝐴𝐵 позначена буквою 𝑓 і задана рівнянням −2𝑥 + 5𝑦 = 3.
Рис.1.8 Взаємне розміщення прямої і точок
Виберемо тепер інструмент Точка і клацнемо по прямій. Одержимо точку 𝐶, яка належить прямій. Якщо клацнути по площині за межами прямої, то одержимо точку 𝐷, яка не належить прямій. У геометрії використовують спеціальну символіку для позначення взаємного розміщення точок і прямих. У нашому випадку: 𝐶 𝐴𝐵; 𝐷 ∉ 𝐴𝐵. Ці записи також можна читати інакше: «Пряма 𝐴𝐵 проходить через точку 𝐶» і «Пряма 𝐴𝐵 не проходить через точку
𝐷».
Якщо вибрати інструмент Переміщення і «зловити» точку 𝐶, то її можна переміщувати лише вздовж прямої. Якщо дійдемо до краю вікна, то можна за допомогою коліщатка миші зменшити масштаб і побачити, що пряма продовжується у обидва боки. В геометрії вважається, що пряма є нескінченною.
Запам’ятайте! Пряма не має ні початку, ні кінця.
Якщо «зловити» точку 𝐷, то її можна переміщувати по всій площині. Зокрема, точку 𝐷 можна помістити на пряму. Однак GeoGebra все одно буде вважати, що точка 𝐷 не належить прямій, оскільки її, на відміну від точки 𝐶, можна забрати з прямої 𝐴𝐵. У геометрії такий випадок не розглядають. Тут чітко розрізняють випадки, коли точка належить прямій і коли точка прямій не належить.
Запам’ятайте! Яка би не була пряма, існують точки, які належать прямій і точки, які їй не належать.
У випадку, показаному на Рис.1.8, точка 𝐶 лежить між точками 𝐴 і 𝐵. Перетягнемо її до точки 𝐴. Спочатку точка 𝐶 все одно буде розміщена між точками 𝐴 і 𝐵, але настане момент, коли вона суміститься з точкою 𝐴. Якщо продовжувати перетягувати точку 𝐶 у тому ж напрямку, то тепер уже точка 𝐴 буде розміщена між точками 𝐶 і 𝐵, або ще можна сказати, що точки 𝐴 і 𝐵 лежать по один бік від точки 𝐶.
Для проведення експериментів можна завантажити готову модель за покликанням: https://www.geogebra.org/m/s8mw4654 або скористатися Qr-кодом.
Запам’ятайте! Із трьох різних точок прямої одна завжди лежить між двома іншими.
1.3 Відрізок. Промінь
Побудуємо пряму 𝐴𝐵. Точки 𝐴 та 𝐵 обмежують частину прямої, яка називається відрізком. Відрізок позначають так само, як і пряму, 𝐴𝐵. Точки 𝐴 та 𝐵 називають кінцями відрізка. У GeoGebra є інструмент, який дозволяє будувати відрізок. Виберемо цей інструмент і клацнемо по точках 𝐴 та 𝐵. Щоб побачити побудований відрізок, приховаємо пряму 𝐴𝐵 (Рис.1.9).
Рис.1.9 Відрізок АВ
Виберемо інструмент Точка і клацнемо по відрізку. Одержимо точку 𝐶, яка лежить між точками 𝐴 та 𝐵. «Зловивши» точку 𝐶 бачимо, що її можна перетягувати лише в межах відрізка 𝐴𝐵. При цьому точка 𝐶 весь час буде знаходитись між точками 𝐴 та 𝐵.
Запам’ятайте! Відрізок утворюється із двох точок – кінців відрізка та всіх точок, які лежать між цими точками.
Приховаємо тепер відрізок 𝐴𝐵 і точки 𝐵 та 𝐶. Після цього відобразимо пряму 𝐴𝐵, яка на панелі Алгебра відображена і надалі буде відображатися у вигляді рівнянь, зокрема 𝑓: − 2𝑥 + 5𝑦 = 3 (Рис.1.10).
Рис.1.10 Поділ прямої на два промені
Тепер точка 𝐴 поділяє пряму на дві частини, які називаються променями. У GeoGebra є інструмент Промінь, який дозволяє будувати цю фігуру. Виберемо цей інструмент і клацнемо спочатку по точці 𝐴, а потім по будь-якій точці 𝐷 прямої 𝐴𝐵. Одержимо промінь 𝐴𝐷. Щоб його побачити, приховаємо пряму 𝐴𝐵. Тепер побачимо промінь 𝐴𝐷, у якого точка 𝐴 є початком (Рис.1.11).
Рис.1.11 Промінь
Точку 𝐷 можна віддаляти від точки 𝐴 якзавгодно далеко.
Запам’ятайте! Промінь має початок, але не має кінця.
Якщо точку 𝐷 навпаки приближати до точки 𝐴, то після того, як ці точки сумістяться і точка 𝐷 почне знову віддалятися від точки 𝐴 у інший бік, відобразиться інший промінь, протилежний до попереднього.
За допомогою інструмента Промінь можна відразу побудувати два промені 𝐴𝐷 і 𝐴𝐸 на даній прямій. Для цього краще промінь 𝐴𝐷 приховати і знову відобразити пряму AB. Тепер на прямій вибрати ще одну точку E і побудувати промінь AE. Після цього знову приховуємо пряму і відображаємо обидва промені одночасно. Ми можемо відображати промені по черзі. Так само можемо переміщувати, як точку 𝐴, так і точки 𝐷 та 𝐸. Цікаво, що якщо точка 𝐴 буде знаходитися між точками 𝐷 та 𝐸, то одержимо протилежні промені, які утворюють пряму. Такі промені називаються протилежними або доповняльними.
Запам’ятайте! Промені зі спільним початком, що утворюють пряму, називаються доповняльними або протилежними.
Якщо точки 𝐷 та 𝐸 будуть розташовані по один бік від точки 𝐴, то промені 𝐴𝐷 і 𝐴𝐸 співпадуть.
Готову модель можна завантажити тут:
https://www.geogebra.org/m/pr4m8rbw
Побудуємо тепер пряму 𝐴𝐵 і деякий відрізок 𝐶𝐷 за межами цієї прямої. Бачимо, що пряма поділяє площину на дві частини – півплощини. Розмістимо точки 𝐶 і 𝐷 на одній півплощині. Тоді відрізок 𝐶𝐷 не перетинає пряму. Перетягнемо один із кінців відрізка
𝐶𝐷 так, щоб він опинився у іншій півплощині. Тоді відрізок 𝐶𝐷 перетне пряму 𝐴𝐵 (Рис.1.12).
Рис.1.12 Розбиття площини на півплощини
У GeoGebra є інструмент, який дозволяє побудувати точку перетину двох ліній. Для цього потрібно вибрати інструмент Перетин і клацнути по кожній з цих ліній або у точці їх перетину. Як результат, відобразиться ця точка.
1.4 Кут. Ламана
Виберемо інструмент Промінь і побудуємо два промені 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶. Ці промені утворили нову фігуру, яка називається кутом (Рис.1.13).
Кут позначають спеціальним знаком . Якщо з одної вершини виходять лише два промені, то для позначення кута досить вказати цю вершину. Наприклад, на Рис.1.14 зображено 𝐴. Якщо з однієї вершини виходить кілька променів (Рис.1.15), то для позначення кута необхідно вказати його сторони. На Рис.1.15 зображено три кути: 𝐵𝐴𝐶,𝐵𝐴𝐷,𝐶𝐴𝐷. Ці самі кути можна позначити інакше: 𝐶𝐴𝐵,𝐷𝐴𝐵,𝐷𝐴𝐶. Крім того, якщо промені позначені малими латинськими літерами, то кути, зображені на Рис.1.14, можна позначити і так: 𝑓𝑔,𝑓ℎ,𝑔ℎ.
Рис.1.14 Три кути
Кут розбиває площину на дві частини. Щоб розрізняти ці частини, з’єднаємо сторони кута будь-яким відрізком. Тоді та частина, якій належить цей відрізок, називається внутрішньою областю кута. На Рис.1.15 внутрішня область кута зафарбована.
Рис.1.15 Внутрішня область кута
На Рис.1.14 промінь 𝐴𝐶 належить внутрішній області 𝐵𝐴𝐷. Про такий промінь ще кажуть, що він проходить між сторонами кута і поділяє його на два кути 𝐵𝐴𝐶 і 𝐶𝐴𝐷. Це означає, що 𝐵𝐴𝐷 = 𝐵𝐴𝐶 +𝐶𝐴𝐷.
Вважається, що доповняльні промені теж утворюють кут, цей кут називають розгорнутим (Рис.1.16)
Рис.1.16 Розгорнутий A
Внутрішньою областю розгорнутого кута вважається будь-яка із півплощин, утворених прямою, що задається сторонами розгорнутого кута.
Аналогічно можна утворювати фігури із відрізків. Наприклад, виберемо інструмент відрізок і послідовно побудуємо кілька відрізків 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐸, 𝐸𝐹 (Рис.1.17).
Рис.1.17 Ламана
Одержана фігура називається ламаною. Кожен відрізок називається ланкою ламаної. Кожна точка – вершиною ламаної.
Форма ламаної залежить від кількості ланок і від розташування вершин. Наприклад, на Рис.1.17 зображена незамкнута ламана. Крім того, тут ланки ламаної не перетинаються, тому говорять, що ламана не має самоперетинів. Якщо вершини 𝐴 і 𝐹 сумістити, то одержимо замкнену ламану. Зауважимо, що вказані вершини можна сумістити перетягнувши одну із точок до іншої, а можна у командний рядок ввести команду F=A і натиснути клавішу Enter. Після цього точка 𝐹 переміститься до точки 𝐴 (Рис.1.18). При цьому окремі ланки ламаної перетнуться. Тобто ми одержали замкнену ламану, що має точки самоперетину. Якщо потрібно відобразити ці точки на рисунку, то використовуємо інструмент Перетин.
Рис.1.18 Замкнена ламана
1.5 Вимірювання відрізків. Відстань. Властивості відстані
Основною властивістю відрізка є його довжина. Довжина – це величина.
Для її вимірювання потрібна мірка – відрізок, довжина якого дорівнює одиниці.
Відрізки, зображені у зошиті вимірюють за допомогою лінійки. Одиницями вимірювання таких відрізків можуть бути міліметри, сантиметри, дециметри. У GeoGebra є інструмент, який дозволяє виміряти довжину відрізка та інструмент, який дозволяє побудувати відрізок заданої довжини. Побудуємо спочатку одиничний відрізок. Для цього вибираємо інструмент Відрізок заданої довжини. Клацаємо у точці, яка є першим кінцем відрізка і у відповідному діалоговому вікні вводимо з клавіатури цифру 1 (Рис.1.19).
Рис.1.19 Побудова одиничного відрізка
Після натискання кнопки Ок, появиться одиничний відрізок, який у
GeoGebra є еталоном вимірювання довжини. Зауважимо, що якщо при налаштуваннях полотна у вкладці Сітка задати Відстань 1 по «х» та по «у» (Рис.1.20), то сітка буде одиничною. Тобто довжина сторони кожної кліточки буде дорівнювати одиниці.
Рис.1.20 Налаштування сітки
Для проведення експериментів бажано мати можливість не лише будувати відрізки заданої довжини, але і змінювати цю довжину. Для цього можна скористатися інструментом Повзунок. За допомогою цього інструмента створюють змінні, значення яких можна змінювати у заданому діапазоні. Виберемо цей інструмент і клацнемо по полотні (Рис.1.21).
Рис.1.21 Побудова повзунків
У діалогове вікно введемо мінімальне і максимальне значення змінної. Оскільки довжина відрізка може бути лише додатною, то введемо числа 1 і 50 у відповідні поля.
Після побудови повзунка новостворена змінна набуває значення 1. Проте це значення можна змінювати перетягуючи повзунок. Встановимо значення змінної 𝑎, наприклад, 8 і побудуємо відрізок 𝐴𝐵 = 𝑎 (Рис.1.22). (Зверніть увагу, що довжину відрізка позначають так само, як і сам відрізок).
Рис.1.22 Відрізок, довжину якого можна змінювати повзунком
Для побудови знову скористаємося інструментом Відрізок заданої довжини. Але тепер у поле Довжина відповідного діалогового вікна вводимо ім’я змінної. У нашому випадку – а.
При зміні значення змінної 𝑎, на екрані відображається відрізок відповідної довжини.
Запам’ятайте! Яке би не було додатне число, існує відрізок, довжина якого дорівнює даному числу.
Тепер побудуємо будь-яку точку 𝐶, яка належить даному відрізку (Рис.1.23). Виберемо інструмент Відстань або довжина і виміряємо довжину відрізків 𝐴𝐶 і 𝐶𝐵. Для цього клацнемо по кінцях кожного з відрізків, на екрані відобразяться написи, на яких вказано довжини цих відрізків. Змінюючи положення точки С або довжину відрізка 𝐴𝐵 легко переконатися, що 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 =
𝐴𝐵.
Рис.1.23 Додавання відрізків
Щоб не виконувати додавання відображених чисел, можна доручити це GeoGebra. Для цього в командний рядок вводимо текст АС+СВ і натискаємо Enter. (Звернемо увагу, що перед введенням тексту у командний рядок, необхідно включити режим літер латинського алфавіту).
Відразу на панелі Алгебра появиться нове число 𝑏, значення якого дорівнює сумі цих відстаней. Якщо ми хочемо, щоб це число відображалося на екрані, достатньо скористатися інструментом Текст. У текстове поле (Рис.1.23) вводимо текст АС+СВ=, а об’єкт 𝑏 вибираємо із списку Додатково, у закладці, позначеній знаком GeoGebra. Після натискання клавіші Enter або натискання кнопки ОК, на екрані появиться текст АС+СВ=8.
Рис. 1.23 Створення динамічного тексту
Запам’ятайте! Кожен відрізок має довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які розбиває відрізок будь-яка точка.
Готову модель можна завантажити за покликанням: https://www.geogebra.org/m/pguabfkv або скористатися Qr-кодом.
Серед точок, що поділяють відрізок, особливо слід виділити ту, що поділяє відрізок на дві рівні частини. Її ще називають серединою відрізка. У GeoGebra є інструмент Середина або центр. Якщо вибрати цей інструмент і клацнути по кінцях відрізка, то одержимо точку, що поділяє відрізок навпіл.
1.6 Порівняння відрізків. Відкладання відрізка рівного даному
Створимо два повзунки 𝑎 та 𝑏. Побудуємо відрізки завдовжки 𝑎 та 𝑏 (Рис.1.25).
Рис.1.25 Відрізки заданої довжини
Як бачимо, за стандартними налаштуваннями ці відрізки будуть горизонтальними.
Побудуємо деякий промінь. Відкладемо обидва відрізки на промені від його початку. Для відкладання відрізка заданої довжини на промені, потрібно «зловити» його за перший кінець і перенести на початок цього променя, а тоді «зловити» за інший кінець і перетягнути його на промінь. Встановимо значення а<b. Переконаємося, що другий кінець меншого відрізка належить більшому відрізку (Рис.1.26). Змінимо значення змінної а так, щоб а=b. Тоді побачимо, що кінці цих відрізків співпадають.
Рис.1.26 Відкладання відрізка на промені
Запам’ятайте! Від початку променя завжди можна відкласти лише один відрізок, рівний даному.
1.7 Вимірювання кутів
Побудуємо кут, зі сторонами 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 (Рис.1.27).
Рис.1.27 Вимірювання кутів інструментом Кут
«Зловимо» точку 𝐶 і будемо нею рухати. При цьому величина кута буде змінюватися. Отже, кут, як і відрізок, має свою величину. Її називають кутовою мірою. Одиницею вимірювання кута є градус. Для вимірювання кутів у GeoGebra використовують інструмент Кут. Вибравши цей інструмент, спочатку клацаємо по стороні 𝐴𝐵, а потім по 𝐴𝐶. Відразу появиться дуга і напис, на якому вказана величина кута (Рис.1.27).
Якщо сумістити промені, перетягуючи точку 𝐵 або 𝐶 так, щоб вони співпали, то одержаний кут дорівнюватиме 0. Про це свідчить напис = 0° на панелі Алгебра (Рис.1.28).
Рис.1.28 Кут 0
Відмінимо попередню дію і проведемо пряму 𝐴𝐵. Виберемо на ній точку 𝐷. Сумістимо тепер точку 𝐶 з точкою 𝐷. Одержимо розгорнутий кут. Як бачимо, розгорнутий кут має 180 (Рис.1.29). Отже, щоб одержати кут в 1, потрібно розгорнутий кут поділити на 180 рівних частин.
Рис.1.29 Розгорнутий кут
Побудуємо кут 𝐵𝐴𝐶 і проведемо будь-який промінь, що проходить між його сторонами. Цей промінь поділить кут на два кути, сума яких дорівнює даному куту (Рис.1.30).
Рис.1.30 Додавання кутів
Виміряємо величину кожного із цих кутів і переконаємось, що градусна міра цілого кута дорівнює сумі градусних мір його частин. Переконатись у цьому можна змінюючи ці кути. Щоб не виконувати обчислення, можна створити модель, аналогічну до тої, яку ми використовували при вимірювані відрізків, або скористатися готовою заздалегідь створеною моделлю:
https://www.geogebra.org/m/erudu6nv
Запам’ятайте! Промінь, який проходить між сторонами кута, поділяє його на два кути, сума градусних мір яких дорівнює градусній мірі цілого кута.
Серед променів, що проходять між сторонами кута, особливо виділяють промінь, який поділяє кут на два рівні кути. Такий промінь називається бісектрисою.
Запам’ятайте! Промінь, який проходить між сторонами кута і поділяє його на два рівні кути, називається бісектрисою.
У GeoGebra є інструмент Бісектриса кута. Якщо вибрати цей інструмент і клацнути послідовно по точці на одній стороні, вершині кута і точці на іншій стороні, то появиться пряма, яка вміщує бісектрису. Щоб побудувати лише бісектрису, треба на цій прямій вибрати точку, яка належить внутрішній області кута, і провести промінь з початком у вершині кута, який проходить через цю точку. Після цього пряму треба приховати.
Для вимірювання кутів, зображених на папері, використовують транспортир (Рис.1.31).
Рис.1.31 Транспортир
Транспортир – креслярський інструмент, що має форму півкола, поділеного на 180 рівних частин. На ньому нанесені дві шкали із градусними поділками від 0 до 180° у напрямку проти годинникової стрілки на зовнішній шкалі та за годинниковою стрілкою на внутрішній шкалі. На лінійці вказано центр півкола, де повинні розміщуватися вершини кутів.
Щоб виміряти кут, транспортир прикладають так, щоб вершина кута попала у центр півкола, а одна сторона кута проходила вздовж лінійки. Тоді на шкалі «читаємо» результат. При цьому слід користуватися тією шкалою, у якої нульова поділка співпадає з однією стороною кута (Рис.1.32). На цьому рисунку кут, зображений справа, визначається за зовнішньою шкалою, тому він має 70. Кут, зображений зліва, вимріємо за допомогою внутрішньої шкали, тому його величина 130.
Рис.1.32 Вимірювання кутів транспортиром
Щоб навчитися вимірювати кути транспортиром, потрібно накреслити кілька різних кутів у зошиті і виміряти їх. Крім того, можна скористатися динамічною моделлю: https://www.geogebra.org/m/kr7wvrz9
У цій моделі транспортир можна переносити у потрібне місце. Точки внизу транспортира (Рис.1.33)
Рис.1.33 Модель «Транспортир»
1.8 Побудова кута заданої величини. Відкладання кута від променя
Щоб побудувати кут заданої величини, треба скористатися відповідним інструментом GeoGebra. Вибираємо даний інструмент, клацаємо по двох точках і у полі введення вписуємо величину потрібного кута (Рис.1.34а)
а б
Рис.1.34 Побудова кута заданої величини
Після натискання кнопки Ok появиться третя точка і напис із позначенням кута та його величини у вершині майбутнього кута (Рис.1.34б). Залишається побудувати відповідні промені.
Відкладемо кути від заданого променя. Побудуємо два повзунки 𝛼 і 𝛽 для визначення величини кутів. Для цього, при створенні повзунків, виберемо перемикач Кут (Рис.1.35)
Рис.1.35 Створення повзунка для кута
Відкладемо кути 𝛼 і 𝛽 від заданого променя. Для цього клацаємо по будьякій точці променя, а потім по його початку. Для побудови першого кута, у поле введення вводимо 𝛼, а для побудови другого – 𝛽. Зауважимо, що якщо при створенні першого кута встановити перемикач проти годинникової стрілки (Рис.1.34а), а при створенні другого, за годинниковою стрілкою, то кути відкладуться у різних півплощинах відносно прямої, що визначається даним променем. Якщо, при створенні обох кутів, перемикач буде у однаковому положенні, то обидва кути будуть відкладені у одній півплощині.
Відкладемо обидва кути у одній півплощині і будемо змінювати значення 𝛼 і 𝛽. Легко переконатися, що сторона меншого кута належить внутрішній області більшого. Якщо 𝛼 = 𝛽, то їхні другі сторони співпадають.
Запам’ятайте! Від даного променя, у даному напрямку можна відкласти лише один кут, заданої величини або рівний заданому куту.
1.9 Обертання променя. Напрям обертання
Створимо повзунок 𝛼 і відкладемо кут заданої величини від даного променя. Прослідкуємо, щоб при створенні кута, перемикач знаходився у положенні проти годинникової стрілки. Встановимо значення 𝛼 = 0°. Тоді сторони кута співпадуть. Тепер, будемо збільшувати значення 𝛼. При цьому друга сторона кута буде обертатися навколо початку у напрямку проти годинникової стрілки. В результаті кут буде збільшуватися. Коли обидва промені утворять пряму (перетворяться у доповняльні), то одержимо найбільший кут – розгорнутий. Як ми уже знаємо, його величина дорівнює 180. Якщо продовжувати збільшувати значення 𝛼, то промінь продовжить обертання, але кут уже буде зменшуватися. Тепер напис при вершині кута відображає не величину кута, а кут повороту променя. Зокрема, якщо 𝛼 набуде значення рівного 360, то промені знову співпадуть. Адже, зробивши повний оберт, промінь опише два розгорнуті кути.
Якщо, при відкладанні кута від променя, встановити перемикач за годинниковою стрілкою, то кут відкладеться у протилежній півплощині. Тепер, при збільшенні значення 𝛼 промінь буде обертатися у напрямку за годинниковою стрілкою.
При створенні повзунка для кута, за стандартними налаштуваннями встановлюється діапазон від 0 до 360. Але ми можемо змінити його. Наприклад, якщо задати діапазон від 0 до 3600, то збільшуючи значення 𝛼 від 0 до 3600, промінь зробить 10 обертів. Однак, написи при вершині кута будуть відображати кут повороту в межах лише одного оберту (Рис.1.36).
Рис.1.36 Обертання променя
Якщо, навпаки, зменшувати значення 𝛼, промінь буде обертатися у протилежному напрямку.
Напрям повороту проти годинникової стрілки вважається додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємними. Промінь може здійснювати скільки завгодно обертів у обох напрямках. Тому кутом повороту може бути будь-яке дійсне число градусів. Відповідно, можна створювати повзунки для кутів з довільним діапазоном.
Водночас пригадаємо, що величина кута визначається в межах від 0 до 180.
Повернемося знову до інструмента Кут. Побудуємо 𝐵𝐴𝐶 і клацнемо спочатку по стороні 𝐴𝐶 а потім по 𝐴𝐵 (Рис.1.37).
Рис.1.37 Вимірювання кута повороту
Як бачимо, у результаті відобразилася не величина даного кута, а величина повороту від променя 𝐴𝐶 до 𝐴𝐵. Тобто даний інструмент має більш широке призначення. Він дозволяє вимірювати не лише кути, але й повороти. Тому, щоб виміряти кут, треба спочатку клацнути по стороні 𝐴𝐵, а потім по 𝐴𝐶. У цьому випадку кут повороту збігається з величиною 𝐴. Оскільки, при обертанні променя 𝐴𝐵 у додатному напрямку до променя 𝐴𝐶 він опише внутрішню область кута 𝐵𝐴𝐶.
1.10 Кут між прямими. Суміжні і вертикальні кути
Прямі, що перетинаються, утворюють 4 кути. Якщо розглядати їх парами, то бачимо, що є кути-«сусіди», які мають спільну сторону. Такі кути називаються суміжними.
Запам’ятайте! Кути, утворені при перетині двох прямих, які мають спільну сторону, називаються суміжними.
Рис.1.38 Кути, утворені при перетині двох прямих
На Рис. 1.38 суміжними є пари кутів: 𝛼 і 𝛽; 𝛼 і 𝛿; 𝛿 і 𝛾; 𝛾 і 𝛽.
Звернемо увагу, що у суміжних кутів одна сторона спільна, а дві інші є доповняльними променями.
Крім суміжних кутів, при перетині прямих, утворюються кути, які розташовані один напроти одного. Такі кути називаються вертикальними.
Запам’ятайте! Кути, утворені при перетині двох прямих, які не мають спільної сторони, називаються вертикальними.
На Рис.1.38 вертикальними є пари: 𝛼 і 𝛾 та 𝛽 і 𝛿.
Зауважимо, що у вертикальних кутів сторони одного є доповняльними променями до сторін іншого.
Оскільки два суміжні кути утворюють розгорнутий, то сума суміжних кутів дорівнює 180.
За допомогою інструмента Кут легко переконатися, що вертикальні кути рівні.
Запам’ятайте! Сума суміжних кутів дорівнює 180. Вертикальні кути рівні.
Отже, при перетині прямих утворюються дві пари вертикальних кутів. Зазвичай, градусна міра одного кута з кожної пари є меншою за 90. Такі кути називаються гострими. А градусна міра іншого кута з пари – більша за 90. Такі кути називаються тупими. Кутом між прямими вважають величину меншого кута.
Запам’ятайте! Кутом, між прямими називають величину меншого кута, утвореного цими прямими. Кут, менший за 90, називається гострим, а кут, більший за 90, називається тупим.
1.11 Перпендикулярні і паралельні прямі
Якщо прямі перетинаються так, що одержимо 4 рівні кути, то кожен утворений кут буде по 90. Такий кут називається прямим, а прямі, які перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними.
Запам’ятайте! Кут, міра якого 90, називається прямим. Прямі, які перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними.
На папері перпендикулярні прямі будуємо за допомогою косинця. У GeoGebra є інструмент Перпендикулярна пряма, який дозволяє будувати перпендикулярні прямі. Для цього, спочатку клацаємо по точці, через яку має проходити ця пряма, а потім по прямій, до якої вона перпендикулярна.
Побудуємо пряму 𝐴𝐵 і точку 𝐶 поза нею. Через цю точку проведемо пряму 𝑔, перпендикулярну до прямої 𝐴𝐵. Проведемо ще одну пряму ℎ, перпендикулярну до прямої AB, яка проходить через точку 𝐴 (Рис.1.39).
Рис.1.39 Побудова перпендикулярних прямих до заданої прямої
Користуючись інструментом Перпендикулярна пряма, ми можемо через точку C провести ще одну пряму, перпендикулярну до даної прямої, але побачимо, що вона повністю суміститься із уже побудованою прямою. Аналогічний результат одержимо, якщо проведемо ще одну пряму, перпендикулярну до даної через точку 𝐴. Це означає, що через задану точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до даної прямої.
Запам’ятайте! Через задану точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до заданої прямої.
Звернемо увагу, що прямі 𝑔 і ℎ ніколи не перетинаються. Такі прямі називаються паралельними.
Запам’ятайте! Прямі, які ніколи не перетинаються, називаються
Ми не лише побудували паралельні прямі, але і показали, як це можна зробити за допомогою косинця. Цей спосіб побудови ґрунтується на зв’язку між паралельністю і перпендикулярністю прямих.
Запам’ятайте! Дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, паралельні між
Це твердження слугує однією із ознак паралельності прямих. Щоб довести, що прямі паралельні, досить вказати пряму, яка перпендикулярна до кожної з даних прямих.
У GeoGebra є інструмент для побудови прямої, паралельної до даної. Для використання цього інструмента, теж спочатку потрібно клацнути по точці, через яку має проходити пряма, а потім по прямій, до якої вона має бути паралельною.
Знову побудуємо пряму 𝐴𝐵 і точку 𝐶 поза нею. Проведемо через точку 𝐶 пряму 𝑔, паралельну до 𝐴𝐵 (Рис.1.40).
Рис.1.40 Побудова паралельної прямої
Ми так само можемо провести через точку 𝐶 ще одну пряму паралельну до 𝐴𝐵. Але вона також співпаде з прямою 𝑔. Це означає, що через задану точку проходить єдина пряма, паралельна даній.
Запам’ятайте! Через точку поза прямою можна провести лише одну пряму, паралельну даній.
Використаємо знову інструмент Перпендикулярна пряма і через точку 𝐶 проведемо пряму ℎ, перпендикулярну до прямої 𝑔 (Рис.1.41). Як бачимо, пряма ℎ, буде перпендикулярною і до прямої 𝐴𝐵. Щоб переконатися у цьому, побудуємо точку 𝐷 перетину прямих ℎ та 𝐴𝐵 і виміряємо кут 𝐶𝐷𝐵.
Рис.1.41 Побудова паралельної прямої
Таким чином, ми встановили ще одну властивість, яка пов’язує паралельність і перпендикулярність прямих.
Запам’ятайте! Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то і інша пряма теж перпендикулярна до цієї прямої.
Як бачимо, це твердження є оберненим до ознаки паралельності прямих. Воно, навпаки, дозволяє обґрунтувати перпендикулярність прямих.
У геометрії для позначення перпендикулярності і паралельності використовується спеціальна символіка. Символ ⊥ позначає перпендикулярність, а символ ∥ – паралельність. Наприклад запис 𝑎 ⊥ 𝑏 означає, що прямі 𝑎 та 𝑏 перпендикулярні. Паралельність прямих 𝑎 та 𝑏 записують: 𝑎 ∥ 𝑏.
1.12 Ознаки паралельності прямих
Побудуємо тепер дві довільні прямі і третю пряму, що перетинає кожну з цих прямих. Цю третю пряму називають січною. В результаті одержимо 8 кутів (Рис.1.42).
Пари цих кутів мають спеціальні назви:
1 і 6 та 4 і 7 називаються внутрішніми односторонніми;
1 і 7 та 4 і 6 називаються внутрішніми різносторонніми;
2 і 5 та 3 і 8 називаються зовнішніми односторонніми; 2 і 8 та 3 і 5 називаються зовнішніми різносторонніми; 1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8 називаються відповідними.
Рис.1.42 Перетин двох прямих січною
Побудуємо тепер паралельні прямі. Проведемо третю пряму, що перетинає одну з них (Рис.1.43). Як бачимо, ця третя пряма перетинає і іншу пряму. Спробуйте довести, що так буде завжди. Поміркуйте, чи може ця третя пряма бути теж паралельна до другої прямої?
Запам’ятайте! Пряма, яка перетинає одну з двох паралельних прямих,
Рис.1.43 Перетин паралельних прямих січною
За допомогою окоміру, або, використовуючи панель Алгебра, бачимо, що внутрішні різносторонні, зовнішні різносторонні та відповідні кути рівні, а сума внутрішніх односторонніх та зовнішніх односторонніх дорівнює 180.
Перевіримо, чи справедливі обернені твердження. Побудуємо дві прямі 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 (Рис.1.44). За допомогою інструмента Кут виміряємо величину 𝐵𝐴𝐶. На панелі Алгебра бачимо, що GeoGebra назвала цей кут . Тому, використовуючи інструмент Кут заданої величини, відкладемо від променя 𝐶𝐴 кут, рівний . При побудові кута, встановимо перемикач у положення за годинниковою стрілкою для того, щоб кути 𝐵𝐴𝐶 і 𝐴𝐶𝐴′ були розміщені у різних півплощинах відносно прямої 𝐴𝐶. За допомогою окоміру бачимо, що прямі 𝐴𝐵 і 𝐶𝐴′ паралельні. Це можна перевірити і засобами GeoGebra. Для цього через точку 𝐶 побудуємо пряму, паралельну до 𝐴𝐵. Бачимо, що на рисунку нічого не змінилося, але на панелі Алгебра появилася нова пряма 𝑝, яка співпала з прямою 𝐶𝐴′. Використовуючи властивості вертикальних і суміжних кутів, легко перевірити, що у цій ситуації зовнішні різносторонні та відповідні кути теж будуть рівними, а сума внутрішніх односторонніх та сума зовнішніх односторонніх дорівнює 180
Рис.1.44 Перевірка ознак паралельності прямих
Всі ці факти використовують для обґрунтування паралельності двох прямих, тому їх називають ознаками паралельності прямих.
На практиці часто користуються ще однією ознакою паралельності. Її теж легко відкрити за допомогою GeoGebra. Побудуємо довільну пряму 𝐴𝐵 та виберемо поза нею дві точки 𝐶 і 𝐷. Через ці точки проведемо прямі 𝑔 і ℎ відповідно, паралельні прямій 𝐴𝐵 (Рис.1.45). Очевидно, що ці прямі теж будуть паралельні між собою.
Рис.1.45 Дві прямі паралельні 𝐴𝐵
Перевіримо це за допомогою інструментів GeoGebra. Проведемо через точку 𝐶 пряму 𝑑, паралельну прямій ℎ. Як бачимо, прямі 𝑔 і 𝑑 співпадають. Це означає, що пряма 𝑔 теж паралельна до прямої ℎ.
Запам’ятайте ознаки паралельних прямих!
✓ дві прямі паралельні третій, паралельні між собою;
✓ якщо внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні;
✓ якщо зовнішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні;
✓ якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні;
✓ 
якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180, то прямі паралельні;
✓ якщо сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180, то прямі паралельні.
1.13 Перпендикуляр і похила
Побудуємо довільну пряму 𝐴𝐵 і виберемо точку 𝐶 поза нею. Через цю точку проведемо пряму, перпендикулярну до 𝐴𝐵, і знайдемо точку 𝐷 перетину цих прямих. Приховаємо пряму 𝐶𝐷 і побудуємо відрізок 𝐶𝐷 (Рис.1.46). Цей відрізок називають перпендикуляром до прямої 𝐴𝐵, а точку 𝐷 – основою перпендикуляра.
Рис.1.46 Перпендикуляр
Оскільки, через задану точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до заданої прямої, то із заданої точки до даної прямої можна провести лише один перпендикуляр.
Виберемо на прямій 𝐴𝐵 довільну точку 𝐸 і побудуємо відрізок 𝐶𝐸. Цей відрізок називається похилою до прямої, проведеною з точки 𝐶. Точка 𝐸 називається основою похилої.
Запам’ятайте! Відрізок, що з’єднує точку, яка не лежить на прямій, з цією прямою і не є перпендикуляром, називається похилою.
Кінець похилої, що належить прямій, називається основою похилої.
Відрізок, що з’єднує основу похилої з основою перпендикуляра, називається проекцією похилої.
Проекспериментуємо із даною моделлю, або завантажимо готову: https://www.geogebra.org/m/dkftg9qh
Будемо віддаляти точку 𝐸 від основи перпендикуляра. При цьому довжина похилої буде збільшуватися. Це видно навіть за допомогою окоміру.
У цьому можна переконатися за допомогою інструменту Відстань або довжина. Якщо, навпаки, наближати основу похилої до основи перпендикуляра, то довжина похилої буде зменшуватися. Якщо точки 𝐸 і 𝐷 співпадуть (похила перетвориться у перпендикуляр), то одержимо найкоротший відрізок, що з’єднує задану точку із прямою. Отже похила завжди буде довшою за перпендикуляр.
Запам’ятайте! Перпендикуляр – найкоротший відрізок, що з’єднує задану точку із даною прямою. Його довжина називається відстанню від точки до прямої.
Побудуємо пряму AB і точку C поза нею. З цієї точки до прямої проведемо перпендикуляр CD і дві похилі CE і CF. Використовуючи інструмент Відстань або довжина виміряємо довжини похилих та їх проекцій. Змінюючи положення основ цих похилих встановимо зв’язок між довжинами похилих та їх проекцій. Легко бачити, що:
Рівні похилі, проведені з однієї точки, мають рівні проекції. З двох похилих, проведених з однієї точки, більша похила має більшу проекцію.
1.14 Про логічну будову геометрії
Геометрія, як і будь-яка інша наука, оперує поняттями і фактами. Поняттями є геометричні фігури (точка, пряма, площина, лінія, відрізок, промінь, кут і так далі) та відношення між фігурами (належить, лежить між, паралельно, перпендикулярно та інші). Фактами є твердження, у яких виражаються властивості геометричних фігур та відношень.
Кожне нове поняття визначають через поняття, сформульовані раніше. Однак, на початку вивчення геометрії ще ніяких понять не було введено. Тому кілька перших понять не визначаються, а приймаються як основні, неозначувані. Наприклад, основними поняттями вважаються такі фігури: точка, пряма, площина, лінія; основні відношення: «належить», «лежить між»,
«перетинаються»; величини: відстань, міра кута, площа. Всі нові поняття, які необхідні для розвитку геометрії, визначаються або через основні, або через поняття, які визначені раніше.
Пригадаємо кілька означень:
Відрізком називається фігура, утворена із двох точок – кінців відрізка та всіх точок, які лежать між цими точками.
Прямі називаються паралельними, якщо вони ніколи не перетинаються.
Кутом між прямими називають величину меншого кута, утвореного цими прямими.
Процес розвитку геометрії полягає у введені нових понять і виявленні нових фактів – теорем. Всі теореми необхідно доводити за допомогою логічних міркувань. При доведенні теорем ми спираємося на вже відомі факти та введені означення. Тому, так само, як при формулюванні означень, кілька перших фактів, у яких виражені властивості основних геометричних фігур, приймаються без доведення. Такі факти називаються аксіомами. Пригадаємо кілька аксіом:
Яка б не була пряма, існують точки, які належать цій прямій, і точки, що їй не належать.
Через будь-які дві різні точки можна провести пряму і тільки одну.
Із трьох точок прямої одна, і тільки одна, лежить між двома іншими.
Кожен відрізок має довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які розбиває відрізок будь-яка точка.
Через точку поза прямою можна провести лише одну пряму, паралельну даній.
За допомогою побудов, виконаних у GeoGebra, можна відкрити практично всі властивості геометричних фігур. Однак, ці факти все одно необхідно доводити. Щоб довести теорему, насамперед необхідно виділити її умову (з’ясувати, що відомо, що дано) і вимогу (встановити, що саме потрібно довести). Далі, спираючись на умову, раніше встановлені факти і означення, за допомогою ланцюжка логічних міркувань, необхідно прийти до висновку про істинність вимоги (того, що стверджує дана теорема).
Для прикладу доведемо кілька теорем.
Теорема. Дві прямі можуть перетинатися лише у одній точці.
Дано: прямі 𝑎 і 𝑏. 𝐴 – точка їх перетину.
Довести, що інших точок перетину цих прямих не існує.
Доведення. Припустимо, що прямі 𝑎 і 𝑏 перетинаються ще в одній точці 𝐵. Тоді через точки 𝐴 та 𝐵 будуть проходити дві різні прямі 𝑎 і 𝑏. Але, за аксіомою, через будь-які дві різні точки можна провести пряму, і тільки одну. Отже, наше припущення про те, що прямі перетинаються ще в одній точці 𝐵 є хибним. Тому дві прямі можуть перетинатися лише в одній точці.
При доведенні цієї теореми ми скористалися так званим методом доведення «від супротивного». Суть цього методу полягає в тому, що припускаємо протилежне до того, що потрібно довести. Далі, в результаті логічних міркувань, приходимо до протиріччя із уже відомим фактом. Це протиріччя і доводить теорему. Оскільки воно показує, що наше припущення є хибним, а отже вірним є той факт, про який стверджується у теоремі.
Теорема. Вертикальні кути рівні.
Дано:𝐴𝐸𝐶 і 𝐵𝐸𝐷 вертикальні (Рис.1.47).
Довести, що .𝐴𝐸𝐶 = 𝐵𝐸𝐷.
Доведення. .𝐴𝐸𝐶 і .𝐶𝐸𝐵 суміжні, тому їх сума дорівнює 180
𝐶𝐸𝐵 і 𝐵𝐸𝐷 теж суміжні, тому 𝐶𝐸𝐵+𝐵𝐸𝐷 =180 Звідси: .𝐴𝐸𝐶 = 𝐵𝐸𝐷.
Рис.1.47 Доведення властивості вертикальних кутів Теорема. Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.
Дано: 𝑎 ∥ 𝑐 і 𝑏 ∥ 𝑐.
Довести, що 𝑎 ∥ 𝑏.
Доведення. Припустимо протилежне: нехай прямі 𝑎 і 𝑏 перетинаються у певній точці 𝑀. (Рис. 1.48). Таким чином через цю точку проходить дві різні прямі, паралельні до прямої 𝑐. Але, це суперечить аксіомі паралельних. Отож, припущення хибне і прямі 𝑎 та 𝑏 паралельні.
Рис.1.48 Доведення ознаки паралельності прямих
Теорема. Якщо пряма перетинає одну із двох паралельних прямих, то вона перетинає і іншу пряму.
