ЗАДАЧІ ФІЗИЧНОГО ЗМІСТУ ПРИ ВИВЧЕННІ МАТЕМАТИКИ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ

Про матеріал

розглянути деякі питання взаємозв'язку

фізики і математики, вказати вчителеві фізики на деякі можливості,

що їх дає нова програма, підручники та навчальні посібники з

математики.

Перегляд файлу

Навчально-методичне видання

Поліщук Зоя Петрівна

Федьович Микола Васильович Харченко Марія Миколаївна

ЗАДАЧІ ФІЗИЧНОГО ЗМІСТУ ПРИ ВИВЧЕННІ

МАТЕМАТИКИ

В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ

Навчально-методичний посібник

Надруковано із оригінал-макета авторів

Зам.____ від ______, ______ від _________2007.

Формат 60х90/16. Ум. друк. арк.. 6,5.

Обл.. вид. арк.. 13,5. Друк різографічний. Наклад ____.

________________________________________________________

Видавництво Житомирського державного університету імені Івана Франка

ЖТ №______ від _________.

м. Житомир, вул.. Велика Бердичівська, 40 електронна пошта (E-mail) : zu@zu.edu.u Фізика і математика завжди допомагали одна одній, і розвиток їх часто нероздільний.

С. І. Вавилов

В С Т У П

Однією з умов підвищення ефективності навчального процесу та вдосконалення якості знань учнів є встановлення та реалізація міжпредметних зв’язків у процесі викладання предметів, зокрема математики та фізики.

Вивчення математики та інших природничих і технічних дисциплін відбувається паралельно, вони доповнюють одна одну. Учні повинні вивчати математику не як окремий предмет, а у взаємозв’язку з іншими предметами природничого циклу. Це дає можливість:

– значно розширити світогляд учнів;

– поглибити знання та підвищити їх якість;

– допомогти учням краще зрозуміти практичну значимість матеріалу, що вивчається;

– зацікавити учнів фізико-математичними дисциплінами.

Часто ж знання з одного предмета використовуються під час викладання іншого цілеспрямовано, з метою показати практичне застосування матеріалу й активізувати пізнавальну діяльність учнів. Мета цієї роботи — розглянути деякі питання взаємозв'язку фізики і математики, вказати вчителеві фізики на деякі можливості, що їх дає нова програма, підручники та навчальні посібники з математики.

Проблема міжпредметних зв'язків у навчально-виховному процесі сучасної школи є дуже важливою. Від успішного її розв'язання багато в чому залежить підвищення ефективності навчання і виховання учнів. У школі учень має засвоїти систему знань не тільки з даного предмета, а й пізнати зв'язки даного предмета з іншими. При цьому міжпредметні зв'язки повинні відбивати об'єктивно існуючі зв’язки між науками про природу й суспільство.

Проблему міжпредметних зв’язків слід розглядати насамперед у плані формування світогляду учнів на основі філософського узагальнення знань, що їх здобувають вони при вивченні суміжних дисциплін. Маючи це на увазі, „кожний педагог, формуючи світогляд учнів, повинен об’єднати зусилля із зусиллями інших вчителів, насамперед при введені і розвитку таких загальних фундаментальних понять науки, як матерія, час, простір, рух, розвиток тощо. Формування таких понять – це основна лінія викладання основ наук. Інша можливість – розгляд з учнями методологічних проблем науки, зокрема концепції теорії пізнання, що можна успішно здійснювати при вивченні і фізики, і хімії, і математики, і біології.

Кожна шкільна дисципліна має свою специфіку реалізації міжпредметних зв'язків. Так, курс математики озброює учнів кількісними методами та прийомами опису явищ, що вивчаються в курсах фізики, хімії, біології тощо. Завдання викладачів суміжних дисциплін полягає в тому, щоб повною мірою використати на своїх уроках весь арсенал математичних знань учнів.

Реалізація принципу міжпредметних зв'язків — один з основних резервів подальшого вдосконалення навчально-виховного процесу в школі, оскільки це сприяє систематизації знань учнів, забезпечує формування світогляду, «підвищує ефективність навчання і виховання, забезпечує наскрізне застосування й закріплення знань, умінь і навичок, що їх набули учні на уроках з різних предметів. Нарешті, реалізація міжпредметних зв'язків дає змогу підвищити ефективність (одночасно сприяє полегшенню) роботи самих школярів. Усім цим і зумовлена виняткова важливість і актуальність проблеми міжпредметних зв'язків у навчально-виховному процесі».

Застосування нової математичної символіки у фізиці в багатьох випадках дає змогу записати умову задачі і її розв'язання коротше. Привчаючи учнів правильно користуватися математичною символікою, можна досягти також певного виховного ефекту: виробити звичку до точності й лаконічності в письмовій та усній мові. Так, використання нових символів при розв'язуванні задач на побудову зображень у тонких лінзах, сферичних і плоских дзеркалах допомагає зробити пояснення символічними.

Тепер у школі вивчають основи сучасної математики з її новими ідеями, математичним апаратом, сучасною термінологією та символікою. Тому вчитель фізики повинен докладно ознайомитися із змістом програми з математики, підручниками й навчальними посібниками з математики, обов'язково знати сучасну термінологію і символіку для того, щоб використовувати міжпредметні зв'язки для формування в учнів міцних і глибоких знань з фізики.

I. АЛГЕБРА

1.ПРЯМА ТА ОБЕРНЕНА ПРОПОРЦІЙНІ ЗАЛЕЖНОСТІ

Задачі цього типу викликають певні труднощі в учнів. Їх розв’язування слід розпочати з визначення коефіцієнта пропорційності.

Задача 1.

Відстань між Києвом і Тернополем дорівнює 360 км. Яка відстань між цими містами на карті з масштабом 1:5000000?

Розв’язання:

Оскільки масштаб карти 1:5000000, 1 см на карті відповідає 5000000 см=50 км на місцевості. Нехай відстань між Києвом і Тернополем на карті дорівнює х см. Тоді:

1 см — 50 км; х см — 360 км.

Відстань на місцевості прямо пропорційна відстані на карті.

Тому 1 = 50 , звідки х = 1 см⋅360 км = 7,2 см. х 360 50 км

Відповідь: відстань між містами на карті 1,7 см.

Задача 2.

Відстань на карті між двома містами дорівнює 23 см. Яка відстань між цими містами на місцевості, якщо карта має масштаб

1:2000000?

Розв’язання:

Оскільки масштаб карти 1:2000000, 1 см на карті відповідає 2000000 см=20 км. Нехай відстань між цими містами на місцевості дорівнює х км:

1 см — 20 км; 23 см — х км. 1:23=20:х;

х.

Відповідь: відстань між містами на місцевості 460 км.

Задача 3.

Відстань між двома містами на місцевості дорівнює 360 км. Яка відстань між ними на карті, що має масштаб 1:8000000?

Розв’язання:

Оскільки масштаб карти 1:8000000, 1 см на карті відповідає 8000000 см=80 км. Нехай відстань між містами на карті дорівнює х км:

1 см — 80 км; х см — 360 км.

1:х=80:360;

360 км⋅1см

х = = 4,5 см.

80 км

Відповідь: відстань між двома містами на карті 4,5 см.

Задача 4.

Відстань між двома пунктами на місцевості дорівнює 195 км, а на карті — 6,5 см. Знайдіть масштаб карти.

Розв’язання:

195 км=195000000см. М =195000000см=1950000000см=30000000.

6,5см 65см

Відповідь: масштаб карти 1:30000000.

Задача 5.

Сплав складається з міді, цинку і нікелю, маси яких відносяться як 13:3:4. Знайти масу сплаву, якщо для його виготовлення використали 1,8 кг цинку. (Відношення 13:3:4 означає, що у сплаві на мідь припадає 13 частин, на цинк — 3 таких же за масою частини т на нікель — 4 частини.)

Розв’язання:

Сплав складається з 13+3+4=20 частин, з яких на цинк припадає 3 частини. Нехай маса сплаву дорівнює х кг. Тоді:

20 частин — х кг; 3 частини — 1,8 кг.

За сталої частини кількість частин та їх маса прямо пропорційні.

Тому 20 = х , звідки: х = 20⋅1,8 кг =12 кг.

3 1,8 3

Відповідь: маса сплаву 12 кг. Задача 6.

Сплав містить 36% заліза. Скільки кілограмів заліза міститься у

970 кг сплаву?

Розв’язання:

100 кг сплаву — 36 кг заліза

970 кг сплаву — х кг заліза

100:970=36:х;

970 кг ⋅36 кг

х = = 349,2 кг.

100 кг

Відповідь: у 970 кг сплаву міститься 349,2 кг заліза.

Задача 7.

Сплав складається з міді, олова й сурми, взятих у відношенні

1:2:2. Знайдіть масу сплаву, якщо він містить 2,8 кг олова.

Розв’язання:

1.Знайдемо скільки частин становить весь сплав.

1ч+2ч+2ч=5ч

2.Знайдемо скільки припадає олова на 1 частину?

2,8 кг:2=1,4 кг.

3.Знайдемо масу всього сплаву

1,4кг ⋅5 = 7кг. Відповідь: маса сплаву 7 кг.

Задача 8.

У процесі перегонки нафти з неї отримують 30% гасу. Скільки потрібно нафти, щоб одержати 9 т гасу?

Розв’язання:

Маса нафти становить 100%, а маса гасу — 30%. Нехай щоб одержати 9 т гасу, потрібно переробити х т нафти. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

х т — 100%; 9 т — 30%.

Складаємо пропорцію:^х= ¹⁰⁰_; звідки х = ^{9 т}^⋅^{100 %}= 30 т —

9 30 30 %

маса нафти.

Відповідь: маса нафти 30 т.

Задача 9.

За 8 годин токар виготовив 17 деталей. Скільки годин потрібно токареві для виготовлення 85 деталей, якщо він працюватиме з тією самою продуктивністю?

Розв’язання:

8 годин — 17 деталей;

х годин — 85 деталей.

8 17

= ; х 85

х .

Відповідь: для виготовлення 85 деталей, токареві потрібно 40

год.

Задача 10.

Певне замовлення при одночасній роботі 5 автоматів виконується за 12 год. За скільки годин буде виконано те саме замовлення при одночасній роботі 8 автоматів?

Розв’язання:

Нехай 8 автоматів виконають замовлення за х год. Оскільки із збільшенням числа автоматів у кілька разів час виконання замовлення зменшується у стільки ж разів, то час виконання замовлення обернено пропорційний до числа автоматів. За властивістю обернено пропорційних змінних відношення х до 12 дорівнює оберненому відношенню 8 до 5:

х 5

= .

12 8

Звідси: 8х =12⋅5,

х .

Відповідь: при одночасній роботі 8 автоматів, те саме замовлення буде виконано за 7,5 год. Задача 11.

Для перевезення піску планували виділити 15 самоскидів вантажністю 4 т кожний. Скільки самоскидів вантажністю 5 т слід виділити для виконання тієї самої роботи?

Розв’язання:

15 самоскидів — 4 т; х самоскидів — 5 т.

15 5

= ;

х 4

х (самоскидів).

Відповідь: для виконання тієї самої роботи потрібно виділити 12 самоскидів вантажністю 5 т.

Задача 12.

Скільки важить бензин, об’єм якого 25 л?

Розв’язання:

Нам потрібно знайти вагу бензину Р

V = 25 л = 0,025 м³;

кг ρбензину = 0,7 3 ; м

g = 9,8 ₂.

. Ми знаємо, що вага тіла прямо пропорційна масі і прискоренню вільного падіння тіла за другим законом Ньютона.

P=m⋅g;

m=ρ⋅V ;

P . м с с

Відповідь: вага бензину становить 0,17 Н.

Задача 13.

Довжина меншого плеча важеля 5 см, більшого 30 см. На менше діє сила 12 Н. Яку силу треба прикласти до більшого плеча, щоб зрівноважити важіль?

Розв’язання:

Нам потрібно знайти силу, яку треба прикласти до більшого плеча F₂.

l₁= 5 см = 0,05 м; l₂= 30 см = 0,3 м;

F₁=12 H.

За умовою рівноваги важеля, сили прикладені до плечей, обернено пропорційні довжинам плечей: F1 l2

= ;

F2 l1

F¹⋅l¹12 H ⋅0,05 м

F₂= = = 2 Н. l₂0,3 м

Відповідь: щоб зрівноважити важіль, до більшого плеча потрібно прикласти силу в 2 Н.

Задача 14.

Який тиск на підлогу чинить хлопчик, маса якого 48 кг, а площа підошв його взуття 320 см².

