Вивчення теми  “Правильні многокутники”

На вивчення теми “Правильні многокутники” в 9 класі відводиться 6 годин.

Мета: розширити та систематизувати відомості про многокутники і коло, розвивати вміння і навички обчислювати значення геометричних величин: елементів многокутника, довжини кола, площі круга.

Повторення матеріалу попередніх класів: сума кутів трикутника, квадрат, шестикутник, бісектриса, довжина кола, площа круга, число .

1 урок.  Лекція “Многокутники” з коментованим розв’язуванням базових задач.

Вимоги до рівня підготовки учнів: формують означення правильного многокутника, уміють знаходити кількість сторін, суму кутів, внутрішні і зовнішні кути, радіуси вписаного і описаного кіл, будувати правильні многокутники за допомогою циркуля і лінійки.

1. Означення многокутників.
2. Означення правильних многокутників.Правильні шестикутники. Де зустрічаються в житті?

       Бджолині стільники мають форму правильних шестикутників. Отже, бджоли знають математику?  Учені, які досліджували бджолині стільники, переконалися: всі кути, що утворює шестикутник бджолиної чарунки такі, для яких чарунка найбільше містка і при цьому на неї йде найменше воску. Побудовані бджолами без всяких креслень стільники з найбільшою точністю відтворили ідеальні споруди, розраховані за всіма правилами науки.

        Існує версія, що відстань між кутами шестикутника визначається розміром бджоли. Як було виявлено в результаті спостережень, бджола після польоту приземляється на 6 точок, що можуть бути вершинами фігури. Бджоли, не будучи математиками, визначили, що правильний 6-кутник має найменший периметр порівняно з периметрами трикутника і квадрата. Бджоли менше втрачають воску на побудову стільників й ощадливо використовують площу всередині невеликого вулика.

      Виконувати складні споруди можуть і другі істоти. Учені дійшли висновку, що це вироблений в процесі еволюції інстинкт. (Бобр- будує дамби, голуб-знаходить дорогу додому).

3.   Творча робота. Побудувати правильні многокутники і відповісти на такі запитання та записати висновки:

1. Скільки діагоналей можна провести з однієї вершини?  (висновок: n-3, де n- число сторін)

2. На скільки трикутників розбивають n-кутники усі діагоналі, проведені з однієї вершини? (висновок:  n-2).
3. Скільки  всього діагоналей в опуклому n-кутнику? ( n (n-3)2)
4. Чому  дорівнює сума кутів трикутника?

      чотирикутника?

      п’ятикутника?  (S₃+S₄=180^+360^)

      стокутника?

5. Як знайти суму кутів n-кутника? Виведемо формулу. S_n=180(n-2).

   Якщо кількість сторін многокутника парна, то розбиваємо його на 4-кутники. Чотирикутників всього:  (n/2 –1), тоді

            S_n=360(n/2-1)=180n-360=180(n-2).

   Якщо кількість сторін многокутника непарна, тоді

            S_n=360((n-3)/2+180=180(n-2).

Висновок: сума кутів n-кутника дорівнює 180(n-2)

Цієї теореми в геометрії Евкліда немає. Евклід ухилявся від будь-яких обчислюваних формул. Згадка пронеї з’явилась у працях грецького філософа Прокла Діадоха (410-485). З європейських математиків першим подав її доведення німецький астроном Регімонтан.

      Отже, ми довели теорему для опуклого многокутника. Многокутники різних форм зустрічаються в природі (форми озер, ярів, лісів, боліт) та в техніці (обриси споруд, деталей, кар’єрів).

4. Базові задачі.

1. Знайти суму кутів 10-кутника; 15-кутника?
2. Скільки сторін має многокутник, якщо сума його кутів  1620^?
3. Чи існує опуклий многокутник, кожний із кутів якого 165^?
4. Скільки сторін має опуклий многокутник, сума кутів якого 1980^?
5. Скільки сторін має n-кутник, сума якого в 2 раза більше від суми кутів 9-кутника?
6. Знайти суму кутів зірки?                                                                    (Відповідь: 180^)

5. Доведення теореми  “Будь-який  правильний многокутник є одночасно вписаним і описаним, причому центри вписаних і описаних кіл збігаються” (самостійно)

6. Побудова многокутників. Стародавні вчені легко побудували многокутники з числом сторін 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20. А з числом сторін 7,9,11,13,14,18,19 тілки через 2000 років 17-річний К.Гаусс довів, що їх побудувати неможливо. Можна побудувати многокутник за умови: n=2²+1-це числа Ферма. К.Гаусс побудував 17-кутник. Його пам’ятник стоїть на 17-кутному постаменті.