Дано. 𝑎 ∥ 𝑏 і пряма 𝑐 перетинає пряму 𝑎.
Довести, що пряма 𝑐 перетинає пряму 𝑏 (Рис.1.49).
Доведення. Нехай пряма 𝑐 перетинає пряму 𝑎 у точці 𝑀. Припустимо, що пряма 𝑐 не перетинає пряму 𝑏. Тоді виходить, що через точку 𝑀 проходять дві прямі, паралельні до прямої 𝑏. Але, це суперечить аксіомі паралельних. Отож, припущення хибне і прямі 𝑐 перетинає пряму 𝑏.
Рис.1.49 Доведення теореми про перетин паралельних прямих третьою
Отже, вивчення геометрії забезпечує розвиток логічного мислення та геометричної інтуїції. У нашому курсі ми будемо освоювати інструменти GeoGebra та з їх допомогою, не лише будувати геометричні фігури, але й виявляти їх властивості. Крім того, ми будемо намагатися обґрунтовувати виявлені властивості за допомогою логічних міркувань.
Розділ 2. Початкові відомості про плоскі фігури. Трикутники
2.1 Многокутники
Однією з найпоширеніших фігур у геометрії є многокутник. Для побудови многокутників у GeoGebra є інструменти Многокутник, Правильний многокутник і Жорсткий многокутник. Проекспериментуємо з цими інструментами і сформулюємо деякі означення. Виберемо інструмент Многокутник, клацнемо у трьох точках і знову по першій точці. Одержимо зображення трикутника. Аналогічно можна побудувати чотирикутник, п’ятикутник і довільний многокутник.
Рис.2.1 Многокутники
Як бачимо (Рис.2.1), межею многокутника є замкнута ламана лінія. Інструмент Многокутник дозволяє побудувати будь-яку замкнуту лінію. Проте ми будемо вивчати лише многокутники, які обмежені замкнутою ламаною лінією, що не має самоперетинів.
Означення. Многокутник – це частина площини, яка обмежена замкнутою ламаною лінією, що не має самоперетинів разом із цією лінією.
Елементами многокутника є вершини, сторони і кути. У кожного многокутника однакова кількість вершин, сторін і кутів. Суму довжин усіх сторін многокутника називають периметром та позначають великою літерою латинського алфавіту 𝑃. Назва многокутника залежить від кількості вершин (або сторін чи кутів). Найменша кількість цих елементів у трикутника.
За допомогою інструмента Переміщення кожен многокутник можна перенести на нове місце. Крім того, перетягуючи вершини, можна змінювати форму многокутника. Однак, змінити його вид неможливо. Тобто трикутник завжди буде залишатися трикутником, чотирикутник – чотирикутником і т. д.
Якщо потрібно побудувати многокутник, який не можна змінювати, то використовують інструмент Жорсткий многокутник. Для цього клацаємо у точках, що є вершинами многокутника, і знову по першій вершині. Після цього появиться зображення многокутника і двох його вершин. Інші вершини не відображатимуться, але, якщо відкрити панель Алгебра, то їх можна відобразити.
Якщо «зловити» многокутник, побудований за допомогою цього інструмента, за першу вершину або за внутрішню область, то його можна перенести на нове місце. Якщо «зловити» за другу вершину, то він буде обертатися навколо першої вершини. Але змінити форму або розміри такого многокутника неможливо.
Інструмент Правильний многокутник дозволяє побудувати особливі многокутники (Рис.2.2). Для цього потрібно вказати дві вершини майбутнього многокутника і у діалогове вікно ввести число, яке вказує кількість вершин. У цих многокутників усі сторони і кути рівні між собою.
Означення. Многокутник називається правильним, якщо всі його сторони і всі кути рівні між собою.
Рис.2.2 Правильні многокутники
Дві вершини многокутника, що є кінцями його сторони будемо називати сусідніми. Тобто, кожна вершина многокутника має дві сусідні вершини. У трикутника немає несусідніх вершин. Але, інші многокутники, починаючи з чотирикутника, мають як сусідні, так несусідні вершини. Несусідні вершини теж можна з’єднати відрізком. Такий відрізок називається діагоналлю многокутника.
2.2 Коло і його елементи
Виберемо інструмент Відрізок заданої довжини і побудуємо відрізок 𝐴𝐵, задавши довільну довжину, наприклад 3. Відкриємо вікно властивостей точки 𝐵 і встановимо прапорець Залишати слід. Тепер «зловимо» точку 𝐵 і будемо перетягувати її. В результаті одержимо слід, який описує криву замкнену лінію (Рис.2.3). Ця лінія називається колом. Оскільки відстань між точками 𝐴 і 𝐵 завжди залишається однаковою, то зрозуміло, що всі точки кола однаково віддалені від точки 𝐴, яка називається його центром.
Рис.2.3 Обертання відрізка навколо одного з кінців
Означення. Колом називається лінія, всі точки якої однаково віддалені від однієї точки – центра кола.
Побудуємо коло за допомогою інструмента Коло за центром і точкою на колі. Для цього виберемо даний інструмент і клацнемо у двох точках полотна. Відразу появиться коло з центром у точці 𝐴, яке проходить через точку 𝐵 (Рис.2.4а).
Рис.2.4 Коло та його елементи
Побудуємо відрізок 𝐴𝐵, який з’єднує центр кола із деякою точкою на колі. Цей відрізок називають радіусом кола. Його довжину теж називають радіусом. Радіус кола зазвичай позначають малою 𝑟 або великою латинською літерою 𝑅.
Виберемо будь-які дві точки 𝐷 і 𝐸 на колі (Рис.2.4б). Ці точки поділяють коло на дві частини. Вони називаються дугами. Зауважимо, що дві точки є кінцями відразу двох дуг. Щоб вказати конкретну дугу, використовують додатково маленьку букву латинського алфавіту і знак дуги. Наприклад, на Рис.
2.4б маємо дуги 𝐷𝑚𝐸̆ та 𝐸𝑛𝐷̆.
GeoGebra розрізняє не просто кінці дуги, а її початок і кінець. Розберемось у цьому. Виберемо на колі Рис. 2.4б довільну точку. Сумістимо її з точкою 𝐷 і у її властивостях встановимо прапорець Залишати слід. Будемо перетягувати цю точку по колу до точки 𝐸 у напрямку проти годинникової стрілки. Вона опише дугу 𝐷𝑚𝐸̆ . Тому у GeoGebra цю дугу можна позначати просто 𝐷𝐸̆ (𝐷 – початок, 𝐸 – кінець дуги). Аналогічно, рухаючись по колу від точки 𝐸 до точки 𝐷, проти годинникової стрілки, опишемо дугу 𝐸𝑛𝐷̆, або просто 𝐸𝐷̆ . Звернемо увагу, що напрям руху по колу проти годинникової стрілки у геометрії вважається додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним.
Побудуємо відрізок 𝐻𝐺, що з’єднує дві точки на колі (Рис.2.4в). Одержаний відрізок називається хордою. Виміряємо довжину хорди. Будемо переміщувати один із кінців хорди. Переконаємося, що найбільшою буде та хорда, що проходить через центр кола. Ця хорда називається діаметром кола. На рисунку 2.4в діаметром є відрізок 𝐺𝐼.
У GeoGebra є і інші інструменти, які дозволяють будувати коло: Коло за центром і радіусом, Коло за трьома точками. Як користуватися кожним із даних інструментів, можна дізнатися за допомогою інтерактивної довідки
(Рис.2.5).
Рис.2.5 Приклад використання інтерактивної підказки
Цікавим є також інструмент Циркуль, який дозволяє будувати коло, радіус якого дорівнює заданому відрізку. За допомогою цього інструмента зручно відкладати відрізок, рівний даному, на заданому промені.
Розглянемо алгоритм такої побудови. Побудуємо відрізок 𝐴𝐵 і промінь 𝐶𝐷. Виберемо інструмент Циркуль і послідовно клацнемо по кінцях відрізка і по початку променя. Появиться коло з центром у точці 𝐶 і радіусом 𝐴𝐵 (Рис.2.6).
Рис.2.6 Відкладання відрізка, рівного даному
Залишається побудувати точку 𝐸 перетину кола з променем. Тепер коло можна приховати. Поекспериментуємо з цією моделлю:
https://www.geogebra.org/m/rhar8pbd
Ми можемо переміщувати відрізок і промінь. Можемо змінювати положення усіх точок, але перетягнути точку 𝐸 нам не вдасться. Проте, як тільки
зміниться довжина відрізка 𝐴𝐵, відповідно зміниться положення точки 𝐸 на промені так, що 𝐶𝐸 = 𝐴𝐵.
Аналогічно відкладають відрізок, рівний даному, від початку променя на папері за допомогою циркуля і лінійки. Спочатку прикладають ніжки циркуля до заданого відрізка, щоб визначити його довжину. Потім, не змінюючи розхилу циркуля, будують коло з центром у початку променя і знаходять точку перетину кола з променем.
2.3 Круг та його частини
Побудуємо коло за допомогою інструмента Коло з центром і точкою на колі. Відкриємо вікно властивостей даної фігури. Виберемо вкладку Колір і перетягнемо повзунок Заповнення у праву сторону. При цьому зафарбується частина площини, яка обмежена колом (Рис.2.7).
Рис.2.7 Побудова круга Одержимо нову фігуру, яка називається кругом.
Означення. Кругом називається частина площини, обмежена колом.
Очевидно, що розміри круга залежать від радіуса кола. Радіус кола одночасно вважається радіусом круга.
Виберемо будь-яку точку 𝐶, яка розташована всередині круга. Для цього скористаємося інструментом Точка на об’єкті 
. Виміряємо радіус 𝐴𝐵 і відстань від точки 𝐶 до центра 𝐴. Переміщуючи точку 𝐶 всередині круга бачимо, що відстань від цієї точки до центра не перевищує радіус кола. На основі цих спостережень сформулюємо ще одне означення круга.
Означення. Кругом називається фігура, всі точки якої віддалені від центра кола на відстань, що не перевищує радіус кола.
Побудуємо круг і проведемо два радіуси (Рис.2.8а). Вони поділять круг на дві частини. Кожна така частина називається сектором. Щоб вказати сектор вказуємо відповідну дугу. Наприклад, на Рис.2.8а, зображені сектори BmE і EnB.
Означення. Сектором називається частина круга, обмежена двома радіусами, та дугою між цими радіусами.
а б
Рис.2.8 Сектор і сегмент
Звернемо увагу, що хорда також поділяє круг на дві частини (Рис.2.8б). Ці частини називаються сегментами.
Так само, як при позначенні сектора, щоб вказати сегмент, вказуємо відповідну дугу. Наприклад, на Рис.2.8б, маємо два сегменти FkD і DeF.
2.4 Рівні фігури
Виберемо інструмент Жорсткий многокутник 
і побудуємо довільний многокутник.
Рис.2.9 Многокутник, побудований за допомогою інструмента Жорсткий
многокутник
Як зазначалося вище, особливість цієї фігури в тому, що її форму чи розміри не можна змінити, як це було зі звичайним многокутником. Виділимо даний многокутник. Це можна зробити двома способами:
1) клацнути по об’єкту Многокутник на панелі Алгебра;
2) обвести многокутник на робочій області при натиснутій правій клавіші миші.
Тепер скопіюємо і вставимо даний многокутник, використовуючи відповідні команди меню Правка або комбінації клавіш Ctrl+C (копіювати) і Ctrl+V (вставити). На перший погляд змін не відбулося, оскільки нова фігура вставиться точно на першу. Однак, якщо другий многокутник перетягнути на нове місце (можна ще і повернути), то побачимо дві однакові фігури (Рис.2.10).
Рис.2.10 Рівні фігури
Такі фігури є рівними. Очевидно, що їх можна сумістити. Для цього потрібно спочатку сумістити точку 𝐺 із точкою 𝐴, а потім точку 𝐻 із точкою 𝐵.
Зауважимо, що не будь-які рівні фігури можна сумістити описаним вище способом. Наприклад виберемо інструмент Правильний многокутник і побудуємо трикутник. Тоді, за допомогою інструмента Середина або центр 
, поділимо одну сторону навпіл і з’єднаємо цю точку з протилежною вершиною трикутника (Рис.2.11).
Як бачимо, даний відрізок поділив цей трикутник на дві рівні частини, однак сумістити їх так, як описано вище, неможливо. Щоб сумістити ці частини необхідно «перегнути» трикутник по зображеній лінії. Це легко показати, скориставшись паперовою моделлю трикутника.
Рис.2.11 Поділ трикутника на рівні частини
Симетричні фігури найбільш цікаві з точки зору геометрії. Прикладами симетричних фігур є круг, коло, правильні многокутники та багато інших. На Рис. 2.12 пунктирними лініями показано осі симетрії деяких правильних многокутників.
Рис.2.12 Осі симетрії правильних многокутників
Коло і круг мають безліч осей симетрії. Будь який діаметр є віссю симетрії як кола, так і круга.
Також будь-яка пряма є віссю симетрії площини.
Це означає, що, якщо на площині провести будь-яку пряму, то одержані півплощини можна сумістити, перегнувши площину по цій прямій, подібно до того, як ми згинаємо аркуш паперу (див. фото).
Якщо у одній півплощині побудувати будь-яку фігуру, то при такому згинанні і відбитті вона опиниться на іншій півплощині, але перевернута іншим боком. Такі фігури називаються симетричними відносно лінії згину.
Запам’ятайте! Дві фігури, які суміщаються при «згинанні» площини по деякій прямій, називаються симетричними відносно даної прямої, яка називається віссю симетрії. Симетричні фігури є рівними.
У GeoGebra є інструмент Симетрія відносно прямої , за допомогою якого можна побудувати фігуру, симетричну даній, відносно деякої прямої. Продемонструємо, як користуватися цим інструментом. Виберемо інструмент Жорсткий многокутник і побудуємо довільний многокутник. Далі побудуємо довільну пряму, яка не перетинає цей многокутник. Виберемо інструмент Симетрія відносно прямої, клацнемо спочатку по многокутнику, а потім по прямій. Відразу появиться нова фігура в іншій півплощині (Рис.2.13).
Рис.2.13 Симетричні фігури
Побудована модель дозволяє дослідити, як буде розміщена фігура, симетрична даній, якщо змінювати її положення або положення осі симетрії. Зокрема, можна розглядати випадки, коли вісь симетрії перетинає фігуру.
Пригадаємо, що бісектриса кута ділить його навпіл. Тому, якщо перегнути кут по бісектрисі, то його сторони співпадуть. Це можна перевірити і за допомогою інструментів GeoGebra.
Побудуємо 𝐵𝐴𝐶 та його бісектрису 𝐴𝐷. Виберемо інструмент Симетрія відносно прямої і клацнемо, спочатку по стороні 𝐴𝐵, а потім по бісектрисі. Відразу появиться промінь 𝐴′𝐵′, який співпадає з стороною AC (Рис.2.13). (На панелі Алгебра промінь 𝐴′𝐵′ позначений 𝑓′).
Рис.2.14 Властивість бісектриси кута
Запам’ятайте! Бісектриса кута є його віссю симетрії.
2.5 Види трикутників за кутами
Виберемо три точки, які не лежать на одній прямій. З’єднаємо їх відрізками. Одержимо замкнену ламану із трьох ланок. Ця ламана обмежує частину площини, яка разом із даними відрізками називається трикутником.
Означення. Частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією з трьох ланок, разом із цією ламаною називається трикутником.
Рис.2.15 Трикутники, побудовані за допомогою інструментів Відрізок і Многокутник
У GeoGebra трикутник можна побудувати за допомогою інструмента Многокутник. Для цього потрібно вибрати даний інструмент і вказати вершини трикутника, а потім знову першу вершину. При цьому внутрішня область трикутника буде зафарбованою. Уже той факт, що трикутник будується за допомогою інструмента Многокутник, говорить про те, що це окремий вид многокутника. Тому можна сформулювати ще одне означення трикутника.
Трикутник з вершинами 𝐴, 𝐵 і 𝐶 позначають 𝐴𝐵𝐶. Відрізки 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 і 𝐴𝐶 називають сторонами трикутника. Кути 𝐶𝐴𝐵,𝐴𝐵𝐶 і 𝐵𝐶𝐴 називають кутами трикутника.
Побудуємо трикутник 𝐴𝐵𝐶 за допомогою інструмента Многокутник.
Скопіюємо цей трикутник і вставимо двічі. Одержимо ще два трикутники
𝐴1𝐵1𝐶1 і 𝐴2𝐵2𝐶2, які співпадають із 𝐴𝐵𝐶. «Зловимо» кожен із цих трикутників за внутрішню область і перенесемо на нове місце (Рис.2.16).
За допомогою інструмента Переміщення можна знову сумістити будь-які два трикутники. При цьому співпадуть відповідні вершини, сторони і кути. Можна знову перемістити один із трикутників на нове місце і за допомогою інструментів Довжина або відстань та Кут переконатися, що відповідні сторони і кути цих трикутників є рівними.
Рис.2.16 Рівні трикутники
Означення. Два трикутники називаються рівними, якщо їх можна сумістити.
У рівних трикутників відповідні сторони і кути рівні.
Виберемо інструмент Переміщення і перетягнемо одну з вершин другого трикутника так, щоб один з кутів трикутника став прямим. Аналогічно перетягнемо одну з вершин третього трикутника так, щоб один з кутів став тупим (Рис.2.17).
Означення. Трикутник, у якого всі кути гострі, називається гострокутним. Трикутник, у якого один кут прямий, називається прямокутним. Трикутник, у якого один кут тупий, називається тупокутним.
Рис.2.17 Види трикутників за кутами
Запам’ятайте! У прямокутному трикутнику сторони, які утворюють прямий кут, називаються катетами, а третя сторона, яка лежить напроти прямого кута, називається гіпотенузою.
Як бачимо, трикутник, побудований за допомогою інструмента Многокутник, можна змінювати, перетягуючи одну із вершин. Пригадаємо, що якщо виникає потреба побудувати трикутник, який не можна змінювати, то використовуємо інструмент Жорсткий многокутник. За допомогою цього інструмента трикутник будується так само, як і за допомогою інструмента Многокутник. Але як тільки ми замкнемо контур (клацнемо по першій точці), то відображатися будуть лише дві перші вершини. Третя вершина відображатися не буде. Якщо потрібно відобразити третю вершину, то доведеться відкрити панель Алгебра. На цій панелі знайти потрібну точку серед інших об’єктів і клацнути по кружечку, який її позначає.
2.6 Медіани трикутника. Читання зображень
Із трикутником пов’язані деякі відрізки, які мають цікаві властивості. Виберемо інструмент Многокутник і побудуємо довільний трикутник. Тепер виберемо інструмент Середина або центр. За допомогою цього інструменту поділимо сторони трикутника навпіл. З’єднаємо відрізками вершини трикутника із серединами протилежних сторін (Рис.2.18). Ці відрізки називаються медіанами трикутника.
Рис.2.18 Медіани трикутника
Означення. Медіаною трикутника називається відрізок, який з’єднує вершину із серединою протилежної сторони.
Як бачимо, медіани перетинаються у одній точці. Проекспериментуйте із цією моделлю. Перетягніть одну з вершин трикутника. Переконайтесь, що цю властивість має трикутник довільної форми.
Дуже часто на одному рисунку доводиться малювати багато різних елементів фігури. Тому з часом малюнок стає загромадженим і його важко «читати». Під «читанням» малюнків ми розуміємо вміння переключатися з одних його елементів на інші. Тобто звертати увагу на одні елементи фігури та ігнорувати інші, а потім навпаки.
У GeoGebra ця проблема вирішується шляхом приховування зайвих елементів. Для цього відкриваємо контекстне меню елемента і вибираємо пункт Показувати об’єкт. При цьому елемент не буде відображатися. Щоб знову відобразити потрібний елемент, треба відкрити панель Алгебра, знайти потрібний елемент і клацнути по ньому.
Такий спосіб приховування і відображення об’єктів є не завжди зручним. Тому краще з цією метою створити Прапорець (Рис.2.19). Продемонструємо його створення на прикладі відображення і приховування медіан трикутника.
Рис.2.19 Створення Прапорця
Вибираємо даний інструмент і клацаємо у довільному місці полотна. У діалоговому вікні у поле Напис вписуємо назву прапорця, у нашому випадку «Медіани». Далі вибираємо об’єкти, які треба відображати або приховувати. У нашому випадку це медіани, точки середини сторін і точка перетину медіан. Вибрати об’єкти можна з панелі Алгебра або зі списку у цьому вікні. Але найпростіше вказувати потрібні об’єкти на рисунку, клацаючи по них. Після натискання кнопки Застосувати, на полотні появиться прапорець, який дозволяє відображати або приховувати медіани. За допомогою інструмента Переміщення, цей прапорець можна розмістити у потрібному місці полотна.
2.7 Бісектриси трикутника
Виберемо інструмент Бісектриса кута і побудуємо бісектриси кутів трикутника. За допомогою відповідного інструмента побудуємо точки перетину цих бісектрис зі сторонами трикутника. Бісектриси приховаємо за допомогою контекстного меню і з’єднаємо вершини трикутника з одержаними точками на протилежних сторонах. Побудовані відрізки називаються бісектрисами трикутника (Рис.2.20).
Означення. Відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони, називають бісектрисою трикутника.
Побудуємо точку перетину бісектрис. Переміщаючи вершини трикутника, переконайтеся, що бісектриси трикутника завжди перетинаються у одній точці.
Рис.2.21 Бісектриси трикутника
Запам’ятайте. Бісектриси трикутника завжди перетинаються у одній точці.
За цим покликанням можна завантажити модель, у якій відображаються або приховуються медіани і бісектриси:
https://www.geogebra.org/m/d2gxupdh
2.8 Висоти трикутника
Створимо прапорець і приховаємо бісектриси. Побудуємо пряму 𝐴𝐶, яка містить сторону 𝐴𝐶 трикутника. Проведемо з вершини 𝐵 перпендикуляр 𝐵𝐿 до прямої 𝐴𝐶 (Рис.2.22). Цей перпендикуляр називається висотою трикутника, а точка 𝐿 – основою висоти.
Рис.2.22 Висота трикутника
Означення. Перпендикуляр, проведений із вершини трикутника на пряму, що містить його протилежну сторону, називається висотою трикутника.
«Зловимо» вершину 𝐵 і будемо змінювати форму трикутника.
Переконаємось, що якщо кути 𝐴 і 𝐶 гострі, то основа висоти попадає на сторону трикутника. Якщо один з цих кутів прямий, то основа висоти попадає у відповідну вершину, і висота співпадає зі стороною трикутника. Якщо ж один з цих кутів тупий, то основа висоти попадає на продовження сторони, і висота розміщена поза трикутником.
Побудуємо інші висоти трикутника. Переконаємося, що висоти або їх продовження перетинаються у одній точці.
Запам’ятайте. Висоти трикутника або їх продовження перетинаються у
За покликанням, поданим нижче, можна завантажити модель, у якій відображаються або приховуються висоти, продовження сторін і висот. Її можна використати для проведення вказаних експериментів: https://www.geogebra.org/m/hrv38zek
2.9 Властивості кутів трикутника
Побудуємо довільний 𝐴𝐵𝐶 за допомогою інструмента Многокутник і виміряємо його кути.
Нехай 𝐵𝐴𝐶 = , 𝐴𝐵𝐶 = , 𝐴𝐶𝐵 = .
Щоб обчислити суму цих кутів, у командний рядок введемо текст: ++ . Оскільки цих символів немає на клавіатури, то їх вибираємо із таблиці символів (Рис.2.23).
Як тільки ми клацаємо по командному рядку, у ньому з’являється текстовий курсор, а у кінці кнопка, позначена буквою , яка відкриває таблицю символів.
Після введення у командний рядок формули: ++, у вікні Алгебра появиться кут =180. Для зручності виведемо це число на екран у формі динамічного тексту. Для цього вибираємо інструмент Текст. Вносимо в поле введений з клавіатури текст: ++=, а зі списку об’єктів вибираємо кут . В результанті на екрані появиться текст ++= 180.
Рис.2.23 Таблиця символів
Ми можемо проекспериментувати з цією моделлю, перетягуючи вершину 𝐵. При цьому значення кутів , і будуть мінятися, але їх сута залишається незмінною. Це означає, що сума кутів трикутника дорівнює 180.
Готову модель можна завантажити за
покликанням: https://www.geogebra.org/m/fwerzeeg
Цей факт легко довести і за допомогою логічних міркувань.
Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює 180.
Дано: 𝐴𝐵𝐶.
Довести, що 𝐴 +𝐵 +𝐶 = 180.
Доведення. Через вершину 𝐵 проведемо пряму, паралельну до сторони 𝐴𝐶, і по різні боки від вершини 𝐵 виберемо точки 𝐷 і 𝐸 (Рис.2.24).
Рис.2.24 Сума кутів трикутника
Тоді 𝐴𝐶𝐵 = як внутрішні різносторонні, утворені паралельними прямими 𝐴𝐶 і 𝐷𝐸 та січною 𝐵𝐶. Аналогічно 𝐶𝐴𝐵 = 𝐵 = .
Але ++= 180, оскільки вони утворюють розгорнутий кут. Тому 𝐴 +𝐵 +𝐶 = 180.
Запам’ятайте. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180.
Завантажте модель, яка ілюструє ще одне доведення цієї теореми:
https://www.geogebra.org/m/ycfnr8p9
З теореми про суму внутрішніх кутів трикутника випливають наслідки:
Наслідок 1. У трикутнику може бути лише один тупий кут.
Наслідок 2. У трикутнику може бути лише один прямий кут.
Наслідок 3. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°.
2.10 Зовнішній кут трикутника
Побудуємо трикутник 𝐴𝐵𝐶 і промені 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴. На кожному промені за межами трикутника виберемо точки 𝐷, 𝐸, 𝐹 відповідно (Рис.2.25) і виміряємо величини кутів ВА𝐹,𝐶𝐵𝐷,𝐴𝐶𝐸. Ці кути називаються зовнішніми кутами трикутника.
Означення. Кут, суміжний до кута трикутника, називається зовнішнім кутом даного трикутника.
Рис.2.25 Зовнішні кути трикутника
Оскільки кожен зовнішній кут трикутника доповнює відповідний внутрішній кут до розгорнутого, то їх сума становить 180. Але сума всіх кутів трикутника теж дорівнює 180. Це означає, що кожен зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним.
Запам’ятайте. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним.
Знайдемо суму всіх зовнішніх кутів трикутника. Для цього у командний рядок введемо текст: ++. Після цього у вікні Алгебра появиться кут =360. Для зручності можна створити динамічний текст, який виводить на екран суму зовнішніх кутів, і проекспериментувати з одержаною моделлю, змінюючи форму трикутника. Переконаємося, що сума цих кутів завжди дорівнює 360.
Запам’ятайте. Сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360.
Цей факт легко довести за допомогою логічних міркувань. Справді, сума внутрішнього і відповідного зовнішнього кута дорівнює 180. Оскільки таких пар є три, то загальна сума 180·3=540. Якщо від цієї суми відняти суму внутрішніх кутів 180, то одержимо 360.
Наведемо ще один спосіб міркувань. Якщо пройти по контуру трикутника, наприклад від вершини A до цієї ж вершини, то у процесі руху доведеться тричі поміняти напрям руху. Кожного разу доведеться повернутися на величину зовнішнього кута. Але в результаті ми зробимо всього один повний оберт. Тому сума всіх зовнішніх кутів трикутника 360.
Модель, яка ілюструє це доведення, можна завантажити за покликанням:
https://www.geogebra.org/m/nejbrdup#material/fxvcwb2f
2.11 Види трикутників за сторонами
Побудуємо 𝐴𝐵𝐶 за допомогою інструмента Многокутник і виміряємо його сторони. Скопіюємо цей трикутник двічі. Одержимо ще два трикутники 𝐴1𝐵1𝐶1 і 𝐴2𝐵2𝐶2. Перетягнемо вершину 𝐵1 так, щоб сторони 𝐴1𝐵1 і 𝐵1𝐶1 були рівними. Одержимо рівнобедрений трикутник 𝐴1𝐵1𝐶1. Також перетягнемо вершини 𝐵2 і 𝐶2 так, щоб всі сторони
𝐴2𝐵2𝐶2 стали рівними (Рис.2.26). Одержимо рівносторонній або правильний трикутник.
Рис.2.26 Види трикутників
Означення. Трикутник, у якого усі сторони мають різні довжини, називається різностороннім. Трикутник, у якого дві сторони рівні, називається рівнобедреним. Трикутник, у якого усі сторони рівні, називається рівностороннім або правильним.
У GeoGebra є інструмент Правильний многокутник, за допомогою якого можна побудувати правильний трикутник. Для цього потрібно вибрати цей інструмент і вказати дві його вершини. Далі у рядочок діалогового вікна, що появиться, вводимо цифру 3 і натискаємо кнопку 
. Якщо тепер перетягнути одну із вершин трикутника, то зміниться розмір трикутника, але він завжди залишиться правильним.
Щоб побудувати правильний трикутник на папері, користуються циркулем і лінійкою. Для цього спочатку будують одну сторону 𝐴𝐵. Потім коло з центром у точці 𝐴 і радіусом 𝐴𝐵 та коло з центром у точці 𝐵 і радіусом 𝐵𝐴. Точка 𝐶 перетину цих кіл буде третьою вершиною трикутника (Рис.2.27).
Рис.2.27 Побудова правильного трикутника
Таку побудову теж можна змоделювати у GeoGebra за допомогою інструмента Циркуль.
Для побудови рівнобедреного трикутника радіуси кіл не повинні дорівнювати AB, але мають бути рівними. Продемонструємо ще один спосіб побудови рівнобедреного трикутника з використанням інструмента Коло з центром і точкою на колі. Будуємо коло з центром у точці 𝐴 і радіусом 𝐴𝐵. Далі вибираємо на колі ще одну точку 𝐶 і будуємо трикутник 𝐴𝐵𝐶 (Рис.2.28). Після цього коло приховуємо.
Рис.2.28 Побудова рівнобедреного трикутника
Оскільки сторони 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 є радіусами кола, то вони завжди будуть рівними, як би ми не перетягували вершини трикутника. Ці сторони називаються бічними, а сторона 𝐵𝐶 називається основою.
2.12 Властивості рівнобедреного трикутника
Побудуємо рівнобедрений трикутник 𝐴𝐵𝐶 і його бісектрису 𝐴𝐷 (Рис.2.29). Ця бісектриса є віссю симетрії даного трикутника, тому вона ділить даний трикутник на два рівні трикутники. Це можна перевірити за допомогою інструмента Симетрія відносно прямої, але також легко обґрунтувати логічно.
Рис.2.29 Властивості рівнобедреного трикутника
Справді, бісектриса 𝐵𝐴𝐶 є його віссю симетрії. Але 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, тому точки 𝐵 і 𝐶 є симетричні відносно 𝐴𝐷. Значить 𝐴𝐷 – вісь симетрії 𝐴𝐵𝐶. А це означає, що 𝐴𝐷𝐵 = 𝐴𝐷𝐶. Оскільки ці кути суміжні, то вони прямі. Тобто 𝐴𝐷 – висота. Крім того, 𝐵𝐷 = 𝐷𝐶. Отже, 𝐴𝐷 – медіана. І на кінець 𝐴𝐵𝐷 = 𝐴𝐶𝐷 оскільки вони симетричні відносно прямої 𝐴𝐷.
Запам’ятайте! У рівнобедреному трикутнику бісектриса, медіана і висота, проведені до основи, співпадають.
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Наслідок 1. У правильному трикутнику всі кути рівні і дорівнюють по 60.
Наслідок 2. У рівнобедреному прямокутному трикутнику гострі кути дорівнюють по 45.
Доведіть обернені твердження, що дозволяють встановити окремі види трикутників:
1) Якщо у рівнобедреному трикутнику один із кутів дорівнює 60, то такий трикутник правильний.
2) Якщо у прямокутному трикутнику один із гострих кутів дорівнює 45, то такий трикутник рівнобедрений.
Зауважимо, що в процесі доведення властивостей рівнобедреного трикутника ми встановили ще один важливий факт: симетричні точки 𝐵 і 𝐶 (Рис.2.29) є кінцями відрізка, який перпендикулярний до осі симетрії 𝐴𝐷. Причому, ця вісь проходить через середину даного відрізка. Тому пряму 𝐴𝐷 ще називають серединним перпендикуляром до відрізка 𝐵𝐶.
Запам’ятайте! Вісь симетрії є серединним перпендикуляром до відрізка з кінцями у симетричних точках відносно цієї осі.
У GeoGebra є інструмент Серединний перпендикуляр . Щоб скористатися цим інструментом, потрібно клацнути по кінцях відрізка або у двох точках. В результаті одержимо пряму, яка перпендикулярна до відрізка і проходить через його середину (Рис.2.30).
2.30 Серединний перпендикуляр
Означення. Пряма, що проходить через середину відрізка і перпендикулярна до нього, називається серединним перпендикуляром.
Цим інструментом зручно користуватися для побудови рівнобедреного трикутника. Справді, яку б точку 𝐶 на цьому перпендикулярі ми не взяли, трикутник 𝐴𝐵𝐶 буде рівнобедрений. Адже, при симетрії відносно прямої 𝐶𝐷 точка 𝐶 переходить сама у себе, а точка 𝐴 у точку 𝐵. Тому відрізок 𝐶𝐴 переходить у відрізок 𝐶𝐵. Звідси випливає, що 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵.
При розв’язуванні задач важливо вміти виявити рівнобедрені трикутники. З цією метою користуються ознаками рівнобедреного трикутника.
Теорема. Якщо у трикутнику медіана і висота співпадають, то він рівнобедрений.
Доведення. Якщо медіана і висота співпадають, то пряма, яка містить їх, є серединним перпендикуляром до даної сторони. Отже, ця пряма є віссю симетрії трикутника. Тому дві інші сторони трикутника є симетричними, а значить рівними.
Оскільки трикутник, утворений двома радіусами і хордою (Рис.2.28), рівнобедрений, то можна сформулювати ще кілька наслідків із теорем про властивості рівнобедреного трикутника:
Наслідок 1. Радіус, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.
Наслідок 2. Радіус, що проходить через середину хорди, перпендикулярний до неї.
Теорема. Якщо у трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Доведення. Нехай у 𝐴𝐵𝐶: В = 𝐴 (Рис.2.30). Побудуємо серединний перпендикуляр до сторони 𝐴𝐵. При симетрії відносно цього серединного перпендикуляра, вершина 𝐵 переходить у вершину 𝐴, а середина 𝐷 сторони 𝐴𝐵 переходить сама у себе. Тому промінь 𝐵𝐷 переходить у промінь 𝐴𝐷. Але, оскільки 𝐵 = 𝐴, то інші сторони цих кутів теж переходять одна в одну. Значить точка перетину цих променів належить осі симетрії і є третьою вершиною трикутника. Тому 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶.
2.13 Залежність між сторонами і кутами трикутника
Побудуємо довільний трикутник за допомогою інструмента Многокутник. Виміряємо його сторони і кути. Ми можемо перетягувати вершини цього трикутника і спостерігати за залежністю між сторонами і кутами.
Легко помітити, що напроти більшої сторони лежить більший кут і навпаки.
Наведемо строгі доведення цих фактів.
Теорема. У трикутнику напроти більшої сторони лежить більший кут. Дано: 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶.
Довести: 𝐶 > 𝐴 (Рис.2.31).
Рис.2.31 Доведення теореми про кути і сторони трикутника
Доведення. Побудуємо коло з центром у вершині 𝐵 і радіусом 𝐵𝐶. Оскільки 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶, то це коло перетне сторону 𝐴𝐵 у точці 𝐷. Так як 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷, то 1 = 2. Але 1 < 𝐶 бо він становить його частину, а 2 > 𝐴, бо це зовнішній кут 𝐴𝐷𝐶. Тому 𝐶 > 𝐴.
Теорема. У трикутнику напроти більшого кута лежить більша сторона.
Дано: 𝐴𝐵𝐶. 𝐶 > 𝐴.
Довести: 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶.
Цю теорему доведемо методом від супротивного. Припустимо, що 𝐴𝐵 не більше за 𝐵𝐶. Тоді, якщо 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, то 𝐶 = 𝐴. Протиріччя. Якщо 𝐴𝐵 < 𝐵𝐶, то 𝐶 < 𝐴. Протиріччя. Отже, 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶.
Наслідок 1. У тупокутному трикутнику найбільша сторона лежить напроти тупого кута.
Наслідок 2. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катети.
Наслідок 3. Похила завжди довша за перпендикуляр.
2.14 Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом
між ними)
Використовуючи інструмент Жорсткий многокутник, побудуємо 𝐴𝐵𝐶.
Як було з’ясовано вище, при використанні цього інструмента відображаються лише дві вершини. Але можна відкрити панель Алгебра і відобразити третю вершину 𝐶 (Рис.2.32).
Побудуємо тепер трикутник, у якого дві сторони дорівнюють сторонам 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶, а кут між ними дорівнює 𝐴.
Рис.2.32 Заданий трикутник
Розпочнемо із побудови кута рівного 𝐴. Для цього виберемо інструмент Кут і виміряємо величину 𝐴. На зображенні появиться кут і його значення.
Використовуючи відповідний інструмент, побудуємо промінь 𝐷𝐸. Відкладемо від цього променя 𝐸𝐷𝐸′ = . Тепер на зображенні кута появиться кут , але його значення буде таке саме, як у .
За допомогою інструмента Циркуль побудуємо два кола з центрами у вершині 𝐷 і радіусами 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶. Нехай перше коло перетне сторони кута у точках F і G, а друге – у точках 𝐻 та 𝐼 . Далі за допомогою інструмента Многокутник будуємо трикутники 𝐷𝐺𝐻 і 𝐷𝐹𝐼, у яких дві сторони і кут між ними відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними (Рис.2.33).
Рис.2.33 Побудова трикутника за двома сторонами і кутом між ними Зауважимо, що ці трикутники симетричні відносно бісектриси кута 𝐸𝐷𝐸′ Справді, сторони кута симетричні відносно його бісектриси. Побудовані кола теж симетричні відносно цієї ж бісектриси. Тому точки 𝐹 і 𝐺 та 𝐻 і 𝐼 відповідно симетричні.
Оскільки симетричні фігури рівні, то ці трикутники рівні. Покажемо, що ці трикутники також рівні 𝐴𝐵𝐶.
Використовуючи інструмент Переміщення, сумістимо кути 𝐵𝐴𝐶 і 𝐸′𝐷𝐸. При цьому, якщо сторона 𝐴𝐵 попаде на промінь 𝐷𝐸′, то вершина 𝐵 співпаде з точкою 𝐺. Але тоді вершина 𝐶 співпаде з точкою 𝐻 (обґрунтуйте самостійно). У такому випадку 𝐴𝐵𝐶 = 𝐷𝐺𝐻.
Якщо ж сторона 𝐴𝐵 попаде на промінь 𝐷𝐸, то вершина 𝐵 співпаде з точкою 𝐹. Але тоді вершина 𝐶 співпаде з точкою 𝐼 (обґрунтуйте самостійно). У такому випадку 𝐴𝐵𝐶 = 𝐷𝐹𝐼.
Запам’ятайте. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то ці трикутники є рівними.
2.15 Друга ознака рівності трикутників (за стороною і прилеглими
кутами)
Знову побудуємо 𝐴𝐵𝐶, використовуючи інструмент Жорсткий многокутник і відобразимо вершину 𝐶. Побудуємо тепер трикутник, у якого одна сторона дорівнює стороні 𝐴𝐵, а прилеглі до цієї сторони кути дорівнюють 𝐴 і 𝐵 відповідно.
Спочатку використовуючи інструмент Циркуль, побудуємо відрізок 𝐷𝐸 = 𝐴𝐵. За допомогою інструмента Кут виміряємо кути 𝐴 і 𝐵. Скориставшись інструментом Кут заданої величини, відкладемо від променя 𝐷𝐸 кут , рівний 𝐴 за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки. Так само від променя 𝐸𝐷 побудуємо два кути , рівні 𝐵. Знайдемо точку 𝐹 перетину променів 𝐷𝐸′ та 𝐸𝐷′ та точку 𝐺 перетину променів 𝐷𝐸′1 та 𝐸𝐷′1. Побудуємо 𝐷𝐸𝐺 і 𝐷𝐸𝐹 у яких сторона і два прилеглих кути відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим кутам 𝐴𝐵𝐶. (Рис.2.34).
Рис.2.34 Побудова трикутника за стороною і двома кутами
Зауважимо, що ці трикутники рівні між собою (доведіть).
Покажемо тепер що 𝐴𝐵𝐶 можна сумістити із кожним з цих трикутників.
Перетягнемо тепер вершину 𝐴 у точку 𝐷 і повернемо вершину 𝐵 так, щоб вона співпала з точкою 𝐸. Тоді вершина C співпаде або з точкою G, або з точкою F. Отже, 𝐴𝐵𝐶 співпаде або з 𝐷𝐸𝐹, або з 𝐷𝐸𝐺.
Ми встановили другу ознаку рівності трикутників.
Запам’ятайте. Якщо сторона і два прилеглі кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим кутам іншого трикутника, то ці трикутники є рівними.