Розв’язання:

Нам потрібно знайти тиск на підлогу, який чинить хлопчик Р. m = 48 кг;

S = 320 см²= 0,032 м²;

g = 9,8 ₂.

P =

Сила F , з якою хлопчик тисне на підлогу, дорівнює mg. Тоді

тиск на підлогу P ₌^mg, де тиск прямо пропорційний масі і S

прискоренню вільного падіння і обернено пропорційний площі підошов взуття.

48 кг ⋅9,8 ₂

Р = ₂^с=14700 ^Н₂=14700 Па.

0,032м м

Відповідь: тиск, який хлопчик чинить на підлогу становить

14700 Па.

Задача 15.

Неоднорідний стержень АВ має довжину 12см. Маса його частини АВ зростає пропорційно квадрату відстані точки М від кінця А і дорівнює 10г при АМ=2см. Знайдіть масу всього стержня і лінійну густину в точках А і В.

Розв’язання: Нехай довжина відрізка АМ = х(см), тоді m = kx², де k— коефіцієнт пропорційності. Маємо

10 = k ⋅2², k = 2,5.

Маса стержня дорівнює: m = 2,5⋅(12_см)²= 360г. Лінійна густина дорівнює: ρ_l= m′(x) = 2kx = 5x.

В точці А m′(x) = m′(0) = 0.

В точці В m′(x) = m′(12) = 5⋅12 = 60.

Відповідь: маса всього стержня становить 360 г, а лінійна

густина в точках А становить 0 ^г₃, а в точці В становить 60 ^г₃. см см .

2.ЗАДАЧІ НА НАЙБІЛЬШЕ І НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ

Проблема знаходження найменших та найбільших значень відіграє важливу роль в фізиці, техніці та економіці. Мова йде про визначення оптимально можливих значень фізичних і інших величин, економії часу, енергії, матеріалів, про попередження аварійних ситуацій і ін.

Запропоновані задачі носять вибірковий характер, вони лише в невеликій мірі відображають масштабність цієї проблеми.

Задача 1.

Електричні заряди q₁= 5нКл і q₂=11нКл розміщені на відстані r один від одного. Яким чином слід перерозподілити заряди, щоб сила взаємодії між ними була найбільшою?

Розв’язання:

За законом Кулона сила взаємодії між зарядами

q1 ⋅ q2

F = k ^⋅₂.

Відповідь: оскільки k і r є сталими, то щоб отримати максимальну силу, треба лише перерозподілити заряди. Для отримання найбільшої сили потрібно від q₂ відняти 3нКл і передати q₁. Задача 2.

Електричне коло складається з двох паралельно з’єднаних провідників. При якому співвідношенні між опорами цих провідників опір найбільший, якщо при послідовному з’єднанні опір кола дорівнює 6 Ом?

Розв’язання:

При послідовному з’єднанні: R = R₁+ R₂,

при паралельному_—¹= ¹+ ¹, R = ^R¹^R².

R R1 R2 R1 + R2

Оскільки R₁+ R₂= 6 = const, то R₁R₂ досягає найбільшого значення при R₁= R₂= 3(Ом) і, відповідно,

R¹R²9

R = = =1,5.

R₁+ R₂6

Зауваження: при розв’язуванні двох останніх задач була використана теорема:

Добуток двох додатних множників, сума яких є сталою, має найбільше значення при рівності множників.

Покажемо ще один спосіб розв’язування останньої задачі.

R1R2 R1(6 − R1 )

R = = ,

R₁+ R₂6

R′(R₁) = (6 − 2R₁), 6 − 2R₁= 0, R₁= 3, R₂= 3,

R′′(R₁) < 0

і ми маємо максимум.

Відповідь: при співвідношенні R′′(R₁)< 0 між опорами цих провідників опір найбільший.

Задача 3.

Річка шириною 120м тече зі швидкістю 1,5 ^м. Човняр, який с

може гребти зі швидкістю 2,5 ^м, хоче досягти протилежного берега в с

найкоротший час. Знайдіть цей час і напрям руху човняра відносно берега.

Розв’язання:

Для досягнення поставленої цілі необхідно, щоб результуюча швидкість була направлена перпендикулярно до берегів річки

(найменшій відстані відповідає найменша затрата часу) (мал.1) υ= υч2 −υр2 =

 м² м²м

= 2,5  −1,5  = 2 ,

 с   с  с

t),

tgα= ≈1,33,

1,5 α≈ 53°.

Відповідь: час, за який човняр досягне протилежного берега, становить 60 с, напрям руху човняра відносно берега становить ≈ 53°.

Задача 4.

Між точками А і В рухається по прямій тіло так, що виходячи з точки А з початковою швидкістю υ₀= 0, воно повинно мати в точці В швидкість υ= 0. При цьому тіло може рухатися з сталим за модулем прискоренням і рівномірно. Яким має бути характер руху, щоб час руху був мінімальним?

Розв’язання:

Пройдений шлях може бути зображений у вигляді площі трапеції чи трикутника (мал.2).

SABC1 1 1 = SA AB C1 2 2 = SA A B C1 3 3 3 ,

A1C1 < A1C2 < A1C

або t₁< t₂< t₃.

Відповідь: першу половину часу тіло повинно рухатись рівноприскорено, а другу половину рівносповільнено.

В задачі ми використали деяке твердження, яке доцільно було б довести.

Твердження. Якщо рівність:

1 1 1 1

= + +...+ , а а1 а2 ап

де а > 0, a₁> 0, a₂> 0, ..., a_n> 0, то а < a₁, a < a₂, ...,a < a_n. Доведення:

1 1 a₁− a

− > 0, > 0, a₁> a, a < a₁ і т.д. a a₁aa₁

Дане твердження має велике практичне значення в фізиці, електротехніці і ін. Задача 5.

Електричне коло має деякий опір (значення цього опору може бути відомим або невідомим). Потрібно змінити опір кола так, щоб він став меншим 5 Ом.

Для розв’язання цієї задачі достатньо паралельно підключити провідник з опором R ≤ 5Ом (мал.3).

1 1 1

= + , R < 5. R R_x5

Задача 6.

До конденсатора ємності С_хтреба приєднати інший так, щоб в результаті отримали ємність, меншу 3мкФ.

Розв’язання:

При послідовному з’єднанні конденсаторів:

1 1 1 1

= + +...+ .

С С1 С2 Сп

До конденсатора ємності С_х треба послідовно підключити інший конденсатор ємністю С ≤ 3мкФ.(мал.4).

1 1 1

= + , С < 3. С С_х3

Теорема: якщо a > 0 i b > 0 , то

1 1

a b

Доведення.

2ab 2ab − a ab − b ab −

− ab = = a + b a + b

(Інші нерівності доводяться аналогічно).

ab( a − b)²

≤ 0.

a + b

Задача 7. r r

Доведіть, що коли дві сили F₁ і F₂ прикладені до однієї точки під кутом 90°, то 2 , де F - рівнодійна F₁i F₂.

задачу по-іншому. Доведіть, що в прямокутному трикутнику найбільше значення суми довжин катетів

дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на 2 (мал.5, 6). Доведення.

a + b a²+ b²a²+ b²

≤ = ,

2 2 2 a + b ≤ a²+ b²⋅ 2 = c 2.

Задача 8.

Визначте мінімальну відстань між предметом і його дійсним зображенням в збиральній лінзі з фокусною відстанню F .

Розв’язання.

Перший спосіб розв’язування:

1 1 1

+ = —формула тонкої d f F

лінзи, де d - відстань від предмета до лінзи, f - відстань від лінзи до зображення предмета, F – фокусна

відстань.

d + f 2

≥ = ,

1 1

d f

Найменшій відстані d + f відповідає d = f (мал.7).

З 1 + 1 = 1 знаходимо d f F

1 2

= , F d

d = 2F,

d 2

a = , d − F d + f = 4F.

Другий спосіб:

Нехай d + f = a, f = a − d ,

1 1 1

+ = ,

d a − d F d 2

a = ,

d − F

d ²− ad + aF = 0,

a ± a ²− 4aF d =,

a ²− 4aF ≥ 0, a_min= 4F або (d + f )_min= 4F.

Третій спосіб:

dF dF d ²(d − 2F)²

f = , d + f = + d = = + 4F. d − F d − F d − F d − F

При d = 2F маємо найменшу відстань, що дорівнює 4F. Четвертий спосіб:

d 2

d + f = ; d − F

_(d+ _f₎′(d ) = 2d(d − F) ⁻2 d ²= d ²− 2dF2 _;

(d − F) (d − F)

d ²− 2dF = 0, d = 2F. При d = 2F f = 2F,a d + f = 4F.

Принцип Ферма П’єр Ферма (1601-1665 рр.) в результаті розв’язування багатьох задач проголосив так званий принцип найменшої дії. Згідно цього принципу природа змушує всі явища відбуватися з найменшою затратою енергії, часу і ін. (Принцип Ферма не є універсальним).

Наприклад, світло вибирає із всіх можливих траєкторій, що з’єднують дві точки, ту, яка вимагає найменшого часу.

Якщо застосовувати принцип Ферма до закону заломлення світла—час проходження границі двох середовищ мінімальний при = , де υ₁iυ₂—швидкості поширення

світла в різних середовищах, наприклад в повітрі і воді, α—кут падіння, β—кут заломлення. (мал.8)

Задача 9.

Пішохід повинен пройти з пункту А, що знаходиться на одному тротуарі, в пункт В, що знаходиться на другому тротуарі. Знаючи, що швидкість руху по тротуару в µ раз (µ>1) більша, ніж по бруківці, визначте, під яким кутом φ пішохід повинен перейти вулицю для того, щоб подолати шлях в найкоротший час.

Розв’язання:

υ sin(90° −α) 1 1

= , = cosϕ,ϕ= arccos . µυ sin90° µ µ

Якщо допустити, наприклад, що µ=2,то ϕ= 60°.

Відповідь: для того, щоб подолати шлях в найкоротший час,

пішохід повинен перейти вулицю під кутом ϕ= _arccos¹.

3.РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СЮЖЕТНИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РІВНЯНЬ

Задача 1.

Катер у стоячій воді йде зі швидкістю 20 ^км. Швидкість течії год

річки 2 ^км. Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо рейс год туди й назад катер здійснює за 5 год.

Розв’язання:

Швидкість катера за течією дорівнює 20 + 2 = 22( ^км); год

швидкість катера проти течії дорівнює 20 − 2 =18( ^км). год

Нехай x — відстань між двома пристанями. Тоді, пливучи за течією, катер витрачає ^x годин; а, пливучи проти течії, витрачає

x годин.

Отримаємо:

x x 9x +11x

+ = 5, звідси = 5, 20x = 990,x = 49,5.

22 18 198

Відповідь: відстань між пристанями 49,5 км.

Задача 2.

Катер у стоячій воді проходить 15 ^км,швидкість течії річки год

км

2 . Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо в один бік год

катер проходить її на півгодини швидше, ніж у другий. Розв’язання:

Нехай відстань між двома пристанями х км. Швидкість катера за течією дорівнює: 15 ^км+ 2 ^км=17 ^км, швидкість катера проти год год год

течії — 15 ^км− 2 ^км=13 ^км. Пливучи за течією, катер витрачає

год год год

x x

годин. Пливучи проти течії, катер витрачає годин. Тоді

17 13

отримаємо: ^x= ^x− ¹, звідси

17 13 2

x x 1

− = − ,

17 13 2

,6.

Відповідь: відстань між пристанями дорівнює 27,6км. Задача 3.

Відстань ніж двома станціями потяг може проїхати зі швидкістю

70 км на півгодини швидше, ніж зі швидкістю 60 ^км. Знайдіть цю год год

відстань.

Розв’язання:

Нехай хкм – відстань між двома станціями, тоді зі швидкістю 70 ^км, потяг проходить цю відстань за ^xгодин; а зі год 70

швидкістю 60 ^км– за ^x годин. Отримаємо: ^x+ ¹= ^x, звідси год 60 70 2 60

6x + 210 7x

= , 420 420

6x + 210 = 7x,

x = 210.

Відповідь: відстань між двома станціями рівна 210 км.

Задача 4.

Пасажирський потяг протягом 3 год проходить на 10 км більше,

ніж товарний протягом 4 год. Швидкість товарного потяга на 20 ^км год

менша від швидкості пасажирського. Знайдіть ці швидкості.

Розв’язання:

Нехай швидкість пасажирського потяга дорівнює х км , год

тоді швидкість товарного потяга — (x − 20) ^км. год

Протягом 3 годин пасажирський потяг пройде 3x км.

Протягом 4 годин товарний потяг пройде 4(x − 20) км.