2 урок-лекція “Довжина кола. Площа круга”

Девіз уроку: “Найкрасивішим тілом є куля, а найкрасивішою плоскою фігурою є круг” (Піфагор).

      З довжиною кола і площею круга учні знайомі з 6 класу. Тому основною метою при вивчені цієї теми в 9 класі є закріплення знань змісту понять та формування вміння застосовувати формули для обчислення довжини кола, площі круга, площ секторів і сегментів.  

План лекції

1. Історична справка з теми.
2. Практична робота “Визначення довжини кола, числа  та площі круга”.
3. Круговий сектор і круговий сегмент.
4. Базові задачі.

       В Давній Греції круг і коло вважали вершинами довершеності. Круглий-означає високий ступінь чогось. Дві властивості кола виділяють серед замкнених ліній:

1. коло обмежує найбільшу площу.
2. коло може рухатись само по собі.

Щоб крива шабля легко входила в піхви, вона повинна бути вигнутою по колу. Ця властивість зробила можливим і виникнення колеса.

3. Число   -назва пішла від першої букви грецького слова “перифирія”, що означає коло. =3,1415926...

Палкі любителі теорії чисел вирішили святкувати щорічно Всесвітній день числа  (третій місяць, 14 числа) 14 березня. Найцікавіші події, зв’язані з числом , відбуваються в цей день у світовій мережі інтернету. Нещодавно на ринку Європи презентовано чоловічий парфум для тих, хто “мріє в 3,14 разів більше від інших”. Ці парфуми в пірамідальному флаконі з ефектом скловідбиття дістали назву “”. В 1992 році  обчислили з точністю до 1 млрд.11млн.691 знака після коми. Цей факт занесено до книги Рекордів Гіннеса. Саме число туди не занесли. Зрозуміло, чому?

    Щоб запам’ятати число , існує багато висловів:

• Это я знаю и помню прекрасно лишние знаки мне чужды, напрасны;
• Что я знаю о кругах;
• Кто и умен, и думаю сметливый, «пи» быстро съест, как сливу;
• Нужно только постараться и запомнить все, как есть

3, 14,15, 92 и 6.

А щоб запам’ятати формулу площі круга, рекомендуємо такі строки:

   А ми знаєм площу круга

   І тому ми дуже раді,

   Научу свого я друга:

   Площа ця-R².

Базові задачі.

1. Знайти довжину кола, якщо R=5? D=5?
2. Знайти радіус і діаметр кола, якщо с=2R.
3. Знайти довжину дуги, якщо а) R=1  n=30⁰

б) R=3 n=45⁰, 120⁰, 150⁰.

4. Знайти n, якщо L=1/3? L=0,5?
5. Знайти площу круга, якщо R=10? 22?
6. Знайти радіус кола, якщо S=100.
7. Знайти площу кругового сектору, якщо R=10, n=30⁰.
8. Знайти площу кругового сегменту, якщо R=5, =90⁰?
9.  

Теоретичний залік з теми “Многокутники.  Довжина кола і площа круга”

1. Дано правильний n-кутник

    n=4                               n=6

                            Знайти:

1. суму кутів
2. внутрішній кут
3. зовнішній кут
4. центральний кут
5. сторону, якщо периметр 24см
6. апофему многокутника, якщо його сторона 20см.

2. Дано коло, радіус якого

              R=6                                 R=8

                           Знайти:

1. сторону правильного трикутника, вписаного в коло;
2. сторону правильного трикутника, описаного навколо кола;
3. сторону правильного чотирикутника, описаного навколо кола;
4. сторону правильного чотирикутника, вписаного в  коло;
5. довжину кола;
6. довжину дуги кола, що відповідає центральному куту 90⁰;
7. площу круга.

Висновки. Підсумок уроку.