2.16 Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)
Побудуємо тепер трикутник, у якого сторони дорівнюють сторонам 𝐴𝐵𝐶.
Для цього скористаємося інструментом Циркуль. Спочатку побудуємо відрізок 𝐷𝐸 = 𝐴𝐵. Тоді побудуємо два кола: з центром у точці 𝐷 і радіусом рівним стороні 𝐴𝐶 та з центром у точці 𝐸 і радіусом 𝐵𝐶 (Рис.2.35).
Рис.2.35 Побудова трикутника за трьома сторонами
Ці кола перетинаються у точках 𝐹 та 𝐺. Побудуємо 𝐷𝐸𝐹 і 𝐷𝐸𝐺.
Якщо тепер сумістити вершину 𝐴 з точкою 𝐷, а вершину 𝐵 з точкою 𝐸, то
𝐴𝐵𝐶 співпаде або з 𝐷𝐸𝐺, або з 𝐷𝐸𝐹. Справді, якщо вершина 𝐴 співпаде з точкою 𝐷, то вершина 𝐶 попаде на коло з центром у точці 𝐷 і радіусом 𝐴𝐶. Аналогічно, якщо вершина 𝐵 співпаде з точкою 𝐸, то вершина 𝐶 попаде на коло з центром у точці 𝐸 і радіусом 𝐵𝐶. Отже, вершина 𝐶 попаде у точку перетину цих кіл 𝐹 або 𝐺. Крім того, точки 𝐹 та 𝐺 симетричні відносно прямої 𝐷𝐸. Тому обидва трикутники 𝐷𝐸𝐹 і 𝐷𝐸𝐺 рівні трикутнику 𝐴𝐵𝐶. Ми встановили третю ознаку рівності трикутників.
Запам’ятайте. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то ці трикутники є рівними.
2.17 Ознаки рівності прямокутного трикутника
Пригадаємо, що якщо у трикутнику один кут прямий, то такий трикутник називається прямокутним. Оскільки у будь-якому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180, то сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90.
Оскільки у кожного прямокутного трикутника один кут прямий, то першу і другу ознаки рівності трикутників можна переформулювати наступним чином.
Перша ознака рівності прямокутних трикутників. Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Друга ознака рівності прямокутних трикутників. Якщо катет і прилеглий гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і прилеглому гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Зауважимо, що якщо у двох прямокутних трикутників є відповідно рівні гострі кути, то очевидно всі кути є відповідно рівними. Тому другу ознаку рівності трикутників для прямокутних трикутників можна переформулювати наступним чином.
Третя ознака рівності прямокутних трикутників. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Побудуємо прямокутний трикутник. Для цього скористаємось інструментом Жорсткий многокутник і лініями сітки (Рис.2.36). Побудуємо тепер прямокутний трикутник, у якого гіпотенуза і катет дорівнює гіпотенузі і катету даного прямокутного трикутника.
Рис.2.36 Побудова трикутника за катетом і гіпотенузою
Для цього побудуємо перпендикулярні прямі, що перетинаються у точці 𝐷.
На одній із прямих за допомогою інструмента Циркуль відкладемо відрізок 𝐷𝐺 = 𝐴𝐶. Тепер за допомогою цього ж інструмента побудуємо коло з центром у точках 𝐺 і радіусом, що дорівнює гіпотенузі 𝐴𝐵. Це коло перетне другу пряму у точках 𝐻 та 𝐼. За допомогою інструмента Многокутник побудуємо трикутники 𝐺𝐷𝐻 та 𝐺𝐷𝐼.
Ці трикутники є симетричними відносно прямої 𝐺𝐷 (доведіть), тому вони є рівними.
Перевіримо, чи ці трикутники дорівнюють 𝐴𝐵𝐶.
За допомогою інструмента Переміщення сумістимо катет 𝐴С з катетом 𝐺𝐷 так, щоб відповідні вершини співпали. Тоді катет 𝐵𝐶 попаде на пряму 𝐻𝐼 (обґрунтуйте), а вершина 𝐵 на коло з центром у точці 𝐺 і радіусом 𝐴𝐵 (обґрунтуйте). Тобто вершина 𝐵 співпаде або з точкою 𝐻, або з точкою 𝐼. Отже, трикутник 𝐴𝐵𝐶 співпаде або з 𝐺𝐷𝐼, або з трикутником з 𝐺𝐷𝐻.
Оскільки ці трикутники симетричні (обґрунтуйте), то обидва вони рівні
𝐴𝐵𝐶.
Четверта ознака рівності прямокутних трикутників. Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Розділ 3. Геометричні побудови
Найбільш цікавими у геометрії (принаймні з точки зору авторів) є задачі на побудову фігур. Суть цих задач полягає в тому, що необхідно побудувати фігуру із наперед заданими властивостями, використовуючи обмежений набір інструментів. Зазвичай, це циркуль і лінійка.
З такими задачами ми уже зустрічалися при вивченні ознак рівності трикутників. Там ми будували трикутники, у яких окремі сторони і кути були рівними відповідним елементам заданого трикутника.
3.1 Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична
Побудуємо коло з центром 𝐴 і фіксованим радіусом. Виберемо на колі точку 𝐵. Проведемо пряму 𝐴𝐵 і виберемо на ній довільну точку 𝐶. Через цю точку, проведемо пряму a, перпендикулярну до 𝐴𝐵 (Рис.3.1)
Рис.3.1 Взаємне розміщення прямої і кола
Тоді довжина відрізка 𝐴𝐶 буде відстанню від центра кола до прямої 𝑎. За допомогою інструмента Переміщення будемо наближати пряму до кола. Поки відстань від центра кола до прямої більша за радіус, то пряма з колом не має спільних точок. Якщо ця відстань стане рівною радіусу, то пряма торкнеться кола в одній точці. Така пряма називається дотичною до кола. Якщо відстань від центра кола до прямої стане меншою за радіус, то пряма уже буде перетинати коло у двох точках.
Означення. Пряма, що має з колом лише одну спільну точку, називається дотичною до кола.
Як ми встановили, використовуючи модель (Рис.3.1), дотична до кола, перпендикулярна до радіуса, проведеного у точку дотику. Доведемо цю теорему за допомогою логічних міркувань.
Теорема. Дотична до кола, перпендикулярна до радіуса, проведеного у точку дотику.
Доведення. Нехай маємо коло з центром у точці 𝑂. Проведемо дотичну до цього кола у точці 𝐴 (Рис.3.2). Виберемо на дотичній довільну точку 𝐵. Оскільки точка 𝐵 лежить поза колом, то 𝑂𝐵 > 𝑂𝐴. Значить 𝑂𝐴 –найкоротший відрізок, який з’єднує центр кола з прямою 𝑎. А це значить, що 𝑂𝐴 – перпендикуляр до прямої 𝑎.
Рис.3.2 Доведення властивості дотичної
Тепер знову побудуємо коло. Виберемо на ньому довільну точку 𝐴. Через цю точку проведемо пряму, перпендикулярну до радіуса 𝑂𝐴. Як бачимо, ця пряма теж буде дотичною.
Тобто має місце, теорема, обернена до попередньої:
Теорема. Якщо пряма проходить через точку кола і перпендикулярна до радіуса, проведеного у цю точку, то вона є дотичною до кола.
Перевірити це твердження можна засобами GeoGebra. Для цього досить «зловити» точку 𝐴 і обертати по колу. При цьому пряма теж буде обертатися, але завжди з колом буде мати лише одну спільну точку 𝐴.
Наведемо обґрунтування цієї теореми на основі логічних міркувань:
Доведення. Припустимо протилежне. Нехай пряма 𝑎 перпендикулярна до радіуса 𝑂𝐴 і перетинає коло ще у одній точці 𝐵 (Рис.3.3). Тоді 𝑂𝐴𝐵 – рівнобедрений. Це означає, що 𝐵 теж прямий. Протиріччя.
Рис.3.3 Доведення ознаки дотичної
У GeoGebra є спеціальний інструмент для побудови дотичної до кола. Користуючись інструментом Дотична побудуємо дотичну, яка проходить через вибрану точку на колі. Для цього потрібно спочатку клацнути по точці, а потім по колу. Якщо вибрати точку поза колом і так само використати інструмент Дотична, то одержимо 2 дотичні, що проходять через дану точку (Рис.3.4).
Рис.3.4 Дотичні, що проходять через точку поза колом
Використовуючи інструмент Перетин 
, побудуємо точки дотику 𝐴 і 𝐵. Очевидно, що 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵. Це можна перевірити вимірюванням. Обґрунтуємо це твердження за допомогою логічних міркувань. Побудуємо відрізок 𝑀𝑂 і проведемо радіуси 𝑂𝐴 і 𝑂𝐵. Тоді 𝑀𝐴𝑂 = 𝑀𝐵𝑂 за гіпотенузою і катетом. З рівності трикутників випливає рівність відповідних катетів.
Запам’ятайте. Відрізки дотичних, проведених із точки поза колом до даного кола є рівними.
Зауважимо, що з рівності 𝑀𝐴𝑂 і 𝑀𝐵𝑂 випливає рівність кутів 𝐴𝑀𝑂 і 𝐵𝑀𝑂. Отже, 𝑀𝑂 – бісектриса 𝐴𝑀𝐵.
Запам’ятайте. Промінь, що виходить з точки перетину дотичних до кола і проходить через його центр є бісектрисою кута, утвореного цими дотичними.
3.2 Взаємне розміщення двох кіл
Побудуємо модель, де одне коло буде нерухомим, а у другому колі можна змінювати радіус і переміщувати його центр.
Для цього створимо два повзунки d і r. Побудуємо пряму. На ній виберемо точку 𝑂1 і на відстані 𝑑 від неї на цій прямій відкладемо точку 𝑂2[2]. Побудуємо коло з центром у точці 𝑂1 фіксованого радіуса 𝑟1 та коло з центром у точці 𝑂2 і змінного радіуса 𝑟2 = 𝑟. Нехай перше коло перетне пряму у точках A і B, а друге у точках C і D (Рис.3.5)
Рис.3.5 Модель для дослідження взаємного розміщення кіл
Готову модель можна завантажити за
покликанням: https://www.geogebra.org/m/kbzrtmsb
Розпочнемо дослідження із випадку, коли центри кіл співпадають. Для цього встановимо значення 𝑑 = 0 (Рис.3.6).
Такі кола називаються концентричними.
Змінюючи значення 𝑟 бачимо, що якщо радіуси цих кіл однакові, то вони співпадають. Якщо радіуси різні, то кола не мають спільних точок.
Рис. 3.6 Концентричні кола
Для визначеності виберемо 𝑟2 < 𝑟1. Будемо збільшувати значення 𝑑. При цьому точка 𝑂2 буде віддалятися від точки 𝑂1, а точка 𝐷 наближатися до точки 𝐵 (Рис.4.7).
Рис.3.7 Менше коло всередині
Поки точки 𝐷 і 𝐵 не сумістилися, то кола ще не мають спільних точок.
При цьому: 𝑂1𝑂2 + 𝑂2𝐷 < 𝑂1𝐵 або 𝑂1𝑂2 < 𝑟1 − 𝑟2.
Як тільки точки 𝐷 і 𝐵 співпадуть, то кола будуть торкатися у одній точці.
Такий дотик називається внутрішнім.
При цьому 𝑂1𝑂2 + 𝑂2𝐷 = 𝑂1𝐵 або 𝑂1𝑂2 = 𝑟1 − 𝑟2.
Будемо продовжувати збільшувати значення 𝑑. Поки не сумістяться точки 𝐶 і 𝐵, то кола будуть перетинатися у двох точках (Рис.3.8).
Рис.3.8 Перетин кіл
Тепер 𝑂1𝑂2 > 𝑟1 − 𝑟2 і, крім того: 𝑂1𝑂2 = 𝑂1𝐵 + 𝐵𝑂2 < 𝑂1𝐵 + 𝑂2𝐶 або 𝑂1𝑂2 < 𝑟1+𝑟2.
Як тільки точки 𝐶 і 𝐵 сумістяться (Рис.3.9), то кола знову будуть дотикатися. Такий дотик називається зовнішнім.
Рис.3.9 Зовнішній дотик
У цьому випадку 𝑂1𝑂2 = 𝑂1𝐵 + 𝑂2𝐶 = 𝑟1+𝑟2.
Якщо продовжити збільшувати значення 𝑑, то кола знову не будуть мати спільних точок. Тоді 𝑂1𝑂2 > 𝑟1+𝑟2.
Таким чином, якщо:
- 𝑂1𝑂2 < 𝑟1 − 𝑟2 або 𝑂1𝑂2 > 𝑟1+𝑟2, то кола не перетинаються;
- 𝑂1𝑂2 = 𝑟1 − 𝑟2 або 𝑂1𝑂2 = 𝑟1+𝑟2, то кола дотикаються;
- 𝑟1 − 𝑟2 < 𝑂1𝑂2 < 𝑟1+𝑟2 , то кола перетинаються у двох точках.
Запам’ятайте. Два кола мають внутрішній дотик, якщо відстань між їх центрами дорівнює різниці радіусів. Два кола дотикаються зовні, якщо
відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів. Два кола перетинаються, якщо відстань між їх центрами менша за суму радіусів, але більша за їх різницю.
Досліджуючи взаємне розміщення двох кіл, ми бачили, що якщо кола перетинаються, то утворюється трикутник із відрізка 𝑂1𝑂2 і двох радіусів. Це відбувається за умови: |𝑟1 − 𝑟2| < 𝑂1𝑂2 < 𝑟1 + 𝑟2[3]
Цю нерівність називають нерівністю трикутника. З неї слідує, що із трьох відрізків можна утворити трикутник тоді і тільки тоді, якщо будь-який відрізок менший за суму двох інших і більший за їх різницю.
Запам’ятайте. У трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін і більша за їх різницю.
Крім того, варто звернути увагу на те, що точка дотику двох кіл завжди лежить на прямій, що проходить через їх центри. Тому умови:
𝑂1𝑂2 = 𝑂1𝐷 + 𝐷𝑂2 і 𝑂1𝑂2 = 𝑂1𝐹 − 𝐹𝑂2,
за яких два кола дотикаються можна використати для перевірки, чи три точки лежать на одній прямій. Зауважимо, що у першому випадку точка 𝐷 лежить між точками 𝑂1 і 𝑂2, а у другому точки 𝑂1 і 𝑂2 лежать по один бік від точки 𝐹.
Запам’ятайте. Три точки 𝐴, 𝐵 і 𝐶 лежать на одній прямій, якщо 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 − 𝐶𝐵.
При цьому точка 𝐶 лежить між точками 𝐴 і 𝐵.
3.3 Задачі на побудову
У середовищі GeoGebra є достатньо інструментів, які дозволяють швидко будувати паралельні і перпендикулярні прямі, відкладати відрізки і кути заданої величини, будувати бісектрису кута, дотичну до кола тощо. Але при виконанні рисунків на папері, ми використовуємо лише циркуль, лінійку без поділок, косинець, транспортир. Змоделювати такі побудови у GeoGebra можна, якщо використовувати лише деякі інструменти.
Наприклад, на папері пряму, відрізок чи промінь можна побудувати за допомогою лінійки без поділок, якщо задані дві точки. Тому для моделювання таких побудов підходять інструменти Пряма, Відрізок, Промінь. Інструмент Відрізок заданої довжини моделює лінійку з поділками. Для побудови кола необхідно знати центр і радіус. Таку побудову може моделювати інструмент Циркуль. Іноді необхідно побудувати коло довільного радіуса. У цьому випадку можна скористатися інструментом Коло. Центр і радіус, якщо у якості радіуса вказати найбільш вдале число, або інструментом Коло з центром і точкою на колі.
Такий інструмент, як Перпендикулярна пряма, моделює косинець. Інструменти Кут і Кут заданої величини моделюють транспортир. Тому, якщо ідеться про побудову лише циркулем і лінійкою, то ці інструменти не використовуємо. Для побудови паралельних прямих на папері іноді використовують двосторонню лінійку. Але вона дозволяє побудувати лише прямі, що знаходяться на фіксованій відстані одна від одної. Тому, якщо ми моделюємо побудови на папері, то інструмент Паралельна пряма, теж використовувати недоцільно. Також при моделюванні побудов на папері у середовищі GeoGebra, не варто користуватися інструментом Переміщення, оскільки малюнок, виконаний на папері, перенести на нове місце неможливо.
Розв’язання задачі на побудову полягає у встановленні алгоритму побудови фігури, що володіє вказаними властивостями, або доведенні, що такої фігури не існує. Кожен крок алгоритму – це виконання певної елементарної побудови. Тому вміння розв’язувати складніші задачі вимагає освоєння елементарних побудов.
Прикладом елементарних побудов є відкладання відрізка рівного даному, побудова симетричних точок відносно заданого центра та відносно заданої осі, які ми розглядали у другому розділі. Алгоритми інших елементарних побудов будуть розглянуті у цьому розділі.
Процес розв’язування задачі на побудову включає декілька етапів:
- Аналіз. Припускають, що фігура уже побудована. (Малюнок виконують довільно від руки). Тоді аналізують, які властивості фігури можна використати для виконання завдання, які елементи фігури і у якій послідовності можна побудувати, щоб розв’язати задачу.
- Побудова. Виконання елементарних побудов у послідовності, встановленій в процесі аналізу.
- Доведення. Обґрунтування того, що побудована фігура володіє заданими в умові задачі властивостями.
- Дослідження. Встановлення, за яких умов задача має розв’язок, за яких може мати кілька розв’язків, а за яких розв’язку немає.
Проілюструємо сказане на прикладі конкретної задачі.
Задача. Побудувати трикутник за трьома сторонами.
Таку задачу ми розв’язували при виведені третьої ознаки рівності трикутників. Однак, тоді ми будували трикутник, у якого сторони дорівнюють сторонам заданого трикутника. Зараз задача полягає в тому, що ми маємо побудувати трикутник, сторони якого дорівнюють трьом заданим відрізкам. Різниця в тому, що за таких умов задача не завжди має розв’язок. Існують відрізки, з яких не можна побудувати трикутник. Тому у нашому випадку ще потрібно дослідити, коли задача має розв’язок.
Розв’язуючи задачі на папері, ми спочатку будуємо задані елементи, а потім потрібну фігуру. Вихідні елементи підбираємо так, щоб задача мала розв’язок. Потім в процесі дослідження з’ясовуємо, чи завжди існує розв’язок і скільки може бути розв’язків.
Якщо моделювати розв’язок у GeoGebra, то вихідні елементи краще задавати за допомогою повзунків. Це полегшить проведення аналізу. Оскільки ми можемо змінювати значення вхідних даних і спостерігати, як це впливає на розв’язок задачі.
У нашому випадку створимо три повзунки 𝑎, 𝑏 і 𝑐, які задають сторони трикутника. Відповідні відрізки будуємо за допомогою інструмента Відрізок заданої довжини. У вікнах властивостей цих відрізків створюємо відповідні написи і відображаємо їх.
Розпочинаємо із аналізу задачі. Припускаємо, що задача розв’язана і побудовано 𝐴𝐵𝐶, у якого 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐. Будуємо довільний трикутник за допомогою інструмента Многокутник. Теж створюємо і відображаємо відповідні написи для сторін трикутника (Рис.3.10).
Щоб побудувати трикутник досить знати положення трьох його вершин. Якщо вибрати відрізок 𝑏, то цим самим визначимо положення двох вершин: 𝐴 і
𝐶.
Зауважимо, що вершина 𝐵 знаходиться на відстані 𝑐 від точки 𝐴. Це означає, що вона лежить на колі з центром у точці 𝐴 і радіусом 𝑐. Аналогічно встановлюємо, що ця точка належить колу з центром у точці 𝐶 і радіусом 𝑎. Значить є точкою перетину цих кіл.
Рис.3.10 Аналіз задачі
Побудова.
1. Будуємо відрізок 𝐴𝐶 = 𝑏.
2. Будуємо коло з центром у точці 𝐴 і радіусом 𝑐 та коло з центром у точці 𝐶 і радіусом 𝑎.
3. Будуємо точку 𝐵 перетину цих кіл і 𝐴𝐵𝐶 (Рис.3.11).
Рис.3.11 Побудова трикутника за трьома сторонами.
Доведення.
𝐴𝐶 = 𝑏 за побудовою. Точка 𝐵 лежить на колі з центром у точці 𝐴 і радіусом 𝑐, тому 𝐴𝐵 = 𝑐. Аналогічно 𝐵𝐶 = 𝑎.
Дослідження.
Задача має розв’язок, якщо кола перетинаються, тобто, якщо:
|𝑎 − 𝑐| < 𝑏 < 𝑎 + 𝑐
Якщо ця умова виконується, то кола перетинаються у двох точках, симетричних відносно прямої 𝐴𝐶. Отже, існують два трикутники із заданими сторонами. Оскільки ці трикутники симетричні, то вони рівні між собою.
За допомогою даної моделі усі ці висновки можна продемонструвати змінюючи значення параметрів 𝑎, 𝑏 і 𝑐.
Готову модель можна завантажити за покликанням:
https://www.geogebra.org/m/eg3mdwqx
3.4 Геометричні місця точок (ГМТ)
Повернемося до задачі на побудову трикутника за трьома сторонами.
Аналізуючи задачу було встановлено, що вершина 𝐵 знаходиться на відстані 𝑐 від вершини 𝐴 і на відстані 𝑎 від вершини 𝐶. Оскільки першу властивість мають усі точки кола з центром у точці 𝐴 і радіусом 𝑐, а другу – усі точки кола з центром у точці 𝐶 і радіусом 𝑎, то вершина B є точкою перетину цих кіл. Ключем до розв’язання цієї задачі виявилися кола, завдяки особливій властивості усіх точок, що їх утворюють.
Фігури, всі точки яких мають якусь спільну властивість, дуже часто використовують при розв’язуванні задач на побудову. Такі фігури ще називають геометричним місцем точок (ГМТ).
Означення. Геометричним місцем точок називається фігура, всі точки якої володіють певною властивістю.
Коло є прикладом ГМТ. Пригадаємо його означення.
Колом називається лінія, всі точки якої однаково віддалені від однієї точки – центра кола. Сформулюємо означення кола, використовуючи поняття ГМТ:
Означення. Коло – це ГМТ, рівновіддалених від однієї точки – його центра.
При вивченні властивостей рівнобедреного трикутника було встановлено, що усі точки серединного перпендикуляра рівновіддалені від кінців відрізка, до якого проведений цей перпендикуляр. Тому можна сформулювати ще одне означення серединного перпендикуляра.
Означення. Серединний перпендикуляр до відрізка – це ГМТ, рівновіддалених від кінців цього відрізка.
Ще одним цікавим ГМТ є бісектриса кута. Побудуємо 𝐵𝐴𝐶 і бісектрису 𝐴𝐷. Виберемо на бісектрисі довільну точку 𝐷 і опустимо з неї перпендикуляри 𝐷𝐸 і 𝐷𝐹 на сторони кута. За допомогою інструмента Відстань або довжина виміряємо довжини цих перпендикулярів (Рис.3.12).
Рис.3.12 Властивість бісектриси кута
Переміщуючи точку 𝐷, переконуємося, що ці перпендикуляри завжди будуть рівними. Це слідує із рівності прямокутних трикутників 𝐷𝐸𝐴 і 𝐷𝐹𝐴 за гіпотенузою і гострим кутом. Тому маємо ще одне означення бісектриси:
Побудуємо дві паралельні прямі. Виберемо на одній з них довільну точку 𝑀. З цієї точки проведемо перпендикуляр 𝑀𝐷 на іншу пряму. Виміряємо довжину цього перпендикуляра. За допомогою інструмента Переміщення будемо перетягувати точку 𝑀. Переконаємось, що довжина перпендикуляра не змінюється (Рис.5.4). Цю довжину називають відстанню між паралельними прямими.
Рис.3.13 ГМТ віддалених від даної прямої на задану відстань
Побудуємо пряму, яка симетрична одній із даних прямих відносно іншої прямої. Переконайтесь, що вона також віддалена від даної прямої на ту саму відстань. Обґрунтуйте це за допомогою логічних міркувань.
Запам’ятайте! ГМТ, віддалених від даної прямої на задану відстань, є дві прямі, паралельні даній прямій і симетричні відносно неї.
3.5 Побудова серединного перпендикуляра
У GeoGebra серединний перпендикуляр до заданого відрізка будують за допомогою інструмента Серединний перпендикуляр. Розглянемо, як виконати цю побудову на папері за допомогою циркуля і лінійки. Щоб з’ясувати цей алгоритм, розв’яжемо задачу:
Задача. Побудувати серединний перпендикуляр до відрізка. (Поділити відрізок навпіл).
Аналіз. Припустимо, що задача розв’язана і уже побудований серединний перпендикуляр до відрізка 𝐴𝐵 (Рис.3.14). Виберемо на серединному перпендикулярі довільну точку 𝐶. Тоді трикутник ABC буде рівнобедреним. Отже, побудувавши довільний рівнобедрений трикутник з основою 𝐴𝐵, ми знайдемо одну точку серединного перпендикуляра. Якщо таких трикутників побудувати два, то одержимо дві точки, через які можна провести цей перпендикуляр.
Будувати трикутник за трьома сторонами ми вміємо. Більше того, для побудови трикутника за трьома сторонами шукаємо точку перетину двох кіл. Але кола перетинаються у двох точках. Тому два трикутники ми побудуємо одночасно.
Рис.3.14 Аналіз задачі на побудову серединного перпендикуляра.
Побудова. Нехай заданий відрізок 𝐴𝐵.
1. Будуємо кола з центрами у точках 𝐴 та 𝐵 та радіусом 𝐴𝐵 і знаходимо точки перетину 𝐶 і 𝐷 цих кіл.
2. Будуємо пряму 𝐶𝐷 (Рис.3.15).
Пряма 𝐶𝐷 буде серединним перпендикуляром до відрізка 𝐴𝐵.
Рис.3.15 Побудова серединного перпендикуляра
Доведення. Точки 𝐶 і 𝐷 симетричні відносно прямої 𝐴𝐵, тому 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵. Крім того, 𝐴𝐵𝐶 – рівнобедрений, тому 𝐶𝐸 медіана. Тобто 𝐸 середина 𝐴𝐵.
Зауважимо, що кола можуть бути і менших радіусів. Проте важливо, щоб ці радіуси були однаковими і більшими за половину відрізка. Крім того, серединний перпендикуляр поділяє відрізок AB навпіл. Тому цей самий алгоритм ми будемо використовувати для поділу відрізка навпіл. Нагадаємо, що у GeoGebra для цього використовуємо інструмент Середина або центр 
.
3.6 Побудова перпендикулярної прямої
Задача 1. Побудувати пряму, перпендикулярну до даної прямої, яка проходить через точку на даній прямій.
Аналіз. Ми вміємо будувати серединний перпендикуляр до заданого відрізка. Тому для виконання побудови досить на даній прямій побудувати відрізок, для якого задана точка є серединою. Оскільки всі точки кола однаково віддалені від його центра, то кінцями такого відрізка будуть точки перетину даної прямої з колом довільного радіуса, центром якого є задана точка (Рис.3.16).
Рис.3.17 Побудова відрізка, серединою якого є точка 𝐴
Побудова.
1. Будуємо коло з центром у точці 𝐴 довільного радіуса.
2. Будуємо точки 𝐵 і 𝐶 перетину прямої і кола.
3. Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка 𝐵𝐶.
Недавно ми будували точку симетричну даній, відносно даної прямої. Оскільки пряма, що проходить через симетричні точки перпендикулярна до осі симетрії, то цей алгоритм можна використати для побудови прямої, перпендикулярної даній, що проходить через точку поза прямою.
Нагадаємо його.
1. Вибираємо на прямій довільні дві точки.
2. Будуємо два кола з центрами у цих точках, які проходять через задану точку поза прямою.
3. Знаходимо ще одну точку перетину цих кіл. Через задану і знайдену точку проводимо пряму, перпендикулярну даній.
Зауважимо, що це не єдиний алгоритм побудови перпендикулярної прямої. Наприклад, можна побудувати коло довільного радіуса, яке перетинає задану пряму у точках 𝐵 і 𝐶 (Рис.3.18).
Рис.3.18 Побудова відрізка, кінці якого рівновіддалені від точки 𝐴
Тоді серединний перпендикуляр до відрізка 𝐵𝐶 буде шуканою перпендикулярною прямою.
3.7 Побудова паралельної прямої
Задача 1. Через точку поза прямою побудувати пряму, паралельну до даної прямої.
Цю задачу ми розв’язували при введенні поняття паралельності прямих, використовуючи інструменти GeoGebra. Так само вона розв’язується, спираючись на елементарні побудови, розглянуті вище.
Розв’язання.
1. Через задану точку 𝑀 поза прямою 𝑎 будуємо пряму 𝑏, перпендикулярну до прямої 𝑎.
2. Через точку 𝑀, що належить прямій b, будуємо пряму с, перпендикулярну до прямої b.
Одержана пряма с буде паралельною до прямої а.
Однак, це не єдиний спосіб побудови паралельної прямої. Наприклад, ще один спосіб ґрунтується на теоремі про властивість центральної симетрії.
Теорема. Центральна симетрія пряму (що не проходить через центр симетрії) переводить у паралельну їй пряму.
Доведення. Нехай маємо пряму AB і точку O поза нею. Побудуємо точки 𝐴′ і 𝐵′ симетричні точкам 𝐴 та 𝐵 відносно точки O. Тоді пряма 𝐴′𝐵′ буде симетрична прямій 𝐴𝐵 відносно цієї точки (Рис.3.19).
Розглянемо 𝐴𝑂𝐵 і 𝐴′𝑂𝐵′. Вони рівні за двома сторонами і кутом між ними. Тому 𝑂𝐴𝐵 = 𝑂𝐴′𝐵′. Але ці кути є внутрішніми різносторонніми, які утворені прямими AB і 𝐴′𝐵′ та січною 𝐴𝐴′. Отже, прямі AB і 𝐴′𝐵′ паралельні.
Рис.3.19 Центрально симетричні прямі
Використовуючи цю теорему, алгоритм розв’язання задачі 1 може бути таким:
1. Вибираємо на заданій прямій 𝑎 довільні точки 𝐴 і 𝐵.
2. Будуємо відрізок AM і точку 𝑂 – середину відрізка AM.
3. Будуємо точку 𝐵′, симетричну точці 𝐵 відносно точки 𝑂.
4. Будуємо пряму 𝐵′𝑀, яка буде паралельна заданій прямій 𝑎.
Задача 2. Побудувати ГМТ, віддалених від даної прямої на задану відстань.
Побудова.
1. Вибираємо на заданій прямій довільну точку 𝑂 і через неї проводимо пряму 𝑝, перпендикулярну до цієї прямої.
2. Будуємо коло з центром у точці 𝑂 і радіусом, що дорівнює заданій відстані.
3. Будуємо точки 𝐴 та 𝐵 перетину кола із прямою 𝑝.
4. Через точки 𝐴 та 𝐵 будуємо прямі, перпендикулярні до прямої 𝑝.
3.8 Побудови, пов’язані з колом
Задача 1. На даному відрізку побудувати коло, як на діаметрі.
Аналіз. Для побудови кола потрібно мати центр і радіус. Центр кола лежить на середині діаметра, а радіус дорівнює його половині. Побудова.
1. Будуємо точку 𝐶 – середину заданого відрізка 𝐴𝐵.
2. Будуємо коло з центром у точці 𝐶 і радіусом 𝐶𝐴. Задача 2. Побувати центр заданого кола.
Аналіз. Виберемо на колі три точки 𝐴, 𝐵 і 𝐶 (Рис.3.20). Оскільки Точки 𝐴 і 𝐵 рівновіддалені від центра коло, то центр лежить на серединному перпендикулярі до відрізка 𝐴𝐵. Аналогічно, центр кола належить серединному перпендикуляру відрізка 𝐵𝐶, а значить є точкою перетину цих серединних перпендикулрів.
Рис.3.20 Побудова центра кола Побудова.
1. Вибираємо на колі довільні три точки 𝐴, 𝐵 і 𝐶.
2. Будуємо серединні перпендикуляри до відрізків 𝐴𝐵і 𝐵𝐶.
3. Будуємо точку перетину цих серединних перпендикулярів, яка буде центром даного кола.
Задача 3. Через точку на колі, провести дотичну до кола.
Аналіз. Пригадаємо, що дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного у точку дотику.
Побудова.
1. Будуємо центр кола (Задача 2).
2. Будуємо радіус з кінцем у точці дотику.
3. Через точку дотику проводимо пряму перпендикулярну до радіуса. Задача 4. Через точку поза колом провести дотичну до кола.
Аналіз. Оскільки дотична 𝐴𝐵 перпендикулярна до радіуса 𝑂𝐵 (Рис.3.21), то 𝐴𝐵𝑂 прямокутний. Отже, точка 𝐵 належить колу, побудованому на відрізку 𝐴𝑂, як на діаметрі.
Рис.3.21 Визначення точки дотику Побудова.
1. Будуємо центр кола, точку 𝑂.
2. На відрізку 𝐴𝑂 будуємо коло, як на діаметрі.
3. Будуємо точку 𝐵 перетину побудованого кола з даним колом.
4. Будуємо дотичну 𝐴𝐵 до кола.
3.9 Побудови, пов’язані з кутом
Задача 1. Побудувати кут рівний даному.
Аналіз. Ми вміємо будувати трикутник за трьома сторонами. Тому, якщо на сторонах заданого кута вибрати по одній точці, то вони разом з вершиною кута задають трикутник, у якого один кут рівний даному. Кількість елементарних побудов можна зменшити, якщо ці точки будуть розміщені на однаковій відстані від вершини кута.
На основі проведеного аналізу маємо наступний алгоритм побудови:
Побудова. Нехай задано кут з вершиною 𝐴 і промінь з початком 𝐹.
1. Будуємо коло довільного радіуса з центром у точці 𝐴 і знаходимо точки 𝐸 і 𝐷 перетину цього кола зі сторонами даного кута (Рис.3.22).
Рис.3.22 Побудова кута, рівного даному.
2. Будуємо коло такого ж радіуса з центром у точці 𝐹 і знаходимо точку 𝐻 перетину цього кола з променем.
3. Будуємо коло з центром у точці 𝐻 і радіусом 𝐷𝐸.
4. Знаходимо точку 𝐼 перетину даних кіл.
5. Будуємо промінь 𝐹𝐼.
Одержаний 𝐻𝐹𝐼 буде рівний даному.
Доведення. 𝐹𝐼𝐻 = 𝐴𝐸𝐷 (за трьома сторонами). Кути 𝐹 і 𝐴 – відповідні кути цих трикутників, тому 𝐹 = 𝐴.
Зауважимо, що кола перетинаються ще у одній точці 𝐽. Якщо вибрати цю точку, то 𝐽𝐹𝐺 теж буде рівний даному. Але він буде знаходитись у іншій півплощині відносно прямої 𝐹𝐻, ніж 𝐻𝐹𝐼.
У GeoGebra є інструмент для побудови бісектриси кута. Однак, на папері за допомогою циркуля і лінійки побудувати бісектрису значно складніше.
Задача 2. Побудувати бісектрису кута.
Аналіз. Нехай бісектриса 𝐴𝐷 заданого 𝐵𝐴𝐶 уже побудована (Рис.3.23). Тоді промені 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 будуть симетричні відносно прямої 𝐴𝐷.
Оскільки, при осьовій симетрії зберігаються відстані, то будь-яка точка на бісектрисі рівновіддалена не лише від сторін кута, але і від будь-яких симетричних точок на цих променях. В свою чергу симетричні точки, що належать сторонам кута, рівновіддалені від вершини кута, тобто лежать на одному колі.
Рис.3.23 Аналіз задачі на побудову бісектриси
Побудова.
1. Будуємо коло довільного радіуса з центром у вершині кута і знаходимо точки 𝐹 і 𝐸 перетину сторін кута з цим колом.
2. Будуємо два кола з центрами у точках 𝐹 і 𝐸 однакових радіусів і знаходимо точку 𝐷 перетину цих кіл.
3. Через вершину кута і точку 𝐷 проводимо бісектрису.
Доведення. 𝐴𝐹𝐷 = 𝐴𝐸𝐷 (за трьома сторонами). Звідси 𝐹𝐴𝐷 =
𝐸𝐴𝐷.
3.10 Метод ГМТ при розв’язуванні задач на побудову
Тепер розв’яжемо задачу на побудову. На прикладі цієї задачі продемонструємо суть методу ГМТ. Крім того, продемонструємо всі етапи роботи над такими задачами.
Задача. Побудувати трикутник за заданою основою, висотою, проведеною до неї, та однією бічною стороною.
Аналіз. Припустимо, що задача розв’язана і побудований 𝐴𝐵𝐶, у якого основа 𝐴𝐶 дорівнює відрізку 𝑏, висота 𝐵𝐷 = ℎ, а бічна сторона 𝐴𝐵 = 𝑐. (Рис.3.24). Якщо побудуємо відрізок завдовжки 𝑏, то його кінці будуть вершинами шуканого трикутника. Таким чином, будемо мати положення вершин 𝐴 і 𝐶. Вершина 𝐵 належить ГМТ, віддалених від точки 𝐴 на відстань 𝑐. Крім того, вона належить ГМТ, віддалених від прямої 𝐴𝐶 на відстань ℎ. Тобто є точкою перетину кола і прямої паралельної до цього відрізка.
Рис.3.24 Аналіз задачі
Побудова. Відрізки 𝑏 𝑐 і ℎ задаємо за допомогою бігунків (Рис.3.24).
1. Будуємо відрізок 𝐴𝐶 = 𝑏.
2. Будуємо коло з центром у точці 𝐴 і радіусом 𝑐.
3. Будуємо пряму, віддалену від прямої 𝐴𝐶 на відстані ℎ .
4. Будуємо точку 𝐵 перетину кола і прямої.
5. Будуємо трикутник 𝐴𝐵𝐶 (Рис.3.25).
Рис.3.25 Побудова
Доведення. 𝐴𝐶 = 𝑏 і 𝐴𝐵 = 𝑐 за побудовою. Всі точки прямої, паралельної до 𝐴𝐶, віддалені від неї на відстань ℎ, тому висота трикутника дорівнює ℎ.
Дослідження. Пряма з колом можуть перетинатися у 2 точках, тоді задача має 2 розв’язки (див. Рис.3.25). Пряма може дотикатися до кола, тоді задача буде мати один розв’язок. Пряма і коло можуть і не перетинатися, тоді задача не буде мати розв’язків.
За цим посиланням можна завантажити модель за якою можна провести дослідження розв’язку: https://www.geogebra.org/m/knm2sus2
3.11 Коло, описане навколо трикутника
Використовуючи інструмент Многокутник побудуємо 𝐴𝐵𝐶. Далі, за допомогою інструмента Коло за трьома точками, побудуємо коло, яке проходить через вершини 𝐴, 𝐵 і 𝐶. Таке коло називається описаним навколо трикутника.
Означення. Коло, яке проходить через вершини трикутника, називається описаним навколо цього трикутника. Одночасно трикутник називається вписаним у коло.
З’ясуємо, чи завжди можна описати коло навколо трикутника і де буде знаходитися його центр.
Оскільки коло проходить через вершини 𝐴 та 𝐵, то ці точки однаково віддалені від його центра. Отже, центр кола лежить на серединному перпендикулярі, то сторони 𝐴𝐵. Аналогічно центр кола лежить на серединному перпендикулярі до сторони 𝐵𝐶. (Рис.3.26). А так, як прямі 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 не паралельні, то ці серединні перпендикуляри перетинаються у точці 𝑂, яка є центром даного кола.
Крім того, 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 і 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶, тому 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶. Тобто серединний перпендикуляр до сторони 𝐴𝐶 теж буде проходити через точку 𝑂. Це означає, що навколо будь-якого трикутника можна описати коло.
Запам’ятайте. Навколо будь-якого трикутник можна описати коло.
Центр описаного кола знаходиться у точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
Рис.3.26 Коло, описане навколо трикутника
Простежимо тепер, як залежить положення центра описаного кола від форми трикутника. Для цього виберемо інструмент Многокутник і побудуємо гострокутний трикутник. Використовуючи інструмент Коло за трьома точками, опишемо коло навколо цього трикутника. На завершення побудуємо центр кола за допомогою інструмента Середина або центр. Щоб можна було відобразити усі випадки, скопіюємо одержаний малюнок і вставимо двічі
(Рис.3.27).
Рис.3.27 Розташування центра описаного кола
Перший малюнок змінювати не будемо. На другому малюнку перетягнемо вершини так, щоб одна сторона стала діаметром. Легко довести, що, у цьому випадку одержимо прямокутний трикутник. Адже вписаний 𝐴1𝐵1𝐶1, спирається на діаметр, а тому є прямим. Зауважимо, що, у цьому випадку, центр кола лежить на середині гіпотенузи.
На третьому рисунку перетягнемо вершини так, щоб центр перемістився за межі трикутника. Очевидно, що одержимо тупокутний трикутник, адже вписаний 𝐴2𝐵2𝐶2, спирається на дугу, більшу за півколо.
Запам’ятайте. Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника належить внутрішній області трикутника. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи. Центр кола,
описаного навколо тупокутного трикутника лежить за його межами.
Наслідок. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи.