Складемо рівняння, виходячи з умов задачі:

3x − 4(x − 20) =10. Розв'яжемо це рівняння:

3x − 4(x − 20) =10,

3x − 4x +80 =10,

− x = −70, x = 70.

Швидкість пасажирського потяга дорівнює 70 ^км, тоді год

швидкість товарного потяга дорівнює 70 ^км− 20 ^км= 50 ^км.

год год год

Відповідь: швидкість пасажирського потяга дорівнює 70 ^км,

год

швидкість товарного потяга дорівнює 50 ^км. год Задача 5.

Велосипедист їхав 2 год ґрунтовою дорогою і 1 год асфальтованою — всього 28 км. Знайдіть його швидкість на кожній ділянці дороги, якщо асфальтованою дорогою він їхав зі швидкістю

на 4 ^км більшою, ніж ґрунтовою.

год

Розв’язання:

Нехай _х^км — швидкість велосипедиста на асфальтованій год

дорозі; тоді (x − 4) ^км — швидкість велосипедиста на ґрунтовій год

дорозі.

Складемо рівняння, виходячи з умов задачі: x + 2(x − 4) = 28. Розв'яжемо це рівняння:

x + 2(x − 4) = 28;

x + 2x −8 = 28,

3x = 36, x =12.

Відповідь: по асфальтованій дорозі велосипедист їхав зі

швидкістю 12 ^км, по ґрунтовій — 8 ^км. год год

Задача 6.

Від станції до турбази туристи йшли зі швидкістю 4 ^км, а нагод

зад — зі швидкістю 5 ^км, і тому на той самий шлях витратили на год

годину менше. Знайдіть відстань від станції до турбази.

Розв’язання:

Нехай відстань від станції до турбази x км. Тоді, ідучи зі швидкістю 4 ^км, туристи витратили ^x годин, ідучи зі швидкістю год 4

км x

5 - годин. год 5

Отримаємо: ^x−1 = ^x,

4 5

звідси

5x − 20 4x

= ,

20 20

5x − 20 = 4x, x = 20.

Відповідь: відстань від станції до турбази 20 км.

Задача 7.

Відстань між пунктами А і В по залізниці дорівнює 66 км, а по річці 80,5 км. З пункту А поїзд виходить на 4 год пізніше пароплава і прибуває до В на 15 хв раніше. Визначити середню швидкість поїзда,

якщо вона на 30 ^км більша за швидкість пароплава. год

Розв’язання:

Нехай швидкість поїзда дорівнює _х^км, тоді швидкість год

пароплава буде (х −30) ^км. Весь шлях поїзд проходить за ⁶⁶год, а год х

пароплав за ^80,5год. Оскільки поїзд виходить на 4 години пізніше, а х −30

прибуває на 15 хвилин раніше, ніж пароплав, то поїзд був у дорозі на

4год менше пароплава, тобто:

80,5 66 1

− = 4 , х −30 х 4

або

17х²−568х −7920 = 0,

Звідки х₁= −10, а х₂= 44.

Перший корінь умову задачі не задовольняє. Отже, х=44.

Відповідь: середня швидкість поїзда становить 44 ^км. год Задача 8.

Теплохід пройшов відстань між пристанями в одному напрямі за 4 год, а в протилежному — за 5 год. Знайдіть відстань ніж пристанями, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 ^км. год Розв’язання:

Нехай швидкість теплохода в стоячій воді дорівнює _х^км, год

тоді швидкість за течією дорівнює (x + 2) ^км, а швидкість проти

год

течії дорівнює (x − 2) ^км. Відстань між пристанями — 4(x + 2) або год 5(x − 2).

Отримаємо: 4(x + 2) = 5(x − 2), звідси:

4x +8 = 5x −10, 5x − 4x = 8+10, x =18.

Швидкість теплохода в стоячій воді — 18 ^км, тоді відстань год

між пристанями дорівнює: 4⋅(18+ 2) = 4⋅20 = 80(км).

Відповідь: відстань між пристанями дорівнює 80 км. Задача 9.

Вертоліт пролетів відстань між двома містами при попутному вітрі за 5,5 год, а при зустрічному — за 6 год. Знайдіть відстань між містами і власну швидкість вертольота, якщо швидкість вітру

дорівнювала 10 ^км. год

Розв’язання:

Нехай власна швидкість вертольота —_x^км, тоді швидкість год

при попутному вітрі дорівнює (x +10) ^км, а швидкість проти вітру год

дорівнює (x −10) ^км. год

Відстань між містами дорівнює: 5,5(x +10) км або 6(x −10) км. Отримаємо: 5,5(x +10) = 6(x −10).

Звідси:

5,5x + 55 = 6x − 60;

0,5x =115, x = 230.

Швидкість вертольота дорівнює 230 ^км, тоді відстань між год

містами дорівнює: 6⋅(230 −10) =1320(_км).

Відповідь: відстань між містами становить 1320 км; власна швидкість вертольота становить230 ^км. год

Задача 10.

Швидкість моторного човна за течією 23 ^км, а проти течії

год

км

17 . Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії.

год

Розв’язання:

Нехай _х^км – власна швидкість моторного човна, а _у^км – год год

швидкість течії річки, тоді х + у = 23 і х − у =17. Отримали систему рівнянь:

x + y = 23, 

x − y =17;

2x = 40,x = 20 y = 23− 20, y = 3.

Відповідь: власна швидкість моторного човна дорівнює 20 ^км, год

швидкість течії річки – 3 ^км. год

Задача 11.

Туристи проїхали 640 км, з них 7 год потягом і 4 год автобусом.

Знайдіть швидкість потяга, якщо вона на 5 ^км більша від швидкості год

автобуса.

Розв’язання:

Нехай швидкість автобуса _х^км, а швидкість потяга — _у^км.

год год

Відомо, що х + 5 = у. Потягом туристи проїхали 7у км, автобусом —

4х км, всього вони проїхали 640 км, отже, 4х + 7у = 640. Розв'яжемо систему рівнянь:

х + 5 = у, 

4х + 7у = 640;

4х + 7(х + 5) = 640,

4х + 7х + 35 = 640,

11х = 605, х = 55, у = 55 + 5, у = 60.

Відповідь: швидкість потяга дорівнює 60 ^км. год Задача 12.

Два туристи вийшли одночасно з двох міст, відстань між якими

38км, і зустрілись через 4 год. З якою швидкістю йшов кожний, якщо перший до зустрічі пройшов на 2 км більше, ніж другий? Розв’язання:

Нехай швидкість одного туриста _x^км, а другого — _у^км. За год год

чотири години вони пройшли відповідно 4х км і 4у км кожний. Разом вони пройшли 4х + 4у = 38(_км). Оскільки перший турист пройшов на 2 км більше, ніж другий, можемо записати:

4х − 4у = 2(км).

Отримали систему рівнянь:

4х + 4у = 38, 

4х − 4у = 2;

8х = 40,х = 5,

20 − 4у = 2,−4у = −18, у = 4,5.

Відповідь: швидкість першого туриста 5 ^км, швидкість другого год

туриста –4,5 ^км. год

Задача 13.

Відстань 160 км легковий автомобіль проходить на 2 години швидше, ніж автобус. Знайдіть їх швидкості, якщо вони відносяться, як 2:1.

Нехай легковий автомобіль проходить 160 км за x годин, тоді автобус проходить цю відстань за (x + 2) годин. Отже, швидкість

автомобіля дорівнює 160 км , а автобуса 160 км .

х год x + 2 год

Отримаємо рівняння:

160 160

: = 2 :1. х х + 2

160 160

: = 2; х х + 2

160(х + 2)

= 2;

х⋅160 х + 2

= 2; х

х + 2 − 2х = 0;

− х + 2 = 0;х = 2.

Дане значення х є коренем рівняння, оскільки знаменник при цьому не дорівнює 0.

Автомобіль проходить 160 км за 2 години, тоді автобус за 4

години. Отже, швидкість автомобіля дорівнює 160: 2 = 80 ^км^, а год

швидкість автобуса дорівнює 160: 4 = 40 ^км^.

год

Відповідь: швидкість автомобіля становить 80 ^км; швидкість год

автобуса становить 40 ^км. год

Задача 14.

Теплохід пройшов за течією річки 48 км і стільки ж проти течії і затратив на весь шлях 5 год. Знайдіть власну швидкість теплохода,

якщо швидкість течії річки 4 ^км.

год

власна швидкість теплохода дорівнює _x^км, тоді год

швидкість за течією дорівнює (х + 4) ^км. На шлях за течією теплохід год

затратив ⁴⁸ годин, на шлях проти течії – ⁴⁸ годин, а всього х + 4 х − 4

затратив 5 годин. Отримуємо рівняння:

48 48

+ = 5; х + 4 х − 4 х ≠ 4, х ≠ −4.

48(х − 4)+ 48(х + 4)−5(х²−16)

₂= 0; х −16

−5х²+ 96х +80 = 0;

5х²−96х −80 = 0; D = 2304 + 400 = 2704;

х;

Очевидно, що від’ємне значення кореня не задовольняє умову

задачі. Отже, власна швидкість теплохода дорівнює 20 ^км. год

Відповідь: власна швидкість теплохода становить 20 ^км. год

Задача 15.

Човен пройшов проти течії 22,5 км і за течією 28,5 км, затративши на весь шлях 8 годин. Швидкість течії річки км

2,5 .Знайдіть власну швидкість човна.

год

власна швидкість човна дорівнює _x^км. Тоді швидкість год

за течією складає (х + 2,5) ^км, а швидкість проти течії дорівнює год

(х − 2,5) ^км. На дорогу проти течії човен затратив ^22,5 годин, а на год х − 2,5

дорогу за течією – ^28,5 годин. Всього він витратив 8 годин на весь х + 2,5

шлях. Отримуємо рівняння:

28,5 22,5

+ = 8;

х + 2,5 х − 2,5

28,5(х − 2,5)+ 22,5(х + 2,5)−8(х ²− 6,25)= 0;

28,5х − 71,25+ 22,5х + 56,25−8х ²+ 50 = 0;

−8х ²+ 51х + 35 = 0;

8х²−51х −35 = 0. D = 2601+1120 = 3721;

х1,2 = ;

51+ 61

х₁= = 7;

10 5

х₂== − = − .

16 8

Очевидно, що від’ємне значення кореня не задовольняє умову

задачі. Отже, власна швидкість човна дорівнює 7 ^км. год

Відповідь: власна швидкість човна становить 7 ^км. год

Задача 16.

Електропотяг затримався в дорозі на 4 хв і ліквідував запізнення

на перегоні в 20 км, пройшовши зі швидкістю на 10 ^км більшою, ніж год

за розкладом. З якою швидкістю йшов потяг на цьому перегоні? швидкість електропотяга за розкладом дорівнює _x^км, год

тоді перегін в 20 км він проїхав би за ²⁰ годин, але він їхав на цьому х

перегоні зі швидкістю (х +10) ^км і проїхав його на 4 хвилини год

швидше. Оскільки 4 хвилини складають години, маємо рівняння:

20 20 1

− = ; х х +10 15

20 20 1

− − = 0; х х +10 15

300х + 3000 −300х − х²−10х = 0;

− х²−10х + 3000 = 0; х²+10х −3000 = 0; х = −60 або х = 50.

Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, тому швидкість електропотяга за розкладом дорівнює 50 ^км, а швидкість год

на перегоні дорівнює 60 ^км. год

Відповідь: потяг на перегоні їхав з швидкістю 60 ^км. год

Задача 17.

З пункту А відправили за течією річки пліт. Через 5 год 20 хв з пункту А слідом за плотом вийшов моторний човен, який наздогнав пліт, пройшовши 20 км. Знайдіть швидкість течії річки, знаючи, що човен проходив щогодини на 12 км більше, ніж пліт.

Позначимо швидкість течії ріки через _x^км. Очевидно, що пліт год

рухався зі швидкістю _x^км. Оскільки моторний човен проходив за год

годину на 12 км більше, можна сказати, що його швидкість була

(х +12) ^км. Тоді 20 км він пройшов за ²⁰ годин. Пліт знаходився год х +12

в дорозі на 5 год 20 хв довше і проплив ті ж 20 км, тобто

20 20 1 1

− = 5 (тут ми врахували, що 20 хв складають години). x x +12 3 3

Розв’яжемо це рівняння:

20 20 16

− = ; х х +12 3

20 20 16

− − = 0; х х +12 3

= 0;

60х + 720 − 60х −16х²−192 = 0; −16х²−192х + 720 = 0; х²+12х − 45 = 0, х = −15 або х = 3.

Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі. Отже,

швидкість течії ріки дорівнює 3 ^км. год

Відповідь: швидкість течії річки становить 3 ^км. год

Задача 18.

На середині шляху між А і В потяг затримали на 10 хв. Щоб прибути в В за розкладом, довелось початкову швидкість потяга збільшити на 12 ^км. Знайдіть початкову швидкість потяга, якщо год

відстань між А і В дорівнює 120 км.

Позначимо початкову швидкість потяга через _x^км. Оскільки год

відстань від А до В дорівнює 120 км, половина цієї відстані дорівнює 60 км. Якщо б потяг ішов з початковою швидкістю, то він пройшов би цю відстань за ⁶⁰ годин. Він же пройшов цю відстань зі x

швидкістю (x +12) ^км і пройшов її на 10 хв або на ¹ години год 6

швидше. Отримуємо рівняння:

60 60 1

− = ; х х +12 6

60 60 1

− − = 0; х х +12 6

360(х +12)−360х − х(х +12)

= 0;

6(х +12)х

360х + 4320 −360х − х²−12х = 0; − х²−12х + 4320 = 0; х²+12х − 4320 = 0, х = −72 або х = 60.

Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі.

Початкова швидкість потяга60 ^км. год

Відповідь: початкова швидкість потягу становить 60 ^км. год

Задача 19.

Теплохід пройшов униз річкою 150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 год. Знайдіть швидкість течії річки,

якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55 ^км. год Розв’язання:

Позначимо швидкість течії річки через _х^км. Тоді теплохід за год

течією йшов зі швидкістю (55+ _х) ^км, а проти течії зі швидкістю

год

(55− _х) ^км. Йдучи за течією він затратив ¹⁵⁰ годин, проти течії – год 55+ х

150

годин, а всього затратив 5,5 годин. Складемо рівняння:

55− х

150 150

+ = 5,5;

55 + х 55 − х

150 150

+ − 5,5 = 0;

55 + х 55 − х

150(55 − х) + 150(55 + х) − 5,5(3025 − х ²)

= 0;

3025 − х ²

8250 − 150х + 8250 − 150х − 16637,5 + 5,5х ²= 0;

5,5х ²− 137,5 = 0;

5,5х²=137,5;

х²= 25; х = ±5.

Від’ємне значення кореня не

Швидкість течії річки дорівнює 5 ^км. год

задовольняє

умову

задачі.

Відповідь: швидкість течії річки становить 5 ^км. год

Задача 20.

Турист проплив моторним човном вгору річкою 25 км, а назад спустився плотом. Човном він плив на 10 год менше, ніж плотом. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна в стоячій

воді 12 ^км.

год

Розв’язання:

Нехай швидкість течії річки дорівнює _x^км. Угору по річці год

моторний човен плив зі швидкістю (12− _х) ^км, пліт плив зі год

швидкістю, що дорівнює швидкості течії річки, тобто _x^км. На

год

моторному човні турист подолав 25 км за ²⁵ годин, пливучи

12 − x

плотом, він подолав ту ж відстань за час, що на 10 годин більше часу плавання човном. Отримуємо рівняння:

25 25

− =10; x 12− x 25 25

− −10 = 0; x 12− x

25(12− x)− 25x −10(12− x)x

= 0;

x(12− x)

300− 25x − 25x −120x +10x²= 0; 10x²−170x +300 = 0; x²−17x +30 = 0;

D = 289−120 =169;

17 ± 169

x_1.2=;

x₁= =15;x₂= = 2.

Корінь x₁=15 нам не підходить, тому що швидкість течії річки не може бути більшою швидкості моторного човна. Отже, швидкість

течії річки дорівнює 2 ^км. год

Відповідь: швидкість течії річки становить 2 ^км. год

Задача 21.

Велосипедист проїхав 96 км на 1,6 години швидше, ніж передбачав. При цьому за кожну годину він проїжджав на 2 км більше, ніж розраховував проїжджати. З якою швидкістю він їхав? Розв’язання:

Позначимо швидкість велосипедиста через _x^км, тоді год

швидкість, з якою передбачав їхати велосипедист, дорівнює

(х − 2) ^км. Відстань год

96 км він проїхав за ⁹⁶ годин і це швидше, ніж передбачалось, х

на 1,6 години, тобто:

96 96

− =1,6;

х − 2 х

96 96

− −1,6 = 0; х − 2 х

96х −96(х − 2)−1,6(х − 2)

= 0;

х(х − 2)

96х −96х +192 −1,6х²+ 3,2х = 0; −1,6х²+ 3,2х +192 = 0; х²− 2х −120 = 0; х = −10 або х =12.

Від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі.

Швидкість велосипедиста дорівнює 12 ^км. год

Відповідь: велосипедист їхав з швидкістю 12 ^км. год

Задача 22.

З А до В, відстань між якими 350 км, вийшов автобус. Якби він

зменшив швидкість на 5 ^км, то в дорозі був би на 1² год довше. год 3

Скільки годин їде автобус від А до В?

Розв’язання:

Нехай швидкість автобуса дорівнює _x^км, тоді відстань від А до год

В він проїжджає за ³⁵⁰ годин. Якщо він зменшить швидкість на 5 км, х

то його швидкість буде (х −5) ^км.Тоді відстань від А до В він пройде год

за ³⁵⁰ годин, і це буде на 1² години довше. х −5 3

Складемо рівняння:

350 350 2

− =1 ; х −5 х 3

350 350 5

− − = 0; х −5 х 3

1050х −1050х + 5250 −5х²+ 25х = 0;

−5х²+ 25х + 5250 = 0; х²−5х −1050 = 0; х = −30 або х = 35.

Оскільки від'ємне значення кореня не задовольняє умову задачі,

то швидкість автобуса дорівнює 35 ^км, тоді відстань від А до В він год

пройде за =10 (годин).

Відповідь: автобус від А до В їде 10 годин.

Задача 23.

Мотоцикліст їхав з одного міста в друге 4 год. Повертаючись назад, він перші 100 км їхав з тією самою швидкістю, а потім

зменшив її на 10 ^км і тому на зворотний шлях витратив на 30 хв год

більше. Знайдіть відстань між містами.

Розв’язання:

Нехай відстань між містами дорівнює x км. Тоді початкова

швидкість мотоцикліста дорівнює ^{x км}. Перші 100 км він проїхав за

4 год

годин. Після цього йому залишилось проїхати

Швидкість його при цьому була  ^x−₁₀^ ^кмабо^х⁻^{40 км}_,

 4 год 4 год

отже, решту шляху він подолав за (х −100): ^х⁻⁴⁰= ⁴⁽^х⁻¹⁰⁰⁾годин.

4 х − 40

Оскільки на зворотний шлях він витратив на 30 хвилин більше, можемо твердити, що він здолав зворотний шлях за 4,5 години.

(30 хвилин = 0,5 години). Складемо рівняння:

400 4(х −100)

+ = 4,5; х х − 40

400 4(х −100)

+ − 4,5 = 0; х х − 40

400(х − 40)+ х(4х − 400)− 4,5(х − 40⁾

= 0;

х(х − 40)

− 0,5х²+180х −16000 = 0; х²−360х + 32000 = 0, х = 200 або х =160.

Обидва корені не задовольняють умову задачі. Отже, відстань між містами дорівнює або 160 км, або 200 км.

Відповідь: відстань між містами становить 160 км або 200 км.

Задача 24.

Рибалка вирушив на човні з пункту А проти течії річки. Пропливши 6 км, він кинув весла, і через 4,5 год після виходу з А течія знову віднесла його до пункту А. Знайдіть швидкість течії річки,

якщо швидкість човна в стоячій воді 90 ^м. хв

Розв’язання:

Нехай швидкість течії ріки дорівнює _х^км, тоді відстань 6 км

год

рибалка проплив до пункту А без весел за ⁶ годин. Швидкість човна х

проти течії (враховуючи, що 90 ^м= 5,4 ^км) дорівнює (5,4 − х) ^км. хв год год

Отже, відстань 6 км від пункту А проти течії рибалка проплив за

6 годин. Всього пройшло 4,5 години після його виходу з пункту 5,4− х

А. Тоді:

6 6

+ = 4,5;

5,4− х х

6 6

+ − 4,5 = 0;

5,4− х х

6х + 6(5,4− х) − 4,5х(5,4− х)

= 0;

х(5,4 − х)

6х +32,4−6х − 24,3х + 4,5х²= 0;

4,5х²− 24,3х +32,4 = 0; D = 590,49 −583,2 = 7,29;

х1,2 = ;

х₁= = 3;х₂= = 2,4.

Обидва корені задовольняють умову задачі. Отже, швидкість

течії ріки могла бути або 3 ^км,або 2,4 ^км. Якщо швидкість ріки год год

дорівнювала 3 ^км, то рибалка плив проти течії ⁶= 2,5 години, а за год 2,4

течією його знесло за = 2 години, всього 4,5 годин. Якщо швидкість

течії ріки дорівнювала 2,4 ^км, то рибалка плив проти течії год

= 2години, а за течією його знесло за = 2,5 години,

всього 4,5 годин.

Відповідь: швидкість течії річки або 3 ^км, або 2,4 ^км.

год год

Задача 25.

Відстань між пристанями А і В теплохід проходить за течією за 5 год, а проти течії за 6 год. За скільки годин пропливе цю відстань за течією пліт?

Розв’язання:

Нехай власна швидкість теплохода дорівнює _x^км,а швидкість год

течії ріки — _у^км;тоді за течією швидкість теплохода становить год

(х + у) ^км, а проти течії — (х − у) ^км. Знайдемо, на скільки швидше год год

теплохід пройде за течією, ніж проти течії, тобто знайдемо різницю його швидкостей: (х + у) −(х − у) = х + у − х + у = 2у.

Як бачимо, різниця швидкостей теплохода за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Використаємо це при розв'язуванні задачі. Позначимо відстань між пристанями А і В через

S,тоді швидкість теплохода за течією дорівнює ^{S км}, а проти течії

5 год

становитиме ^{S км}. Пліт пливе зі швидкістю, що дорівнює швидкості

6 год

течії ріки. Нехай він подолає цю відстань за tгодин, тоді його

швидкість (а отже, і швидкість течії ріки) дорівнює ^S. Як було t

показано вище, різниця швидкостей теплохода за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Отже, можемо записати:

S S 2S

− = ;

5 6 t

1 1 2

− = ;

5 6 t 1 1 2

− − = 0;

5 6 t

6t −5t −60

= 0;

30t

6t −5t −60 = 0; t −60 = 0;t = 60.

Пліт подолає цю відстань за 60 годин.

Відповідь: пліт пропливе відстань за течією за 60 годин.

Задача 26.

Катер пройшов за течією 90 км за певний час. За той самий час він пройшов би проти течії 70 км. Яку відстань за цей час пропливе пліт?

Розв’язання:

Позначимо час через tгодин. Тоді швидкість катера за течією дорівнює^{90 км}, а швидкість катера проти течії дорівнює^{70 км}. t год t год

Нехай швидкість течії ріки дорівнює _х^км. Відомо, що різниця год

швидкостей катера за течією і проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії ріки. Пліт рухається зі швидкістю, що дорівнює швидкості течії ріки. Запишемо:

90 70

− = 2x;

t t

45 35

− = x; t t

45−35 = xt; xt =10.

Але x⋅t–це відстань, яку пройде пліт за час t. Отже, пліт за час t пройде 10 км.

Відповідь: пліт за час t пройде відстань в 10 км.

Задача 27.

Круговою доріжкою завдовжки 2 км рухаються в одному напрямі два ковзанярі, які сходяться через кожні 20 хв (див. малюнок). Знайдіть швидкість кожного ковзаняра, якщо перший з них пробігає коло на 1 хв швидше, ніж другий.

Розв’язання:

Нехай перший ковзаняр пробігає коло довжиною 2км за xхвилин, тоді швидкість його буде дорівнювати 2 км або 2⋅60 км . x хв х год

Другий ковзаняр пробігає коло довжиною 2 км на 1 хвилину швидше, тобто за (х −1)хв. Отже, його швидкість

дорівнює^{2 км}або²^⋅^{60 км}_. За двадцять хвилин другий ковзаняр х −1 хв х год

пробігає шлях, більший на одну довжину кола, тобто на 2 км, ніж перший ковзаняр. Запишемо:

2 2

⋅20+ 2 = ⋅20; х х −1

40 40

+ 2 = ; х х −1

40+ 2х 40

− = 0; х х −1

(40 + 2х)(х −1) − 40х = 0;

40х + 2х²− 2х − 40− 40х = 0; 2х²− 2х − 40 = 0; х²− х − 20 = 0; D =1+80 = 81;

x1.2 ;

Умову задачі задовольняє тільки додатне значення кореня, тому x = = 5. Перший ковзаняр пробігає 2 км за 5 хвилин, отже, його

швидкість дорівнює: Другий пробігає 2 км за 4

хвилини, отже, його швидкість дорівнює: ²^⋅⁶⁰= 30^ ^км.^

4 год 

Відповідь: швидкість першого ковзаняра становить 24 км , а год

швидкість другого становить 30 ^км. год Задача 28.