3.12 Коло, вписане у трикутник
Побудуємо коло невеликого радіуса. Для цього можна скористатися інструментом Коло. Центр і радіус. Виберемо на колі довільні три точки. Використовуючи інструмент Дотична, побудуємо дотичні до кола в цих точках. Далі знайдемо точки перетину цих дотичних і, використовуючи інструмент Многокутник, побудуємо трикутник з вершинами у даних точках (Рис.3.28).
Рис.3.28 Коло, вписане у трикутник
Як бачимо, сторони цього трикутника є дотичними до кола. Таке коло називається вписаним у трикутник. Відповідно трикутник називається описаним навколо кола.
Означення. Трикутник, всі сторони якого є дотичними до кола, називається описаним навколо кола. Відповідно коло називається вписаним у трикутник.
З’ясуємо, чи у кожен трикутник можна вписати коло і де знаходиться центр цього кола.
Оскільки 𝑂𝐴 і 𝑂𝐵 (Рис.3.28) радіуси кола, проведені у точку дотику, то вони є перпендикулярами до відповідних дотичних. Тоді 𝐹𝐴𝑂 = 𝐹𝐵𝑂 за гіпотенузою і катетом. Отже, 𝐴𝐹𝑂= 𝐵𝐹𝑂. Тобто 𝐹𝑂 – бісектриса 𝐸𝐹𝐺 Аналогічно показуємо, що центр кола лежить на бісектрисах 𝐹𝐺𝐸 та 𝐹𝐸𝐺. Оскільки всі бісектриси трикутника перетинаються у одній точці, то у кожен трикутник можна вписати коло.
Запам’ятайте! У кожен трикутник можна вписати коло.
Центр вписаного кола знаходиться у точці перетину бісектрис трикутника.
Нехай у довільний трикутник 𝐴𝐵𝐶 зі сторонами 𝑎, 𝑏 і 𝑐 вписано коло, яке торкається його сторін у точках 𝑀, 𝑁 і 𝐾 (Рис.3.29).
Рис.3.29 Властивість вписаного кола
Як відомо, відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, є рівними. Для зручності, на Рис.3.29 рівні відрізки зафарбовані у однаковий колір.
Як бачимо, відрізки кожного кольору, взяті по одному, утворюють півпериметр. Тобто:
𝑎+𝑏+𝑐 ф + з + ч = 
= 𝑝, де ф – відрізок фіолетового кольору, з – зеленого, ч 2
– червоного; 𝑝 – півпериметр.
Оскільки 𝑎 = з + ч; 𝑏 = ф + ч; 𝑐 = ф + з, то 𝑝 = 𝑎 + ф = 𝑏 + з = 𝑐 + ч.
Корисно запам’ятати: півпериметр трикутника дорівнює сумі довжини однієї сторони і відстані від точки дотику вписаного у цей трикутник кола, яка не належить цій стороні, до протилежної вершини.
3.13 Зовні вписане коло у трикутник
Побудуємо трикутник 𝐴𝐵𝐶. Проведемо промені 𝐴𝐷 і 𝐴𝐸, які є продовженнями сторін 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 відповідно. Тепер побудуємо бісектриси утворених зовнішніх кутів 𝐷𝐵𝐶 і 𝐸𝐶𝐵 (Рис.3.30). Нехай ці бісектриси перетинаються у точці 𝑂. Опустимо з точки 𝑂 перпендикуляри 𝑂𝐹, і 𝑂𝐻 на сторони 𝐷𝐵𝐶. Тоді 𝑂𝐹𝐵 = 𝑂𝐻𝐵 за гіпотенузою і гострим кутом. Тому 𝑂𝐹 = 𝑂𝐻. Аналогічно доводимо, що 𝑂𝐻 = 𝑂𝐺 (𝑂𝐺⊥𝐶𝐸). Це означає, що коло з центром у точці 𝑂 і радіусом 𝑂𝐹 дотикається до сторони 𝐵𝐶 у точці 𝐻 і продовження сторін 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 у точках 𝐹 і 𝐺 відповідно.
Таке коло називається зовні вписаним. Аналогічно можна вписати зовні кола і до інших сторін трикутника.
Рис.3.30 Зовні вписане коло
Використовуючи властивості дотичних, проведених до кола з точки поза колом, маємо: 𝐴𝐹 = 𝐴𝐺; 𝐶𝐻 = 𝐶𝐺; 𝐵𝐹 = 𝐵𝐻.
Тому периметр 𝐴𝐵𝐶 дорівнює:
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐻 + 𝐻𝐶 + 𝐶𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐹 + 𝐺𝐶 + 𝐴𝐶 = 𝐴𝐹 + 𝐴𝐺. Але 𝐴𝐹 = 𝐴𝐺 = 𝑝, де 𝑝-півпериметр трикутника.
Корисно запам’ятати: півпериметр трикутника дорівнює відстані від його вершини до точки дотику зовні описаного кола, яке дотикається протилежної сторони.
8 клас
Розділ 4. Чотирикутники
4.1 Чотирикутник. Властивості кутів чотирикутника
Виберемо інструмент Многокутник 
і побудуємо два довільних чотирикутники 𝐴𝐵𝐶𝐷 та 𝐸𝐹𝐺𝐻 (Рис.4.1). У чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 всі кути менші за розгорнутий. Такий чотирикутник називається опуклим. Цікаво, що цей чотирикутник лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону. У чотирикутнику 𝐸𝐹𝐺𝐻 кут 𝐻 більший за розгорнутий. Якщо провести пряму 𝐸𝐻, то вона поділить цей чотирикутник на дві частини, які лежать по різні боки від цієї прямої.
Рис.4.1 Чотирикутники
Означення. Многокутник, який лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону, називається опуклим.
У шкільному курсі геометрії розглядаються лише опуклі многокутники. Тому, коли ми говоримо про чотирикутник чи будь-який інший многокутник, то завжди будемо мати на увазі, що він опуклий.
У чотирикутнику 𝐴𝐵С𝐷 проведемо відрізок 𝐵𝐷 (Рис.4.2). Цей відрізок називається діагоналлю чотирикутника.
Рис.4.2 Діагональ чотирикутника
Означення. Відрізок, що з’єднує дві несусідні вершини многокутника називається діагоналлю многокутника.
Як бачимо, діагональ чотирикутника поділяє його на два трикутники. Але сума внутрішніх кутів кожного трикутника дорівнює по 180. Крім того, 𝐷 = 1 +3 і 𝐵 = 2 +4, тому сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360.
Запам’ятайте! Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360.
Пригадаємо, означення зовнішнього кута трикутника. Побудуємо зовнішні кути чотирикутника по одному біля кожної вершини. Можна створити або завантажити готову модель, яка допоможе встановити, чому дорівнює сума зовнішніх кутів чотирикутника (https://www.geogebra.org/m/fyftskzy).
За допомогою цієї моделі легко встановити, що сума зовнішніх кутів чотирикутника дорівнює 360.
Цей самий результат одержуємо простими
розрахунками: внутрішній і зовнішній кути є суміжні, тому їх сума 180. Таких пар 4, тому загальна сума 180 ∙ 4 = 720. Віднімемо суму внутрішніх кутів і одержимо 360.
Запам’ятайте! Сума зовнішніх кутів чотирикутника дорівнює 360.
4.2 Паралелограм
Побудуємо відрізки 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶, що не лежать на одній прямій. Далі через точку 𝐴 проведемо пряму паралельну 𝐵𝐶, а через точку 𝐶 – пряму паралельну 𝐴𝐵. Тепер побудуємо точку 𝐷 перетину цих прямих і чотирикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷 (Рис.4.3).
Рис.4.3 Побудова паралелограма
Одержаний чотирикутник називається паралелограмом.
Означення. Чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.
Із означення паралелограма слідує, що сума його сусідніх кутів дорівнює 180. Наприклад, 𝐴 +𝐵 = 180 (Рис.4.3), оскільки вони є внутрішніми односторонніми, утвореними паралельними прямими 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶 та січною 𝐴𝐵.
Виберемо на стороні паралелограма довільну точку і опустимо з неї перпендикуляр на пряму, що містить протилежну сторону. Одержаний перпендикуляр називається висотою паралелограма (Рис.4.4).
Означення. Висотою паралелограма називається перпендикуляр, опущений з будь-якої точки його сторони на пряму, що містить протилежну сторону.
Рис.4.4 Висоти паралелограма
З кожної вершини можна провести дві висоти. Наприклад, на рисунку 4.4 з вершини 𝐵 проведено дві висоти 𝐵𝐻 і 𝐵𝐹. Як бачимо, основа висоти паралелограма може попадати або на протилежну сторону, або на її продовження.
Проведемо діагональ 𝐵𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 (Рис.4.5). Одержимо рівні трикутники 𝐴𝐵𝐷 і 𝐶𝐷𝐵 (за стороною і прилеглими кутами).
Рис.4.5 Рівність протилежних сторін і кутів паралелограма
Із рівності трикутників 𝐴𝐵𝐷 і 𝐶𝐷𝐵 слідує рівність відповідних сторін і кутів. Тобто 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, А𝐷 = 𝐶𝐵 і 𝐴 = 𝐶. Якщо провести діагональ 𝐴𝐶, то аналогічно можна довести, що 𝐵 = 𝐷. Отже, ми довели теорему.
Теорема. У паралелограма протилежні сторони і протилежні кути рівні.
Наслідок. Периметр паралелограма зі сторонами 𝑎 і 𝑏 обчислюється за формулою: 𝑃 = (𝑎 + 𝑏) · 2.
Перевіримо, чи справедливе обернене твердження. Побудуємо два паралельні і рівні відрізки. Для цього побудуємо відрізок 𝐴𝐵 і виберемо довільну точку 𝐶 поза ним. Через точку С проведемо пряму, паралельну до 𝐴𝐵. За допомогою інструменту Циркуль 
побудуємо коло з центром у точці 𝐶 і радіусом 𝐴𝐵 та знайдемо точки 𝐷 і 𝐸 перетину кола з прямою. Побудуєтмо чотирикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷 (Рис.4.6).
Навіть за допомогою окоміру видно, що це паралелограм. У цьому можна вкотре переконатися, використовуючи інструмент Паралельна пряма 
.
Рис.4.6 Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні і рівні
Крім того, цей факт легко довести і за допомогою логічних міркувань. Проведемо діагональ 𝐵𝐷. Тоді 𝐴𝐵𝐷 = 𝐶𝐷𝐵 (Рис.4.6) за двома сторонами і кутом між ними (Чому?). З рівності цих трикутників випливає рівність відповідних кутів 𝐴𝐷𝐵 = 𝐶𝐵𝐷. Але кути є внутрішні різносторонні, утворені прямими 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶 та січною 𝐵𝐷. Тому прямі 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶 паралельні. Ми довели теорему, яка називається ознакою паралелограма:
Теорема. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні, то цей чотирикутник паралелограм.
Сформулюємо і доведемо ще дві теореми, обернені до теореми про сторони і кути паралелограма.
Теорема. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм.
Доведення. Нехай у чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 і 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 (Рис.4.6) Проведемо діагональ 𝐵𝐷. Тоді 𝐴𝐵𝐷 = 𝐶𝐷𝐵 за трьома сторонами. З рівності цих трикутників випливає рівність відповідних кутів 𝐴𝐵𝐷 = 𝐶𝐷𝐵 і 𝐵𝐷𝐴 =
𝐷𝐵𝐶. Але 𝐴𝐵𝐷 і 𝐶𝐷𝐵 є внутрішні різносторонні, утворені прямими 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 та січною 𝐵𝐷. Тому прямі 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 паралельні. Аналогічно доводимо паралельність іншої пари протилежних сторін.
Теорема. Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм.
Доведення. Нехай у чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴 = 𝐶 = ; 𝐵 = 𝐷 = .
(Рис.4.7)
Тоді: 2+ 2= 360 += 180. Але кути і внутрішні
односторонні, утворені прямими 𝐴𝐷 і BC та січною 𝐴𝐵. Отже, 𝐴𝐷 і BC паралельні. Аналогічно доводимо AB паралельна CD.
Рис.4.7 Ознака паралелограма за кутами
Побудуємо паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, його діагоналі 𝐴𝐶 і 𝐵𝐷 та точку 𝑂 їх перетину (Рис.4.8).
Рис.4.8 Властивість діагоналей паралелограма
Навіть за допомогою окоміру, а тим більше з допомогою інструментів GeoGebra видно, що діагоналі в точці перетину діляться навпіл.
Цю теорему легко довести і за допомогою логічних міркувань.
Теорема. Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл.
Доведення. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷; 𝐵𝐴𝑂 = 𝐷𝐶𝑂 і 𝐴𝐵𝑂 = 𝐶𝐷𝑂. Чому? Отже,
𝐴𝐵𝑂 = 𝐶𝐷𝑂 за стороною і прилеглими кутами. Звідси: 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 і 𝐵𝑂 = 𝑂𝐷, що і потрібно було довести.
Побудуємо тепер чотирикутник, у якого діагоналі у точці перетину діляться навпіл. Для цього виберемо точку 𝐴 і побудуємо відрізок 𝐵𝐷, що не проходить через цю точку. Нехай 𝑂 – середина 𝐵𝐷. Побудуємо промінь 𝐴𝑂 і коло з центром у точці 𝑂 та радіусом 𝐴𝑂. Знайдемо точку 𝐶 перетину променя і кола (Рис.4.9).
Рис.4.9 Чотирикутник, у якого діагоналі у точці перетину діляться навпіл
Як бачимо, цей чотирикутник є паралелограмом. Таким чином, має місце теорема.
Теорема. Якщо діагоналі чотирикутника в точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник паралелограм.
Доведення. Розглянемо 𝐴𝑂𝐵 і 𝐶𝑂𝐷. Вони рівні за двома сторонами і кутом між ними. (Чому?) З рівності трикутників випливають рівності кутів: 𝐵𝐴𝑂 = 𝐷𝐶𝑂. А значить прямі 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 паралельні. (Чому?) Аналогічно доводиться паралельність іншої пари сторін. Отже, даний чотирикутник – паралелограм.
Ця теорема є ще однією ознакою паралелограма.
4.3 Прямокутник
Будемо досліджувати, як залежить форма паралелограма від величини його кутів. Тому побудуємо модель паралелограма, у якого кут можна змінювати за допомогою повзунка. Для цього створимо повзунок (
) у діапазоні від 0 до 180. Побудуємо промінь 𝐴𝐵. Від нього відкладемо 𝐵𝐴𝐵′ = . На стороні 𝐴𝐵′ виберемо довільну точку 𝐷. Через точки 𝐵 і 𝐷 проведемо прямі, паралельні сторонам кута і знайдемо точку 𝐶 перетину цих прямих (Рис.4.11).
Рис.4.11 Модель для перетворення паралелограма на прямокутник
За допомогою інструмента Многокутник 
побудуємо паралелограм
𝐴𝐵𝐶𝐷. Зайві елементи приховаємо.
Для дослідження можна використати уже готову модель: https://www.geogebra.org/m/cpjyjprr
За допомогою повзунка будемо змінювати 𝐴. Як тільки 𝐴 стане прямим, то всі інші кути теж будуть прямими (Рис.4.12). Це легко встановити за допомогою окоміру, а також за допомогою логічних міркувань. Оскільки у паралелограма протилежні кути рівні, тому 𝐶 = 90. А так, як у паралелограма сума сусідніх кутів дорівнює 180, то і 𝐵 = 90 та 𝐷 = 90.
Рис.4.12 Перетворення паралелограма у прямокутник
Означення. Паралелограм з прямим кутом називається прямокутником.
Щойно ми встановили, що у прямокутника усі кути прямі.
Оскільки прямокутник є паралелограмом, то він має усі властивості паралелограма. Зокрема:
- у прямокутника діагоналі у точці перетину діляться навпіл;
- у прямокутника протилежні сторони рівні;
- периметр прямокутника 𝐴𝐵С𝐷 обчислюється за формулою:
𝑷 = (𝑨𝑩 + 𝑩𝑪) · 𝟐
Крім того, прямокутник – це особливий паралелограм, тому він володіє своїми особливими властивостями.
Якщо побудувати діагоналі прямокутника, то легко бачити, що вони будуть рівними. Це видно не лише завдяки окоміру, але й можна довести, розглянувши прямокутні трикутники 𝐵𝐴𝐷 і 𝐶𝐷𝐴 (Рис.4.13).
Рис.4.13 Ознака прямокутника
Ми встановили властивість прямокутника, яку представимо схематично:
Якщо паралелограм є
то його діагоналі рівні прямокутником
Ця схема допоможе сформулювати обернене твердження:
Якщо діагоналі
то він є прямокутником паралелограма рівні
Доведемо його.
Доведення. Нехай у паралелограма 𝐴𝐵С𝐷: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 (Рис.4.13).
Тоді 𝐵𝐴𝐷 = 𝐶𝐷𝐴 за трьома сторонами. З рівності трикутників: 𝐵𝐴𝐷 =
𝐶𝐷𝐴. Але сума цих кутів дорівнює 180, тому вони прямі. Отже, даний паралелограм має прямий кут, а значить є прямокутником.
Ця теорема є ознакою прямокутника. Тобто, якщо ми встановили, що у паралелограма рівні діагоналі, то робимо висновок, що він є прямокутником.
Виберемо інструмент Коло за трьома точками 
і клацнемо по вершинах 𝐴, 𝐵 і 𝐶. Очікувано, що коло пройде і через четверту вершину 𝐷 (Рис.4.14). Легко здогадатися, крім того, можна перевірити за допомогою інструментів GeoGebra, що центр цього кола буде у точці перетину діагоналей. Справді, діагоналі прямокутника рівні і у точці перетину діляться навпіл, тому 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝑂𝐷.
Рис.4.14 Коло, описане навколо прямокутника
Отже, точка 𝑂 рівновіддалена від вершин прямокутника, а всі вказані відрізки є радіусами даного кола.
Запам’ятайте! Навколо прямокутника завжди можна описати коло, центр якого знаходиться у точці перетину його діагоналей.
Побудуємо чотирикутник, у якого три кути прямі (Рис.4.15).
Рис.4.15 Побудова чотирикутника з трьома прямими кутами
Для цього побудуємо відрізок 𝐴𝐵. Через його кінці проведемо прямі, перпендикулярні до 𝐴𝐵. На одній із прямих виберемо точку 𝐶 і через неї проведемо ще одну пряму, перпендикулярну до даної. Будуємо точку 𝐷 перетину прямих і одержуємо потрібний чотирикутник. Очевидно, що він буде прямокутником. Доведіть! Це твердження є ще однією ознакою прямокутника.
Запам’ятайте! Чотирикутник, у якого три кути прямі, є прямокутником.
4.4 Ромб
Тепер будемо досліджувати як впливає відношення між сторонами паралелограма на його форму. Для цього побудуємо паралелограм, довжини сторін якого можна змінювати повзунками.
Створимо повзунки 𝑎 та 𝑏 з діапазоном від 1 до 10. Побудуємо два кола з центром у точці 𝐴 і радіусами 𝑎 та 𝑏. На одному колі виберемо точку 𝐵, а на другому 𝐷 та проведемо відрізки 𝐴𝐵 та 𝐴𝐷. Тепер, через точку 𝐵 побудуємо пряму паралельну 𝐴𝐷, а через точку 𝐷 – пряму паралельну 𝐴𝐵. Знайдемо точку 𝐶 перетину цих прямих (Рис.4.16).
Рис.4.16 Модель для перетворення паралелограма у ромб
Приховуємо усі зайві елементи крім вершин майбутнього паралелограма і за допомогою інструмента Многокутник побудуємо паралелограм 𝐴𝐵С𝐷.
Для дослідження можна використати уже готову модель: https://www.geogebra.org/m/vyn3uz8b
Будемо зменшувати більшу сторону або збільшувати меншу доти, поки вони не стануть рівними. Ми одержали особливий паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Такий паралелограм називається ромбом.
Означення. Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.
Оскільки ромб є паралелограмом, то він має усі властивості паралелограма.
Зокрема:
- у ромба діагоналі у точці перетину діляться навпіл; - у ромба протилежні кути рівні.
Оскільки у ромба усі сторони рівні, то периметр ромба зі стороною 𝑎 обчислюється за формулою 𝑷 = 𝟒𝒂.
Побудуємо діагоналі ромба і переконаємося, що вони перпендикулярні та є його осями симетрії, а значить бісектрисами кутів ромба (Рис.4.17).
Рис.4.17 Властивості діагоналей ромба
Це можна перевірити за допомогою інструментів GeoGebra. Крім того, легко довести за допомогою логічних міркувань. Для цього досить розглянути рівнобедрені трикутники, наприклад 𝐴𝐵𝐶 і 𝐵𝐶𝐷.
Всі твердження, обернені до даних, є ознаками ромба.
Теорема. Якщо у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.
Доведення. Нехай у паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 діагоналі 𝐴𝐶 і 𝐵𝐷 перпендикулярні (Рис.4.17) Тоді трикутники 𝐴𝐵𝑂 і 𝐶𝐵𝑂 рівні за двома катетами. Звідси 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. Отже 𝐴𝐵𝐶𝐷 – ромб.
Теорема. Якщо у паралелограма діагоналі є його осями симетрії, то він ромб.
Доведення. Нехай у паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 діагональ 𝐴𝐶 є його віссю симетрії (Рис.4.17). Тоді 𝐴𝐵𝐷 = 𝐶𝐵𝐷. Звідси 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵. Отже 𝐴𝐵𝐶𝐷 – ромб.
Теорема. Якщо у паралелограма діагоналі є бісектрисами його кутів, то він ромб.
Доведення. Нехай діагональ 𝐴𝐶 паралелограма 𝐴𝐵С𝐷 є бісектрисою 𝐶 (Рис.4.18). Тоді 3 = 2 за умовою, а 1 = 2 як внутрішні різносторонні, утворені паралельними прямими 𝐵𝐶 і 𝐴𝐷 та січною 𝐴𝐶. Тому, у трикутнику 𝐴𝐷𝐶: 1 = 3. Значить він рівнобедрений. Отже, 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶. Отже 𝐴𝐵𝐶𝐷 – ромб.
Рис.4.18 Ознаки ромба
Побудуємо ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 і через точку перетину його діагоналей проведемо висоти 𝐹𝐻 і 𝑃𝑄 (Рис.4.19). Оскільки трикутники 𝐴𝑂𝐵, 𝐶𝑂𝐵, 𝐴𝑂𝐷 і 𝐶𝑂𝐷 рівні за двома катетами, то і рівні їх відповідні висоти. 𝑂𝐹, 𝑂𝑄, 𝑂𝑃 і 𝑂𝐻. Це означає, що точки 𝐹, 𝑄, 𝑃 і 𝐻 рівновіддалені від точки 𝑂 – центра ромба. Отже, вони лежать на одному колі. Оскільки сторони ромба перпендикулярні до радіусів 𝑂𝐹, 𝑂𝑄, 𝑂𝑃 і 𝑂𝐻 цього кола, то це коло є вписаним у ромб.
Рис.4.19 Коло, вписане у ромб
Запам’ятайте! У ромб завжди можна вписати коло, центр якого знаходиться у точці перетину діагоналей. Діаметр вписаного кола, дорівнює висоті ромба.
4.5 Квадрат
Дослідимо, як залежить форма ромба від величини його кутів. Побудуємо модель, яка дозволить змінювати величину кута ромба повзунком. Створимо повзунок з діапазоном від 0 до 180. Побудуємо коло з центром 𝐴 і точкою на колі 𝐵. Відкладемо від променя 𝐴𝐵 кут 𝐵𝐴𝐷 = (точку 𝐷 виберемо на колі). Побудуємо відрізки 𝐴𝐵 і 𝐴𝐷. Через точку 𝐵 проведемо пряму паралельну 𝐴𝐷, а через точку 𝐷 – пряму паралельну 𝐴𝐵 і знайдемо точку 𝐶 їх перетину (Рис.4.20).
Рис.4.20 Модель для перетворення ромба у квадрат
Рис. 4.21 Квадрат
Означення. Ромб з прямим кутом називається квадратом. Прямокутник з рівними сторонами називається квадратом.
З означення квадрата випливає, що він має усі властивості прямокутника і ромба. А саме, у квадрата:
− усі сторони рівні;
− усі кути прямі;
− діагоналі у точці перетину діляться навпіл;
− діагоналі є бісектрисами його кутів;
− діагоналі перпендикулярні;
− діагоналі є осями симетрії;
− точка перетину діагоналей є центром вписаного і описаного кола;
− периметр обчислюється за формулою: 𝑷 = 𝟒𝒂, де 𝑎 – довжина сторони.
Побудуємо ще одну модель, у якої сторони прямокутника будуть змінюватися повзунками. Для цього створимо два повзунки 𝑎 та 𝑏. Побудуємо перпендикулярні прямі, що перетинаються у точці 𝐴. Далі побудуємо два кола з центром у точці 𝐴 і радіусами 𝑎 та 𝑏. Знайдемо точки 𝐵 і 𝐷 перетину кіл із даними прямими. Через ці точки проведемо прямі, перпендикулярні до даних прямих і знайдемо точку 𝐶 їх перетину (Рис.4.22).
Рис. 4.22 Модель для перетворення прямокутника у квадрат
Приховаємо усі елементи крім вершин майбутнього прямокутника і побудуємо прямокутник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Побудуємо ще діагоналі прямокутника і виміряємо кут між ними.
Тут можна завантажити готову модель:
https://www.geogebra.org/m/tccz9n5x
Будемо перетворювати прямокутник у квадрат. Для цього змінимо значення повзунків зменшуючи більшу сторону прямокутника або збільшуючи меншу. Бачимо, що кут між діагоналями прямокутника збільшується. У момент, коли всі сторони прямокутника стануть рівними, кут між його діагоналями перетвориться у прямий (Рис.4.23). Тобто перпендикулярність діагоналей прямокутника служить ознакою квадрата.
Теорема (ознака квадрата). Якщо у прямокутнику діагоналі перпендикулярні, то він є квадратом.
Рис.4.23 Ознаки квадрата
Істинність цієї ознаки можна перевірити за допомогою інструментів GeoGebra. Крім того, її легко обґрунтувати за допомогою логічних міркувань.
Справді, якщо у прямокутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷, діагоналі перпендикулярні, то у
𝐴𝐵𝐶, медіана 𝐵𝑂 є висотою. Тому цей трикутник рівнобедрений. Отже, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. Значить 𝐴𝐵𝐶𝐷 – квадрат.
Побудуємо тепер модель, що дозволяє змінювати величину кута ромба повзунком. Для цього створимо повзунок . Побудуємо промінь 𝐴𝐷 і побудуємо 𝐷𝐴𝐵 = . Оскільки при побудові кута GeoGebra відкладає точку 𝐷′ так, що 𝐴𝐷 = 𝐴𝐷′, то нам залишається лише перейменувати точку 𝐷′ на 𝐵. Тепер, через точки 𝐵 і 𝐷 проведемо прямі, паралельні сторонам кута, і знайдемо точку 𝐶 їх перетину (Рис.4.24).
Рис.4.24 Побудова моделі для перетворення ромба у квадрат
Приховаємо всі елементи, крім майбутніх вершин ромба і побудуємо ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 та його діагоналі.
Для дослідження можна завантажити готову модель за покликанням: https://www.geogebra.org/m/enksdqma
Збільшуючи даний кут бачимо, що менша діагональ ромба збільшується, а більша зменшується. У момент, коли даний кут стане прямим, тобто ромб стане квадратом, діагоналі ромба стануть рівними (Рис.4.25). Це очевидно, проте також можна перевірити за допомогою інструментів GeoGebra. Таким чином рівність діагоналей ромба виступає ще однією ознакою квадрата.
Рис.4.25 Перетворення ромба у квадрат
Теорема (ознака квадрата). Якщо у ромба діагоналі рівні, то він є квадратом.
Доведемо це твердження за допомогою логічних міркувань.
Доведення. Нехай у ромбі 𝐴𝐵𝐶𝐷 діагоналі рівні (Рис.4.25). Тоді 𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐶𝐷 за трьома сторонами. Отже, 𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐶𝐷. Але сума цих кутів дорівнює 180, тому кожен з цих кутів дорівнює 90. Отже, 𝐴𝐵𝐶𝐷 – квадрат.
4.6 Трапеція
Побудуємо відрізок 𝐴𝐷 і точку 𝐵 поза прямою 𝐴𝐷. Через цю точку проведемо пряму паралельну до 𝐴𝐷. На цій прямій виберемо ще одну точку 𝐶. Побудуємо чотирикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷. У цьому чотирикутнику дві сторони 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶 паралельні, а дві інші 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 ні (Рис.4.26). Такий чотирикутник називається трапецією.
Рис.4.26 Побудова трапеції
Означення. Чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші ні, називається трапецією. Паралельні сторони трапеції називаються основами.
Дві інші сторони називаються бічними.
Оскільки у трапеції основи паралельні, то кути прилеглі до бічної сторони є внутрішніми односторонніми (утвореними прямими, що містять основи трапеції, і січною, яка містить дану сторону). Отже сума цих кутів дорівнює 180.
Запам’ятайте! Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює
180.
Дослідимо, які можуть бути види трапеції. Побудуємо трапецію 𝐴𝐵𝐶𝐷 і її висоту 𝐵𝐸. Сумістимо вершину 𝐴 з основою висоти 𝐸. Для цього в командний рядок введемо A=E (Рис.4.27).
Рис.4.27 Перетворення трапеції у прямокутну
Одержимо трапецію з прямими кутами (Рис.4.28). Така трапеція називається прямокутною.
Рис 4.28 Прямокутна трапеція
Означення. Трапеція, у якої є прямий кут, називається прямокутною.
Побудуємо довільну пряму 𝑎 і точки 𝐴 та 𝐵, що лежать по один бік від цієї прямої. Побудуємо точки 𝐴′ і 𝐵′, симетричні відповідно точкам 𝐴 і 𝐵 відносно даної прямої. Одержані точки є вершинами трапеції 𝐴𝐵𝐵′𝐴′ (Рис.4.29).
Рис.4.29 Побудова рівнобедреної трапеції
Справді, відрізки 𝐴𝐴′ і 𝐵𝐵′ перпендикулярні до осі симетрії, тому є паралельними між собою.
Оскільки сторони 𝐴𝐵 і 𝐴′𝐵′ є симетричними відносно прямої 𝑎, то вони є рівними. Тому ця трапеція називається рівнобічною.
Означення. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною.
Із побудови рівнобічної трапеції випливають наступні властивості:
- пряма, що проходить через середини основ рівнобічної трапеції, є її віссю симетрії;
- у рівнобічній трапеції кути при основі рівні.
Побудуємо модель трапеції у якої довжину однієї діагоналі можна змінювати за допомогою повзунка. Для цього:
- побудуємо відрізок 𝐴𝐷 і точку 𝐵, що не належить прямій 𝐴𝐷;
- створимо повзунок 𝑑 і побудуємо коло з центром у точці 𝐴 і радіусом
𝑑;
- через точку 𝐵 проведемо пряму, паралельну 𝐴𝐷; - побудуємо точку 𝐶 перетину кола з прямою (Рис.4.30).
В одержаній моделі можна змінювати довжину діагоналі 𝐴𝐶. При цьому буде змінюватися форма трапеції. Встановимо значення 𝑑 = 𝐵𝐷. Якщо це не вдається зробити за допомогою повзунка, то відповідну команду (𝑑 = 𝐵𝐷) вводимо у командний рядок. При цьому одержимо рівнобічну трапецію. Отже, рівність діагоналей є ознакою рівнобічної трапеції.
Рис.4.30 Модель трапеції, довжина діагоналі якої задається повзунком
Теорема. Якщо у трапеції діагоналі рівні, то вона рівнобічна.
Хоч істинність цієї теореми є очевидною, її можна перевірити за допомогою інструментів GeoGebra. Але у геометрії усі твердження необхідно обґрунтовувати на основі логічних міркувань. Наведемо їх.
Нехай у трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷. Проведемо висоти 𝐵𝐸 і 𝐶𝐹 (Рис.4.31). Тоді прямокутні трикутники 𝐵𝐸𝐷 і 𝐶𝐹А будуть рівними за гіпотенузою і катетом. З рівності цих трикутників випливає рівність відповідних кутів 𝐶А𝐹 і 𝐵𝐷𝐸. Але тоді 𝐵𝐴𝐷 = 𝐶𝐷𝐴 за двома сторонами і кутом між ними. Звідси: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷.
Рис.4.31 Ознака рівнобічної трапеції
Побудуйте модель трапеції, у якої величину одного кута при основі можна змінювати за допомогою повзунка. Встановіть величину цього кута рівною іншому куту при цій же основі. Переконайтесь, що і у цьому випадку одержимо рівнобічну трапецію. Обґрунтуйте цю ознаку за допомогою логічних міркувань.
Запам’ятайте! Якщо у трапеції кути при основі рівні, то вона рівнобічна.
4.7 Центральний кут. Кутова міра дуги
Побудуємо коло з центром у точці 𝑂. Виберемо на колі дві точки 𝐴 і 𝐵. Ці точки поділяють коло на дві дуги. Вказуючи дугу, крім її кінців, по середині пишуть маленьку букву латинського алфавіту. Наприклад, на рисунку 4.32 маємо дві дуги 𝐴𝑑𝐵̆ та 𝐴𝑒𝐵̆ . Якщо провести хорду 𝐴𝐵, то про неї кажуть, що вона стягує ці дві дуги.
У GeoGebra, щоб виділити дугу, треба її побудувати. Для цього вибираємо інструмент Дуга 
, клацаємо по одному із кінців дуги, далі по будь-якій точці всередині дуги і, на кінець, по другому кінці дуги. Тоді точку все редині дуги приховуємо, а її назву відображаємо. Для цього відкриємо контекстні меню цих дуг і встановимо прапорець Показати позначення. Хоч GeoGebra позначає дуги однією буквою, ми завжди будемо позначати трьома, як було сказано вище.
Для побудови дуги також можна скористатися інструментом Дуга за центром і двома точками 
. У цьому випадку клацаємо по центру кола, а потім по двох точках кола, що є кінцями дуги. При цьому має значення порядок, у якому вказуються кінці дуги: щоб попасти від почату дуги у її кінець, треба рухатися вздовж дуги у додатному напрямку, тобто проти годинникової стрілки.
Проведемо радіуси 𝑂𝐴 і 𝑂𝐵 (Рис.4.32) Одержимо кут, який називається центральним.
Означення. Кут, вершина якого знаходиться у центрі кола, називається центральним.
Рис.4.32 Центральний кут
Як бачимо, дуга 𝐴𝑒𝐵̆ належить внутрішній області центрального кута. Тому кажуть, що цей кут спирається на дану дугу. Величина цієї дуги залежить від величини центрального кута і навпаки. Тому дугу, як і кут, зручно вимірювати в градусах. Таку міру дуги називають кутовою. Вважається, що градусна міра дуги дорівнює градусній мірі відповідного центрального кута. Або, навпаки, величина центрального кута дорівнює дузі, на яку він спирається.
Запам’ятайте! Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається.
Якщо точки 𝐴 та 𝐵 будуть кінцями діаметра, то центральний кут буде розгорнутий. У цьому випадку він буде спиратися на пів кола (Рис. 4.33). Це означає, що півколо має 180°. Отже, ціле коло – 360°. Тому, будь-яка хорда стягує дві дуги, сума градусних мір яких дорівнює 360. Таки чином, градусна міра дуги 𝐴𝑑𝐵̆ (Рис.4.32) дорівнює 360- 𝐴𝑒𝐵̆ .
Рис.4.33 Розгорнутий центральний кут
4.8 Вписаний кут
Побудуємо коло з центром у точці 𝑂. Виберемо на колі три точки 𝐴, 𝐵 і 𝑆. Проведемо промені 𝑆𝐴 та 𝑆𝐵 (Рис.4.34). Одержимо 𝐴𝑆𝐵, який називається вписаним.
Означення. Кут, вершина якого розміщена на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним кутом.
Як і у випадку із центральним кутом, одна із дуг, утворених точками 𝐴 та 𝐵 лежить у внутрішній області вписаного кута. Про цю дугу говорять, що на неї спирається даний вписаний кут. Наприклад, на Рис.4.34, вписаний кут 𝐴𝑆𝐵 спирається на дугу 𝐴𝑑𝐵̆.
Рис.4.34 Вписаний кут
Виміряємо величину вписаного і центрально кута, що спираються на одну і ту ж дугу (Рис.4.35).
Рис.4.35 Зв'язок між вписаним і центральним кутами
Експериментуючи з цією моделлю, легко бачити, що незалежно від положення точок 𝐴, 𝐵 і 𝑆, вписаний кут у два рази менший за відповідний центральний.
Теорема. Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається.
Дано. 𝐴𝑂𝐵 – центральний, 𝐴𝐶𝐵 – вписаний, що спирається на ту саму дугу (Рис. 4.36).
Довести, що 𝐴𝐶𝐵 = 
𝐴𝑂𝐵
Замість обґрунтування представимо лише ідею доведення у надії, що читач зможе це зробити самостійно.
Спочатку опишемо, як одержали рисунки 4.36 а), б) і в).
Виділяємо початкове зображення вписаного і центрального кута. Копіюємо його і вставляємо двічі, потім перетягуємо кожен рисунок на нове місце. Далі перетягуємо точку 𝐵 так, щоб одна сторона вписаного кута стала діаметром (випадок а). Тоді 3 є зовнішнім кутом рівнобедреного трикутника, а тому удвічі більший за 2.
У випадку б) розташовуємо точки 𝐴1і 𝐵1 так, щоб центр кола був всередині вписаного кута і проводимо діаметр 𝐶1𝐷. Тоді задача звелась до випадку а). Адже вписаний кут дорівнює 1 +2, а центральний 3 +4.
У випадку в) розташовуємо точки 𝐴2 і 𝐵2 так, щоб центр кола був поза вписаним кутом і знову проводимо діаметр 𝐶2𝐸. Тут теж все зводиться до випадку а), оскільки вписаний кут дорівнює 𝐴2𝐶2𝐸 −2, а центральний 𝐴2𝑂2𝐸 −4.
Рис.4.36 Ідея доведення теореми про вписаний кут
Із теореми про вписаний кут випливає, що всі вписані кути, які спираються на одну дугу, рівні між собою. Якщо провести ходу AB, то говорять, що з усіх точок дуги 𝐴𝑒𝐵̆ (Рис.4.37) цю хорду видно під однаковим кутом. Зокрема, діаметр кола буде видно під прямим кутом.
Рис. 4.37 Властивість вписаного кута
Наслідок. Вписаний кут, що спирається на діаметр – прямий.
4.9 Побудова ГМТ, з яких відрізок видно під заданим кутом
Як було встановлено, з кожної точки дуги хорду видно під однаковим кутом. Побудуємо дугу, симетричну даній відносно прямої, що містить хорду. З кожної точки цієї дуги даний відрізок видно під однаковим кутом (Рис.4.38).
Рис.4.38 ГМТ з яких даний відрізок видно під однаковим кутом
Ми уже вміємо будувати деякі ГМТ за допомогою циркуля і лінійки. Зараз розв’яжемо задачу про побудову ГМТ, з яких даний відрізок видно під даним кутом.
Задача. Побудувати ГМТ, з яких даний відрізок видно під заданим кутом.
Аналіз. Пригадаємо, що всі вписані кути, які спираються на дугу, що стягується хордою 𝐴𝐵 є рівними (Рис.4.39).
Рис.4.39 Вписані кути, що спираються на одну і ту ж дугу
Нам необхідно побудувати таку дугу, щоб цей кут був заданої величини. Для цього потрібно встановити положення центра кола.
Оскільки 𝑂𝐴 і 𝑂𝐵 – радіуси, то точка 𝑂 рівновіддалена від кінців відрізка, тобто центр дуги належить серединному перпендикуляру до відрізка 𝐴𝐵
(Рис.4.40).
Рис.4.40 Визначення центра дуги
З іншого боку радіус 𝑂𝐴 утворює з цим серединним перпендикуляром кут, який дорівнює вписаному куту. Чому? Щоб побудувати цей радіус, варто звернути увагу, що дотична 𝑑 до кола, проведена у точці 𝐴 теж утворює з відрізком 𝐴𝐵 кут, рівний вписаному. Чому? Одночасно радіус 𝑂𝐴 ⊥ 𝑑.
Побудова. Нехай задано деякий відрізок 𝐴𝐵 і 𝛼. (Відрізок зобразимо, а величину кута задамо за допомогою повзунка) (Рис.4.41).
1. Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка 𝐴𝐵.
2. Будуємо 𝐵𝐴𝐵′ рівний даному.
3. Через точку 𝐴 проводимо пряму ℎ, перпендикулярну до променя 𝐴𝐵′.
4. Знаходимо точку 𝑂 перетину побудованої прямої із серединним перпендикуляром.
5. Будуємо дугу з центром у точці 𝑂 і радіусом 𝑂𝐴, яка розташована у іншій півплощині відносно прямої 𝐴𝐵, ніж 𝐵𝐴𝐵′.
6. Будуємо точку 𝑂′, симетричну точці 𝑂 відносно прямої 𝐴𝐵, і будуємо ще одну дугу симетричну даній.
Доведення. Пропонуємо читачеві самостійно довести, що з кожної точки побудованої дуги відрізок 𝐴𝐵 видно під кутом 𝛼.
Дослідження. Будемо змінювати значення кута 𝛼 від 0 до 180. Переконаємось, що якщо 00 < 𝛼 < 1800, то задача завжди має єдиний розв’язок.
Рис.4.41 Побудова ГМТ, з яких даний відрізок видно під заданим кутом.
Цей самий результат можна одержати на основі логічних міркувань. Якщо кут 𝛼 ≠ 0 і 𝛼 ≠ 180, то пряма ℎ перетинає серединний перпендикуляр у єдиній точці. Значить маємо єдиний центр дуги, що дозволяє побудувати цю дугу.
4.10 Вписані чотирикутники
Побудуємо коло. Виберемо на ньому чотири точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 і 𝐷. Побудуємо чотирикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Цей чотирикутник буде вписаним у коло, а коло буде описаним навколо чотирикутника (Рис.4.42).
Дослідимо, де знаходиться центр кола, описаного навколо чотирикутника.
Оскільки усі вершини чотирикутника лежать на колі, то вони рівновіддалені від центра кола. Пригадаємо, що ГМТ, рівновіддалених від двох точок, є серединним перпендикуляром до відрізка з кінцями у цих точках. Отже, центр кола належить серединним перпендикулярам до сторін чотирикутника.
Це означає, що якщо усі серединні перпендикуляри перетинаються у одній точці, то навколо такого чотирикутника можна описати коло. Якщо ж ця умова не виконується, то навколо такого чотирикутника коло описати не можна.
Звернемо увагу на те, що усі кути вписаного чотирикутника є вписаними. Як відомо, вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається. Тобто: А = 
𝐷𝐶𝐵̆ і 𝐶 = 
𝐷𝐴𝐵̆. Але 𝐷𝐶𝐵̆ і 𝐷𝐴𝐵̆ утворюють коло, тому 𝐴 + 𝐶 = 180. Аналогічно встановлюємо, що 𝐵 +𝐷 = 180.
Запам’ятайте! Суми протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнюють по 180.
Перевіримо обернене твердження
Побудуємо кут 𝐵𝐴𝐶 = . У внутрішній області цього кута виберемо точку D і проведемо промінь DB (Рис.4.43).
Рис.4.43 Модель для перевірки ознаки вписаного чотирикутника
Від променя 𝐷𝐵 відкладемо кут 𝐵𝐷𝐵′ = 180− і побудуємо точку E перетину променів 𝐴𝐶 і 𝐷𝐵′. Використовуючи інструмент Коло за 3 точками 
побудуємо коло, яке проходить через точки 𝐴, 𝐵 і 𝐷. Виявляється, що це коло проходить через точку 𝐸. Ми можемо перетягувати вершини чи сторони побудованих кутів, але у кожному випадку дане коло буде описаним навколо чотирикутника 𝐴𝐸𝐷𝐵. Отже ми встановили теорему, яка є ознакою вписаного чотирикутника.
Теорема. Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180, то навколо нього можна описати коло.
Проаналізуємо, для яких чотирикутників виконується ця ознака. У паралелограма і ромба одна пара гострих кутів, а інша тупих. Тобто навколо цих чотирикутників не можна описати коло. У прямокутника і квадрата усі кути прямі, тому навколо цих чотирикутників можна описати коло. Також коло можна описати навколо рівнобічної трапеції. Оскільки у неї відповідно рівні гострі кути і тупі кути.
Крім того, сума всіх кутів трапеції 360, отож отримали дві пари кутів
(гострий і тупий), суми яких рівні, а тому дорівнюють по 180.
4.11 Описані чотирикутники
Побудуємо коло і виберемо на ньому чотири точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 і 𝐷. Проведемо через ці точки дотичні. Нехай вони перетинаються відповідно у точках 𝐸, 𝐹, 𝐺 і 𝐻. Побудуємо чотирикутник 𝐸𝐹𝐺𝐻 (Рис.4.44).
Рис.4.44 Побудова описаного чотирикутника
У нього всі сторони є дотичними до кола. Такий чотирикутник є описаним навколо кола і відповідно коло є вписаним у даний чотирикутник.
Означення. Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо усі його сторони є дотичними до кола. Дане коло також називається вписаним у чотирикутник.
Проаналізуємо, де знаходиться центр кола, вписаного у чотирикутник. Оскільки усі сторони чотирикутника є дотичними до кола, то центр кола рівновіддалений від його сторін. Як відомо, ГМТ рівновіддалених від сторін кута знаходиться на бісектрисі даного кута. Отже, центр вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис чотирикутника. Тому, якщо всі бісектриси чотирикутника перетинаються у одній точці, то у нього можна вписати коло. Якщо ця умова не виконується, то у такий чотирикутник коло вписати не вдасться.
Пригадаємо, що відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, є рівними. Для зручності зафарбуємо пари рівних відрізків однаковими кольорами (Рис.4.45). Тоді легко бачити, що кожна пара протилежних сторін чотирикутника містить по одному відрізку кожного кольору. Це означає, 𝐸𝐹 + 𝐻𝐺 = 𝐻𝐸 + 𝐹𝐺.
Рис.4.45 Властивість протилежних сторін описаного чотирикутника
Переконаємось, що обернене твердження є ознакою того, що у чотирикутник можна вписати коло.
Теорема. Якщо суми протилежних сторін чотирикутника є рівними, то у нього можна вписати коло.
Доведення. Нехай у чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐷 (Рис.4.46). Покажемо, що у цей чотирикутник можна вписати коло. Для цього досить показати, що бісектриси трьох кутів цього чотирикутника перетинаються у одній точці.
Нехай для визначеності, 𝐴𝐵 < 𝐵𝐶. Тоді, з рівності 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐷 випливає, що 𝐵𝐶 − 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 − 𝐴𝐷. Тобто 𝐶𝐷 > 𝐴𝐷.
Побудуємо на стороні 𝐵𝐶 точку 𝐸 таку, що 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵, а на стороні 𝐷𝐶 – точку 𝐹 таку, що 𝐷𝐹 = 𝐷𝐴. Оскільки 𝐶𝐸 = 𝐵𝐶 − 𝐴𝐵, а С𝐹 = 𝐶𝐷 − 𝐴𝐷, то 𝐶𝐸 =
𝐶𝐹.
Отже, усі трикутники 𝐵𝐴𝐸, 𝐶𝐸𝐹 і 𝐷𝐴𝐹 є рівнобедреними. Тому їх бісектриси, проведені до основ є серединними перпендикулярами до цих основ, а значить і до сторін 𝐴𝐸𝐹.
Як відомо, серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються у одній точці. Отже, ми встановили, що три бісектриси чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перетинаються у одній точці. Тому ця точка рівновіддалена від усіх сторін даного чотирикутника, тобто є центром вписаного кола.
Рис.4.46 Доведення ознаки описаного чотирикутника
У геометрії, при доведенні теорем, важливо бачити і розглянути усі можливі випадки. Щойно ми розглянули випадок, коли дві сусідні сторони чотирикутника мають різну довжину. Випадок, коли дві сусідні сторони є рівними значно простіший, тому пропонуємо розглянути його самостійно.
Проаналізуємо, у які із вивчених нами чотирикутників можна вписати коло. У паралелограма, що не є ромбом, протилежні сторони рівні. Тому суми протилежних сторін не є однаковими. Це саме стосується прямокутника, що не є квадратом. Отже, у ці чотирикутники не можна вписати коло. Але у ромба і, зокрема, у квадрата усі сторони рівні, тому рівними є і суми протилежних сторін. Тому у ці чотирикутники завжди можна вписати коло.
Побудуємо трапецію, у яку можна вписати коло. Для цього проведемо дві паралельні прямі і їх спільний перпендикуляр 𝐾𝐿. Побудуємо на відрізку 𝐾𝐿 коло, як на діаметрі (Рис.4.47). На одній із прямих, по різні боки від точки 𝐾 виберемо точки 𝐴 і 𝐷.
Рис.4.47 Побудова трапеції, описаної навколо кола
Далі, через точки 𝐴 і 𝐷 проведемо дотичні до кола, які перетинають другу пряму відповідно у точках 𝐵 і 𝐶. Приховаємо всі елементи крім точок 𝐴, 𝐵, 𝐶 і 𝐷.
Одержані точки є вершинами трапеції, яка буде описаною навколо даного кола.
Готову модель можна завантажити за
покликанням: https://www.geogebra.org/m/qp3num3a
Експериментуючи з цією моделлю легко побачити, що якщо точка 𝐾 співпаде з серединою основи 𝐴𝐷, то трапеція стане рівнобічною. Варто звернути увагу, що, за властивістю кола, описаного навколо чотирикутника, сума бічних сторін трапеції дорівнює сумі основ. Оскільки у рівнобічної трапецій бічні сторони рівні, то бічна сторона описаної рівнобічної трапеції дорівнює пів сумі основ.
Розділ 5. Пропорційні відрізки. Подібність фігур
5.1 Теорема Фалеса
Якщо потрібно поділити відрізок, зображений на папері, навпіл, то досить побудувати його серединний перпендикуляр. У GeoGebra також можна скористатися інструментом Середня точка або центр 
. Продовжуючи ділити одержані частини, можна поділити відрізок на 4, 8, 16 і т. д. рівних частин. Тобто даний спосіб дозволяє поділити відрізок на будь-яку кількість частин, що є степенем числа 2.
А як поділити відрізок на кілька рівних частин, якщо ця кількість відмінна від степенів 2? Для цього скористаємося наступним алгоритмом.
Побудуємо відрізок 𝐴𝐵 і через один його кінець проведемо довільний промінь 𝐴𝐶. На промені, від його початку, відкладемо довільний відрізок 𝐴𝐷. Далі, від точки 𝐷 відкладемо відрізок 𝐷𝐺 = 𝐴𝐷. Продовжимо будувати на цьому промені стільки рівних відрізків, на скільки частин потрібно поділити відрізок 𝐴𝐵 (на Рис.5.1 їх 5).
Тоді проведемо відрізок, що з’єднує кінець останнього відрізка з точкою 𝐵 заданого відрізка (на Рис.5.1 відрізок 𝐽𝐵). Далі, через кінці відрізків, побудованих на промені 𝐴𝐶, проведемо прямі, паралельні 𝐽𝐵. За допомогою окоміру, чи інструментів GeoGebra, можна переконатися, що ці паралельні прямі поділять відрізок 𝐴𝐵 на рівні частини.
Рис.5.1 Поділ відрізка на 5 рівних частин
При побудові цього алгоритму ми скористалися теоремою Фалеса, яка є фундаментом теорії подібності.
Сформулюємо і обґрунтуємо її.
Теорема. Якщо на одній стороні кута відкласти рівні відрізки і через їх кінці провести паралельні прямі, то ці прямі на другій стороні кута відтинають рівні відрізки.
Доведення. Нехай на стороні 𝑆𝐹 кута 𝐹𝑆𝐺 відкладено рівні відрізки 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 і через їх кінці проведено паралельні прямі 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′, 𝐶𝐶′,𝐷𝐷′ (Рис.5.2). Проведемо через точки 𝐴 і 𝐶 прямі, паралельні до 𝑆𝐺. Нехай вони перетинають прямі 𝐵𝐵′ і 𝐷𝐷′ у точках 𝐵1 і 𝐷1 відповідно. Тоді трикутники 𝐴𝐵𝐵1, 𝐶𝐷𝐷1 рівні за стороною і прилеглими кутами (Чому?). З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін 𝐴𝐵1 = 𝐶𝐷1. Але, 𝐴𝐵1𝐵′𝐴′ і 𝐶𝐷1𝐷′𝐶′ паралелограми за побудовою.
Рис.5.2 Доведення теореми Фалеса
Тому, 𝐴′𝐵′ = 𝐶′𝐷′. Що і потрібно було довести.
5.2 Середня лінія трикутника і трапеції
Побудуємо довільний трикутник і знайдемо середини двох його сторін. З’єднаємо ці середини відрізком (Рис.5.3). Цей відрізок називають середньою лінією трикутника.
Рис.5.3 Середня лінія трикутника
Означення. Відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією трикутника.
З рисунка видно, що середня лінія трикутника, що сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні. Це можна перевірити за допомогою інструментів GeoGebra, а також випливає з Теореми Фалеса. Справді, оскільки точка 𝐷 – середина 𝐴𝐵, то якщо через неї провести пряму паралельну до 𝐴𝐶, то вона перетне сторону 𝐵𝐶 теж посередині. Відрізок 𝐷𝐸 буде належати цій прямій, а значить буде паралельний стороні 𝐴𝐶.
Якщо виміряти довжини середньої лінії і сторони, до якої вона паралельна, то легко помітити, що ця сторона удвічі більша за середню лінію. Для достовірності можна змінювати форму трикутника і переконатися, що встановлена закономірність зберігається.
Це легко довести також за допомогою логічних міркувань. Для цього досить через один із кінців середньої лінії, провести пряму паралельну до протилежної сторони (Рис.5.4).
Рис.5.4 Доведення теореми про середню лінію
Сподіваємося, що читач легко закінчить міркування. Для цього знову доведеться скористатися теоремою Фалеса і звернути увагу, що 𝐴𝐷𝐸𝐹 паралелограм.
Запам’ятайте. Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
Тепер побудуємо довільну трапецію і середини її бічних сторін (Рис.5.5). З’єднаємо ці середини відрізком. Він називається середньою лінією трапеції.
Означення. Відрізок, що з’єднує середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції.
Рис.5.5 Середня лінія трапеції
Побудуємо діагональ трапеції і знайдемо точку 𝐻 перетину цієї діагоналі із середньою лінією трапеції (Рис.5.6). Як і у випадку з трикутником, легко показати, що 𝐻 – середина діагоналі 𝐴𝐶, а значить 𝐸𝐻 – середня лінія 𝐴𝐵𝐶, а 𝐻𝐹 – середня лінія 𝐴𝐶𝐷.
Звідси легко виявити властивість середньої лінії трапеції:
Теорема. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх пів сумі.
Ми знову даємо можливість читачеві самостійно закінчити обґрунтування цієї теореми.
Рис.5.6 Доведення теореми про середню лінію трапеції
5.3 Відношення відрізків. Пропорційні відрізки
Побудуємо таку модель: накреслимо відрізок 𝐴𝐵, виберемо на ньому точку 𝐶 і виміряємо довжини відрізків 𝐴𝐶 і 𝐶𝐵 (Рис.5.7). Обчислимо частку довжин цих відрізків. Для цього у командний рядок введемо текст 𝐴𝐶/𝐶𝐵.
Якщо відкрити вікно Алгебра, то у ньому відобразиться число a = 𝐴𝐶/СВ.
Тепер, якщо «зловити» за один із кінців відрізка 𝐴𝐵 і перетягувати його, то відрізки 𝐴𝐶 і 𝐶𝐵 будуть змінюватися, а число 𝑎 буде залишатися незмінним. Це число називається відношенням відрізків.
Означення. Частка довжин відрізків називається відношенням відрізків.
Ми встановили цікаву особливість GeoGebra: якщо змінювати довжину відрізка, то відношення відрізків, на які поділяє даний відрізок деяка точка, зберігається. Але, якщо перетягувати саму точку 𝐶, то, звичайно, відношення буде змінюватися. Зокрема, якщо це відношення буде рівним 1, то це означає, що точка 𝐶 є серединою відрізка. Якщо дане відношення буде натуральним числом 2, 3, 4 і т. д., то це означає, що відрізок 𝐴𝐶 у 2, 3, 4 і т. д. разів довший за 𝐶𝐵.
Рис.5.7 Збереження відношення відрізків у GeoGebra
Побудуємо ще одну модель. Зобразимо довільний трикутник 𝐴𝐵𝐶 і виберемо точку 𝐷 на бічній стороні. Через цю точку проведемо пряму, паралельну до основи і знайдемо точку 𝐸, перетину цієї прямої з іншою бічною стороною трикутника (Рис.5.8). Знайдемо відношення 𝑎 = 𝐴𝐷/𝐷𝐵 і 𝑏 = 𝐶𝐸/𝐸𝐵. Як бачимо, вони виявилися рівними. Як відомо з алгебри, рівність двох відношень називається пропорцією. Тому пари відрізків 𝐴𝐷 і 𝐷𝐵 та 𝐶𝐸 і 𝐸𝐵 називаються пропорційними.
Означення. Дві пари відрізків, довжини яких утворюють пропорцію, називаються пропорційними.
Знову, у результаті експериментів з цією моделлю, легко встановити, що незалежно від форми трикутника відношення між відрізками 𝐴𝐷 і 𝐷𝐵 та 𝐶𝐸 і 𝐸𝐵 не змінюються. Якщо ж, перетягувати точку 𝐷, то відношення змінюються, але залишаються однаковими. Отже, ці відрізки завжди пропорційні.
Аналогічно можна виміряти довжини сторін 𝐴𝐶 і 𝐷𝐸 і переконатися, що 𝑨𝑪 𝑨𝑩 𝑪𝑩
= = .
𝑫𝑬 𝑫𝑩 𝑬𝑩
Ми відкрили цікаву властивість трикутника, яку обґрунтуємо пізніше.
Рис.5.8 Пропорційні відрізки у трикутнику
5.4 Подібність трикутників. Ознаки подібності трикутників
Як було показано у попередньому пункті, пряма, що проходить через сторону трикутника і паралельна одній із сторін, відтинає від цього трикутника менший трикутник, але такої самої форми, шо і даний трикутник. У повсякденному житі часто зустрічаються предмети, що мають однакову форму, але різні розміри. У геометрії фігури, що мають однакову форму, але різні розміри, називаються подібними. У GeoGebra є інструмент, який дозволяє будувати фігуру подібну до даної розтягуючи або стискаючи її. Для цього потрібно вказати точку відносно якої буде відбуватися розтяг або стискання і число – відношення між відповідними розмірами фігур.
Наприклад, побудуємо довільний трикутник 𝐴𝐵𝐶 і створимо повзунок 𝑘 з діапазоном від 0 до 5. Виберемо інструмент Гомотетія відносно точки 
, клацнемо по трикутнику, потім по вершині 𝐴 і у поле Коефіцієнт введемо текст 𝑘. Якщо 𝑘 = 1, то на полотні ми змін не побачимо. Якщо ж відкрити вікно Алгебра, то побачимо, що появився ще один трикутник, який співпадає з раніше побудованим. При збільшенні значення k (Рис.5.9), побачимо трикутник 𝐴𝐵′𝐶′ такої самої форми, як і 𝐴𝐵𝐶, але більших розмірів. Ми можемо змінювати значення 𝑘, можемо змінювати форму трикутника 𝐴𝐵𝐶. Зокрема, можемо виміряти сторони трикутників і переконатися, що в процесі експерименту відношення відповідних сторін трикутників завжди буде дорівнювати 𝑘. Так само сторони 𝐵𝐶 і 𝐵′𝐶′ будуть паралельними. Це означає, що відповідні кути трикутників є рівними. ( Чому?)
Рис. 5.9 Розтяг трикутника від вершини А
Означення. Два трикутники називаються подібними, якщо у них відповідні кути рівні, а сторони пропорційні. Відношення відповідних сторін називається коефіцієнтом пропорційності.
Пригадаємо, що рівність трикутників обґрунтовують за допомогою ознак рівності трикутників. Так само, для встановлення подібності трикутників на практиці користуються відповідними ознаками.
Теорема (перша ознака подібності трикутників). Якщо три сторони одного трикутника, пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
Теорема (друга ознака подібності трикутників). Якщо дві сторони одного трикутника, пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути між ними рівні, то такі трикутники подібні.
Теорема (третя ознака подібності трикутників). Якщо два кути одного трикутника, відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
Доведемо першу ознаку подібності
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
Нехай маємо трикутники ∆𝐴𝐵𝐶 і ∆𝐴1𝐵1𝐶1 у яких: 𝐴1𝐵1 = 𝐴1𝐶1 = 𝐵1𝐶1.
Покажемо, що вони подібні
«Розтягнемо» ∆𝐴𝐵𝐶 за допомогою гомотетії з центром у вершині 𝐴 і
коефіцієнтом 𝑘 = 𝐴1𝐵1 (Рис.5.10).
𝐴𝐵
Рис.5.10 Подібність трикутників за трьома сторонами
Одержимо ∆𝐴𝐵′𝐶′, у якого 𝐴𝐵′= 𝑘𝐴𝐵 = 𝐴𝐴𝐵1𝐵1 𝐴𝐵 = 𝐴1𝐵1. Аналогічно 𝐴𝐶′ =
𝐴1𝐶1 і 𝐵′𝐶′ = 𝐵1𝐶1.
Отже, ∆𝐴1𝐵1𝐶1 = ∆𝐴𝐵′𝐶′ за трьома сторонами. Оскільки, при гомотетії одержуємо трикутник ∆𝐴𝐵′𝐶′подібний даному, то ∆𝐴1𝐵1𝐶1 теж подібний ∆𝐴𝐵𝐶.
За таким самим алгоритмом доводяться і інші ознаки подібності.
Із третьої ознаки подібності трикутників випливає наслідок:
Наслідок. Пряма, що перетинає дві сторони трикутника і паралельна третій, відтинає від даного трикутника трикутник, подібний даному.
Доведення. Нехай пряма, паралельна до основи 𝐴𝐶, 𝐴𝐵𝐶 перетинає його сторони 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 відповідно у точках 𝐴1 і С1 (Рис.5.11). Тоді 1 =2, як відповідні кути, утворені паралельними прямими і січною; 3 =4 аналогічно. Тому 𝐴𝐵𝐶 подібний 𝐴1𝐵𝐶1 за третьою ознакою подібності.
Рис.5.11 Доведення наслідку
5.5 Узагальнена теорема Фалеса
Як було встановлено в ході експерименту, при ознайомленні із пропорційними відрізками пряма, що перетинає дві сторони трикутника і паралельна третій відтинає на його сторонах пропорційні відрізки. Цей факт випливає із узагальненої теореми Фалеса. Сформулюємо і доведемо її.
Теорема. Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на них пропорційні відрізки.
Виберемо довільний кут і на одній стороні кута виберемо точки 𝐴, 𝐵 і 𝐶. Через ці точки проведемо паралельні прямі, які перетинають другу сторону кута відповідно у точках 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 (Рис.5.12).
Рис.5.12 Узагальнена теорема Фалеса
Проведемо через точки 𝐴 та 𝐵 прямі, паралельні до другої сторони кута (на рисунку пунктирами). Нехай ці прямі перетинають прямі 𝐵𝐵1 і СС1 відповідно в точках 𝐵0 і 𝐶0. Тоді 𝑂𝐴𝐴1, 𝐴𝐵𝐵0 та 𝐵𝐶𝐶0 будуть подібними за третьою ознакою подібності трикутників. Адже кути, позначені зеленим, рівні як відповідні, утворені паралельними прямими і січною. З тих же міркувань рівними є кути, позначені синім.
З подібності трикутників маємо пропорційність відповідних сторін:
𝑂𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝑂𝐴1 = 𝐴𝐵0 = 𝐵𝐶0. Але 𝐴𝐵0 = 𝐴1𝐵1 і 𝐵𝐶0 = 𝐵1𝐶1. Тому остаточно маємо:
𝑂𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶
= =
𝑂𝐴1 𝐴1𝐵1 𝐵1𝐶1
5.6 Пропорційні відрізки на паралельних прямих
Продовжимо досліджувати геометричні ситуації, у яких з’являються пропорційні відрізки. У випадку узагальненої теореми Фалеса кілька прямих перетинали два промені. Тепер розглянемо так звану двоїсту ситуацію, коли кілька променів перетинають дві паралельні прямі.
Побудуємо паралельні прямі і виберемо точку 𝑂 поза ними. Через цю точку проведемо кілька променів, які перетинають дані прямі (Рис.5.13). Покажемо, що ці прямі відтинають пропорційні відрізки.
Рис.5.13 Пропорційні відрізки на паралельних прямих
𝐴𝑂𝐵 подібний 𝐴1𝑂𝐵1 за наслідком з третьої ознаки подібності.
𝐴𝐵 𝑂𝐵 𝐵𝐶 𝑂𝐵
Тому = . Аналогічно 𝐵𝑂𝐶 подібний 𝐵1𝑂𝐶1, отже 𝐵1𝐶1 = 𝑂𝐵1.
𝐴1𝐵1 𝑂𝐵1
𝐴𝐵 𝐵𝐶
Таким чином, = .
𝐴1𝐵1 𝐵1𝐶1
5.7 Властивості медіан і бісектрис трикутника
Побудуємо 𝐴𝐵𝐶 та його медіани 𝐴𝐷 та 𝐵𝐸 (Рис.5.14).
Рис.5.14 Властивість медіан трикутника
Нехай 𝑂 – точка перетину медіан. Через точку 𝐸 проведемо пряму, паралельну до медіани 𝐴𝐷. Нехай ця пряма перетне сторону 𝐵𝐶 у точці 𝐽. Тоді
𝐵𝐷 2 𝐵𝑂 2
= . Чому? Але тоді, за узагальненою теоремою Фалеса = .
𝐷𝐽 1 𝑂𝐸 1
Аналогічно можна встановити, що і інші медіани точкою перетину діляться у відношенні 2:1.
Запам’ятайте! Медіани трикутника точкою їх перетину поділяються у відношенні 2:1, рахуючи від вершини трикутника.
Побудуємо тепер бісектрису 𝐵𝐸 у 𝐴𝐵𝐶 (Рис.5.15). Через вершину 𝐴 проведемо пряму, паралельну до 𝐵𝐸 і продовжимо сторону 𝐵𝐶 до перетину з
Рис.5.15 Властивість бісектриси трикутника
Але 1 = 3, як внутрішні різносторонні, утворені паралельними прямими і січною. 2 = 4, як відповідні, утворені цими ж паралельними прямими, але іншою січною. Оскільки 1 = 2, то 3 = 4. Значить 𝐴𝐵𝐹 – рівнобедрений. Тому 𝐹𝐵 = 𝐴𝐵.
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐸 Замінимо у пропорції відрізок 𝐹𝐵 на 𝐴𝐵, одержимо: = або = .
𝐴𝐸 𝐸𝐶 𝐵𝐶 𝐸𝐶
Запам’ятайте! Бісектриса трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.
5.8 Пропорційні відрізки у колі
Побудуємо коло і дві хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷. Нехай ці хорди перетинаються у точці 𝐸. З’єднаємо кінці хорд відрізками 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶 (Рис.5.16).
Рис.5.16 Властивість хорд
Тоді, кути, позначені зеленим, рівні, як вертикальні. А кути, позначені синім, рівні, оскільки спираються на одну і ту ж дугу. Тому 𝐴𝐸𝐷 подібний до 𝐶𝐸𝐵 за третьою ознакою подібності трикутників.
𝐷𝐸 𝐴𝐸
Звідси, = або 𝐴𝐸 ∙ 𝐸𝐵 = 𝐶𝐸 ∙ 𝐷Е.
𝐸𝐵 𝐶𝐸
Запам’ятайте! Хорди точкою перетину поділяються на пропорційні відрізки.
5.9 Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.
Теорема Піфагора
Розглянемо прямокутний трикутник 𝐴𝐵𝐶 з прямим 𝐶.
У цьому трикутнику прийнято найбільшу сторону, яка лежить проти прямого кута, називати гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами. Гіпотенузу також прийнято позначати малою буквою 𝑐, а катет, що лежить навпроти 𝐴 – буквою 𝑎 і катет, що лежить напроти 𝐵 – буквою 𝑏 (Рис.5.17).
Проведемо висоту 𝐶𝐷 = ℎ до гіпотенузи. Вона поділить гіпотенузу на два відрізки, які називають проекціями катетів на гіпотенузу та позначають 𝑎𝑐 і 𝑏𝑐 відповідно.
Рис.5.17 Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику
Одночасно, висота, проведена до гіпотенузи, поділяє даний трикутник на два трикутники, подібні даному.
Справді, 𝐴𝐵𝐶 і 𝐴𝐶𝐷 прямокутні та мають спільний 𝐴, тому подібні за третьою ознакою подібності. Аналогічно подібними є 𝐴𝐵𝐶 і 𝐶𝐵𝐷. Значить, подібними є 𝐴𝐶𝐷 та 𝐶𝐵𝐷.
𝐴𝐵 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐷. З подібності 𝐴𝐵𝐶 і 𝐴𝐶𝐷 випливає, що = 𝐴𝐶
𝐴𝐶 𝐴𝐷 Або: 𝑏2 = 𝑐 ∙ 𝑏𝑐.
𝐴𝐵 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐷. З подібності 𝐴𝐵𝐶 і 𝐶𝐵𝐷 випливає, що = 𝐵𝐶
𝐶𝐵 𝐵𝐷 Або: 𝑎2 = 𝑐 ∙ 𝑎𝑐.
Ці рівності можна об’єднати єдиним правилом:
Запам’ятайте! Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проекцією на гіпотенузу.
𝐴𝐷 𝐷𝐶 2 = 𝐴𝐷 ∙ 𝐵𝐷. З подібності 𝐴𝐷𝐶 і 𝐶𝐷𝐵 випливає, що = 𝐶𝐷
𝐶𝐷 𝐷𝐵 Або ℎ2 = 𝑎𝑐 ∙ 𝑏𝑐.
Запам’ятайте! Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між відрізками, на які вона поділяє гіпотенузу.
Використовуючи виявлені у попередньому пункті залежності, доведемо знамениту теорему Піфагора, яка найчастіше використовується для розв’язування прямокутних трикутників[4].
Теорема. Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів його катетів.
Доведення. Нехай у прямокутному 𝐴𝐵𝐶 проведена висота до гіпотенузи (Рис.5.17). Тоді, використовуючи пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику маємо:
𝑎2 = 𝑐 ∙ 𝑎𝑐; 𝑏2 = 𝑐 ∙ 𝑏𝑐.
Додамо ці рівності: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∙ 𝑎𝑐 + 𝑐 ∙ 𝑏𝑐 = 𝑐(𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) = 𝑐2.
Отже, 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, що і потрібно було довести.
Розділ 6. Тригонометричні функції
6.1 Поняття про тригонометричні функції
Побудуємо 𝐵𝐴𝐶. Виберемо на стороні 𝐴𝐵 декілька точок 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 і проведемо з них перпендикуляри 𝐵1𝐶1, 𝐵2𝐶2, 𝐵3𝐶3 на сторону 𝐴𝐶 (Рис.6.1).
Рис.6.1 Перпендикуляри, опущені із однієї сторони кута на іншу
Оскільки одержані трикутники 𝐴𝐵1𝐶1, 𝐴𝐵2𝐶2, 𝐴𝐵3𝐶3подібні, то: 𝐵1𝐶1 𝐵2𝐶2 𝐵3𝐶3
= = .
𝐴𝐵1 𝐴𝐵2 𝐴𝐵3 Крім того, маємо інші набори відношень:
𝐴𝐶1 𝐴𝐶2 𝐴𝐶3 𝐵1𝐶1 𝐵2𝐶2 𝐵3𝐶3 𝐴𝐶1 𝐴𝐶2 𝐴𝐶3
= = ; = = та = = .
𝐴𝐵1 𝐴𝐵2 𝐴𝐵3 𝐴С1 𝐴С2 𝐴С3 𝐵1𝐶1 𝐵2𝐶2 𝐵3𝐶3
Якщо змінювати величину кута, то значення цих відношень будуть змінюватися, але рівності будуть зберігатися. Отже, кожне таке відношення не залежить від вибору точки на стороні кута або від довжин сторін утворених прямокутних трикутників, а залежить лише від величини кута. Тому, у геометрії ці відношення використовують для характеристики кута. Тобто існує функціональна залежність між величиною кута і кожним з цих відношень: кожному куту відповідає єдине значення відношення. Ці функції називаються тригонометричними.
Щоб означити тригонометричні функції, узгодимо деяку термінологію. Як ми домовилися, при вивченні теореми Піфагора у прямокутному трикутнику найбільша сторона, яка лежить напроти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші катетами.
Розглянемо прямокутний ∆𝐴𝐵𝐶 з прямим кутом 𝐶. Позначимо гострий кут 𝐴 (Рис.6.2).
Рис.6.2 Назви сторін прямокутного трикутника
Тоді синій катет 𝐵𝐶, що лежить напроти виділеного кута, будемо називати протилежним до цього кута, а коричневий катет 𝐴𝐶 – прилеглим.
Тепер сформулюємо означення тригонометричних функцій гострого кута у прямокутному трикутнику.
Означення. Синусом гострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
𝐵𝐶 𝑎 Синус кута 𝐴 позначають так: 𝑠𝑖𝑛𝐴. Згідно означення 𝑠𝑖𝑛𝐴 = = .
𝐴𝐵 𝑐
Означення. Косинусом гострого кута у прямокутному трикутнику
називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
𝐴𝐶 𝑏 Косинус кута 𝐴 позначають: 𝑐𝑜𝑠𝐴. Згідно означення 𝑐𝑜𝑠𝐴 = = .
𝐴𝐵 𝑐
Означення. Тангенсом гострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення протилежного катета до прилеглого.
𝐵𝐶 𝑎 Тангенс кута 𝐴 позначають: 𝑡𝑔𝐴. Згідно означення 𝑡𝑔𝐴 = = .
𝐴𝐶 𝑏
Означення. Котангенсом гострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення прилеглого катета до протилежного.
𝐴𝐶 𝑏 Котангенс кута 𝐴 позначають: 𝑐𝑡𝑔𝐴. Згідно означення 𝑐𝑡𝑔𝐴 = = .
𝐵𝐶 𝑎 Тригонометричні функції є важливим інструментом для розв’язування прямокутних трикутників, тому необхідно запам’ятати і не плутати їхні означення.
У кожному з них важливі три елементи, які представимо схематично: протилежний катет синус = 
гіпотенуза
прилеглий катет косинус = 
гіпотенуза
протилежний катет тангенс = 
прилеглий катет
прилеглий катет
котангенс = 
протилежний катет
На малюнку і схемах кольори вибрані не випадково. Синій колір має викликати асоціацію зі словом синус, а коричневий – зі словом косинус.
6.2 Знаходження значень тригонометричних функцій
Зверніть увагу! Якщо гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 1, то синус його гострого кута дорівнює довжині протилежного катета, а косинус довжині прилеглого катета.
Використовуючи інструменти GeоGebra, знайдемо синуси і косинуси деяких гострих кутів. Для цього побудуємо коло одиничного радіуса і два радіуси, що утворюють гострий кут. Опустимо перпендикуляр з кінця першого радіуса на другий. За допомогою відповідних інструментів виміряємо гострий кут утвореного прямокутного трикутника і його катети (Рис.6.3).
Рис.6.3 Модель для визначення значень синуса і косинуса гострого кута
Потрібний кут задаємо шляхом перетягування точки 𝐵. Тоді довжина відрізка 𝐵𝐶 буде показувати значення синуса цього кута, а довжина 𝐴𝐶 – косинуса цього кута.
Удосконалимо цю модель. Для цього відобразимо систему координат і побудуємо одиничне коло з центром у точці 𝑂(0; 0). Виберемо у першій чверті довільну точку 𝑀. Побудуємо радіус 𝑂𝑀 і виміряємо кут, який утворює цей радіус з додатнім напрямком осі абсцис. На рисунку 6.4 цей кут позначено α.
Тоді перша координата точки 𝑀 буде дорівнювати косинусу цього кута, а друга – синусу кута (Рис.6.4). На панелі алгебра бачимо відповідно т. 𝑀(0.54, 0.84).
Рис.6.4 Удосконалена модель для визначення значень синуса і косинуса
Тут можна завантажити готову модель:
https://www.geogebra.org/m/rem6k6cy
Зауважимо, що значеннями тригонометричних функцій здебільшого є ірраціональні числа, тому одержана модель дозволяє обчислити значення тригонометричних функцій лише наближено.
6.3 Значення тригонометричних функцій базових кутів
У геометрії часто зустрічаються кути величиною 30, 45 і 60. Обчислимо значення тригонометричних функцій цих кутів.
Розглянемо квадрат зі стороною 1 і проведемо його діагональ (Рис.6.5). Вона поділить квадрат на два прямокутні рівнобедрені трикутники з гострими кутами по 45. За теоремою Піфагора, обчислимо довжину діагоналі.
Рис.6.5 Обчислення значень тригонометричних функцій кута 45
З 𝐴𝐵𝐶: 
.
Тому:
𝐶𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐴; 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠;
𝑡𝑔𝐴 = 𝑡𝑔450 = 𝐶𝐵 1 = 1; 𝑐𝑡𝑔𝐴 = 𝑐𝑡𝑔450 = 𝐴𝐵 = 1 = 1.
𝐴𝐵 1 𝐶𝐵 1
Щоб обчислити значення тригонометричних функцій кутів 30 і 60, розглянемо правильний трикутник 𝐴𝐵𝐶 зі стороною 1. Проведемо його висоту 𝐶𝐷. Вона поділить його на два прямокутні трикутники з гострими кутами 30 і 60 (Рис.6.6).
Зауважимо, що 𝐴𝐷 = 
. За теоремою Піфагора, обчислимо висоту 𝐶𝐷.
З ∆𝐴𝐶𝐷: 𝐶𝐷 
.
Тому: 𝑠𝑖𝑛С = 𝑠𝑖𝑛300 = 𝐴𝐷 = 1 : 1 = 1; 𝑐𝑜𝑠С
𝐴𝐶 2 2
𝐴𝐷 
𝐶𝐷
𝑡𝑔С; c𝑡𝑔С = 𝑐𝑡𝑔.
2
Рис.6.6 Обчислення значень тригонометричних функцій кутів 30 і 60
Занесемо одержані результати у таблицю:
|
|
30 |
45 |
60 |
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
tg |
|
1 |
|
|
ctg |
|
1 |
|
Звернемо увагу, що перший ряд таблиці має форму , де під корінь
2
послідовно вкладаються числа 1, 2 і 3. Другий ряд таблиці одержимо, якщо перший записати у зворотному порядку. Третій, якщо перший ряд поділимо відповідно на другий, а четвертий, якщо третій записати у зворотному порядку.
6.4 Властивості тригонометричних функцій
Побудуємо прямокутний трикутник 𝐴𝐵𝐶 з прямим кутом 𝐶. Нехай 𝐴 = . Тоді 𝐵 = 900 − (Рис.6.7).
Рис.6.7 Властивості тригонометричних функцій
𝑎 𝑎
Звернемо увагу: 𝑠𝑖𝑛= і 𝑐𝑜𝑠(90−) = .
𝑐 𝑐
Звідси: 𝑠𝑖𝑛= 𝑐𝑜𝑠(90−).
Аналогічно знаходимо:
𝑐𝑜𝑠= s𝑖𝑛(90−); 𝑡𝑔= 𝑐𝑡𝑔(90−); 𝑐𝑡𝑔= 𝑡𝑔(90−). Знайдемо тепер частки: 𝑠𝑖𝑛 = 𝑎 : 𝑏 = 𝑎 = 𝑡𝑔; 𝑐𝑜𝑠= 𝑏 : 𝑎 = 𝑏 = 𝑐𝑡𝑔.
𝑐𝑜𝑠 𝑐 𝑐 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝑐 𝑐 𝑎
Крім того, зауважимо, що 𝑡𝑔 і 𝑐𝑡𝑔 взаємно обернені числа.
1 1
Тобто 𝑡𝑔∙ 𝑐𝑡𝑔 =1 або 𝑡𝑔= 
і 𝑐𝑡𝑔= 
.
𝑐𝑡𝑔 𝑡𝑔
Виразимо тепер катети трикутника через гіпотенузу і гострий кут. З
𝑎 𝑏 рівності 𝑠𝑖𝑛= одержимо 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼, а з рівності 𝑐𝑜𝑠= 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐 𝑐
За теоремою Піфагора 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2. Підставимо у цю рівність значення катетів, одержимо:
𝑐2 = (𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼)2 + (𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼)2 або 𝑐2 = с2 ∙ 𝑠𝑖𝑛2+ 𝑐2 ∙ 𝑐𝑜𝑠2.
Поділимо обидві сторони останньої рівності на 𝑐2. Одержимо формулу, яку ще називають основною тригонометричною одиницею: 𝑠𝑖𝑛2+ 𝑐𝑜𝑠2= 1.
Поділимо обидві частини цієї тотожності на 𝑠𝑖𝑛2, одержимо ще одну формулу: 1 + 𝑐𝑡𝑔2= 𝑠𝑖𝑛
12. Якщо ж поділити обидві частини основної тригонометричної одиниці на 𝑐𝑜𝑠2, то одержимо аналогічну формулу:
1 + 𝑡𝑔2= 𝑐𝑜
1𝑠2.
Отже, ми встановили групу формул, яку ще називають основними тригонометричними тотожностями:
𝑠𝑖𝑛
𝑡𝑔=;
𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
с𝑡𝑔=;
𝑠𝑖𝑛
𝑡𝑔∙ 𝑐𝑡𝑔 =1;
𝑠𝑖𝑛2+ 𝑐𝑜𝑠2= 1;
1 + 𝑡𝑔2= 𝑐𝑜
1𝑠2;
1
.