Туристи мають повернутись на базу не пізніше, як через 3 години. На яку відстань вони можуть відплисти за течією річки на

моторному човні, якщо його власна швидкість 18 ^км, а швидкість год

течії річки 4 ^км?

год

Розв’язання:

Швидкість човна за течією дорівнює 18+ 4 = 22 ^км^. год

Швидкість човна проти течії дорівнює 18− 4 =14 ^км^. Нехай

год

відстань, на яку можуть відплисти туристи, дорівнює х, тоді час,

який вони витратять, пливучи за течією, дорівнює: ^х(_год); а час,

який вони витратять, повертаючись назад, дорівнює ^хгод. Загальний

час не повинен перевищувати 3 години. Отримаємо:

х х

+ ≤ 3;

22 14

11х + 7х

≤ 3;

154

18х ≤ 462;

х ; х .

Відповідь: туристи можуть відплисти на відстань ≈25 км.

Задача 29.

При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо камінець досяг її дна через 8 с після початку падіння.

Розв’язання:

За першу секунду тіло проходить 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Час падіння дорівнює 8 с. Отримаємо арифметичну прогресію, в якій: a₁= 4,9м, d = 9,8м, n = 8. Знайдемо, скільки метрів тіло пролетить за останню секунду:a₈= 4,9 + 7⋅9,8 = 73,5. Глибина шахти дорівнюватиме сумі всіх відстаней, які тіло пролетіло за кожну секунду, а це чисельно дорівнює сумі 8 перших членів арифметичної прогресії:

Відповідь: глибина шахти дорівнює ≈ 314 м.

Задача 30.

Скільки секунд падала б гайка з висоти 490 м?

Розв’язання:

Із фізики відомо, що при вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше (при умові, що початкова швидкість дорівнює нулю). Отримаємо арифметичну прогресію, в якій a₁= 4,9м; d = 9,8м і S_n= 490м (оскільки всього гайка пролетіла 490 м). Нам необхідно знайти, скільки секунд падала гайка, що відповідає числу членів даної арифметичної прогресії n. Нам невідомо, скільки метрів пролетіла б гайка за останню секунду, тобто, нам невідомо, чому дорівнює a_n. Тому складаємо систему рівнянь:

 a₁+ a_nS_n= ⋅n;

 2

a_n= a₁+ (n −1)d;

 4,9 + a_n

490 = ⋅n;

 2

a_n= 4,9 + (n −1)⋅9,8;

9,8n ²= 980; n ²=100; n_1,2= ±10.

Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, таким чином, n =10.

Відповідь: з висоти 490 м гайка падала б 10 с.

Задача 31.

Катер за 4 год пройшов 24 км за течією річки і 20 км проти течії. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість катера

дорівнює 12 ^км. год

Розв’язання:

Позначимо швидкість течії через х. Швидкість катера за течією дорівнює (12+ _х) ^км, швидкість катера проти течії дорівнює

год

(12− _х) ^км. 24 км за течією катер пройшов за ²⁴годин. 20 км год 12+ x проти течії катер пройшов за ²⁰ годин. Отримаємо рівняння:

12 − x

24 20

+ = 4;

12 + x 12 − x

6 5

+ −1= 0;

12 + x 12 − x

6(12− x) +5(12+ x) −(144− x²) = 0; 72−6x + 60+5x −144+ x²= 0; x²− x −12 = 0; D =1+ 48 = 49;

1± 49 x_1.2=;

Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі. Таким

чином, x = = 4.

Відповідь: швидкість течії річки дорівнює 4 ^км. год

Задача 32.

З порту одночасно вийшли два теплоходи: один на південь, другий на захід. Через дві години відстань між ними становила 60 км.

Знайдіть швидкості теплоходів, якщо різниця цих швидкостей 6 ^км. год Розв’язання:

Нехай _x^км—швидкість год

першого теплохода, тоді швидкість

другого теплохода — (х + 6) ^км. год

Напрямки руху теплоходів перпендикулярні між собою. За 2 години перший теплохід пройшов відстань 2хкм, а другий —

2(х + 6)км. За теоремою Піфагора запишемо:

4x²+ 4(x + 6)²= 60²;

4x²+ 4(x²+12x +36) = 3600;

x²+ x²+12x +36 = 900;

2x²+12x −864 = 0; x²+ 6x − 432 = 0;

D = 36+1728 =1764;

−6 ± 1764

x_1.2=;

від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, тоді

x = = =18. Швидкість першого теплохода дорівнює

18 км , тоді швидкість другого теплохода дорівнює 24 ^км. год год

Відповідь: швидкість першого теплохода становить 18 ^км, а год

швидкість другого теплохода становить 24 ^км. год

Задача 33.

З пункту А одночасно і в одному напрямі виїхали два

велосипедисти; швидкість першого 24 ^км, а другого — 18 ^км. Через год год

годину з А виїхав автомобіль, який наздогнав спочатку другого велосипедиста, а через 10 хв і першого. Знайдіть швидкість автомобіля.

Розв’язання:

Нехай швидкість автомобіля дорівнює _х^км. Через час, що год

дорівнює t годин, він наздогнав першого велосипедиста, пройшовши при цьому відстань xt км. Перший велосипедист на цей час подолав відстань, яка дорівнює (18+18_t)км. Тоді xt =18+18t.

Через ¹ години ^10хв = ¹год^ автомобіль наздогнав другого

6  6 

велосипедиста, пройшовши при цьому відстань xt + ¹^км.

 6

Другий велосипедист за той самий час проїхав відстань, яка

дорівнює 24 + 24t + ¹^^км. Тоді х^t + ¹^ = 24 + 24^t + ¹^.

  6  6  6

Складаємо систему рівнянь:

хt =18+18t; 

  1  1 xt + ₆ = 24 + 24t + ₆;



 18

x = _t+18;



18t +18t + 16 = 24 + 24t + 4;

18+ +18t + 3 = 24 + 24t + 4;

+18t − 24t = 7;

3− 6t ²− 7t = 0;

6t ²+ 7t −3 = 0;

D = 49 + 72 =121;

− 7 ± 121

t1,2 =

Від’ємне значення кореня не задовольняє умову задачі, тоді

− 7 +11 4 1

t == = . Автомобіль наздогнав першого велосипедиста

12 3

через години. Підставимо це значення t в перше рівняння:

x =18+ 6;

x = 24;

x = 72.

Відповідь: швидкість автомобіля дорівнює 72 ^км.

год

Задача 34.

Виміряти питому теплоту плавлення льоду, використовуючи той факт, що швидкість теплообміну води, взятої при 0 °С, і льоду, взятого при 0°С, з повітрям однакова.

Розв’язання: τ1 θ1

= ,

τ2 θ2

де τ₁– час нагрівання, τ₂ - час плавлення льоду, взятого при

0°С.

θ₁= cm₁(t₂−t₁),θ₂=λm₂,

звідси маємо:

c(t2 −t1)τ2 λ= .

τ₁

c(t²−t¹)τ²

Відповідь: питома теплота плавлення льоду: λ= . τ₁Задача 35.

Виміряти питому теплоту плавлення льоду, використовуючи рівняння теплового балансу для випадку змішування води і льоду, температура яких різна в різних агрегатних станах. Розв’язання:

θ1 =θ2 +θ3,

θ₁= cm₁∆t₁ – кількість теплоти, необхідна для плавлення льоду; θ₂=λm₂ – кількість теплоти, необхідна для плавлення льоду; θ₃= cm₂∆t₂ – кількість теплоти, необхідна для нагрівання води, отриманої із льоду;

cm₁∆t₁=λm₂+ cm₂∆t₂, c(m1∆t1 − m2∆t2 ) λ= .

m₂

Відповідь: питома теплота плавлення льоду рівна: c(m1∆t1 − m2∆t2) λ= .

m₂

Задача 36.

Міста A,B,C,D, розміщені так, що чотирикутник ABCD – опуклий, з’єднані прямолінійними доріжками AB, BC, CD, AD і AC. Їх довжини відповідно рівні 6, 14, 5, 15 і 15 км. Із одного із цих міст одночасно вийшли три туристи, які йшли без зупинок з постійною швидкістю. Маршрути всіх туристів різні, причому кожен з них складається з трьох доріг і проходить через всі міста. Перший і другий туристи перед проходженням третіх доріг своїх маршрутів зустрілися в одному місті, а третій закінчив маршрут на годину раніше туриста, який закінчив маршрут останнім. Знайдіть швидкості туристів, якщо швидкість третього більша швидкості другого і на

1 км

менша швидкості першого, причому швидкості всіх туристів

2 год знаходяться в інтервалі від 5 ^км до 8 ^км.

год год

Розв’язання:

Позначимо швидкості туристів

через υ₁^км,υ₂^км,υ₃^км відповідно їх год год год

номерам. Тоді

1) Зауважимо спочатку, що якщо у якихось туристів співпадають перші два відрізки шляху, то повинні повністю співпадати їх маршрути. За умовою кожен маршрут складається із трьох відрізків і проходить через всі чотири міста. За умовою всі маршрути різні. Значить, можна зробити висновок, що у двох будь-яких туристів шляхи відрізняються уже після проходження перших двох доріг.

2) Якщо туристи вийшли із міста А, то хто-небудь з них повинен йти по діагоналі АС, але тоді він не зможе пройти через всі чотири міста (його маршрут складається тільки з трьох відрізків). Тобто, туристи не могли вийти з міста А. З аналогічних причин не могли вони вийти із міста С. Тобто, туристи вийшли з міста В чи з міста D.

3) За умовою перший і другий туристи зустрілись перед проходженням третіх доріг, тому перший і другий туристи вийшли по різних дорогах і зустрілись в протилежній вершині чотирикутника. Оскільки υ₁>υ₂, то довжина шляху першого туриста до зустрічі з другим рівна AB + AD = 21, а довжина шляху другого до тієї ж зустрічі рівна BC + CD =19. Отримаємо рівняння:²¹= ¹⁹.

υ1 υ2

4) Другий відрізок шляху третього туриста співпадає з АС, а довжина всього шляху рівна або

BC + CA + AD = 44, чи

AB + AC + CD = 26.

В першому випадку шлях третього туриста найдовший. Оскільки υ₁>υ₃, то перший турист прийшов раніше третього. Довжина шляху другого туриста не перевищує 34 км, значить, час його руху не більше , а час третього рівний . Маємо

В першому випадку третій турист повинен прийти в кінцевий пункт останнім, але це суперечить умові задачі. Тобто, довжина шляху третього туриста рівна не 44 км, а 26 км.

5) Нехай туристи вийшли із міста В. Тоді шлях першого – BADC, шлях другого – BCDA, шлях третього – BACD. Довжини шляхів рівні відповідно 26 км, 34 км, 26 км, а час, затрачений на всю дорогу,

рівний год. Із п.3) випливає, що перший турист

закінчив маршрут раніше, ніж другий ^__υ²⁶1 <_υ³⁴2 ^_. Використовуючи

умову, знаходимо =1+; оскільки υ₃≤ 8, то , чи

υ₃≤υ₂, що суперечить умові.

Отже, туристи вийшли з міста D, шлях першого – DABC, другого – DCBA, третього – DCAB. Довжини шляхів рівні відповідно 35 км, 25 км, 26 км, а час на всю дорогу рівний

год.

^{35 25}

υ υ 

Отримаємо систему рівнянь:

35 26

υ1 =1+υ3 ,



υ1 −υ3 = 1,

 2

звідки 35 =1₊26 , чи υ2 ₋19υ ₊35 = 0.

Корені

цього

Із п.3) слідує, що останнім прийшов перший турист _> _.

υ1 υ1 − ₁2 ₁2

рівняння рівні 7 і . За умовою, швидкості розміщені в проміжку від

5 до 8 кілометрів, значить, другий корінь не підходить. Тобто, υ₁= 7,

Легко перевірити, що знайдені значення швидкостей задовольняють всім умовам задачі.

Відповідь: швидкість першого туриста становить 7 ^км, год

швидкість другого туриста становить 6^{1 км}, швидкість третього

3 год

туриста становить 6^{1 км}. 2 год

Задача 37.