𝑠𝑖𝑛
6.5 Розв’язування прямокутних трикутників з використанням
тригонометричних функцій
Якщо у прямокутному трикутнику відомо одну сторону і гострий кут, то дві інші сторони можна обчислити, використовуючи тригонометричні функції. Так як, у кожному випадку одна сторона відома, а дві інші необхідно обчислити, то маємо 6 елементарних задач:
|
|
Відомо гіпотенузу 𝒂 і гострий кут . Обчислити протилежний катет 𝒙. 𝒙 𝒔𝒊𝒏= 𝒂 Відомо гіпотенузу 𝒂 і гострий кут . Обчислити прилеглий катет 𝒚. 𝒚 𝒄𝒐𝒔= 𝒂 |
||
|
|
|
|
Відомо протилежний катет 𝒂 і гострий кут . Обчислити гіпотенузу 𝒙. 𝒂 𝒂 𝒔𝒊𝒏= 𝒙 𝒔𝒊𝒏 Відомо протилежний катет 𝒂 і гострий кут . Обчислити прилеглий катет 𝒚. 𝒂 𝒂 𝒕𝒈= 𝒚 𝒕𝒈 |
|
|
Відомо прилеглий катет 𝒂 і гострий кут . Обчислити гіпотенузу 𝒙. 𝒂 𝒂 𝒄𝒐𝒔= 𝒙 𝒄𝒐𝒔 Відомо прилеглий катет 𝒂 і гострий кут . Обчислити протилежний катет 𝒚. 𝒚 𝒕𝒈= 𝒂 |
||
Акцентуємо увагу на алгоритмі розв’язування цих задач:
1. Звертаємо увагу, як називаються відома і шукана сторона, і вибираємо відповідну функцію (протилежний катет і гіпотенуза – синус; прилеглий катет і гіпотенуза – косинус, два катети – тангенс чи котангенс).
2. Записуємо відповідну рівність і визначаємо з неї шукану сторону (якщо шукана сторона у чисельнику, то іншу сторону МНОЖИМО на тригонометричну функцію; якщо шукана сторона у знаменнику, то іншу сторону ДІЛИМО на тригонометричну функцію).
6.6 Тригонометричні функції довільних кутів
Раніше ми встановили, що для будь-якого гострого кута , відповідна точка 𝑀 на одиничному колі має координати (𝑐𝑜𝑠; 𝑠𝑖𝑛) (Рис.6.8).
Рис.6.8 Тригонометричне коло
Тепер ці самі означення перенесемо на довільні кути:
Означення. Косинусом кута називається абсциса відповідної точки на одиничному колі.
Пригадаємо, що 𝑡𝑔= 𝑠𝑖𝑛 ; 𝑐𝑡𝑔= 𝑐𝑜𝑠. Тому:
𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛
Означення. Тангенсом кута називається відношення ординати до абсциси відповідної точки на одиничному колі.
Означення. Котангенсом кута називається відношення абсциси до ординати відповідної точки на одиничному колі.
Розглянемо тепер деякі властивості тригонометричних функцій кутів від 0 до 180. Насамперед знайдемо значення кутів, утворених координатними осями. Для цього визначимо координати відповідних точок і результати занесемо в таблицю:
|
|
0 |
90 |
180 |
|
sin |
0 |
1 |
0 |
|
cos |
1 |
0 |
-1 |
|
tg |
0 |
не існує |
0 |
|
ctg |
не існує |
0 |
не існує |
Далі, звернемо увагу, що значення тригонометричних функцій тупого кута можна подати через значення тригонометричних функцій гострого кута. Якщо кут тупий, то відповідна точка 𝑀(𝑥; 𝑦) буде знаходитися у другій чверті (Рис.6.9). Опустимо з точки 𝑀 перпендикуляр 𝑀𝑀𝑥 на вісь абсцис. Тоді: 𝑥 = −𝑂𝑀𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑀𝑥.
Рис.6.9 Вираження значень тригонометричних функцій тупих кутів через тригонометричні функції гострих кутів
Враховуючи, що = 180−;
𝑠𝑖𝑛= 𝑦; 𝑐𝑜𝑠= 𝑥; 𝑠𝑖𝑛= 𝑀𝑀𝑥; 𝑐𝑜𝑠= 𝑂𝑀𝑥, одержимо: 𝑠𝑖𝑛(180−) = 𝑠𝑖𝑛;
𝑐𝑜𝑠(180−) = −𝑐𝑜𝑠.
Отже: 𝑡𝑔(180−) = −𝑡𝑔; 𝑐𝑡𝑔(180−) = −𝑐𝑡𝑔.
6.7 Теорема синусів
Теорема синусів встановлює залежність між сторонами і протилежними кутами у трикутнику. Розглянемо довільний 𝐴𝐵𝐶 зі стороною 𝐵𝐶 = 𝑎 і протилежним кутом . Опишемо навколо цього трикутника коло з центром 𝑂 (Рис.6.10).
Рис.6.10 Виведення теореми синусів
Проведемо радіуси 𝑂𝐵 і 𝑂𝐶 та серединний перпендикуляр 𝑂𝐷 до сторони 𝐵𝐶. Тоді 𝐶𝐴𝐵 = 𝐶𝑂𝐷 = 𝐷𝑂𝐵 = . Чому?
𝑎 𝑎
З прямокутного трикутника 𝑂𝐷𝐶 маємо: 𝑠𝑖𝑛= : 𝑅 
= 2𝑅.
2 𝑠𝑖𝑛
𝑏 𝑐
Аналогічно можна встановити, що 
= 2𝑅, = 2𝑅.
𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛
𝑎 𝑏 𝑐 Або: = = .
𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛
Теорема. Сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів.
Наслідок. Радіус кола, описаного навколо трикутника, обчислюється за
𝑎 формулою 𝑅 = 
, де 𝑎 – сторона трикутника, – протилежний кут.
2𝑠𝑖𝑛
Розділ 7. Площа фігур
7.1 Поняття площі
Зобразимо многокутник і виберемо інструмент Площа 
. Клацнемо по внутрішній області. Відразу появиться надпис, на якому вказано площу даного многокутника (Рис.7.1). У повсякденному житті ми часто стикаємось з цим поняттям розглядаючи площу квартири, площу земельної ділянки, площі поверхонь різних предметів тощо.
Рис.7.1 Використання інструмента Площа
У геометрії під площею розуміють величину, яка характеризує скільки місця займає фігура на площині, тобто це величина внутрішньої області фігури.
Використовуючи інструменти GeoGebra встановимо деякі інтуїтивно зрозумілі властивості площі.
Будемо перетягувати вершини многокутника, змінюючи його форму і розміри. Переконаємося, що кожен многокутник має площу і вона виражається додатнім числом.
Скопіюємо і вставимо многокутник. Одержимо два рівні многокутники. Виміряємо їхні площі. Як і слід було очікувати, рівні многокутники мають однакові площі (Рис.7.2).
Рис.7.2 Рівні многокутники мають однакові площі
Побудуємо квадрат зі стороною 1 і виміряємо його площу (Рис.7.3). Площа цього квадрата теж буде рівна одиниці. Тобто квадрат зі стороною 1 є одиницею площі або квадратною одиницею.
Рис.7.3 Одиниця вимірювання площі
Поділимо довільний многокутник діагоналлю на два многокутники. Щоб виміряти площі одержаних частин, приховаємо даний многокутник. Тепер, за допомогою інструмента Многокутник 
, побудуємо многокутники, що є частинами даного многокутника (Рис.7.4). Виміряємо площі одержаних частин і переконаємося, що сума площ частин дорівнює площі цілого многокутника.
Щоб зручно було експериментувати з цією моделлю, відобразимо панель Алгебра і звернемо увагу, що частини система назвала ч1 і ч2. Тоді введемо команду ч1+ч2. Відразу на панелі Алгебра появилося число h, значення якого дорівнює сумі площ многокутників, що є частинами даного многокутника.
Тепер можна змінювати форму многокутника і переконатися, що площа многокутника дорівнює сумі площ його частин.
Рис.7.4 Площа многокутника дорівнює сумі площ його частин
Такі прості експерименти дозволяють зайвий раз перевірити властивості площі, які є інтуїтивно зрозумілими, оскільки на практиці ми з ними стикаємося досить часто. Перелічимо їх:
1. Кожен многокутник має площу, яка виражена додатнім числом.
2. Рівні многокутники мають рівні площі.
3. Площа квадрата зі стороною 1 дорівнює одній квадратній одиниці.
4. Площа многокутника дорівнює сумі площ частин, на які його поділяє будь-яка лінія.
7.2 Площа прямокутника
З формулою площі прямокутника учні знайомляться ще у початковій школі, але лише для випадку, коли довжини його сторін є натуральними числами. Побудуємо відповідну модель прямокутника за допомогою GeoGebra. З цією метою створимо два повзунки 𝑎 та 𝑏, які набувають лише додатних значень і, при їх створенні, встановимо Приріст 1. Побудуємо прямокутник зі сторонами 𝑎 та 𝑏 (Рис.7.5).
Змінюючи значення параметрів 𝑎 та𝑏, бачимо, що вздовж сторони 𝑎 помістилося 𝑎 одиничних квадратів, а у цілий прямокутник – 𝑏 рядів по 𝑎 квадратів у кожному. Всього 𝑎 ∙ 𝑏 одиничних квадратів.
Рис.7.5 Площа прямокутника, сторони якого натуральні числа
Переконаємося, що ця формула вірна і для випадку, коли сторони виражаються будь-якими дійсними числами. Заберемо у властивостях повзунків опцію Приріст 1. Відобразимо панель Алгебра. У командний рядок введемо команду 𝑎𝑏. Тоді на цій панелі відобразиться число 𝑒 = 𝑎𝑏. Виміряємо за допомогою інструмента Площа площу прямокутника і переконаємося, що вона дорівнює 𝑒 = 𝑎𝑏 (Рис.7.6).
Рис.7.6 Площа прямокутника, сторони якого додатні дійсні числа
Формулу площі для загального випадку можна обґрунтувати за допомогою логічних міркувань. Однак, це доведення дещо громіздке, тому ми обмежимося лише результатами експерименту.
7.3 Формули площі паралелограма
Формули всіх інших фігур доводяться шляхом:
- їх розрізання на частини, з яких можна скласти прямокутник,
- поділу на рівні частини,
- використання раніше виведених формул та іншими методами.
Розпочнемо із виведення площі паралелограма.
Побудуємо паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, у якого сторона 𝐴𝐵 < 𝐴𝐷. Проведемо висоту 𝐵𝐸. Оскільки 𝐴𝐵 < 𝐴𝐷, то основа висоти попаде на сторону 𝐴𝐷 і поділить паралелограм на трикутник і чотирикутник ( Рис.7.7).
Рис.7.7 Виведення формули площі паралелограма
За допомогою інструмента Жорсткий многокутник 
побудуємо трикутник, рівний 𝐴𝐵𝐸 та чотирикутнику 𝐵𝐶𝐷𝐸. Складемо із цих фігур прямокутник (Рис.7.8).
Рис.7.8 Перетворення паралелограма у прямокутник
Оскільки у цьому прямокутнику довжина дорівнює основі паралелограма, а ширина – його висоті, то одержуємо формулу для обчислення його площі: 𝑆 = 𝑎ℎ.
Запам’ятайте! Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту, проведену до неї.
Строге виведення цієї формули повністю повторює алгоритм щойно побудованої моделі.
Як правило, є не одна, а кілька формул для обчислення площі однієї і тієї ж фігури. У залежності від конкретної ситуації ми вибираємо ту формулу, у якій використовуються параметри, які є у нашому розпорядженні.
Розглянемо ще одну формулу для обчислення площі паралелограма.
Нехай маємо паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷, у якого задано дві сторони: 𝐴𝐷 = 𝑎, 𝐴𝐵 = 𝑏 і кут між ними 𝐴 = (Рис.7.9).
Рис.7.9 Виведення формули площі паралелограма через дві сторони і кут Проведемо висоту 𝐵𝐸 = ℎ. Тоді, з 𝐴𝐵𝐸 можна знайти ℎ:
𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛.
𝑏
Підставимо знайдене значення висоти у основну формулу для обчислення площі паралелограма, одержимо ще одну формулу:
𝑆 = 𝑎 ∙ ℎ = 𝑎𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛.
Запам’ятайте! Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними.
7.4 Формули площ трикутника і трапеції
Нехай маємо трикутник 𝐴𝐵𝐶. 𝐵𝐸 – його висота, проведена до основи 𝐴𝐶. Доповнимо його до паралелограма. Для цього, через вершину 𝐵 проведемо пряму, паралельну до 𝐴𝐶, а через вершину 𝐶 – пряму, паралельну до 𝐴𝐵 (Рис.7.10).
Рис.7.10 Доповнення трикутника до паралелограма.
Нехай ці прямі перетинаються у точці 𝐷. Тоді чотирикутник 𝐴𝐵𝐷𝐶 паралелограм.
Як було встановлено, площа цього паралелограма обчислюється за формулою 𝑆 = 𝑎ℎ, де 𝑎 = 𝐴𝐶, ℎ = 𝐵𝐸.
Але, 𝐴𝐵𝐶 = 𝐷𝐶𝐵 за стороною і двома прилеглими кутами, тому площа 𝐴𝐵𝐶 становить половину площі паралелограма.
Так само, як і у випадку з паралелограмом, можна одержати ще одну формулу для обчислення площі трикутника ( Рис.7.11).
Рис.7.11 Виведення формули площі трикутника через дві сторони і кут
𝑆 𝑠𝑖𝑛.
Запам’ятайте! Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними.
Якщо трикутник правильний, то його сторони рівні, а кут між ними 60. Тому, для правильного трикутника, сторона якого 𝑎, площа обчислюється за формулою:
1 𝑎
𝑎
𝑆 
𝑎
Тепер розглянемо трапецію 𝐴𝐵𝐶𝐷 з основами 𝑎 та 𝑏 і висотою ℎ.
1 1
Проведемо її діагональ 𝐴𝐶 ( Рис.7.12). Тоді 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 2
𝑏ℎ, 𝑆∆𝐴𝐶𝐷 = 2 𝑎ℎ. Але площа трапеції дорівнює сумі площ цих трикутників, тому:
Рис.7.12 Виведення формули площі трапеції
Запам’ятайте! Площа трапеції дорівнює добутку пів суми її основ на висоту.
7.5 Кілька корисних формул для обчислення площі трикутника
Виведемо ще кілька корисних формул для обчислення площі трикутника. Нехай у 𝐴𝐵𝐶 вписане коло з центром у точці 𝑂 ( Рис.7.13).
Рис.7.13 Виведення формули для обчислення площі описаного трикутника
З’єднаємо відрізками центр кола з вершинами трикутника. Вони розіб’ють многокутник на три трикутники. Оскільки площа трикутника дорівнює сумі площ цих трикутників, то одержимо:
1
𝑆 = 𝑆∆𝐵𝑂𝐶 + 𝑆∆𝐶𝑂𝐴 + 𝑆∆𝐴𝑂𝐵 = 2 𝑎𝑟 + 𝑏𝑟 + 𝑐𝑟 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑟 = 𝑝𝑟, де 𝑝 – півпериметр многокутника.
Запам’ятайте! Площа описаного трикутника дорівнює добутку його пів периметра на радіус вписаного кола.
Пригадаємо формулу для обчислення площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними: 𝑆 
𝑠𝑖𝑛.
Використовуючи теорему синусів виразимо 𝑠𝑖𝑛 через третю сторону і
𝑐 радіус описаного кола: 𝑠𝑖𝑛= 
.
2𝑅
Підставивши це значення у формулу для обчислення площі трикутника, одержимо нову формулу:
𝑆 
.
2 2𝑅 4𝑅
Запам’ятайте ще одну формулу для обчислення площі трикутника:
𝑎𝑏𝑐
𝑆 = , де 𝑎, 𝑏, 𝑐 − сторони трикутника,а 𝑅 - радіус описаного кола.
4𝑅
Ця формула переважно використовується для обчислення радіуса описаного кола. Адже, якщо відомі три сторони трикутника, то його площу зручно обчислювати за формулою Герона:
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), де 𝑝 – півпериметр.
А тоді, знаходять радіус кола, описаного навколо трикутника.
Наведемо доведення формули Герона.
Доведення. Впишемо у трикутник 𝐴𝐵𝐶 коло з центром у точці 𝑂1, яке дотикається сторони 𝐴𝐶 у точці 𝐷. Та побудуємо зовні описане коло з центром у точці 𝑂2, яке дотикається продовження сторони 𝐴𝐶 у точці 𝐸 ( Рис.7.14).
Рис.7.14 Доведення формули Герона
За властивостями вписаного кола, півпериметр трикутника 𝑝 = 𝑎 + 𝐴𝐷.
Тому: 𝐴𝐷 = 𝑝 − 𝑎. Аналогічно: 𝐷𝐶 = 𝑝 − 𝑐.
За властивістю зовні вписаного кола 𝑝 = 𝐴𝐸, тому 𝐶𝐸 = 𝑝 − 𝑏.
Нехай радіус вписаного кола 𝑟, а радіус зовні вписаного кола 𝑅. Тоді з подібності трикутників 𝐴𝑂1𝐷 і 𝐴𝑂2𝐸 (Чому?):
𝑟 𝑅
=
𝑝 − 𝑎 𝑝
Звідси: (𝑝 − 𝑎)𝑅 = 𝑝𝑟 = 𝑆.
𝐶𝑂1 і 𝐶𝑂2 бісектриси суміжних кутів, тому сума 𝑂1𝐶𝐷 +𝑂2𝐶𝐸 = 90 𝑂1𝐶𝐷 = 𝐶𝑂2𝐸 (Чому?). Тому 𝐶𝑂1𝐷~𝑂2𝐶𝐸. З подібності трикутників 𝐶𝑂1𝐷 і 𝑂2𝐶𝐸:
𝑝−𝑐 𝑅
= .
𝑟 𝑝−𝑏 Звідси: (𝑝 − 𝑐)(𝑝 − 𝑏) = 𝑟𝑅.
Перемножимо рівності: 𝑆 = (𝑝 − 𝑎)𝑅 і 𝑆 = 𝑝𝑟. Одержимо: 𝑆2 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)𝑟𝑅.
Замінимо у останній рівності добуток 𝑟𝑅 на (𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) Остаточно одержимо: 𝑆2 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐).
Звідси: 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐).
7.6 Формули площ деяких многокутників
Побудуємо чотирикутник, у якого діагоналі перпендикулярні. Виведемо формулу для обчислення площі цього чотирикутника, за умови, що відомі довжини цих діагоналей ( Рис.7.15).
Рис.7.15 Виведення формули для обчислення площі чотирикутника з перпендикулярними діагоналями
Нехай діагональ 𝑑2 точкою перетину ділиться на відрізки ℎ1 і ℎ2. Тоді:
1 1
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 2
𝑑1ℎ1; 𝑆∆𝐴𝐷𝐶 = 2 𝑑1ℎ2.
1 1 1 1
Тому 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 𝑑1ℎ1 + 2 𝑑1ℎ2 = 2 𝑑1(ℎ1 + ℎ2) = 2 𝑑1𝑑2.
Запам’ятайте! Площа чотирикутника, у якого діагоналі перпендикулярні, дорівнює половині добутку його діагоналей.
Наслідок 1. Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей.
Наслідок 2. Площа квадрата дорівнює половині квадрата його діагоналі.
Розглянемо опуклий чотирикутник, у якого відомі діагоналі і кут між ними ( Рис.7.16).
Рис.7.16 Виведення формули для обчислення площі чотирикутника через діагоналі і кут між ними
Нехай діагональ 𝑑2 точкою перетину ділиться на відрізки с1 і с2.
Проведемо висоти ℎ1 і ℎ2 трикутників 𝐴𝐵𝐶 і 𝐴𝐷𝐶.
Тоді: ℎ1 = 𝑐1𝑠𝑖𝑛 і ℎ2 = 𝑐2𝑠𝑖𝑛. Отже:
1
𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 + 𝑆∆𝐴𝐷𝐶 = ℎ1𝑑1 + ℎ2𝑑1 = 𝑑1𝑐1 sin+ 𝑑1𝑐2 sin= 2
1 1
=2 𝑑1 sin(𝑐1 + 𝑐2) = 2 𝑑1𝑑2 sin.
Запам’ятайте! Площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.
Наслідок 1. Площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.
Наслідок 2. Площа прямокутника дорівнює половині квадрата його діагоналі на синус кута між ними.
На завершення звернемо увагу, що формула для обчислення площі многокутника, описаного навколо кола, має такий самий вигляд, як для описаного трикутника:
𝑆 = 𝑝𝑟, де 𝑝 – півпериметр многокутника, а 𝑟 – радіус вписаного кола. Виводиться ця формула аналогічно, як і для трикутника.
Запам’ятайте! Площа описаного многокутника дорівнює добутку його пів периметра на радіус вписаного кола.
9 клас
Розділ 8. Вектори і координати
8.1 Співнапрямлені промені. Напрям. Кут між напрямами
Один зі способів одержання нових фігур є рух точок, відрізків та інших фігур. В результаті цього руху, фігура описує нові фігури. Наприклад, на Рис.8.1 показано, як у результаті руху точки, одержали лінію. Зокрема, при прямолінійному русі точки (русі вздовж прямої) одержали відрізок. При прямолінійному русі відрізка одержали паралелограм. Відрізок, що обертається навколо одного з кінців, описує круг.
Рис.8.1 Одержання фігур в процесі руху
Серед усіх рухів найпростішим є прямолінійний рух, коли напрям руху не змінюється, і рух по колу, коли відстань від кожної точки, що обертається, до центра залишається сталою.
Таким чином, однією із важливих характеристик руху є напрям. Напрям задається променем.
Щоб сформулювати поняття напряму, змоделюємо практичну ситуацію. Нехай на прямолінійній трасі розташовано кілька населених пунктів A, B, C, D і т. д. (Рис.8.2).
Рис.8.2 Рух по прямій
Напрям руху автомобіля, що рухається з A у B зручно визначити променем AB. Так само, напрям руху автомобіля, що рухається з C у D вказується променем CD. Зрозуміло, що у наведеному прикладі, обидва автомобілі рухаються у однаковому напрямку. Тому ці промені вважаються співнапрямленими. До речі, цей напрям можна вказати будь-яким із променів AC, AD, BD і т. д, які теж є співнапрямленими між собою.
Якщо два автомобілі рухаються з пункту A в B по паралельних смугах траси ( Рис.8.3), то у цьому випадку вони теж рухаються у одному напрямку.
Рис.8.3 Рух по паралельних прямих
Тому промені f і j, які вказують напрям руху кожного автомобіля, також є співнапрямлені. У цьому випадку співнапрямлені промені лежать на паралельних прямих і у одній півплощині, межею якої є пряма, яка проходить через початки даних променів. Отже, напрям руху обох автомобілів можна вказати будь-яким із цих променів.
Означення. Усі промені, співнапрямлені між собою, задають напрям. Щоб визначити напрям, досить вказати будь-який із цих променів.
Зауважимо, що доповняльні промені задають протилежні напрями. Тому промені, співнапрямлені з доповняльними, теж задають протилежні напрями. Змоделюємо рух вздовж ламаної лінії ( Рис.8.4).
Рис.8.4 Рух по ламаній лінії
Якщо автомобіль рухається з пункту A у B, то його напрям визначає промінь AB або BE. У пункті B він змінює напрям. Тепер його напрям вказує промінь BC або CF. У пункті С він знову змінює напрям. Тепер його напрям задає промінь CD. Однією із характеристик, яка вказує на те, як змінився напрям, є кут між напрямками. У першому випадку це кут , утворений променями BE і BC. У другому випадку 𝐷𝐶𝐹 = .
Означення. Кутом між напрямками називається кут, утворений променями, які вказують ці напрямки.
Іншою характеристикою зміни напрямку є напрям обертання. У першому випадку автомобіль повертав праворуч, у другому – ліворуч. Щоб описати ці повороти, звернемо увагу, що у першому випадку промінь BE, який вказує початковий напрям, повертається на кут за годинниковою стрілкою. Як уже про це говорилося раніше, такий напрям обертання вважається від’ємним. У другому випадку промінь 𝐶𝐹 повертається на кут проти годинникової стрілки. Такий напрям обертання називається додатнім.
Зауважимо, що доповняльні промені утворюють розгорнутий кут, тому кут між протилежними напрямками дорівнює 180. Два промені, що співпадають, утворюють кут 0. Отже, кут між однаковими напрямками дорівнює 0.
8.2 Вектор. Рівні вектори
Скалярні величини, які визначаються тільки числовим значенням, зручно моделювати відрізками. У цьому випадку довжина відрізка позначає числове значення величини, одержане у певних одиницях вимірювання. Однак, є величини, що характеризуються не лише числовим значенням, але й напрямком. Прикладами таких величин є переміщення, швидкість, прискорення, сила, вага та інші. Такі величини називаються векторними. Їх зручно моделювати напрямленими відрізками.
Виберемо інструмент Вектор і клацнемо у двох точках. Одержимо зображення стрілки (Рис.8.5). Це – вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ . Точка 𝐴 є його початком, а 𝐵 – кінцем. Вектор позначають однією малою буквою латинського алфавіту або двома великими буквами, що позначають його початок і кінець. Крім того, над буквою чи буквами малюють стрілку.
Запам’ятайте! Вектор – це напрямлений відрізок.
Змінюючи положення початку або кінця вектора, бачимо, що змінюється його напрям і довжина. Отже, вектор має дві характеристики: напрям і модуль. Напрям вектора ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ задається променем 𝐴𝐵, а модуль – довжиною відрізка 𝐴𝐵 (Рис. 8.5).
Рис.8.5 Вектор
Звернемо увагу на панель Алгебра. У нашому прикладі точка 𝐴 має координати (1; 2) а точка 𝐵(6; 5). Відповідний вектор 𝑢⃗ = (5; 3).
Не важко здогадатися, що перша координата вектора вказує на скільки «кроків» слід переміститися вправо або вліво, а друга – на скільки «кроків» потрібно пройти вгору або вниз, щоб попасти з його початку у кінець. Тому координати вектора обчислюються за формулами: 𝑥𝑢 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴;𝑦𝑢 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴. Це легко перевірити, переміщуючи кінець або початок вектора і аналізуючи, як змінюються його координати.
Запам’ятайте! Кожна координата вектора дорівнює різниці відповідних координат його кінця і початку.
Побудуємо ще один вектор з координатними (5; 3). Для цього у командний рядок введемо команду: Вектор((5,3)). Одержимо вектор 𝑤⃗⃗ , з початком у початку координат, а кінцем у точці (5; 3). Цей вектор ще називають радіусом-вектором.
Запам’ятайте! Координати радіуса-вектора збігаються з координатами його кінцевої точки.
Як бачимо, ці вектори мають однакові напрями, модулі і координати.
Запам’ятайте! Два вектори рівні, якщо у них рівні модулі і однакові напрями. У рівних векторів однакові координати.
Можемо переконатися у рівності векторів сумістивши вектор 𝐴𝐵 з вектором 𝑤⃗⃗ . Зауважимо, якщо вектор «зловити» за початок чи кінець, то він буде змінюватися. Тобто можна змінювати як його напрям, так і модуль. Якщо ж
«зловити» вектор за будь-яку точку всередині відрізка 𝐴𝐵, то, при переміщені вказівника, вектор змінюватися не буде. Незмінною буде довжина відрізка і напрям. Тобто нове положення відрізка буде паралельне попередньому.
8.3 Відкладання вектора від точки. Кут між векторами
Побудуємо довільний вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ і деяку точку 𝐶. Якщо відкрити панель Алгебра, то побачимо, що при перенесенні вектора, будуть мінятися координати його початку і кінця, а координати самого вектора залишаються сталими (Рис.8.6). В результаті такої дії ми можемо помістити початок вектора у будь-яку точку і одержуємо вектор рівний даному.
Рис.8.6 Відкладання вектора від точки
Таку дію ми будемо називати відкладанням вектора від точки.
Запам’ятайте! Відкласти вектор від точки означає побудувати вектор, рівний даному, з початком у цій точці.
Якщо у GeoGebra відкласти вектор від точки можна простим перетягуванням вектора, то виконання аналогічної дії на папері, вимагає дотримання певного алгоритму побудови. З’ясуємо його.
Рис.8.7 Відкладання вектора від точки
Відкладемо вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ від точки 𝐶 (Рис.8.7). Проведемо пряму 𝐴𝐶 і через точку C пряму g, паралельну 𝐴𝐵. При цьому точка 𝐶 розіб’є пряму g на два промені. Той промінь, що лежить із вектором ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ у одній півплощині відносно прямої 𝐴𝐶, буде співнапрямлений з цим вектором. Інший промінь буде мати протилежний напрям. Тепер залишається за допомогою циркуля на співнапрямленому промені відкласти відрізок, рівний відрізку 𝐴𝐵.
Пригадаємо, що через точку поза прямою можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Крім того, на промені можна відкласти лише один відрізок рівний даному. Тому виходить, що від даної точки можна відкласти лише один вектор рівний даному.
Запам’ятайте! Від заданої точки можна відкласти лише один вектор рівний даному.
Якщо потрібно відкласти вектор 𝑎 (𝑥𝑎; 𝑦𝑎) від точки 𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶) на координатній площині, то у цьому випадку обчислюємо координати його кінця
𝐷(𝑥𝐷; 𝑦𝐷).
Оскільки 𝑥𝐷 − 𝑥𝐶 = 𝑥𝑎 і 𝑦𝐷 − 𝑦𝐶 = 𝑦𝑎, то 𝑥𝐷 = 𝑥𝑎 + 𝑥𝐶 і 𝑦𝐷 = 𝑦𝑎 + 𝑦𝐶.
Побудуємо два вектори ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ і 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (Рис.8.8). Напрями цих векторів задаються променями 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶, а 𝐵𝐴𝐶 вважається кутом між цими векторами.
Означення. Кутом між векторами називається кут між їхніми напрямами.
Рис.8.8 Кут між векторами
Якщо вектори не мають спільного початку, то для визначення кута між ними зручно відкласти їх від однієї точки. Зокрема, це може бути початок будьякого із векторів. Наприклад, для визначення кута між векторами ⃗𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ і ⃗𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ (Рис.8.8) від початку вектора ⃗𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ відклали вектор ⃗𝐹𝐻⃗⃗⃗⃗ = ⃗𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ . Тому кут є кутом між векторами ⃗𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ і ⃗𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ .
Вектори, у яких однакові напрямки називаються співнапрямленими. Вектори, у яких напрямки протилежні, називаються протилежно напрямленими. Із означення кута між векторами слідує, що кут між співнапрямленими векторами дорівнює 0, кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180. Зрозуміло, що співнапрямлені або протилежно напрямлені вектори лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих. Їх ще називають колінеарними.
Означення. Співнарямлені або протилежно напрямлені вектори називаються колінеарними.
І навпаки, якщо вектори колінеарні, то вони розміщені на паралельних прямих або на одній прямій.
8.4 Додавання і віднімання векторів
Над скалярними величинами, як і над числами, можна виконувати арифметичні дії. Аналогічно, можна виконувати арифметичні дії над векторними величинами. Наприклад, якщо на деяке тіло діють дві сили, то результатом дії цих сил є їх рівнодійна, яку природньо вважати сумою цих сил. Так само, якщо деяке тіло перемістилося з точки 𝐴 у точку 𝐵, а потім з точки 𝐵 у точку 𝐶, то результатом цих переміщень є переміщення з точки 𝐴 у точку 𝐶. Якщо перше переміщення задається вектором ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ , а друге вектором ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ , то природньо вектор
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ вважати сумою векторів ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ та ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ .
Змоделюємо ситуацію з переміщенням за допомогою засобів GeoGebra
(Рис.8.9).
Рис.8.9 Послідовне виконання двох переміщень
Звернемо увагу, на координати векторів, які відображені на панелі Алгебра. Щоб попасти з точки A у точку B, потрібно зробити 3 кроки вправо і 2 вгору, тому вектор 𝑢⃗ = ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ має координати (3; 2). Вектор 𝑣 = ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ має координати (4; -1). Це означає, що для того, аби попасти з точки B у C, потрібно переміститися на 4 кроки вправо і один крок вниз.
Вектор 𝑤⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ має координати (7; 1), які показують, як попасти з точки 𝐴 у точку 𝐶. Якщо врахувати, що переміщення відбувалося спочатку з точки 𝐴 у точку 𝐵, а потім з точки 𝐵 у 𝐶, то стає зрозумілим, як одержали ці координати: вздовж осі абсцис ми рухалися спочатку на 3, а потім на 4 кроки вправо (3+4=7); вздовж осі ординат ми рухалися на 2 кроки вгору і на один кров вниз (2-1=1).
Якщо у командний рядок ввети команду: 𝑢 + 𝑣, то появиться вектор 𝑎 , що дорівнює сумі векторів 𝑢⃗ та 𝑣 (Рис.8.10). Як бачимо з рисунка, і про це свідчать координати вектор 𝑎 , він дорівнює вектору 𝑤⃗⃗ .
Рис.8.10 Додавання векторів
Проведені дослідження дозволяють сформулювати означення суми векторів:
Одночасно, ми встановили правило додавання векторів. Як бачимо,
⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ + ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
Це правило називають правилом трикутника.
Запам’ятайте правило трикутника для додавання векторів: від кінця першого вектора відкладаємо другий вектор. Тоді сумою є вектор, початок якого збігається з початком першого, а кінець– з кінцем другого.
Його легко довести логічними міркуваннями.
Нехай 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵), 𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶). Тоді 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴), ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵; 𝑦𝐶 − 𝑦𝐵), 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 − 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 − 𝑦𝐵). Отже, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐶 − 𝑥𝐴; 𝑦𝐶 − 𝑦𝐴).
Правило трикутника легко поширити на випадок більшої кількості доданків. Тобто за цим правилом знаходять суму трьох і більше векторів.
Зокрема, якщо початок першого вектора співпадає з кінцем останнього, то їх сума дорівнює ⃗0 (Рис.8.11).
Означення. Вектор, у якого початок і кінець співпадають, називається нуль-
Рис.8.11 Випадок, коли сума кількох векторів дорівнює ⃗0
У нуль-вектора початок і кінець співпадають, тому його модуль дорівнює 0. Це означає, що кожну точку можна вважати нуль-вектором. У такого вектора напрям невизначений. Його можна вважати співнапрямленим із будь-яким вектором.
Зауважимо, що сума векторів А⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ і ⃗𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ завжди дорівнює нуль-вектору, тому ці вектори називаються протилежними.
Зауважимо, що не обов’язково, щоб кінці протилежних векторів співпадали. Наприклад, на Рис.8.12 кінці протилежних векторів А⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ і ⃗𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ є вершинами паралелограма.
Рис.8.12 Протилежні вектори
Зверніть увагу на панель Алгебра. Відповідні координати протилежних векторів є протилежними числами.
Зауважимо, що із означення суми безпосередньо слідує переставна властивість додавання векторів, адже:
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 = 𝑥𝑏 + 𝑥𝑎 і 𝑦𝑎 + 𝑦𝑏 = 𝑦𝑏 + 𝑦𝑎.
Побудуємо на одному рисунку суми векторів 𝑢⃗ і 𝑣 та 𝑣 і 𝑢⃗ (Рис.8.13).
Рис.8.13 Правило паралелограма
Як бачимо, тут вектори 𝑢⃗ і 𝑣 відкладені від однієї точки. Крім того, точки A, B, C і D є вершинами паралелограма. Це дозволяє сформулювати нове правило додавання векторів, яке має назву «Правило паралелограма».
Запам’ятайте правило паралелограма для додавання векторів: відкладаємо обидва вектори від однієї точки і будуємо на них паралелограм. Тоді сумою цих векторів буде вектор з початком у цій точці і кінцем у протилежній вершині паралелограма.
По аналогії до різниці двох чисел з рівності 𝑐 + 𝑏⃗ = 𝑎 випливає 𝑎 − 𝑏⃗ = 𝑐 .
Це дозволяє сформулювати означення різниці двох векторів:
Нехай 𝑎 (𝑥𝑎; 𝑦𝑎), 𝑏⃗ (𝑥𝑏; 𝑦𝑏), 𝑐 (𝑥𝑐; 𝑦𝑐). Тоді 𝑥𝑐 + 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎 і 𝑦𝑐 + 𝑦𝑏 = 𝑦𝑎.
Звідси: 𝑥𝑐 = 𝑥𝑎−𝑥𝑏 і 𝑦𝑐 = 𝑦𝑎−𝑦𝑏.
Ми встановили, як знайти різницю векторів, заданих у координатній формі.
Встановимо правило віднімання векторів, заданих графічно (Рис.8.14)
Рис.8.14 Віднімання векторів
Із рівності ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ + ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ слідує, що ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
Запам’ятайте! Щоб знайти різницю двох векторів, потрібно відкласти ці вектори від однієї точки. Тоді з’єднати їх кінці і вибрати напрям у бік вектора, від якого віднімаємо.
8.5 Множення вектора на число
Як відомо, суму однакових доданків можна замінити дією множення. Побудуємо суму кількох однакових векторів. Для цього виберемо довільний вектор 𝑢⃗ = ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ . Скопіюємо його і вставимо кілька разів (Рис.8.15).
Рис.8.15 Множення вектора на число
Одержимо вектори 𝑢⃗ 1, 𝑢⃗ 2, 𝑢⃗ 3 … . Відкладемо вектор 𝑢1 від точки B, вектор 𝑢2 від кінця вектора 𝑢1 і т. д. З’єднаємо точку A з кінцями векторів ⃗𝑢⃗⃗⃗1 , 𝑢⃗ 2, 𝑢⃗ 3 … . Одержимо вектори 𝑣 , 𝑤⃗⃗ , ⃗ ⃗⃗𝑎 … , які природньо вважати рівними векторам 2𝑢⃗ , 3𝑢⃗ , 4𝑢⃗ ,… відповідно. Звернемо увагу на координати цих векторів. Як бачимо, координати векторів 𝑣 , 𝑤⃗⃗ , ⃗⃗⃗𝑎 , … одержуються в результаті множення координат вектора 𝑢⃗ на 2, 3, 4, … відповідно.
Проведені дослідження дозволяють сформулювати означення множення вектора на число:
Означення. Добутком вектора 𝑢⃗ (𝑥𝑢; 𝑦 ) на число 𝑎 називається вектор
Звернемо увагу, що модулі векторів 𝑣 , 𝑤⃗⃗ , ⃗⃗⃗𝑎 у 2, 3, 4 разів більші за модуль вектора 𝑢⃗ .
Побудуємо ще одну модель для дослідження добутку вектора на число. Створимо вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ і повзунок 𝑎. Обчислимо добуток вектора 𝑢⃗ на число 𝑎. Для цього у командний рядок введемо команду 𝑢𝑎. Відразу появиться радіусвектор 𝑣 = 𝑎𝑢⃗ (Рис.8.16).
Рис.8.16 Множення вектора на число
Експериментуючи з цією моделлю, ще раз переконаємось, що модуль одержаного вектора завжди дорівнює |𝑢⃗ | ∙ |𝑎|. Причому, якщо 𝑎 > 0, то вектори 𝑢⃗ і 𝑣 мають однакові напрями, тобто співнапрямлені. Якщо ж 𝑎 < 0, то ці вектори мають протилежні напрямки.
Зокрема, при множенні вектора на 0, одержимо нульовий вектор.
Сумістимо точки 𝐴 і 𝐵, щоб одержати ⃗0 . Тепер змінюючи значення 𝑎 бачимо, що при множенні нуль-вектора на будь-яке число теж одержуємо нульвектор.
Тобто, в результаті множення вектора на число одержуємо вектор, колінеарний даному.
Очевидно, що справедливе і обернене твердження:
Теорема. Якщо вектори 𝑎 і 𝑏⃗ колінеарні, то існує число 𝑘 таке, що 𝑏⃗ = 𝑘𝑎 .
⃗ співнапрямлені, то 𝑘 = |⃗b⃗ |.
Доведення. Якщо вектори 𝑎 і 𝑏
|⃗a |
|𝑏⃗ | ⃗ |. Тоді |𝑏| = |𝑘||𝑎 |= |𝑎 | = |𝑏
|𝑎⃗ |
Якщо вектори 𝑎 і 𝑏⃗ мають протилежні напрямки, то 𝑘 = − |
⃗b⃗ |. Тоді модуль
|⃗a |
вектора 𝑏⃗ обчислимо так само, як і у попередньому випадку.
Оскільки при множенні вектора на число, кожна його координата множиться на це число, то у результаті одержуємо вектор, колінеарний даному.
Таким чином, отримали твердження:
Наслідок. У колінеарних векторів координати пропорційні.
8.6 Закони множення вектора на число
Ми уже встановили, що при множенні нуля на вектор або будь-якого числа на нуль-вектор, одержуємо нуль-вектор:
0𝑢⃗ = 𝑎⃗0 = ⃗0 , де 𝑎 – довільне число.
Розглянемо інші властивості множення вектора на число. Ці властивості подібні до властивостей множення чисел. Запишемо їх за допомогою рівностей:
1. (𝑎𝑏)𝑢⃗ = 𝑎(𝑏𝑢⃗ ) – сполучний закон;
2. (𝑎 + 𝑏)𝑢⃗ = 𝑎𝑢⃗ + 𝑏𝑢⃗ – перший розподільний закон;
3. 𝑎(𝑢⃗ + 𝑣 ) = 𝑎𝑢⃗ + 𝑎𝑣 – другий розподільний закон.
Доведемо їх.
1. Нехай 𝑢⃗ (𝑥𝑢; 𝑦𝑢). Тоді, за означенням множення вектора на число:
(𝑎𝑏)𝑢⃗ = ((𝑎𝑏)𝑥𝑢; (𝑎𝑏)𝑦𝑢), також 𝑎(𝑏𝑢⃗ ) = (𝑎(𝑏𝑥𝑢); 𝑎(𝑏𝑦𝑢)).
Оскільки (𝑎𝑏)𝑥𝑢 = 𝑎(𝑏𝑥𝑢) і (𝑎𝑏)𝑦𝑢 = 𝑎(𝑏𝑦𝑢), то (𝑎𝑏)𝑢⃗ = 𝑎(𝑏𝑢⃗ ).
2. Нехай 𝑢⃗ (𝑥𝑢; 𝑦𝑢). Тоді:
(𝑎 + 𝑏)𝑢⃗ = ((𝑎 + 𝑏)𝑥𝑢; (𝑎 + 𝑏)𝑦𝑢) = (𝑎𝑥𝑢 + 𝑏𝑥𝑢; 𝑎𝑦𝑢 + 𝑏𝑦𝑢) = = (𝑎𝑥𝑢; 𝑎𝑦𝑢) + (𝑏𝑥𝑢; 𝑏𝑦𝑢) = 𝑎𝑢⃗ + 𝑏𝑢⃗ .
3. Нехай 𝑢⃗ (𝑥𝑢; 𝑦𝑢) і 𝑣 (𝑥𝑣; 𝑦𝑣). Тоді:
𝑎(𝑢⃗ + 𝑣 ) = 𝑎(𝑥𝑢 + 𝑥𝑣; 𝑦𝑢 + 𝑦𝑣) = (𝑎(𝑥𝑢 + 𝑥𝑣); 𝑎(𝑦𝑢 + 𝑦𝑣)) = = (𝑎𝑥𝑢 + 𝑎𝑥𝑣; 𝑎𝑦𝑢 + 𝑎𝑦𝑣) = (𝑎𝑥𝑢; 𝑎𝑦𝑢) + (𝑎𝑥𝑣; 𝑎𝑦𝑣) = 𝑎𝑢⃗ + 𝑎𝑣 .
Ці закони можна також перевірити засобами GeoGebra. Для цього створюємо два повзунки 𝑎 та 𝑏 і два вектори 𝑢⃗ та 𝑣 . Після цього у командний рядок вводимо вирази лівої і правої частини кожної рівності. В результаті одержимо два вектори, що співпадають. В цьому можна переконатися, відкривши панель Алгебра.
Тепер можна змінювати як вектори, так і значення параметрів, та переконатися, що вектори все рівно будуть залишатися рівними.
8.7 Розклад вектора за базисом
Відобразимо систему координат і побудуємо вектори 𝑖 (1; 0) та 𝑗 (0; 1). Створимо два повзунки 𝑥𝑎 та 𝑦𝑎 і побудуємо вектор 𝑎 = 𝑥𝑎𝑖 + 𝑦𝑎𝑗 , ввівши відповідну команду у командний рядок. Зрозуміло, що вектор 𝑎 буде мати координати (𝑥𝑎; 𝑦𝑎) (Рис.8.17).
Вектори 𝑖 та 𝑗 прийнято називати координатними векторами або ортами. Ці два вектори утворюють базис. Це означає, що кожен вектор площини можна однозначно представити через базисні вектори у виді лінійної комбінації: 𝑥𝑎𝑖 + 𝑦𝑎𝑗 . Таке представлення вектора називається його розкладом за цим базисом.
Зрозуміло, що коефіцієнти цього розкладу є координатами вектора.
Рис.8.17 Розклад вектора за базисом
8.8 Скалярний добуток векторів
Розглянемо динамічну модель задачі з фізики. Нехай під дією сили 𝐹 деяке тіло перемістилося з точки 𝐴 у точку 𝐵 (Рис.8.18).
Рис.8.18 Визначення роботи при переміщенні
Оскільки вектор сили напрямлений під кутом до вектора переміщення, то на переміщення впливає лише проекція ⃗𝐹⃗⃗ ′ вектора 𝐹 на вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ . Тому робота обчислюється за формулою:
𝐴 = |⃗𝐹⃗⃗ ′| 
|⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ |.
Але, |⃗𝐹⃗⃗ ′| = |𝐹|𝑐𝑜𝑠, де – кут між вектором сили і вектором переміщення.
Тому остаточно маємо: 𝐴 = |𝐹⃗⃗⃗⃗ | 
|⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ |𝑐𝑜𝑠.
У загальному випадку добуток модулів двох векторів на косинус кута між ними називається скалярним добутком цих векторів.
Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток їх модулів на косинус кута між ними.
З означення скалярного добутку одержуємо формулу для обчислення кута
𝛼 між векторами 𝑢⃗ та 𝑣 :
𝑢⃗ 𝑣
𝑐𝑜𝑠= 
|𝑢⃗ | ∙ |𝑣 |
А також два важливі наслідки.
Наслідок 1. Квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля.
Доведення. 𝑢⃗ 2 = 𝑢⃗ ∙ 𝑢⃗ = |𝑢⃗ | ∙ |𝑢⃗ |𝑐𝑜𝑠00 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑢⃗ | ∙ 1 = |𝑢⃗ |2.
З цієї рівності одержуємо формулу для обчислення модуля вектора:
|𝑢⃗ | 
.
Наслідок 2. Якщо вектори перпендикулярні, то їхній скалярний добуток дорівнює 0.
Доведення. 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣 |𝑐𝑜𝑠900 = |𝑢⃗ | ∙ |𝑣 | ∙ 0 = 0.
Справедливе і обернене твердження, яке є ознакою перпендикулярності векторів.
Теорема. Якщо скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює 0, то ці вектори перпендикулярні.
Доведення. Справді, якщо скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює 0, то це означає, що хоча б один із множників |𝑢⃗ |, |𝑣 | або 𝑐𝑜𝑠 дорівнює 0. Оскільки вектори ненульові, то звідси випливає, що 𝑐𝑜𝑠= 0, а це означає, що = 900. Отже, вектори перпендикулярні.
Скалярний добуток векторів, як і множення вектора на число, володіє властивостями схожими на властивості множення чисел:
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢⃗ – переставний закон.
(𝑎𝑢⃗ ) ∙ 𝑣 = 𝑎(𝑢⃗ ∙ 𝑣 ) = 𝑢⃗ ∙ (𝑎𝑣 ) – сполучний закон.
(𝑢⃗ + 𝑣 )𝑔 = 𝑢⃗ 𝑔 + 𝑣 𝑔 – розподільний закон.
Переставний закон безпосередньо слідує із означення, оскільки від перестановки модулів векторів добуток не міняється, а кут між векторами 𝑢⃗ та 𝑣 такий самий, як між векторами 𝑣 та 𝑢⃗ .
Два наступні закони можна перевірити засобами GeoGebra так само, як для множення вектора на число.
Лише зауважимо, що схожість законів множення вектора на число і скалярного добутку векторів із законами множення чисел, дозволяють виконувати тотожні перетворення виразів з векторами подібно до того, як виконуються тотожні перетворення числових та алгебраїчних виразів.
8.9 Теорема косинусів
Продемонструємо використання скалярного добутку для доведення теореми косинусів. Це одна із ключових теорем, яку використовують для розв’язування трикутників. Вона дозволяє виразити сторону трикутника через дві інші сторони і кут між ними.
Нехай у трикутнику 𝐴𝐵𝐶 сторони 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏,𝐴𝐶𝐵 = (Рис.8.19).
Виразимо третю сторону 𝐴𝐵 = 𝑐, через ці елементи. Розглянемо вектори:
𝑎 = ⃗𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ , 𝑏⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑐 = ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ . Тоді 𝑐 = 𝑎 − 𝑏⃗ .
Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрату:
2
𝑐 2 = (𝑎 − 𝑏⃗ ) = 𝑎 2 − 2𝑎 𝑏⃗ + 𝑏⃗ 2.
Пригадаємо, що квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, а скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними. Тому одержимо: 2
|𝑐 |2 = |𝑎 |2 − 2|𝑎 | ∙ |𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠𝛾 + |𝑏⃗ | .
Але модулі даних векторів дорівнюють сторонам трикутника: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾.
Рис.8.19 Виведення теореми косинусів
Теорема. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.
Дана теорема є узагальненням теореми Піфагора. Справді, якщо кут 𝛾 = 90, то cos = 0, тоді 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2.
Теорема косинусів використовується для розв’язування трикутників у випадку, коли відомо дві сторони і кут. Якщо задано кут між цими сторонами, то третя сторона обчислюється відразу за формулою:
𝑐 
.
Якщо відомий кут не є кутом між відомими сторонами, то позначаємо шукану сторону змінною і записуємо теорему косинусів для сторони, яка лежить проти відомого кута. В результаті одержуємо квадратне рівняння, яке, як відомо, може мати 2 корені, 1 корінь або зовсім не мати коренів.
Проаналізуємо, від чого залежить кількість розв’язків такої задачі. Побудуємо трикутник за двома сторонами 𝑎 і 𝑐 та кутом , напроти однієї з них за таким алгоритмом:
1) Будуємо сторону 𝐴𝐵 = 𝑐.
2) Будуємо кут з вершиною 𝐴.
3) Будуємо коло з центром у точці B і радіусом a (Рис.8.20).
Як бачимо, це коло може перетинати промінь у двох точках 𝐶1 і 𝐶2, тоді задача має 2 розв’язки; дотикатися до променя у точці 𝐶0, тоді задача буде мати один розв’язок; не перетинати його, тоді задача розв’язку не має.
Рис.8.20 Побудова трикутника за двома сторонами і кутом напроти однієї з них
Для кмітливих: який ще випадок не показано на Рис.8.20? Що відбудеться, якщо радіус кола буде більшим за 𝐴𝐵? Скільки розв’язки буде мати задача у цьому випадку?
У задачі, де задано одну сторону і кут та залежність між двома іншими сторонами, так само приходимо до квадратного рівняння. У цьому випадку, на основі поданої залежності, виражаємо через змінну дві сторони і знову складаємо рівняння, використовуючи залежність, що виражається теоремою косинусів.
Крім того, теорему косинусів використовують для обчислення кутів трикутника, якщо відомі його сторони:
𝑎2+𝑏2−𝑐2
𝑐𝑜𝑠= 
.
2𝑎𝑏
8.10 Наслідки із теореми косинусів
Пригадаємо, якщо найбільший кут трикутника гострий, то трикутник гострокутний; якщо прямий, то трикутник прямокутний; якщо тупий, то трикутник тупокутний. Оскільки косинус гострого кута додатний (𝑐𝑜𝑠90= 0; косинус тупого кута від’ємний), то теорема дозволяє встановити вид трикутника за кутами.
Справді, запишемо теорему косинусів для найбільшого кута . Якщо цей кут гострий, то: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠< 𝑎2 + 𝑏2.
Якщо = 90, то: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠= 𝑎2 + 𝑏2.
Якщо тупий, то: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠> 𝑎2 + 𝑏2.
Отже, вид трикутника визначаємо за таким алгоритмом:
1. Обчислюємо квадрат найбільшої сторони і суму квадратів двох інших сторін.
2. Порівнюємо одержані числа. Якщо квадрат найбільшої сторони менший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник гострокутний; якщо рівний, то прямокутний; якщо ж більший, то тупокутний.
Теорема косинусів дозволяє встановити залежність між сторонами і діагоналями паралелограма. Нехай у паралелограмі 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐶 = 𝑑1, 𝐵𝐷 = 𝑑2 (Рис.8.21).
Рис.8.21 Залежність між сторонами і діагоналями паралелограма
Нехай діагоналі перетинаються у точці 𝑂, кут між ними . Тоді: 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 = 𝑑1 ; 𝐵𝑂 = 𝑑2; 𝐵𝑂𝐶 = 180−.
2 2
Тому, за теоремою косинусів, з 𝐵𝑂𝐶:
𝑏2 = ( 
1) + (𝑑
2)2 − 2 𝑑
1 · 𝑑2 cos(180−) = 𝑑 2
2 2 2 2
= (𝑑1)2 + (𝑑2)2 + 2 𝑑1 · 𝑑2 cos.
2 2 2 2 з 𝐴𝑂𝐵: 𝑎2 = (𝑑1)2 + (𝑑2)2 − 2 𝑑1 · 𝑑2 𝑐𝑜𝑠.
2 2 2 2
Додавши дві останні рівності одержимо:
𝑑2 𝑑2 𝑑2 𝑑2
𝑎2 + 𝑏2 = 2 ( 
) + 2 ( 
) = + 
.
Або остаточно: 2𝑎2 + 2𝑏2 = 𝑑12 + 𝑑22.
Запам’ятайте! Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його сторін.
Продемонструємо використання цієї властивості паралелограма на прикладі однієї важливої задачі:
Задача. У трикутнику 𝐴𝐵𝐶 задано сторони 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏. Обчислити медіану 𝐴𝑀.
Розв’язання. Побудуємо точку 𝐴′, симетричну вершині A відносно точки M (Рис.8.22).
Рис.8.22 Обчислення медіани трикутника
Тоді у паралелограмі 𝐴𝐵𝐴′𝐶 сторони дорівнюють 𝑏 і 𝑐, а діагоналі 𝑎 та
2𝑚𝑎. Тому: 
𝑐
. Звідси: 4𝑚𝑎2 = 2𝑏2 + 2𝑐2 − 𝑎2.
І остаточно: 𝑚𝑎 
.
Звертаємо увагу, що ключем до розв’язання цієї задачі є добудова трикутника до паралелограма. Таку добудову використовують часто, особливо тоді, коли в умові задачі фігурує медіана трикутника.
8.11 Координатна форма скалярного добутку
Побудуємо два вектори 𝑢⃗ = (𝑥𝑢; 𝑦𝑢) та 𝑣 = (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) і розкладемо їх за базисом: 𝑢⃗ = 𝑥𝑢𝑖 + 𝑦𝑢𝑗 та 𝑣 = 𝑥𝑣𝑖 + 𝑦𝑣𝑗 . Обчислимо скалярний добуток цих векторів.
𝑢⃗ 𝑣 = (𝑥𝑢𝑖 + 𝑦𝑢𝑗 )( 𝑥𝑣𝑖 + 𝑦𝑣𝑗 ) = 𝑥𝑢𝑥𝑣𝑖 2 + 𝑥𝑢𝑦𝑣𝑖 𝑗 + 𝑦𝑢𝑥𝑣𝑗 𝑖 +𝑦𝑢𝑦𝑣𝑗 2.
Оскільки вектори 𝑖 та 𝑗 перпендикулярні та одиничні, то 𝑖 2 = 𝑗 2 = 1, 𝑖 𝑗 = 𝑗 𝑖 = 0. Тому остаточно одержимо: 𝑢⃗ 𝑣 = 𝑥𝑢𝑥𝑣 + 𝑦𝑢𝑦𝑣.
Запам’ятайте! Скалярний добуток двох векторів 𝑢⃗ = (𝑥 ; 𝑦 ) та
Користуючись цією формулою, подамо у координатній формі формули для обчислення модуля вектора та кута між векторами:
|𝑢⃗ | 
𝑢⃗ 𝑣 𝑥𝑢𝑥𝑣 + 𝑦𝑢𝑦𝑣
𝑐𝑜𝑠= =
|𝑢⃗ | ∙ |𝑣 |
Зауважимо, що якщо відомі координати точок 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴) і 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵), то вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ буде мати координати (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴). Тоді формула для
обчислення модуля вектора буде мати вигляд: |⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ |=√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2.
Оскільки модуль вектора ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ дорівнює довжині відрізка 𝐴𝐵, то останню формулу можна використовувати для обчислення довжини відрізка.
8.12 Координати середини відрізка
Розглянемо знову відрізок з кінцями у точках 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴) і 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵), тоді вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ буде мати координати (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) (Рис.8.23). Розглянемо вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ , він буде мати координати: ((𝑥𝐵−𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵−𝑦𝐴).
2 2
Нехай точка 𝐶(𝑥С; 𝑦С) – середина 𝐴𝐵. Тоді 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 
⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ . Тому відповідні координати цих векторів рівні. Тобто: 𝑥С − 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵−2𝑥𝐴; 𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 = 𝑦𝐵−2𝑦𝐴.
Звідси 𝑥𝐶 = 𝑥𝐴+2𝑥𝐵; 𝑦𝐶 = 𝑦𝐴+2𝑦𝐵.
Рис.8.23 Координати середини відрізка
8.13 Рівняння прямої
Побудуємо довільну пряму 𝐴𝐵. (Точки 𝐴 та 𝐵 виберемо у вузлах сітки, щоб можна було виконувати обчислення усно). Виберемо на цій прямій довільну точку 𝑀. Відкриємо панель Алгебра, там відображено усі об’єкти: точки і пряма 𝑓 (Рис.8.24). Звернемо увагу, що пряма задана лінійним рівнянням виду 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐.
Підставимо координати точок 𝐴, 𝐵 та 𝑀 у дане рівняння і переконаємося, що усі вони перетворюють дане рівняння у істинну числову рівність. (У математиці говорять: «координати точки задовольняють дане рівняння»). Ми можемо змінювати положення точки 𝑀 і переконатися, що кожного разу вона задовольняє дане рівняння. Крім того, можна вибрати довільну точку поза прямою і перевірити, що ця точка не задовольняє дане рівняння.
Рис.8.24 Рівняння прямої
Аналогічний експеримент можна провести з колом. Крім того, можна у командний рядок ввести будь-яке рівняння з двома змінними. Тоді в робочій області появиться лінія, яка задана цим рівнянням. Вибравши будь-яку точку на цій лінії, можна переконатися, що вона задовольняє це рівняння, а точка, яка не належить лінії, рівняння не задовольняє.
Означення. Рівність із двома змінними називається рівнянням фігури, якщо кожна точка фігури задовольняє це рівняння, а точка, що не належить фігурі, дане рівняння не задовольняє.
Тепер навчимося записувати рівняння прямої. Для цього виберемо довільну точку 𝑋0 і вектор напрямку 𝑢⃗ . Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точку 𝑋0 і паралельна даному вектору (Рис.8.25).
Рис.8.25 Пряма, задана точкою і вектором напрямку
Нехай точка 𝑋0(𝑥0; 𝑦0), а вектор 𝑢⃗ (𝑚; 𝑛). Виберемо на прямій довільну точку 𝑀(𝑥; 𝑦), яку назвемо біжучою. Якщо мочка 𝑀 буде «пробігати» всю пряму, то вектори ⃗𝑋⃗⃗⃗0⃗⃗𝑀⃗⃗ і 𝑢⃗ будуть колінеарними. Знайдемо координати вектора
⃗𝑋⃗⃗⃗0⃗⃗𝑀⃗⃗ (𝑥 − 𝑥0; 𝑦 − 𝑦0).
Враховуючи умову колінеарності векторів, одержимо рівняння: 𝑥−𝑥0 𝑦−𝑦0
= .
𝑚 𝑛
Це рівняння називається канонічним рівнянням прямої. Якщо скористатися властивістю пропорції і звести подібні доданки, то одержимо рівняння виду: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐.
Зауважимо, що якщо пряма задана традиційно двома точками 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴) та 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵), то у якості фіксованої точки можна вибрати точку 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴), а у якості вектора напрямку ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴). У цьому випадку рівняння прямої буде мати вигляд: 𝑥−𝑥𝐴 𝑦−𝑦𝐴
= .
𝑥𝐵−𝑥𝐴 𝑦𝐵−𝑦𝐴
8.14 Рівняння кола
Відобразимо координатні осі та панель Алгебра і побудуємо коло з центром у точці 𝑂(3; 2) і радіусом 𝑅 = 4 (Рис.8.26).
Рис.8.26 Виведення рівняння кола
Звернемо увагу на рівняння кола, яке відображено на панелі Алгебра: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 16.
Мабуть не важко здогадатися, що у цьому рівнянні числа 3 і 2 – це координати центра кола, а 16 – це квадрат радіуса.
Так само не важко вивести рівняння кола у загальному випадку. Нехай 𝑂(𝑥0; 𝑦0) – центр кола, радіус якого 𝑅. І нехай 𝑀(𝑥; 𝑦) будь-яка (біжуча) точка кола. Тоді 𝑂𝑀 = 𝑅.
Оскільки 𝑂𝑀 = √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2, то остаточно одержуємо рівняння кола: (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑅2.
Розділ 9. Многокутники і коло.
У цьому розділі ми продовжимо вивчати властивості многокутників.
Пригадаємо, що многокутником називається частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією без самоперетинів. Елементами многокутника є вершини, сторони і кути.
Ми і на далі будемо розглядати лише опуклі многокутники, тобто многокутники, які повністю належать півплощині з межею, яка містить сторону многокутника.
Особливу увагу буде приділено вивченню правильних многокутників. Зокрема, дослідимо процес перетворення правильних многокутників у коло при нескінченному збільшенні кількості сторін.
9.1 Сума внутрішніх і зовнішніх кутів многокутника
Розглянемо кілька многокутників (Рис.9.1). Уявіть, що нам потрібно обійти по контуру многокутника від будь-якої вершини до цієї ж вершини. При цьому, у кожній вершині нам доведеться змінювати напрям – повернутися на кут, який називається зовнішнім кутом многокутника. Але, не залежно від того по контуру якого многокутника ми будемо рухатися, обійшовши по контуру один раз, ми зробимо повний оберт. Тобто повернемося на 360. Це означає, що сума всіх зовнішніх кутів многокутника (по одному у кожній вершині) дорівнює 360.
Запам’ятайте! Сума зовнішніх кутів многокутника дорівнює 360.
Рис.9.1 Сума зовнішній кутів многокутника
Якщо сума зовнішніх кутів всіх многокутників є однаковою, то сума внутрішніх кутів многокутника залежить від кількості його вершин. Ми уже знаємо, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180. Оскільки чотирикутник діагоналлю ділиться на 2 трикутники, то сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 180·2=360.
Так само п’ятикутник діагоналями ділиться на 3 трикутники, тому сума його внутрішніх кутів 180·3=540.
У загальному випадку, 𝑛-кутник діагоналями ділиться на 𝑛 − 2 трикутники, тому сума внутрішніх кутів 𝑛-кутника дорівнює 180( 𝑛 − 2).
Запам’ятайте! Сума внутрішніх кутів 𝑛-кутника дорівнює 180( 𝑛 − 2).
Зауважимо, що підрахувати суму внутрішніх кутів 𝑛-кутника можна і іншими способами:
1) Сума внутрішнього і зовнішнього кута при кожній вершині 180. Якщо вершин 𝑛, то загальна сума 180𝑛. Віднімемо суму зовнішніх кутів і одержимо: 180 𝑛 - 360=180( 𝑛 − 2).
2) Виберемо довільну точку всередині многокутника і з’єднаємо її відрізками з усіма вершинами. Одержимо 𝑛 трикутників. Тому сума внутрішніх кутів цих трикутників 180 𝑛. Але сума всіх кутів при вершині, яка знаходиться всередині многокутника 360. Тому сума внутрішніх кутів многокутника 180𝑛 - 360=180( 𝑛 − 2).
.
9.2 Многокутник, вписаний у коло, і описаний навколо кола
Подібно до того, як ми розглядали вписані і описані кола відносно трикутників і чотирикутників, сформулюємо відповідні означення для многокутників.
Означення. Многокутник називається описаним навколо кола, якщо усі його сторони є дотичними до цього кола.
Означення. Многокутник називається вписаним у коло, якщо усі його вершини лежать на цьому колі.
Як і у випадку чотирикутників, не в кожен многокутник можна вписати коло і не навколо кожного многокутника можна описати коло. Як було встановлено для трикутників та чотирикутників, для того, щоб у многокутник можна було вписати коло, необхідно, щоб існувала точка, яка рівновіддалена від його сторін. Оскільки бісектриса кута є ГМТ рівновіддалених від сторін кута, то виходить, що центр вписаного кола має належати бісектрисам усіх його кутів.
Таким чином, якщо усі бісектриси многокутника перетинаються у одній точці, то у цей многокутник можна вписати коло. Крім того, точка перетину бісектрис і буде центром цього кола.
Запам’ятайте! Якщо бісектриси усіх кутів многокутника перетинаються у одній точці, то у цей многокутник можна вписати коло, центром якого буде дана точка.
Проведемо аналогічні міркування стосовно кола, описаного навколо многокутника.
Для того, щоб навколо многокутника можна було описати коло, необхідно, щоб існувала точка рівновіддалена від усіх його вершин. Оскільки ГМТ рівновіддалених від двох точок є серединний перпендикуляр до відрізка з кінцями у цих точках, то центр описаного кола має належати усім серединним перпендикулярам, проведеним до сторін многокутника. Отже, якщо усі серединні перпендикуляри, проведені до сторін многокутника перетинаються у одній точці, то навколо цього многокутника можна описати коло.
Запам’ятайте! Якщо серединні перпендикуляри до усіх сторін многокутника перетинаються у одній точці, то цей многокутник можна вписати у коло, центром якого буде дана точка.
9.3 Правильні многокутники
Як було з’ясовано у Розділі 2, многокутники, у яких усі сторони рівні і усі кути рівні, називаються правильними.
Побудуємо кілька правильних многокутників (Рис.9.2).
Рис.9.2 Правильні многокутники
Проведемо усі бісектриси і серединні перпендикуляри до сторін цих многокутників. Бачимо, що вони перетинають в одній точці. Цей факт легко обґрунтувати за допомогою логічних міркувань.
Нехай 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 – сусідні сторони правильного 𝑛-кутника (Рис.9.3). Побудуємо бісектриси кутів 𝐴, 𝐵 і 𝐶. Оскільки у правильному многокутнику усі кути рівні, то одержимо рівнобедрені трикутники (Чому?). Ці трикутники рівні за стороною і прилеглими кутами. Тому 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶. Аналогічно показуємо, що усі бісектриси перетинаються у одній точці, яка є центром описаного кола.
Крім того, висоти рівних рівнобедрених трикутників також рівні. Тому ця точка є також центром описаного кола.
Рис.9.3 Побудова центра правильного многокутника
Запам’ятайте! У кожний правильний многокутник можна вписати коло і навколо кожного правильного многокутника можна описати коло.
Центри цих кіл співпадають. Ця точка вважається центром многокутника.
Зауважимо також, що бісектриси кутів правильного многокутника і серединні перпендикуляри до його сторін є осями його симетрії. Тобто кожен правильний многокутник має по кілька осей симетрії.
Дослідимо скільки цих осей у многокутників кожного виду. Якщо кількість вершин є непарною, то кожен серединний перпендикуляр до сторони є одночасно бісектрисою відповідного кута. Тому осей симетрії стільки, скільки вершин чи сторін у многокутнику. Якщо кількість вершин парна, то два серединних перпендикуляри протилежних сторін співпадають. Так само дві бісектриси протилежних кутів співпадають. Тому серединних перпендикулярів
𝑛 𝑛
і бісектрис , де 𝑛-кількість сторін многокутника. Отже, всього осей у 𝑛-
2 2 кутника 𝑛.
Експериментуючи зі зображеннями правильних многокутників, легко переконатися, що лише правильні многокутники з парною кількістю вершин мають центр симетрії. Правильні многокутники з непарною кількістю вершин не є центральносиметричними.
Виразимо тепер довжини радіусів вписаного і описаного кола через сторону правильного 𝑛-кутника. Нехай 𝐴𝐵 = 𝑎 – сторона правильного 𝑛кутника, а т. 𝑂 – його центр (Рис.9.4).
Рис.9.4 Визначення радіусів кіл у правильному многокутнику
Нехай 𝑂𝐶 – серединний перпендикуляр до сторони. Тоді:
• 𝑂𝐶 = 𝑟 – радіус вписаного кола; • 𝑂𝐴 = 𝑅 – радіус описаного кола;
• 𝐴𝑂𝐵 = 360
𝑛 𝐴𝑂𝐶 = 180𝑛 .
З прямокутного 𝐴𝑂𝐶 маємо:
𝑠𝑖𝑛 180𝑛 = 𝑎2 : 𝑅 𝑅 = 2𝑠𝑖𝑛𝑎180; 𝑡𝑔 180𝑛 
𝑎 : 𝑟 𝑟 = 2𝑡𝑔𝑎180
𝑛𝑛
Зокрема, для правильного трикутника (𝑛 = 3) одержимо:
𝑎 𝑎 
𝑎 𝑎 𝑎
𝑅 
.
9.4 Довжина кола і дуги
Побудуємо модель, яка дозволяє змінювати радіус кола і кількість вершин правильного многокутника, вписаного у це коло. Для цього створимо повзунки 𝑅 і 𝑛. Побудуємо коло з центром 𝑂 і радіусом 𝑅. Виберемо на колі точку 𝐴 і побудуємо 𝐴𝑂𝐴′ = 360
. Тепер побудуємо 𝑛-кутник з вершинами 𝐴 і 𝐴′
𝑛
(Рис.9.5).
Переконаємося за допомогою цієї моделі, що відношення периметра 𝑛кутника до діаметра кола не залежить від величини кола. Для цього введемо у командний рядок формули: 𝑃 = 𝐴𝐴′ ∗ 𝑛 і 𝑃/(2 ∗ 𝑅). Крім того, виведемо на екран значення даного відношення.
Рис.9.5 Знаходження числа π
За покликанням, поданим нижче можна завантажити готову модель.
Якщо проекспериментувати з цією моделлю, то легко переконатись, що дане відношення не залежить від радіуса кола, а залежить лише від кількості вершин многокутника.
https://www.geogebra.org/m/eh4kvayz
У таблиці нижче наведені значення даного відношення для кількох перших значень 𝑛:
|
𝑛 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
𝑃
𝑑 |
2,6 |
2,83 |
2,94 |
3 |
3,04 |
3,06 |
3,08 |
3,09 |
3,1 |
Якщо збільшувати значення 𝑛, то бачимо, що сторони многокутника практично зливаються з колом. Це означає, що послідовність периметрів 𝑛- 𝑃 кутників буде прямувати до довжини кола, а відповідно відношення буде
𝑑
С прямувати до , де 𝐶 – довжина кола.
𝑑 𝑃
За допомогою нашої моделі бачимо, що уже при 𝑛 = 28, відношення 
𝑑 досягає межі 3,14. Якщо змінити налаштування Округлення, збільшивши кількість Десяткових розрядів, то можна отримати точніше значення границі цього відношення.
У математиці цю границю позначають π. Математична константа π є ірраціональним числом. Вона широко використовується у різних сферах науки і техніки. Цікаві відомості про неї можна знайти в інтернеті.
С
Таким чином, ми встановили, що = 𝜋.
𝑑
Звідси маємо формулу для обчислення довжини кола: 𝐶 = 𝜋𝑑 = 2𝜋𝑅.
Запам’ятайте! Довжина кола обчислюється за формулою 𝐶 = 2𝜋𝑅.
Якщо потрібно обчислити довжину дуги у градусів, то ця задача розв’язується, як стандартна задача на знаходження четвертого пропорційного.
9.5 Площа круга і сектора
Побудуємо модель правильного 𝑛-кутника, описаного навколо круга. Для цього створимо повзунки 𝑟 та 𝑛. Побудуємо коло з центром у точці 𝑂. Виберемо
360 на колі довільну точку 𝐴 і побудуємо 𝐴𝑂𝐴′ = 
(Рис.9.6). Тепер побудуємо
𝑛
бісектрису кута 𝐴𝑂𝐴′ і точку 𝐵 перетину цієї бісектриси з колом. Щоб одержати сторону 𝑛-кутника, побудуємо дотичну до кола в точці 𝐵 і точки 𝐶 та 𝐷 перетину цієї дотичної із сторонами 𝐴𝑂𝐴′. Тоді 𝑛-кутник з вершинами у точках 𝐶 і 𝐷 буде описаним навколо кола.
Рис.9.6 Описаний правильний 𝑛-кутник
Збільшуючи значення 𝑛, бачимо, що сторони 𝑛-кутника практично зливаються з колом. Тобто границею послідовності периметрів 𝑛-кутників є довжина кола. Аналогічно границею послідовності площ 𝑛-кутників є площа круга.
Як було встановлено вище, 𝑆𝑛 = 𝑝𝑛𝑟. Оскільки при збільшенні 𝑛,
Цю ж формулу можна отримати, якщо круг розрізати на рівні сектори і скласти з них фігуру, схожу на паралелограм. Якщо кількість секторів нескінченно збільшувати, то фігура, утворена із них, все більше буде наближатися до прямокутника, одна сторона якого π𝑟, а друга 𝑟. Тому площа круга буде дорівнювати 𝜋𝑟2. Дане перетворення демонструє наступна модель: https://www.geogebra.org/m/HFTbANm6
Якщо потрібно обчислити площу сектора у градусів, то (подібно до того, як ми обчислювали довжину дуги) площу круга ділимо на 360 і знаходимо площу
2
Розділ 10. Геометричні перетворення
10.1 Поняття про геометричні перетворення
Побудуємо довільний многокутник за допомогою інструмента Жорсткий многокутник. Скопіюємо цей многокутник і вставимо на нове місце. Коли ми скопіювали і вставили фігуру, то одержали ще одну фігуру, всі точки якої співпали з відповідними точками першої фігури. Коли другу фігуру перенесли на нове місце, то одержали нову фігуру в результаті того, що кожна точка першої фігури перемістилася певним способом.
Взагалі, якщо усі точки фігури 𝐹 перемістити яким-небудь способом, то дістанемо нову фігуру 𝐹1. Якщо при цьому різні точки фігури 𝐹 переходять (відображаються) у різні точки фігури 𝐹1 за певним правилом, то говорять про геометричне перетворення фігури 𝐹 у фігуру 𝐹1. При цьому фігуру 𝐹1 називають образом фігури 𝐹, а фігуру 𝐹 – прообразом фігури 𝐹1.
Зокрема, якщо кожна точка фігури переходить сама у себе, як у випадку, коли ми фігуру скопіювали і вставили, то таке перетворення називається тотожним.
Геометричне перетворення задається певним правилом, яке вказує, як побудувати образ для кожної точки фігури. Модель із прикладами геометричних перетворень можна завантажити за покликанням:
https://www.geogebra.org/m/sbgsupc6
На цій моделі (Рис.10.1) подано приклади трьох геометричних перетворень.
Перше перетворення моделює, як падає на поверхню тінь від палиці. Модель дозволяє змінити напрями променів. Перетягуючи точку 𝑀 вздовж відрізка, можна спостерігати, як її образ описує тінь.
Друга модель демонструє перетворення відрізка у дугу. Можна змінити центр дуги. Перетягуючи точку 𝑀 вздовж відрізка, бачимо, що її образ описує дугу.
Третя модель стискає коло до діаметра у два рази. Перетягуючи точку 𝑀 по колу, переконуємось,
що її образ описує еліпс.
Якщо відобразити другу точку, то можна побачити, що образи різних точок є різними.
Рис.10.1 Моделі геометричних перетворень
Ще одна модель дозволяє продемонструвати геометричні перетворення, при яких фігура переходить у рівну їй фігуру.
https://www.geogebra.org/m/wcnmh2t7
Як і попередня, ця модель (Рис.10.2) дозволяє продемонструвати образ кожної точки, перетягуючи точку 𝑀 всередині фігури. Якщо відобразити точку 𝑁, то можна показати, що різні точки мають різні образи.
Рис.10.2 Переміщення фігури
Це перетворення моделює переміщення фігури по площині. Модель дозволяє змінювати напрям руху, відстань і навіть обертати фігуру. При цьому розміри і форма фігури не змінюються. Якщо відобразити дві точки і відстань між ними, то побачимо, що відстані між будь-якими двома точками та їх образами відповідно не змінюються. Саме тому при такому перетворенні фігура переходить у рівну їй фігуру.
Означення. Геометричне перетворення, при якому зберігаються відстані між відповідними точками, називається рухом або переміщенням.
Використовуючи поняття руху, можна сформулювати ще одне означення рівності фігур.
Означення. Дві фігури називаються рівними, якщо існує рух, який переводить одну фігуру в іншу.
У GeoGebra є інструменти, які дозволяють виконувати різні геометричні перетворення (Рис.10.3).
Рис.10.3 Меню «Геометричні перетворення»
10.2 Осьова симетрія
Виберемо інструмент Симетрія відносно прямої. Інтерактивна довідка цього інструменту вказує, що потрібно обрати пряму, а потім об’єкт. Тому побудуємо многокутник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 і довільну пряму 𝑔, яка називається віссю симетрії. Скористаємося інструментом Симетрія відносно прямої. Одержимо многокутник 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′, симетричний даному многокутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 відносно цієї прямої 𝑔 (Рис.10.4).
Рис.10.4 Фігури, симетричні відносно прямої.
Готову модель можна відкрити за покликанням:
https://www.geogebra.org/m/r69upwq9
Дослідимо це геометричне перетворення. За допомогою інструмента Точка на об’єкті, виберемо на даній фігурі точку 𝑀. Використовуючи інструмент Симетрія відносно прямої, побудуємо точку 𝑀′, симетричну точці 𝑀. Переміщуючи точку 𝑀 всередині даної фігури, бачимо, що відповідна точка 𝑀′ буде перемішуватися всередині образу даної фігури. З’єднаємо точки 𝑀 та 𝑀′ відрізком і побудуємо точку 𝑂 – перетин відрізка 𝑀𝑀′ з віссю симетрії. За допомогою інструментів Відстань або
довжина та Кут переконуємося, що відрізок 𝑀𝑀′ перпендикулярний до осі симетрії і ділиться цією віссю навпіл.
Означення. Дві точки 𝑀 і 𝑀′ називаються симетричними відносно прямої, якщо відрізок 𝑀𝑀′ перпендикулярний до цієї прямої і ділиться нею навпіл.
Ця пряма називається віссю симетрії.
Означення. Геометричне перетворення, яке кожну точку фігури переводить у симетричну їй точку відносно прямої, називається осьовою симетрією.
Побудуємо на даній фігурі ще одну точку 𝑁 і симетризуємо її відносно цієї ж осі. Виміряємо відстань між точками 𝑀 та 𝑁 і їхніми образами 𝑀′ і 𝑁′. Бачимо, що вони рівні. Ми можемо змінювати положення цих точок. Відповідно відстань між ними буде змінюватися, але рівність відстаней буде зберігатися. Це означає, що осьова симетрія є рухом.
Запам’ятайте! Осьова симетрія є переміщенням (рухом).
Побудуємо коло і симетризуємо його відносно діаметра. На перший погляд, на рисунку нічого не змінилося. Але якщо поглянути на панель Алгебра, то на ній появилося ще одне коло 𝑐′. Візьмемо точку 𝐵, яка належить колу, і побудуємо точку 𝐵′, симетричну їй відносно діаметра. Тоді утворена точка 𝐵′ теж належатиме колу. Це означає, що при симетрії відносно діаметра, коло переходить саме в себе.
Означення. Якщо при симетрії відносно прямої, фігура переходить сама в себе, то вона називається симетричною, а ця пряма називається віссю симетрії фігури.
Якщо у GeoGebra для побудови точки, симетричної відносно прямої, використовують готовий інструмент, то на папері всі побудови виконуємо за допомогою циркуля і лінійки. Щоб побудувати точку, симетричну даній відносно заданої прямої, скористаємося, встановленою вище, властивістю кола.
Побудуємо точку 𝐶′, симетричну точці 𝐶 відносно прямої 𝐴𝐵. Для цього побудуємо коло з центром у точці 𝐴 і радіусом 𝐴𝐶 та коло з центром 𝐵 і радіусом 𝐵𝐶. Оскільки, при симетрії відносно діаметра, коло переходить саме в себе, то точка 𝐶′ належить кожному колу, а значить є точкою їх перетину (Рис.10.5).
Рис.10.5 Побудова точки, симетричної даній відносно осі
На практиці часто виникає потреба побудови осі симетрії для заданої фігури. З цією метою можна використати інструмент Серединний перпендикуляр. Він дозволяє будувати вісь симетрії для двох вибраних точок або відрізка. Тому для побудови осі симетрії многокутника, вибираємо дві вершини і будуємо для них вісь симетрії. При цьому ця вісь може виявитися віссю симетрії і для цілого многокутника. Таким способом можна виявити всі осі симетрії многокутників і не лише многокутників.
Наприклад, можна перевірити, що всі правильні многокутники є симетричними і мають по декілька осей симетрії. Також можна переконатись, що бісектриса кута є віссю симетрії цього кута. Медіана, проведена до основи рівнобедреного трикутника є віссю симетрії цього трикутника.
Оскільки осьова симетрія є рухом, то вісь симетрії фігури поділяє її на дві рівні частини. Але, щоб сумістити ці частини, необхідно перегнути площину по даній осі так, щоб утворені нею півплощини сумістилися, подібно до того, як ми згинаємо аркуш паперу.
Так можна сумістити не лише половинки симетричної фігури, але і будьякі симетричні фігури. Отже, при симетрії кожна фігура переходить у рівну їй фігуру.