Із пункту А в пункт В доставлена пошта. Спочатку її віз мотоцикліст; проїхавши відстані від пункту А до пункту В, передав пошту велосипедисту, який на нього чекав і який доставив її в пункт В (час, який потрібний був на передачу пошти, вважається рівним нулю). При цьому пошта була доставлена із пункту А в пункт В за проміжок часу, необхідний, щоб проїхати від пункту А до пункту В з швидкістю 40 ^км. Відомо, що якби мотоцикліст і велосипедист год

виїхали із пунктів А і В одночасно назустріч один одному, то вони зустрілися б через проміжок часу, який необхідний для проїзду від

пункту А до пункту В з швидкістю 100 ^км. Знайдіть швидкість год

мотоцикліста, враховуючи, що вона більша швидкості велосипедиста. Розв’язання:

Позначимо через S км відстань між пунктами А і В; нехай _x^км год

– швидкість мотоцикліста, а _у^км – швидкість велосипедиста. год

Нехай ²S км мотоцикліст проїхав за ²_⋅^S годин, а шлях ¹S км

3 3 x 3

велосипедист проїхав за ¹_⋅^S годин. Пошта із А в В була доставлена

3 y

за _²⋅ ^S+ ¹⋅ ^S^_ годин, і цей час за умовою задачі повинен

 3 x 3 y

дорівнювати ^S годин. Тому маємо перше рівняння

2 S 1 S S ⋅ + ⋅ = .

3 x 3 y 40

Якби мотоцикліст і велосипедист виїхали назустріч один

одному, то вони зустрілися б через ^S годин, і цей час за умовою x + y

задачі повинен дорівнювати ^S годин. Тому маємо друге рівняння

100

S S

= . x + y 100

Для знаходження х і у отримали після ділення правої і лівої частини кожного рівняння на S (S ≠ 0) систему

2 1 1 1 1

3 ⋅ x + 3⋅ y = 40, 

 1 = 1 _.

x + y 100

Із другого рівняння y =100− x. Підставляючи 100− x замість y в перше рівняння системи, отримаємо рівняння:

2 1 1

+ = ,

3x 3(100− x) 40

яке має корені x₁= 80,x₂= . Але тоді y₁= 20 і y₂= .

Легко побачити, що знайдені пари чисел

x₁= 80,

y₁= 20,

x₂= ,

y₂= .

є розв’язками системи рівнянь.

Оскільки за умовою задачі швидкість мотоцикліста більша швидкості велосипедиста, то умову задачі задовольняє лише один розв’язок системи, тобто: x_.1= 80, y₁= 20. Отже, швидкість

мотоцикліста рівна 80 ^км. год

Відповідь: швидкість мотоцикліста становить 80 ^км. год

Задача 38.

Із пункту А в пункт В виїхав вантажний автомобіль. Через одну годину із пункту А в пункт В виїхав легковий автомобіль, який прибув в пункт В одночасно з вантажним автомобілем. Якби вантажний і легковий автомобілі одночасно виїхали з пунктів А і В назустріч один одному, то вони б зустрілися через 1 годину 12 хвилин після виїзду. Скільки часу провів у дорозі від А до В вантажний автомобіль?

Розв’язання:

Позначимо через _x^км швидкість вантажного автомобіля, а год

через S км – відстань між пунктами А і В. Відстань від А до В вантажний автомобіль проїхав за ^S годин, а легковий автомобіль – за x

S 

 −1 годин. Тобто, швидкість легкового автомобіля рівна

 x 

S км

. Якби автомобілі одночасно виїхали із пунктів А і В S −1 год x

назустріч один одному, то із умови, що вони зустрінуться через 1

години, отримаємо рівняння:

 

 

11x + ^S = S.

5 S −₁

 x 

Оскільки x〉0, то, розділивши це рівняння на х, отримаємо рівносильне йому рівняння:

 S 

 

61+ x  = S .

5 S −1 x

 x 

Позначимо ^S через t, приходимо до рівняння 5t ²−17t + 6 = 0, x

яке має корені t₁= 3,t₂= . Із умови задачі відомо, що вантажний автомобіль провів в дорозі від А до В більше однієї години, тобто, умову задачу задовольняє тільки t₁= 3.

Відповідь: вантажний автомобіль провів у дорозі від А до В 3 год.

Задача 39.

Від пристані А вниз за течією річки одночасно відпливли теплохід і пліт. Теплохід, допливши до пристані В, яка розміщена в 324 км від пристані А, простояв там 18 годин і відправився назад в А.

В той момент, коли він знаходився в 180 км від А, другий теплохід, який відплив із А на 40 годин пізніше першого, наздогнав пліт, який до цього часу встиг пропливти 144 км. Вважаючи, що швидкість течії річки стала, швидкість плоту рівна швидкості течії ріки, а швидкості теплоходів в стоячій воді сталі і рівні між собою, визначте швидкості теплоходів і течії річки.

Розв’язання:

Позначимо швидкості теплоходів через _x^км, а швидкість течії год

річки через _у^км. Час, який пройшов від моменту відплиття плоту год

від пристані А до того моменту, коли його наздогнав другий теплохід, рівний ¹⁴⁴ годин. Другий теплохід до моменту зустрічі з плотом y

знаходився в дорозі ¹⁴⁴ годин (він плив за течією, і, значить, його x + y

швидкість відносно берегів рівна (x + _y) ^км). Із умови задачі відомо, год

що справджується рівність

144 144

− = 40. у х + у

За час ¹⁴⁴ годин перший теплохід встиг пропливти 324 км за у

течією з швидкістю (х + _у) ^км відносно берегів, простояти в пристані год

В 18 годин і пропливти 324км −180км =144км проти течії річки, рухаючись відносно берегів з швидкістю (х − _у) ^км. Отже, має місце год

рівність:

144 324 144

= +18+ . у х + у х − у

Для знаходження х і у маємо систему рівнянь ¹⁴⁴₋¹⁴⁴= 40 і

у х + у

144 324 144 5y²

= +18+ . З першого рівняння знаходимо: x = .

у х + у х − у 18−5y

Підставляючи ^5y² замість х в друге рівняння, розділимо його

18−5y

обидві частини на 18, отримаємо рівняння:

8 18−5у 4(18 −5у)

= +1+ ₂, у у 5у −9у

10у ²−33у + 9 = 0.

Це квадратне рівняння має два корені: y₁= , y₂= 3. Відповідні значення х рівні: x₁= , x₂=15. Видно, що пари чисел

3 3

x₁= , y₁= і x₂=15, y₂= 3 є розв’язками системи рівнянь

144144 324 144

− = 40, = +18+ . Із умови задачі випливає, що у х + у у х + у х − у х > y. Цій нерівності відповідає тільки другий розв’язок системи.

Відповідь: швидкості теплоходів становлять 15 ^км, швидкість год

течії річки становить 3 ^км. год

Задача 40.

Із міста А в місто В виїхав автомобіль. Одночасно з ним із пункту С, який розміщений між А і В, в місто А виїхав другий автомобіль. Перший прибув в В одночасно з прибуттям другого в А. Потім автомобілі одночасно виїхали назустріч один одному, зустрілись в пункті D і одночасно прибули перший в А, другий в В. Кожний автомобіль їхав з своєю постійною швидкістю, але другий зробив зупинку на шляху від С до А, а перший – зупинку тієї ж тривалості на шляху від В до D. Знайдіть відстань між С і D, якщо відомо, що відстань від А до С рівна 270 км, а відстань від С до В рівна 180 км.

Розв’язання:

Позначимо через х км відстань від пункту А до пункту D. Із умови задачі випливає, що відстань між пунктами А і В рівна (270+180)= 450км, а між пунктами В і D рівна (450− _х)км. Перший автомобіль до зустрічі з другим автомобілем проїхав відстань від пункту А до пункту В, рівну 450 км, а потім відстань від пункту В до пункту D, рівну (450− х)км, тобто всього (900− х)км. Другий автомобіль до зустрічі з першим проїхав шлях від С до А довжиною в 270 км, а також шлях від А до D, довжиною в х км, тобто всього (270+ _x)км. На шляху до пункту D кожен із них зробив зупинку однієї і тієї ж тривалості. Значить, в русі до пункту D автомобілі знаходились один і той же час. Тому відношення швидкості першого автомобіля до швидкості другого автомобіля рівне відношенню

пройдених відстаней, тобто⁹⁰⁰⁻^x_.

270+ x

Після зустрічі автомобілі рухались не зупиняючись. Перший з них пройшов відстань AD, рівну х км, а другий – відстань DB, рівну (450− _x)км. Виїхали з D автомобілі одночасно і в кінцеві пункти

прибули одночасно. Тому відношення їх швидкостей рівне: ^x.

450− x

Оскільки швидкості автомобілів постійні, то: ⁹⁰⁰⁻^x₌^x,

270+ x 450− x

звідки x = 250. Оскільки відстань від А до С рівна 270 км, а відстань від А до D рівна 250 км, то шукана відстань між D і С рівна 20 км. Відповідь: відстань між С і D становить 20 км.

Задача 41.

В річку впадає притока. Теплохід відходить від пристані А на притоці, йде вниз за течією 80 км до річки, далі по річці вверх проти течії до пристані В, затративши 18 годин на весь шлях від А до В. Потім теплохід повертається назад. Час руху по тому ж шляху від В до А рівний 15 годинам. Власна швидкість теплохода, тобто швидкість теплохода в стоячій воді, рівна 18 ^км. Швидкість течії год

річки рівна 3 ^км. Яка відстань від пристані А до пристані В і яка год

швидкість притоки?

Розв’язання:

Позначимо через _υ^км швидкість притоки, а через у км – год

відстань по ріці від місця впадання притоки в ріку до пункту В. На рух вниз по притоці теплохід затратив годин, а на рух по річці до пристані В затратив ^y годин. Оскільки на цей шлях теплохід

всього затратив 18 годин, то ⁸⁰₊^y=18. На рух назад теплохід υ+18 15

затратив по річці ^y годин, а по притоці ⁸⁰годин, що складає 15

21 18−υ

годин, звідси ^y+ ⁸⁰=15.

21 18−υ

Із рівності

80 у

+ =18 υ+18 15

маємо:

 80 

y =1518− ,  υ+18

тобто y . Підставляючи замість y в

рівність , отримаємо рівняння для знаходження υ:

10 9υ+122 80

⋅ + =15.

7 υ+18 −υ+18

Оскільки за умовою задачі 0 <υ<18, то це рівняння рівносильне рівнянню υ²+ 64υ−132 = 0, яке має два корені: υ₁= 2 і υ₂= −66. В проміжок 0 <υ<18 попадає лише один із них, а тому

км υ₁= 2. Значить, швидкість притоки 2 . Оскільки відстань між год

пристанями А і В рівна s = 80+ y, тобто, s , то

підставляючи в цю рівність υ= 2, отримаємо, що s = 290км.

Відповідь: відстань від пристані А до пристані В рівна 290 км; швидкість притоки становить 2 ^км. год

Задача 42.

Із двох пунктів, відстань між якими рівна 2400 км, назустріч один одному виїжджають одночасно пасажирський і швидкий потяги. Кожен із них йде з постійною швидкістю, і в деякий момент часу вони зустрічаються. Якби два потяги їхали зі швидкістю швидкого потяга, то їх зустріч відбулася б на три години раніше фактичного моменту зустрічі. Якби два потяги їхали зі швидкістю пасажирського потяга, то їх зустріч відбулася б на п’ять годин пізніше фактичного часу зустрічі. Знайдіть швидкості потягів.

Розв’язання:

Позначимо швидкості пасажирського і швидкого потягів

відповідно через υ_п^км і υ_ш^км. Тоді час, який пройшов від моменту год год

виходу потягів із початкових пунктів до їх зустрічі, рівний

2400 годин. Якби два потяги їхали зі швидкістю υш, то час руху

υп +υш

складав би ²⁴⁰⁰годин. Таким чином, отримуємо рівняння: 2υ_ш

2400 2400

− = 3. υп +υш 2υш

Аналогічно складається друге рівняння:

2400

− = 5. υп +υш

Після спрощення отримуємо систему:

 υ_ш−υ_п1

^υ_ш(υ_п+υ_с) = 400^,

 υш −υп = 1 .

υ_п(υ_п+υ_ш) 240

Почленно розділивши друге рівняння системи на перше, υ^ш^{5 5 5}знаходимо, що ₌, чи υ_ш₌υ_п. Підставивши υ_п замість υ_шв υ_п3 3 3

друге рівняння системи, отримаємо, що υ_п= 60. Але тоді υ_ш=100.