Побудуємо будь-яку пряму і точку 𝑀 поза нею. Симетризуємо цю точку відносно даної прямої і одержимо точку 𝑀′. Коли будемо рухати точку 𝑀 по площині, то відповідно буде переміщуватися і точка 𝑀′. При цьому дані точки будуть завжди розміщені у різних півплощинах, утворених віссю симетрії. Якщо побудувати точку симетричну точці 𝑀′ відносно даної прямої, то вона співпаде з точкою 𝑀. Якщо точку 𝑀 розмістити на осі симетрії, то вона перейде сама в себе. Це означає, що при симетрії відносно прямої, площина переходить сама в себе.
Побудуємо дві взаємно перпендикулярні прямі 𝑔 і f. Симетризуємо пряму 𝑔 відносно прямої 𝑓. Появиться пряма 𝑔′, яка співпадає із прямою 𝑔 (Рис.10.6). Тобто пряма 𝑔 при цій симетрії, переходить сама у себе. Цей факт легко довести за допомогою логічних міркувань.
Теорема 1. При симетрії відносно однієї із перпендикулярних прямих інша пряма переходить сама в себе.
Рис.10.6 Доведення теореми про симетричність перпендикулярних прямих.
Доведення. Нехай 𝑂 – точка перетину прямих 𝑔 і 𝑓. Виберемо на прямій 𝑔 довільну точку 𝐴 і побудуємо точку 𝐴′, симетричну відносно прямої 𝑓. Тоді точка 𝐴′ попаде на пряму 𝑔. Адже 𝐴𝐴′⊥ 𝑓. І через точку 𝐴 можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до прямої 𝑓.
Оскільки осьова симетрія це рух, то при цій симетрії промінь переходить у промінь. Крім того, точка 𝑂 належить осі симетрії, тому вона переходить сама у себе. Зокрема, промінь 𝑂𝐴 переходить у промінь 𝑂𝐴′. Відповідно промінь 𝑂𝐴′ переходить у промінь 𝑂𝐴. При цьому пряма 𝑔 переходить сама у себе.
Аналогічно показуємо, що пряма 𝑓 при симетрії відносно прямої 𝑔 теж переходить сама в себе.
Тепер побудуємо паралельні прямі 𝑓 і 𝑔 та симетризуємо пряму 𝑔 відносно прямої 𝑓 (Рис.10.7). Як бачимо, одержана пряма 𝑔′ буде паралельна цим прямим.
Ми відкрили теорему:
Теорема. Пряма, паралельна осі симетрії, переходить у пряму, паралельну даній і паралельну осі симетрії.
Доведемо її за допомогою логічних міркувань.
Доведення. Оскільки осьова симетрія є рухом, то при цій симетрії пряма
𝑔 переходить у пряму 𝑔′. Пряма 𝑓 розбиває площину на дві півплощини. Оскільки 𝑔 ∥ 𝑓, то вона повністю лежить у одній із півплощин. Тоді пряма 𝑔′ теж повністю лежить у іншій півплощині. Значить вона не може перетинати пряму 𝑓 і так само не може перетинати пряму 𝑔. Що і потрібно було довести.
Рис.10.7 Доведення теореми про симетрію прямої, паралельної до осі
10.3 Центральна симетрія
Виберемо тепер інструмент Симетрія відносно точки. Щоб скористатися цим інструментом, побудуємо довільну точку 𝑂, яка називається центром симетрії. Так само, як і у попередньому випадку, побудуємо фігуру, симетричну даній, відносно даної точки (Рис.10.8).
Готову модель можна відкрити за покликанням:
https://www.geogebra.org/m/qsbqsqk5
Виберемо довільну точку 𝑀 фігури і побудуємо симетричну їй точку 𝑀′ відносно цього ж центра. Ця точка належить образу фігури. Якщо точку 𝑀 переміщати всередині фігури, то відповідна їй точка 𝑀′ буде переміщуватися по образу цієї фігури. За допомогою інструменту Відстань або довжина встановлюємо, що центр симетрії є серединою відрізка
𝑀𝑀′.
Рис.10.8 Фігури, симетричні відносно точки
Означення. Дві точки 𝑀 і 𝑀′ називаються симетричними відносно точки, якщо ця точка є серединою відрізка 𝑀𝑀′. Ця точка називається центром симетрії.
Означення. Геометричне перетворення, яке кожну точку фігури переводить у симетричну їй точку відносно заданої точки, називається центральною симетрією.
Так само, як у випадку осьової симетрії? легко перевірити, що при центральній симетрії теж зберігаються відстані між відповідними точками. Отже, центральна симетрія теж є рухом.
Запам’ятайте! Центральна симетрія є переміщенням (рухом).
Звернемо увагу, якщо при центральній симетрії точка 𝑀 переходить у точку 𝑀′, то точка 𝑀′ при цій симетрії переходить у точку 𝑀. Крім того, центр симетрії переходить сам у себе.
Оскільки центральна симетрія є рухом, то при цій симетрії, як і при осьовій, фігура переходить у рівну їй фігуру. В цьому можна переконатися сумістивши фігури. Щоб сумістити симетричні фігури, потрібно одну з них, повернути на півоберта навколо центра симетрії. Модель, яка демонструє таке суміщення, можна завантажити за покликанням: https://www.geogebra.org/m/eacwj9gn
З означення кола і круга слідує, що ці фігури центральносиметричні. Також за допомогою інструментів GeoGebra легко встановити, що правильні многокутники з парною кількістю вершин є центральносиметричними. Але правильні многокутники, у яких непарна кількість вершин, не мають центра симетрії. Так само легко довести, що будь-яка точка прямої є її центром симетрії. Також будь-яка точка площини є її центром симетрії.
Запам’ятайте! Будь-яка точка прямої є її центром симетрії.
Будь-яка точка площини є її центром симетрії.
Побудуємо пряму 𝑓 і точку 𝑆 поза нею. Симетризуємо пряму 𝑓 відносно центра 𝑆 (Рис.10.9). Як бачимо, 𝑓′ ∥ 𝑓.
Доведемо відкриту властивість за допомогою логічних міркувань.
Теорема. Пряма, що не проходить через центр симетрії, переходить у паралельну їй пряму.
Доведення. Нехай маємо пряму 𝑓 і точку 𝑆 поза нею. Нехай пряма 𝑓′, симетрична прямій 𝑓 відносно точки 𝑆. Покажемо, що 𝑓′ ∥ 𝑓.
Припустимо протилежне. Нехай ці прямі перетинаються у точці 𝐹. Побудуємо точку 𝐹′, симетричну точці 𝐹 відносно точки 𝑆. Тоді дані прямі теж проходять через точку 𝐹′. Тобто пряма 𝑓 співпадає з прямою 𝐹𝐹′. Але, за означенням центральної симетрії, точка 𝑆 належить прямі 𝐹𝐹′, тобто прямій 𝑓.
Протиріччя з умовою. Отже 𝑓′ ∥ 𝑓.
Рис.10.9 Доведення теореми про симетрію прямої
Виявляється, що центральносиметричними є не лише правильні многокутники. Наприклад, покажемо, що такою властивістю володіє паралелограм. Побудуємо паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷 і точку 𝑂 перетину його діагоналей.
Використовуючи інструмент Точка на об’єкті, виберемо довільну точку, яка належить паралелограму. Симетризуємо цю точку відносно точки перетину діагоналей паралелограма. Переконаємось, що точка, симетрична даній, теж належить паралелограму, як би ми не змінювали положення обраної точки. Це свідчить про те, що точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії. Якщо симетризувати паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷 відносно точки 𝑂, то одержимо паралелограм 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′, який співпадає з паралелограмом 𝐴𝐵𝐶𝐷 (Рис.10.10).
Рис.10.10 Центр симетрії паралелограма Отже, має місце теорема:
Теорема. Точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії.
Доведення. Проведемо через точку 𝑂 довільну пряму, яка перетне сторони паралелограма у точках 𝐸 та 𝐸′. Тоді 𝐵𝑂𝐸 = 𝐷𝑂𝐸′ за стороною і прилеглими кутами (Якими?). Звідси слідує, що 𝐸𝑂 = 𝐸′𝑂, тобто точки 𝐸 і 𝐸′ симетричні відносно точки 𝑂. Крім того, відрізок 𝐸𝐸′ при симетрії відносно точки 𝑂 переходить сам у себе. Отже, при симетрії відносно точки перетину діагоналей будь-яка точка паралелограма переходить у точку цього ж паралелограма. Це означає, що паралелограм переходить сам у себе.
Якщо у GeoGebra є спеціальний інструмент для побудови симетричних точок, то на папері ми будуємо точку симетричну даній з допомогою циркуля і лінійки. Нехай маємо точку 𝐴 і центр симетрії 𝑂. Будуємо промінь 𝐴𝑂 та коло з центром у точці 𝑂 і радіусом 𝑂𝐴. Це коло перетне промінь 𝐴𝑂 у точці 𝐴′, симетричній точці 𝐴 (Рис.10.11).
Рис.10.11 Побудова точки, симетричної даній відносно заданого центра
10.4 Паралельне перенесення
Побудуємо довільний многокутник і вектор (Рис.10.12). Виберемо інструмент Паралельне перенесення і клацнемо спочатку по многокутнику, а потім по вектору. У результаті цього геометричного перетворення даний многокутник переходить у рівний йому многокутник. Якщо з’єднати кілька відповідних точок, то легко бачити, що при цьому перетворенні, кожна точка многокутника зміщується у напрямку, заданому вектором і на відстань, яка дорівнює його модулю.
Рис.10.12 Паралельне перенесення многокутника
Означення. Паралельним перенесенням називається геометричне перетворення, при якому кожна точка фігури зміщується в однаковому напрямку і на однакову відстань.
Оскільки, при паралельному перенесені фігура переходить у рівну їй фігуру, то це означає, що паралельне перенесення є переміщенням.
Теорема. Паралельне перенесення є переміщенням.
Для доведення досить показати, що відстань між відповідними точками не змінюється.
Нехай при паралельному перенесенні фігура 𝐹 переходить у фігуру 𝐹′. Нехай дві точки 𝐴 та 𝐵 належать фігурі 𝐹 і при цьому паралельному перенесенні переходять відповідно у точки 𝐴′ і 𝐵′. Тоді у чотирикутнику 𝐴𝐴′𝐵′𝐵 протилежні сторони паралельні і рівні. Значить цей чотирикутник паралелограм. Отже, 𝐴𝐵 =
𝐴′𝐵′.
Випадок, коли усі 4 точки виявляться на одній прямій, пропонуємо читачеві розглянути самостійно.
Зауважимо, що в процесі доведення даної теореми, ми встановили не тільки рівність відрізків 𝐴𝐵 і 𝐴′𝐵′, але й паралельність. Це означає, що при паралельному перенесенні пряма 𝐴𝐵 переходить у паралельну їй пряму 𝐴′𝐵′. У випадку, якщо усі чотири точки лежать на одній прямій, то пряма переходить сама у себе. Якщо прямі, що співпадають, теж вважати паралельними, то маємо наслідок:
Запам’ятайте! При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму.
Щоб задати паралельне перенесення, необхідно вказати вектор переносу.
Нехай при цьому перенесенні точка 𝑀 перейде у точку 𝑀′, тоді вектор 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ буде
дорівнювати вектору переносу. Таким чином, паралельне перенесення можна задати парою відповідних точок.
Якщо у середовищі GeoGebra для побудови образу довільної точки 𝐴, при паралельному перенесенні, заданому вектором 𝑀𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′, використовуємо відповідний інструмент, то для побудови такого образу на папері, потрібно трикутник 𝐴𝑀𝑀′ добудувати до паралелограма (Рис.10.13).
Рис.10.13 Побудова образу точки 𝐴
10.5 Поворот навколо точки
Ознайомимося ще з одним геометричним перетворенням. Побудуємо повзунок , для задання величини кута. За стандартними налаштуваннями, GeoGebra пропонує вибрати діапазон від 1 до 360. Але ми виберемо діапазон від -360 до 360.
Побудуємо довільний многокутник і точку 𝑆 за його межами. Застосуємо до нього перетворення Поворот навколо точки (Рис.10.14).
Рис.10.14 Поворот навколо точки
Будемо збільшувати значення повзунка. При цьому образ многокутника буде обертатися навколо точки 𝑆 проти годинникової стрілки. Виберемо деяку точку 𝐹, що належить многокутнику і застосуємо до неї це саме перетворення. З’єднаємо відрізками точки 𝐹 і 𝐹′ з центром повороту і виміряємо величину кута 𝐹𝑆𝐹′ та довжини цих відрізків. Як і слід було чекати, кут між цими відрізками дорівнює , а ці відрізки є рівними, тобто точки 𝐹 і 𝐹′ лежать на колі з центром у точці 𝑆.
Якщо зменшувати значення кута , то образ фігури буде повертатися за годинниковою стрілкою. При = 0 многокутник перейде сам у себе. При подальшому зменшенні кута образ многокутника продовжить обертатися за годинниковою стрілкою.
Отже, геометричне перетворення поворот навколо точки задається центром і кутом обертання. Пригадаємо, що величина кута може змінюватися від 1 до 180. Проте обертати фігуру навколо точки можна у двох напрямках: - додатному – проти годинникової стрілки; - від’ємному – за годинниковою стрілкою.
Узагальнимо: кут повороту може змінюватись від −∞ до ∞.
Однак, на практиці перетворення повороту застосовують в межах одного оберту. Тому діапазон кута повороту вибирають або від 0 до 360 або від -180 до 180.
На основі наших спостережень сформулюємо означення даного геометричного перетворення.
Означення. Поворотом навколо точки S на кут називається таке геометричне перетворення, при якому кожна точка 𝐹 фігури переходить у точку 𝐹′ так, що 𝑆𝐹 = 𝑆𝐹′ і 𝐹𝑆𝐹′ = .
Як бачимо, при повороті кожна фігура переходить у рівну їй фігуру. Отже, поворот теж є рухом. Обґрунтуємо це.
Теорема. Поворот є рухом.
Виберемо дві довільні точки 𝐴 і 𝐵 та центр повороту 𝑆. Застосуємо до них перетворення повороту на кут 𝛼 (Рис.10.15). Тоді ∆𝐴𝑆𝐵 = ∆𝐴′𝑆𝐵′ за двома сторонами і кутом між ними (Чому?). Отже 𝐴𝐵 = 𝐴’𝐵’, що і потрібно було довести.
Рис.10.15 Поворот двох точок
10.6 Композиція осьових симетрій
Побудуємо дві паралельні прямі та вектор 𝑢⃗ з кінцями на цих прямих і перпендикулярний до них. За допомогою інструмента Жорсткий многокутник, побудуємо довільний многокутник. Симетризуємо даний многокутник відносно першої прямої і одержаний многокутник симетризуємо відносно другої прямої (Рис.10.16). Таке послідовне застосування двох геометричних перетворень називається їх композицією.
Означення. Послідовне виконання кількох геометричних перетворень називається їх композицією.
Тепер застосуємо паралельне перенесення даного многокутника на вектор ⃗2⃗⃗𝑢⃗ . Як бачимо, образ фігури при паралельному перенесенні сумістився з образом цієї фігури при композиції двох осьових симетрій з паралельними осями (Рис.10.16).
Рис.10.16 Композиція осьових симетрій з паралельними осями
Готову модель композиції осьових симетрій відносно паралельних прямих можна завантажити за покликанням:
https://www.geogebra.org/m/twqafbjk
Ми можемо змінювати положення осей та положення фігури, але образи фігур, одержані при композиції симетрії та при паралельному перенесенні завжди будуть співпадати.
Запам’ятайте! Композиція двох осьових симетрій з паралельними осями є паралельним перенесенням на вектор, перпендикулярний до цих осей, модуль якого дорівнює подвоєній відстані між цими осями.
Тепер побудуємо взаємно перпендикулярні осі і знайдемо композицію осьових симетрій відносно цих осей (Рис.10.17). Після цього застосуємо до даної фігури перетворення центральної симетрії з центром у точці перетину осей. Як і у попередньому випадку, образ фігури при композиції симетрій сумістився з образом цієї фігури при центральній симетрії (Рис.10.17).
Запам’ятайте! Композиція двох осьових симетрій з перпендикулярними осями є центральною симетрією з центром у точці перетину цих осей.
За цим покликанням можна завантажити готову модель композиції осьових симетрій відносно перпендикулярних прямих: https://www.geogebra.org/m/r3teg5f8
Рис.10.17 Композиція осьових симетрій з перпендикулярними осями
Тепер побудуємо повзунок для кута і побудуємо осі симетрії, що перетинаються під цим кутом. Знайдемо композицію осьових симетрій даного многокутника відносно цих осей. Побудуємо поворот даного многокутника з центром у точці перетину осей на кут 2 (Рис.10.18). Як бачимо, знову образи фігур при композиції осьових симетрій та повороті сумістилися.
Запам’ятайте! Композиція двох осьових симетрій, осі яких перетинаються під кутом , є поворотом з центром у точці перетину цих осей на кут 2.
Посилання на готову модель: https://www.geogebra.org/m/npcwwhvx
Рис.10.18 Композиція осьових симетрій з осями, що перетинаються
10.7 Гомотетія. Подібні фігури
Побудуємо многокутник довільної форми і повзунок 𝑘. Виберемо точку 𝑂 поза цим многокутником і застосуємо до нього перетворення гомотетії. Для цього виберемо відповідний інструмент, клацаємо по фігурі потім по точці 𝑂, яка буде центром гомотетії, і у поле введення Коефіцієнт вводимо 𝑘.
Поки 𝑘 = 1, то фігура відображається сама на себе. Будемо збільшувати значення 𝑘. Побачимо, що многокутник відображається на многокутник такої самої форми, але більших розмірів. Зокрема, коли 𝑘 = 2, то одержимо многокутник у 2 рази більший (кожна його сторона удвічі більша за відповідну) (Рис.10.19).
Рис.10.19 Перетворення гомотетії з коефіцієнтом 2
Побудуємо довільну точку 𝑀, що належить першому многокутнику і відповідну їй точку 𝑀′, одержану в результаті цього ж перетворення. Також побудуємо вектори 𝑢⃗ = ⃗𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ та 𝑣 = 𝑂⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗⃗⃗ ′. Обчислимо відношення модулів цих векторів. Для цього у командний рядок введемо команду abs(v)/abs(u). Одержимо число 𝑔, яке дорівнює числу 𝑘. Це означає, що 𝑣 = 𝑘𝑢⃗ . Змінюючи значення коефіцієнта 𝑘, бачимо, що ця рівність зберігається.
На основі проведених спостережень введемо означення гомотетії.
Означення. Гомотетією з центром 𝑂 і коефіцієнтом 𝑘 називається таке геометричне перетворення, при якому кожна точка 𝑀 фігури переходить у
точку 𝑀′ таку, що 𝑂⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗⃗⃗ ′ = 𝑘⃗𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ .
Виміряємо відстань між будь-якими точками першого многокутника і відповідними точками другого. Знайдемо відношення цих відстаней (Рис.10.20). Як бачимо, це відношення теж дорівнює коефіцієнту 𝑘. Тобто, при гомотетії відстані між відповідними точками фігури змінюються у однаковому відношенні.
Рис.10.20 Відношення відстаней між відповідними точками при гомотетії
Таке перетворення називається перетворенням подібності, а фігури, одержані у результаті цього перетворення, подібними.
Означення. Геометричне перетворення, при якому відстані між відповідними точками змінюються у однаковому відношенні, називається перетворенням подібності.
Означення. Фігури 𝐹 і 𝐹′ називаються подібними, якщо існує перетворення подібності, яке переводить фігуру 𝐹 у фігуру 𝐹′.
Отже, гомотетія є перетворенням подібності. Як ми переконалися, при перетворенні подібності одержуємо фігуру такої самої форми, але інших розмірів.
Очевидно, що якщо використати композицію гомотетії із будь-яким рухом (осьовою чи центральною симетрією, паралельним перенесенням чи поворотом), то одержимо перетворення подібності. Адже, при русі відстані між відповідними точками не змінюються, а при гомотетії змінюються пропорційно. Таким чином, при композиції гомотетії і руху одержуємо перетворення подібності з коефіцієнтом, що дорівнює коефіцієнту гомотетії. При композиції двох гомотетій теж одержимо перетворення подібності, але його коефіцієнт буде дорівнювати добутку коефіцієнтів цих гомотетій.
10.8 Властивості гомотетії
Для дослідження властивостей гомотетії використаємо модель, створену у попередньому пункті, або завантажимо готову за покликанням:
https://www.geogebra.org/m/fwc7bapb
Як було встановлено, при першому використанні інструмента Гомотетія відносно точки при 𝑘 = 1 фігура переходить сама у себе. Тобто гомотетія є тотожним перетворенням. При 𝑘 > 1 одержимо фігуру більших розмірів за дану. Зокрема, якщо 𝑘 буде натуральним числом, то таке збільшення буде у відповідну кількість разів (2, 3, 4, …). Якщо 0 < 𝑘 < 1, то одержимо фігуру менших розмірів. Зокрема, якщо 𝑘 буде числом оберненим до натурального (
, 
, 
… ), зменшення буде відповідно у 2, 3, 4, … разів.
Якщо 𝑘 < 0, то фігура і її образ будуть розміщені по різні боки від центра, оскільки вектори з початком у центрі гомотетії і кінцями у відповідних точках будуть мати протилежні напрямки. Зокрема, при 𝑘 = −1 одержимо центральну симетрію, де центр гомотетії буде одночасно центром симетрії.
Як було встановлено експериментально у попередньому пункті, гомотетія є перетворенням подібності. Наведемо строге доведення цього факту.
Теорема. Гомотетія є перетворенням подібності.
Доведення. Нехай при гомотетії з центром 𝑂 і коефіцієнтом 𝑘 точка 𝑀 переходить у точку 𝑀′, а точка 𝑁 у точку 𝑁′ (Рис.10.21). Тоді за означенням гомотетії: ⃗𝑂⃗⃗⃗𝑀⃗⃗⃗⃗ ′ = 𝑘⃗𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ і ⃗𝑂⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗⃗ ′ = 𝑘⃗𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ .
Рис.10.21 Властивості гомотетії
Оскільки 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗′⃗𝑁⃗⃗⃗ ′ = ⃗𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ − ⃗𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′= 𝑘⃗𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑘𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘(⃗𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑘𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
За означенням множення вектора на число, |⃗𝑀⃗⃗⃗⃗′⃗𝑁⃗⃗⃗ ′| = 𝑘|⃗𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.
𝑀′𝑁′
Це означає, що 
= 𝑘. Що і потрібно було довести.
𝑀𝑁
Одночасно, звернемо увагу, що вектори 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ і 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗′⃗𝑁⃗⃗⃗ ′ колінеарні. Це означає, що прямі 𝑀𝑁 і 𝑀′𝑁′ паралельні.
Наслідок 1. При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму.
Наслідок 2. При гомотетії кут між прямими не змінюється.
Побудуємо довільний многокутник і застосуємо до нього перетворення гомотетії з центром 𝑂 і коефіцієнтом 𝑘. Тепер застосуємо до одержаного
1 многокутника перетворення гомотетії з цим самим центром і коефіцієнтом
𝑘
(Рис.10.22).
Як бачимо, при цьому образ даного многокутника сумістився з початковим
1 многокутником. Це означає, що гомотетія з тим самим центром і коефіцієнтом
𝑘 є перетворенням оберненим до гомотетії з коефіцієнтом 𝑘. Тобто, якщо гомотетія з центром 𝑂 і коефіцієнтом 𝑘 переводить фігуру 𝐹 у фігуру 𝐹′, то гомотетія з тим
1 ′ у фігуру 𝐹. самим центром і коефіцієнтом переводить фігуру 𝐹
𝑘
Рис.10.22 Відображення гомотетії, оберненої даній
Виберемо тепер три точки 𝑂, 𝐴 і 𝐵, які лежать на одній прямій. Обчислимо відношення відрізків 𝑂𝐵 і 𝑂𝐴. Для цього у командний рядок введемо команду: 𝑘 = 𝑂𝐵/𝑂𝐴. Застосуємо тепер перетворення гомотетії з центром у точці 𝑂 і коефіцієнтом 𝑘 (Рис.10.23).
Рис.10.23 Визначення гомотетії за центром і парою відповідних точок Як і слід було очікувати, ця гомотетія переводить точку 𝐴 у 𝐵.
Запам’ятайте! Якщо три точки 𝑂, 𝐴 і 𝐵 лежать на одній прямій, то існує єдина гомотетія з центром у точці 𝑂, яка переводить точку 𝐴 у точку 𝐵.
Таким чином, ми встановили, що гомотетія задається за допомогою центра і пари відповідних точок. Користуючись цим фактом і властивістю, згідно якої при гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму, встановимо алгоритм побудови образу заданої точки при гомотетії, на папері за допомогою циркуля і лінійки.
Задача. Гомотетія задана центром 𝑂 і парою відповідних точок 𝐴 і 𝐴′. Побудувати образ точки 𝐵 при цій гомотетії.
Аналіз. Нехай гомотетія задана центром 𝑂 і парою відповідних точок 𝐴 і 𝐴′. Припустимо, що задача розв’язана. Отож, для точки 𝐵 побудовано її образ 𝐵′ (Рис.10.24).
Рис.10.24 Побудова образу точки при гомотетії
Тоді, за означенням гомотетії, точки 𝑂, 𝐵 і 𝐵′ лежать на одній прямій. Крім того, за властивістю гомотетії, прямі 𝐴𝐵 і 𝐴′𝐵′ паралельні.
На основі цього аналізу маємо наступний алгоритм побудови:
1) будуємо прямі 𝑂𝐵 і 𝐴𝐵;
2) через точку 𝐴′ будуємо пряму, паралельну до 𝐴𝐵;
3) знаходимо точку 𝐵′ - точку перетину даної прямої з прямою 𝑂𝐵.
10.9 Властивості подібних фігур
Будь-які дві рівні фігури мають однакову форму. Отож, рівні фігури є подібними. Справді, будь-яке перетворення подібності з коефіцієнтом 1 переводить фігуру у рівну їй фігуру, адже тоді відстані між відповідними точками не змінюються. Отже, таке перетворення є рухом.
Ми уже встановили, якщо фігура 𝐹′ є образом фігури 𝐹 при гомотетії з коефіцієнтом 𝑘, то фігура 𝐹 є образом фігури 𝐹′ при гомотетії з тим самим
1 ′, то центром і коефіцієнтом . Це означає, що якщо фігура 𝐹 подібна фігурі 𝐹
𝑘
фігура 𝐹′подібна фігурі 𝐹.
Очевидно, що це твердження справедливе для будь-якого перетворення подібності, а не лише для гомотетичних фігур.
Теорема. Якщо 𝐹′ подібна фігурі 𝐹 з коефіцієнтом подібності 𝑘, то фігура 𝐹 подібна фігурі 𝐹′ з коефіцієнтом подібності 1.
𝑘
Доведення. Якщо𝐹′ подібна фігурі 𝐹 з коефіцієнтом подібності 𝑘, то існує перетворення подібності 𝑓, яке переводить фігуру 𝐹 у фігуру 𝐹′. Виберемо довільні дві точки 𝑋 та 𝑌, що належать фігурі 𝐹. Нехай перетворення 𝑓 ці точки переводить у точки 𝑋′ та 𝑌′ відповідно. Оскільки 𝑓 перетворення подібності, то 𝑋′𝑌′ = 𝑘 ∙ 𝑋𝑌. Так як 𝑘 ≠ 0 і 𝑋𝑌 ≠ 0, то 𝑋′𝑌′ ≠ 0. Тобто точки 𝑋′ і 𝑌′ різні. Значить, перетворення 𝑓 має обернене, при якому точка 𝑋′ переходить у точку
𝑋, а точка 𝑌′ у точку Y. Оскільки відстань між відповідними точками буде
1 змінюватися у разів, то обернене перетворення теж буде перетворенням
𝑘
подібності.
Таким чином можна говорити про те, що фігури подібні між собою. Пригадаємо, що дві фігури рівні третій, рівні між собою. Аналогічною властивістю володіє і відношення подібності фігур.
Теорема. Якщо фігура 𝐹 подібна фігурі 𝐹1, а 𝐹1 подібна фігурі 𝐹2, то фігури 𝐹 і 𝐹2, подібні між собою.
Доведення. Нехай 𝐹 подібна фігурі 𝐹1 з коефіцієнтом подібності 𝑘1, а фігура 𝐹1 подібна фігурі 𝐹2 з коефіцієнтом подібності 𝑘2.Тобто існує перетворення подібності 𝑓1, яке переводить фігуру 𝐹 у фігуру 𝐹1, і перетворення подібності 𝑓2, яке переводить фігуру 𝐹1 у фігуру 𝐹2. Тоді, якщо перетворення 𝑓1 переводить дві різні точки 𝑋 та 𝑌 фігури 𝐹 у різні точки 𝑋1 та 𝑌1 фігури 𝐹1, а перетворення 𝑓2 переводить точки 𝑋1 та 𝑌1 у різні точки 𝑋2 та 𝑌2 фігури 𝐹2, то композиція цих перетворень переводить точки 𝑋 та 𝑌 у точки 𝑋2 та 𝑌2.
При цьому 𝑋2𝑌2 = 𝑘2 ∙ 𝑋1𝑌1 = 𝑘2 ∙ 𝑘1 ∙ 𝑋𝑌. Тобто композиція цих перетворень подібності теж є перетворенням подібності з коефіцієнтом 𝑘2 ∙ 𝑘1. Значить фігури 𝐹 і 𝐹2 подібні між собою.
10.10 Площі подібних фігур
Побудуємо модель, яка допоможе встановити зв'язок між площами подібних фігур. Для цього будуємо довільний многокутник і застосовуємо до нього перетворення гомотетії з довільним центром 𝑂 і коефіцієнтом 𝑘 (Рис.10.25).
Рис.10.25 Площі подібних фігур
Для зручності перейменуємо многокутники на 𝐹 і 𝐹′. Виміряємо їхні площі і обчислимо відношення цих площ. Також обчислимо квадрат коефіцієнта 𝑘 і усі одержані числа виведемо на екран у формі динамічного тексту.
Проекспериментуйте із цією моделлю: можна змінювати коефіцієнт гомотетії або форму фігури F. При цьому будуть змінюватися площі фігур, але відношення площ завжди буде дорівнювати квадрату коефіцієнта 𝑘.
Запам’ятайте! Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
Для многокутників цей факт не важко обґрунтувати аналітично. Наведемо ідею доведення. Розіб’ємо многокутник F на трикутники. Тоді площа многокутника буде дорівнювати сумі площ цих трикутників. Обчислимо площу
1 кожного трикутника за формулою 𝑆 = 2
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛. Оскільки у відповідному трикутнику 𝑎′ = 𝑘𝑎, 𝑏′ = 𝑘𝑏 і кут не змінюється, то площа відповідного трикутника буде дорівнювати 𝑆′ = 12
𝑘𝑎 · 𝑘𝑏 · 𝑠𝑖𝑛= 𝑘2𝑆.
𝑆′ 2. Аналогічно встановлюємо, що площі всіх
Таким чином = 𝑘
𝑆
трикутників, а значить і їх сума пропорційні квадрату коефіцієнта пропорційності.
Переконайтесь самостійно, що площі кругів відносяться, як квадрати їх радіусів.
10.11 Розв’язування задач на побудову методом геометричних
перетворень
У 7 класі ми познайомилися із розв’язуванням задач на побудову методом геометричних місць точок. Ще одним ефективним методом розв’язування таких задач є метод геометричних перетворень.
Розглянемо приклади задач.
Задача 1. У одній півплощині від даної прямої задані точки 𝐴 та 𝐵. Побудувати на прямій таку точку 𝐶, щоб сума 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 була найменшою.
Аналіз. Побудуємо пряму і дві точки 𝐴 та 𝐵 по один бік від прямої. Виберемо на прямій точку 𝐶. З’єднаємо її відрізками з точками 𝐴 та 𝐵 (Рис. 10.26). Ми можемо виміряти довжини цих відрізків та обчислити їх суму. Зокрема, перетягуючи точку 𝐶 по прямій можемо намагатися підібрати відповідне положення точки 𝐶, щоб виконувалася умова задачі. Однак, якщо навіть експериментально нам вдасться це зробити, все одно доведеться аргументувати, що знайдена точка шукана. Це той випадок, коли експеримент допомагає частково. З’ясуємо, у чому полягає суть проблеми і усунемо її. Якби ці точки були розташовані по різні боки від прямої, то розв’язок цієї задачі був би очевидним. Тому використовуючи осьову симетрію, відобразимо одну із точок відносно прямої. Тоді вона буде розташована «так само» як і її прообраз, але точки уже будуть розташовані по різні боки від прямої.
Рис. 10.26 Аналіз задачі
Побудова. Будуємо точку 𝐵′, симетричну точці 𝐵 відносно заданої прямої. Тоді точка C перетину відрізка 𝐴𝐵′ з прямою буде шуканою (Рис.10.27).
Рис. 10.27 Побудова
Доведення. Найкоротшою відстанню між точками𝐴 і𝐵′ є відрізок𝐴𝐵′. Але 𝐵′𝐶 = 𝐵𝐶, тому 𝐴𝐵′ = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵′ = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵.
Задача 2. Всередині кута задана точка 𝑂. Через цю точку провести відрізок так, щоб його кінці належали сторонам кута, а дана точка була його серединою.
Аналіз. Нехай у середині 𝐵𝐴𝐶 задана точка 𝑂.
Припустимо, що задача розв’язана. Через точку 𝑂 проведено відрізок 𝐷𝐸 так, що точки D і E лежать на сторонах кута, а 𝑂 – середина 𝐷𝐸 (Рис.10.28). Добудуємо ∆𝐴𝐷𝐸 до паралелограма 𝐴𝐷𝐴′𝐸. Тоді 𝐷𝐸 буде діагоналлю цього паралелограма, а точка 𝐴′ буде симетрична точці 𝐴 відносно точки 𝑂.
Рис. 10.28 Аналіз задачі
Побудова. Нехай точка 𝑂 належить внутрішній області кута 𝐵𝐴𝐶. Побудуємо точку 𝐴′ симетричну точці 𝐴 відносно точки 𝑂. Через точку 𝐴′ проведемо прямі, паралельні сторонам кута, які перетинають ці сторони відповідно у точках D і E. Відрізок DE – шуканий (Рис.10.29).
Доведення. 𝐴𝐷𝐴′𝐸 – паралелограм за побудовою. 𝑂 – середина діагоналі 𝐴𝐴′ теж за побудовою. 𝐷𝐸 – інша діагональ паралелограма, тому вона проходить через точку 𝑂 і ділиться нею навпіл.
Рис. 10.29 Побудова
Дослідження. Існує єдина точка, симетрична точці 𝐴, відносно точки 𝑂. Через цю точку завжди можна провести лише по одній прямій, паралельній сторонам кута. Оскільки точка 𝑂 належить внутрішній області кута, то кожна пряма перетинає відповідну сторону кута у єдиній точці. Отже, задача завжди має єдиний розв’язок.
Задача 3. Населені пункти розташовані по пізні боки каналу із паралельними берегами. У якому місці потрібно побудувати міст, щоб відстань між цими населеними пунктами була найменшою?
Аналіз. Нехай дві паралельні прямі моделюють береги каналу, точки 𝐴 та 𝐵 – населені пункти (Рис.10.30).
Рис.10.30 Аналіз задачі
Якби не було каналу, то найкоротшою відстанню була б довжина відрізка 𝐴𝐵. Перемістимо в уяві один з берегів до іншого, тоді і населений пункт, що знаходиться на тому березі переміститься у тому ж напрямку і на ту ж відстань.
Побудова. Побудуємо вектор ⃗𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ , з кінцями на даних прямих і перпендикулярний до них (Рис.10.31). Пернесемо точку 𝐵 на вектор ⃗𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ та одержимо точку 𝐵′. При цьому паралельному перенесенні пряма 𝑓 перейде у пряму 𝑔. Тому точка 𝐸 перетину відрізка 𝐴𝐵′ з прямою 𝑔 буде шуканою точкою на одному березі. Перенесемо цю точку на вектор ⃗𝐷⃗⃗⃗⃗С . Одержимо точку 𝐹 на другому березі.
Рис. 10.31 Побудова
Доведення. Оскільки прямі паралельні, то відстань між ними всюди однакова. Тому довжина ламаної 𝐴𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐵 буде тоді найкоротшою, коли сума 𝐴𝐸 + 𝐹𝐵 буде найменшою. Але 𝐴𝐸 + 𝐹𝐵 = 𝐴𝐸 + 𝐸𝐵′=𝐴𝐵′.
Задача 4. Впишіть у квадрат правильний трикутник з вершиною у заданій точці.
Аналіз. Нехай маємо квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 і на стороні 𝐴𝐵 задана точка 𝑋. У цей квадрат потрібно вписати правильний трикутник (Рис.10.32).
Рис.10.32 Аналіз задачі
Припустимо, що задача розв’язана, і такий трикутник побудований. Тоді, якщо вершину 𝑌 повернути на 60 за годинниковою стрілкою навколо точки 𝑋, то вона перейде у точку 𝑍. Але, якщо так само повернути квадрат, то одержимо новий квадрат, сторона якого перетне сторону 𝐵𝐶 у точці 𝑍 (Рис.10.33).
Побудова. Застосуємо до квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 поворот навколо центра 𝑋 на кут 60 за годинниковою стрілкою (Рис.10.33). Нехай сторона одержаного квадрата перетинає сторону 𝐵𝐶 у точці 𝑍. Тоді XZ – сторона шуканого трикутника. При повороті точки 𝑍 навколо точки 𝑋 проти годинникової стрілки, одержимо третю вершину трикутника.
Рис.10.33 Побудова
Доведення. Трикутник XYZ рівнобедрений за побудовою і його кут дорівнює 60, тому він правильний.
Як бачимо, у цих задачах властивість, яку слід використати для виконання побудови, неможливо знайти при безпосередньому вивченні малюнка. У кожному конкретному випадку є певна проблема, яка заважає це зробити. Щоб усунути цю проблему, необхідно виконати певне геометричне перетворення фігури або її окремих елементів. Після цього легше виявити властивості шуканих елементів фігури і знайти спосіб побудови.
Задача 5. У заданий трикутник вписати квадрат так, щоб дві його вершини належали одній стороні трикутника, а дві інші – іншим сторонам трикутника.
Аналіз. Вписати у трикутник ∆𝐴𝐵𝐶 квадрат так, щоб дві його вершини належали одній стороні трикутника, а третя іншій стороні легко (Рис.10.34). Таких квадратів багато. Залишається підібрати такий, щоб четверта вершина належала іншій бічній стороні.
Рис.10.34 Аналіз задачі
Для цього досить даний квадрат «розтягнути». Тобто застосувати гомотетію з центром у вершині 𝐴 і таким коефіцієнтом, щоб вершина 𝐹 перейшла у точку на стороні 𝐵𝐶. Оскільки відповідні точки лежать на промені, що виходить з центра гомотетії, то вершина 𝐹 перейде у точку 𝐻 перетину променя 𝐴𝐹 з стороною 𝐵𝐶 (Рис. 10.35).
Рис. 10.35 Побудова
Побудова. Будуємо квадрат 𝐷𝐺𝐹𝐸, дві вершини якого лежать на стороні 𝐴𝐶, а третя на стороні 𝐴𝐵 (Рис.10.35). Далі будуємо точку 𝐻 перетину променя 𝐴𝐹 з стороною 𝐵𝐶. До квадрата 𝐷𝐺𝐹𝐸 застосуємо гомотетію з центром у вершині
𝐴𝐻
𝐴 і коефіцієнтом 
. Враховуючи властивості гомотетії, через точку 𝐻
𝐴𝐹
проводимо прямі, паралельні до сторін 𝐹𝐸 і 𝐺𝐹. Одержимо вершини 𝐾 та 𝐼. На завершення, через одержану точку 𝐼 проводимо пряму, паралельну 𝐺𝐷. Одержимо четверту вершину 𝐽 шуканого квадрата.
Доведення. При гомотетії квадрат переходить у квадрат. Оскільки 𝐷𝐺𝐹𝐸 – квадрат, за побудовою, то 𝐽𝐼𝐻𝐾 теж квадрат. Його вершина 𝐻 належить стороні 𝐵𝐶 за побудовою, а інші вершини квадрата належать відповідним сторонам за властивістю гомотетії.
Як бачимо, у цьому випадку ми будуємо фігуру, всі властивості якої, крім однієї, відповідають умові задачі. Далі, використовуємо таку гомотетію, щоб образ даної фігури мав усі властивості, вказані в умові задачі.
[1] У середовищі GeoGebra класичне подання запису координат (5;2) реалізується у спосіб відокремленням через «кому(,)», тобто (5,2), а відокремлення цілої від дробової частин здійснюється через «крапку(.)»
[2] За допомогою інструмента Точка будуємо точки на прямій, а потім їх перейменовуємо: вводимо з клавіатури у поле Нове ім’я для точки текст О_1 або О_2.
[3] Знак модуля означає, що потрібно від більшого радіуса віднімати менший.
[4] Розв’язати трикутник означає за відомими його елементами знайти інші його елементи.
про публікацію авторської розробки
Додати розробку