Відповідь: швидкість пасажирського потяга рівна 60 ^км, год

швидкість швидкого потяга 100 ^км. год

Задача 43.

Із пункту А в пункт В відправився швидкий потяг. Одночасно назустріч йому із В в А вийшов товарний потяг, який зустрівся з швидким через години після відправлення. Відстань між пунктами

А і В рівна 80 км, потяги рухались з постійними швидкостями. З якою швидкістю рухався швидкий потяг, якщо 40 км він йшов на години

довше, ніж товарний потяг йшов 5 км?

Розв’язання:

Позначимо швидкості товарного і швидкого потягів відповідно

через υ_т^км і υ_ш^км. Тоді за ²години товарний потяг проїде ²υ_ткм, год год 3 3

а швидкий ²υ_шкм. Оскільки через години потяги зустрінуться і так

як відстань між пунктами рівна 80 км, то

2 2

υ_т+ υ_ш= 80

3 3

Сорок кілометрів швидкий потяг проїде за t₁₌⁴⁰ години, а υ_ш

товарний потяг 5 км пройде за t₂=години. Оскільки t₁〉t₂ на

години, то

40 5 3

− = .

υш υт 8

Для знаходження швидкостей потягів отримали систему рівнянь

^²₃(υ_т+υ_ш)= 80, 

40 − 5 = 3_.

υ_шυ_т8

Із першого рівняння цієї системи знаходимо: υ_т=120−υ_ш.

Підставивши 120−υ_ш замість υ_т в друге рівняння системи, отримаємо рівняння:

40 5

− =, υ_ш120−υ_ш

яке можна переписати у вигляді:

3υ_ш²−720υ_ш+38400 = 0.

8υш (120−υш )

Останнє рівняння має корені υ_ш⁽¹⁾= 80,υ_ш⁽²⁾=160, але тоді із υ_т=120−υ_ш знаходимо, що υ_т⁽¹⁾= 40, а υ_т⁽²⁾= −40. Таким чином, система має два розв’язки: υ_ш⁽¹⁾= 80,υ_т⁽¹⁾= 40 і υ_ш⁽²⁾=160,υ_т⁽²⁾= −40. Оскільки швидкість потяга не може бути від’ємним числом, то умову задачі задовольняє лише перша пара чисел. Отже, швидкість

швидкого потяга 80 ^км. год

Відповідь: швидкість швидкого потягу становить 80 ^км. год

Задача 44.

Вантажівка і автомобіль виїхали одночасно із пункту А і повинні прибути в пункт С. Вантажівка, рухаючись з постійною швидкістю, доїхала до пункту С, проїхавши шлях, рівний 360 км. Автомобіль поїхав по окружній дорозі і спочатку доїхав до пункту В, розміщеного в 120 км від пункту А, рухаючись зі швидкістю, вдвічі більшою швидкості вантажівки. Після пункту В він збільшив свою швидкість

на 40 ^км і проїхав шлях від пункту В до пункту С, рівний 1000 км. год

Він прибув в пункт С на 1 годину 15 хвилин пізніше вантажівки. Якби автомобіль весь свій шлях від пункту А до пункту С їхав з тією ж швидкістю, що й від пункту В до пункту С, то в пункт С він прибув би на 1 годину пізніше вантажівки. Знайдіть швидкість вантажівки. Розв’язання:

Позначимо швидкість вантажівки через _x^км; тоді швидкість год

автомобіля на ділянці АВ рівна 2х_ ^км^, а на ділянці ВС рівна год

(2х + 40) ^км. Автомобіль на шлях між пунктами А і С затратив год

120 1000  360

 +  годин, а вантажівка проїхала свій шлях за годин.

 x 2x + 40 x

Оскільки час руху вантажівки на години менший часу руху

автомобіля, то

120 1000 360 5

+ − = .

2x 2x + 40 x 4

Якби автомобіль весь свій шлях від пункту А до пункту С їхав зі швидкістю (2x + 40) ^км, то йому для цього знадобилося б ¹¹²⁰ год 2х + 40

годин, що за умовою на одну годину більше часу руху вантажівки. Тому

1120 360 − =1.

2х + 40 х

Для знаходження значення х отримали систему двох рівнянь з одним невідомим:

120 1000 360 5

 2x + 2x + 40 − x = 4,



^21120x + 40 − 360x =1.

^

Для її розв’язання достатньо розв’язати, наприклад, перше рівняння і вибрати із найдених розв’язків числа, які задовольняють друге рівняння. Перше рівняння рівносильне рівнянню:

x²−140x + 4800 = 0,

яке має корені x₁= 80 і x₂= 60. Підставляючи x₁ і x₂ в друге рівняння, отримаємо, що його задовольняє лише x₂. Тому швидкість

вантажівки рівна 60 ^км. год

Відповідь: швидкість вантажівки становить 60 ^км. год

Задача 45.

Теплохід відчалив від пристані А, спустився вниз за течією річки на 60 км до гирла річки, яка впадає в притоку і піднявся верх по притоці (проти течії) на 20 км до пристані В. Весь шлях від А до В теплохід пройшов за 7 годин. Швидкість течії річки і швидкість течії притоки рівна 1 ^км. Знайти власну швидкість теплохода. (Власна год

швидкість – швидкість в нерухомій воді).

Розв’язання:

Позначимо через _x^км власну швидкість теплохода. Тоді по год

річці теплохід йшов з швидкістю (х +1) ^км, а по притоці – з год

швидкістю (х −1) ^км. На шлях по річці теплохід затратив ⁶⁰ годин, год х +1

а на шлях по притоці ²⁰ годин. Весь шлях він пройшов за 7 годин, х −1

значить,

60 20

+ = 7.

х +1 х −1

Звільняючись в цьому рівнянні від знаменника, отримуємо

рівняння 7х²−80х +33 = 0, корені якого х₁=11 і х₂= ³. Ми бачимо, 7

що ці корені являються й коренями рівняння: ⁶⁰₊²⁰= 7. х +1 х −1

Швидкість теплохода не може бути меншою 1 ^км,оскільки теплохід год

рухався по притоці проти течії, швидкість якої рівна 1 ^км. Тому год

власна швидкість теплохода 11 ^км. год

Відповідь: власна швидкість теплохода становить 11 ^км. год

Задача 46.

Пункт А стоїть в полі на відстані 8 км від дороги. На дорозі, яка являється прямою лінією, стоїть пункт В. Швидкість руху автомобіля по дорозі в два рази більша, ніж по полю. Відомо, що якщо їхати із А по прямій до деякої точки С, яка знаходиться на дорозі, відмінної від В, а потім по дорозі до В, то при довільному виборі точки С на це піде не менше часу, ніж потрібно, якщо їхати із А в В напрямки по полю.

Чому рівна відстань від А до В?

Розв’язання:

Позначимо через а км відстань між пунктами

А і В (зрозуміло, що a ≥ 8), через _υ^км – швидкість год

руху автомобіля по полю і через D – точку на дорозі, найменш віддалену від пункту А (мал.12).

Тоді AD ⊥ BD і AD = 8 км. Очевидно, що якщо точки В і D співпадають, тобто, якщо AB = 8 км, то умова задачі виконується. Значить, AB = 8 км є однією із відповідей до задачі. Далі будемо вважати, що точки В і D різні, тобто a〉8, і пункт В лежить ліворуч від прямої АD, якщо дивитися із точки D в поле в напрямку до пункту А.

Два довільних розміщення пункту В на дорозі, симетричні відносно прямої АD, одночасно чи задовольняють умову задачі чи не задовольняють. Нехай точка С лежить на відрізку ВD і відмінна від точки В. Позначимо через х км відстань між точками А і С. Тоді 8 ≤ x〈a, і час, за який автомобіль проїде шлях АСВ, рівний:

AC BC x a²−64 − x²−64

+ = + . υ 2υ υ 2υ

За умовою для всіх х із інтервалу 8 ≤ x〈a справедлива нерівність

x a²−64 − x²−64 a

+ ≥ ,

υ 2υ υ

2(x − a)+ a²−64 ≥ x²−64.

Доведемо, що якщо при деякому а (a〉8) множина розв’язків нерівності 2(x − a)+ a²−64 ≥ x²−64 містить інтервал 8 ≤ x〈a, то пункт В, що знаходиться на дорозі, віддалений від пункту А на відстань а км, задовольняє умову задачі. Нехай АВ = а за сформульованою вище умовою. Якщо точка С лежить на прямій ВD ліворуч точки В (точка C₁ на мал.35), то АС > AB і значить, рух по шляху АСВ займає більше часу, ніж по

Тоді нерівність

. Але це

означає, що рух по шляху АСВ займе не менше часу, ніж по шляху АВ. Якщо точка С лежить на прямій ВD праворуч від точки D (точка C₂ на мал.35), то AC〉 AD і BC〉 BD. Тобто, рух по шляху АСВ в цьому випадку займе більше часу, ніж рух по шляху АВ. Отже, сформульоване вище твердження доведено.

Умову задачі задовольняють ті і тільки ті із точок В, відмінні від

D, для яких при а = АВ множина розв’язків нерівності

2(x − a)+ a²−64 ≥ x²−64 містить інтервал 8 ≤ x〈a. Нехай а – довільне фіксоване число таке, що a〉8. Знайдемо розв’язки нерівності(2(x − a)+ a²−64 ≥ x²−64), які знаходяться в області

8 ≤ x〈a. В цій області нерівність (2(x − a)+ a²−64 ≥ x²−64) рівносильна системі нерівностей:

2(x − a)+ a²−64 ≥ 0,



(2(x − a)+ a²−64)²≥ x²−64.

Отриману систему нерівностей можна після перетворень замінити рівносильною їй системою, яка має вигляд:

 1 ₂

x ≥ a − a −64,

 2

^(x − a⁾(3x −5a + 4 a²−64)≥ 0.

Остання система нерівностей на множині 8 ≤ x〈a рівносильна системі:

 1 ₂

x ≥ a − a −64,

 2

^3x −5a + 4 a²−64 ≤ 0,

яку можна переписати у вигляді подвійної нерівності:

a .

Для шуканих значень а весь інтервал 8 ≤ x〈a повинен міститися

в множині a . Тобто, шукані значення

параметра а являються розв’язками системи нерівностей:

 1 ₂

a − ₂a −64 ≤ 8,



 5a 4 ₂

a ≤ − a −64,

 3 3

a〉8.



Ця система після перетворення може бути переписана так:

2a −16 ≤ a²−64,

 2

2 a −64 ≤ a,

^a〉8.

На множині a〉8 ліва і права частина першої і другої нерівності невід’ємні, тому ця система нерівностей рівносильна системі:

(2a −16)²≤ a²−64,

 2 2

4(a −64)≤ a ,

^a〉8

або 3a²−64a +320 ≤ 0,

 ₂

3a − 256 ≤ 0,

^a〉8.

Множина розв’язків першої нерівності системи є інтервалом

, а множина розв’язків другої – інтервал – . Тому множина розв’язків системи, а значить, і множина розв’язків задачі є інтервал . Додаючи сюди знайдене раніше значення a = 8, отримуємо відповідь до задачі.

Відповідь: відстань від А до В рівна 8км ≤ АВ . Задача 47.

Відстань між двома містами швидкий потяг проходить на 4 години швидше товарного і на 1 годину швидше пасажирського. Відомо, що швидкість товарного потяга складає швидкості пасажирського і на 50 ^км менша швидкості швидкого. Знайдіть год

швидкості товарного і швидкого потягів.

Розв’язання:

Позначимо швидкість товарного потягу через _x^км. Тоді із год

умови задачі слідує, що швидкості пасажирського і швидкого потягів рівні відповідно ^{8x км} і (х +50) ^км. Якщо відстань між містами

5 год год

рівна S км, то час, за який товарний, пасажирський і швидкий потяги

пройдуть цю відстань, рівний відповідно: ^S годин, ^S годин, ^S

x 8x x +50

годин. Із умови задачі випливає справедливість рівностей:

S S

x − x +50 = 4,



^58Sx − x +S50 =_1.

^

Отриману систему рівнянь можна переписати так:

 50S

^x(x +50₎= ^4,



S(250−3x⁾=_1.

_ 8x(x +50) Розділивши почленно перше рівняння системи на друге, отримаємо рівняння:

400

= 4, 250−3x

звідки x = 50.

Відповідь: швидкість товарного потяга рівна 50 ^кмі швидкого год

потяга рівна 100 ^км. год Задача 48.

Автомобіль їхав вгору. В першу секунду після досягнення пункту А він проїхав 30 м, а в кожну наступну секунду він проїжджав на 2 м менше, ніж в попередню. Через 9 с після того, як автомобіль досяг пункту А, назустріч йому виїхав автобус із пункту В, який знаходиться на відстані 258 м від пункту А. В першу секунду автобус проїхав 2 м, а в кожну наступну секунду він проїжджав на 1 м більше, ніж в попередню. Яку відстань проїхав автобус до зустрічі з автомобілем?

Розв’язання:

Знайдемо шлях, пройдений автомобілем за 9 с. Оскільки в першу секунду після досягнення пункту А автомобіль проїхав 30м, а в кожну наступну секунду він проїжджав на 2 м менше, ніж в попередню, то відстані, пройдені ним в кожну секунду, складають арифметичну прогресію, перший член a₁ якої рівний 30, а різниця d рівна (-2). Так, як шлях, пройдений автомобілем за 9-ту секунду, рівний a₉= a₁+ d(9 −1)= 30 + (−2)⋅8 =14(м), то шлях, пройдений автомобілем за 9 с, рівний^a⁺^a³⁰⁺¹⁴Тому в той

момент, коли автобус виїхав з пункту В, відстань між ним і автомобілем була рівною 258−198 = 60(_м). За першу секунду після виїзду автобуса автомобіль проїде 12 м, а автобус 2 м. Отже, вони зблизяться на 14 м, тобто, їм залишиться проїхати 60−14 = 46(м). За другу секунду вони проїдуть (12− 2)+ (2+1)=13(м), і їм залишиться проїхати 46−13 = 33(м). За четверту секунду вони проїдуть (8− 2)+ (4 +1)=11(м), і їм залишиться проїхати 10 м. За п’яту секунду автомобіль проїде 6− 2 = 4(м), а автобус проїде 5+1= 6(м). Тобто автобус і автомобіль зустрінуться через 5 с після виїзду автобуса із пункту В. За цей час автобус проїде шлях, рівний

2+3+ 4 +5+ 6 = 20(м).

Відповідь: автобус до зустрічі із автомобілем проїхав відстань рівну 20 м. Задача 49.

Згідно розкладу катер проходить рікою, швидкість течії якої км

5 , шлях із А в D довжиною 15км за 1 годину. При цьому, год

виходячи з пункту A о 12 годині, він прибуває в пункти B і C, які знаходяться на відстані 11 км і 13 км від A, о 12 годині 20 хвилин і о 12 годині 40 хвилин. Відомо, що якби катер рухався із A в D без зупинок з постійною швидкістю υ (відносно води), то сума абсолютних величин відхилень від розкладу прибуття в пункти B, C, D не перевищувала б зменшеного на півгодини часу, необхідного катеру для проходження 5 км зі швидкістю υ в стоячій воді. Який із пунктів знаходиться вище за течією: A чи D?

Розв’язання:

Припустимо, що пункт D розміщений вище пункту А за течією

річки. Оскільки катер прибув із А в D, рухаючись з швидкістю _υ^км год відносно води, то повинна виконуватися нерівність υ〉5. Але тоді для

проходження 5 км з швидкістю _υ^км в стоячій воді катеру год

знадобилося б менше однієї години. Тому, сума абсолютних величин відхилень від розкладу прибуття в пункти В, С і D не перевищувала б години. Загалом, абсолютна величина відхилення від розкладу прибуття в пункт D, рівна ¹⁵−1, також не перевищувала б ¹ υ−5 2

години, тобто, була б справедлива нерівність:

15 1 −1 ≤ . υ−5 2

Оскільки справедлива нерівність a ≤ a, то із нерівності

15 1

−1 ≤ випливає нерівність , звідки υ≥15. Але υ−5 2

якщо швидкість катера в стоячій воді не менша ніж 15 ^км, то він год

проходить 5 км в стоячій воді не більше ніж за 20 хвилин, що суперечить умові. Тому, наше міркування про те, що пункт D розміщений вище пункту А за течією річки, суперечить умові задачі.

Отже, пункт D розміщений нижче пункту А за течією річки.

Відповідь: пункт D розміщений нижче пункту А за течією річки. Задача 50.

Два спортсмени стартували один за другим з інтервалом в дві хвилини. Другий спортсмен наздогнав першого на відстані 1 км від точки старту, а пробігши від точки старту 5 км, він повернувся назад і зустрівся з першим спортсменом. Ця зустріч відбулася через 20 хвилин після старту першого спортсмена. Знайдіть швидкість другого спортсмена.

Розв’язання:

Позначимо через _x^км швидкість першого спортсмена, а через год

км

у швидкість другого спортсмена. Перший спортсмен пробіг 1 км год

за ¹години, а другий – за ¹ години. За умовою задачі другий x y

спортсмен затратив на 1 км на 2 хвилини менше часу, ніж перший, отже,

1 1 1

− = .

x y 30

До моменту зустрічі перший спортсмен, знаходячись в дорозі 20 хвилин, пробіг x км. Отже, другий спортсмен до цього моменту пробіг 10− ¹x^км. Оскільки він біг 18 хвилин, то

 3 

1 18

10− х = у.

3 60

Звідки маємо рівняння:

 18  х = 10 − у⋅3.

 60 

Яке має корені у₁= 20 і у₂= −50. Оскільки швидкість спортсмена додатна, то у = 20.

Відповідь: швидкість другого спортсмена рівна 20 ^км. год

Задача 51.

Із пункту А в пункт В виїхав велосипедист, а через чверть години вслід за ним виїхав автомобіль. На половині шляху від А до В автомобіль наздогнав велосипедиста. Коли автомобіль прибув в пункт В, велосипедисту залишалося проїхати ще третину шляху. За який час велосипедист проїхав шлях від А до В, якщо відомо, що швидкості велосипедиста і автомобіля постійні на всьому шляху від пункту А до пункту В?

Розв’язання:

Позначимо через х і у час в хвилинах, який знадобився відповідно велосипедисту і автомобілю для того, щоб проїхати шлях від пункту А до пункту В. На половину шляху від А до В велосипедист затратив ^x хвилин, а автомобіль ^y хвилин. За умовою

2 2

на половині шляху від А до В вони знаходились одночасно, хоча автомобіль виїхав на 15 хвилин пізніше. Отже, справедлива рівність

y x

+15 = .

2 2

До моменту прибуття автомобіля в пункт В велосипедист знаходився в дорозі вже (y +15) хвилин і проїхав за цей час відстані від А до В, тобто, затратив на цей шлях x хвилин. Отже,

y +15 = x.

Отримали систему двох рівнянь ^y+15 = ^x і y +15 = ²x з двома

2 2 3

невідомими х і у. Множачи рівняння ^y+15 ₌^x на 2 і віднімаючи від

2 2

нього рівняння y +15 = x, отримуємо рівняння 15 = x − x, звідки

x = 45.

Відповідь: велосипедист проїхав шлях від А до В за 45 хвилин.

Задача 52.

Автобус проходить шлях АЕ, який складається із ділянок АВ,

ВС, СD, DE довжиною 10 км, 5 км, 5 км, 6 км відповідно. При цьому, відповідно розкладу, виїжджаючи із пункту A о 9 годині, він проходить пункт B о 9 години, пункт C – о 9 години, пункт D – о 9 години. З якою постійною швидкістю υ повинен рухатися автобус, щоб сума абсолютних величин відхилень від розкладу проходження пунктів B, C, D і часу руху автобуса від A до E при швидкості υ, не перевищувала 51,7 хвилини?

Розв’язання:

Якщо швидкість автобуса буде _υ^км, то на шлях із А в Е він год

затратить годин, а пункти В, C і D він буде проходити відповідно о ₉+¹⁰^годин_,^₉+¹⁵^годин і^₉+ ²⁰^годин. Тобто, сума

 υ  υ  υ

абсолютних величин відхилень від розкладу проходження пунктів В, C, D і часу руху автобуса від А до Е рівна

10 1 15 3 20 2 26

− + − + − + .

υ 5 υ 8 υ 3 υ

В задачі потрібно з’ясувати, при якому значенні υ справедлива нерівність:

10 1 15 3 20 2 26 517

− + − + − + ≤ . υ 5 υ 8 υ 3 υ 600

Перший спосіб розв’язання нерівності.

Оскільки − = , − = (40−υ),

, то для звільнення від знаків абсолютних величин

в нерівності 10 − 1 + 15 − 3 + 20 − 2 + 26 ≤ 517 розглянемо чотири υ 5 υ 8 υ 3 υ 600

випадки:

1)0〈υ〈30,

2) 30 ≤υ〈40,

3) 40 ≤υ〈50,

4) 50 ≤υ.

1) Якщо 0〈υ〈30, то нерівність

10 1 15 3 20 2 26 517

− + − + − + ≤

υ 5 υ 8 υ 3 υ 600

рівносильна нерівності:

звідки . Оскільки , то немає значень υ з

проміжку 0 <υ< 30, які задовольняли б нерівність.

2)Якщо30 ≤υ〈40,то нерівність

10 1 15 3 20 2 26 517

− + − + − + ≤ υ 5 υ 8 υ 3 υ 600

рівносильна нерівності:

звідки . Оскільки , то немає значень υ із проміжку 30 ≤υ〈40,які задовольняли б нерівність.

3)Якщо40 ≤υ〈50, то нерівність

10 1 15 3 20 2 26 517

− + − + − + ≤ υ 5 υ 8 υ 3 υ 600

рівносильна нерівності:

звідки υ≥ 50. Тобто, немає значень υ із проміжку

40 ≤υ〈50, 40 ≤υ〈50,які задовольняли б нерівність.

4)Якщо υ≥ 50, то нерівність

10 1 15 3 20 2 26 517

− + − + − + ≤ υ 5 υ 8 υ 3 υ 600

рівносильна нерівності:

звідки υ≤ 50. Отже, є єдине значення υ= 50, яке задовольняє

нерівність_:10 − 1 + 15 − 3 + 20 − 2 + 26 ≤ 517_.υ 5 υ 8 υ 3 υ 600

Другий спосіб розв’язання нерівності.

Оскільки для довільного дійсного числа а справедлива нерівністьа ≤ а, то якщо υ задовольняє нерівність

10 1 15 3 20 2 26 517

− + − + − + ≤ , υ 5 υ 8 υ 3 υ 600

то υ задовольняє й нерівність:

звідки υ≥ 50. Оскільки − а ≤ а, то υ задовольняє також і нерівність:

звідки υ≤ 50. Із нерівностей: υ≥ 50 і υ≤ 50 випливає, що

υ= 50.

Відповідь :автобус має рухатися з постійною швидкістю 50 ^км. год

Задача 53.

Із пункту А в пункт В виїхав велосипедист. В той момент, коли він проїхав шляху між А і В, із В в А виїхав мотоцикліст, який прибув в А, не затримуючись, повернув назад і одночасно з велосипедистом прибув в В. Час руху мотоцикліста до першої зустрічі з велосипедистом рівний часу руху мотоцикліста із А в В. Вважаючи швидкості мотоцикліста при русі із А в В і із В в А різними, знайдіть, в скільки разів швидкість мотоцикліста при русі із А в В більша швидкості велосипедиста.

Розв’язання:

Позначимо через S км відстань між пунктами А і В, через _U^км год

швидкість мотоцикліста на шляху із В в А, через _υ^км швидкість год

велосипедиста, через х шукане відношення швидкості мотоцикліста на шляху із А в В до швидкості велосипедиста. Тоді швидкість

мотоцикліста на шляху із А в В рівна х_υ^км. год

На рух із пункту А в пункт В мотоцикліст витратив ^S годин. За xυ

умовою задачі такий же час пройшов між моментом виїзду мотоцикліста із пункту В і моментом першої зустрічі з велосипедистом. За цей час велосипедист проїхав ^Sυ км, а xυ

мотоцикліст ^SU км. Оскільки в момент виїзду мотоцикліста із xυ

пункту В відстань між ним і велосипедистом рівна Sкм, то справедлива рівність: ^Sυ₊^SU ₌³S, чи, оскільки υ〉0,S〉0,

xυ xυ 4

рівність:

1 U 3

+ = . x υx 4

Мотоцикліст знаходився в дорозі _ ^S₊^S^годин. За цей час

U xυ

велосипедист проїхав ³S км. Тому ^ ^S+ ^S^υ= ³S чи

4 U xυ 4 υ 1 3

+ = .

U x 4

Із цього рівняння отримуємо:

U 4x

= . υ 3x − 4

Підставляючи ^4х замість ^U в рівняння ¹+ ^U= ³, маємо

3х − 4 υ x υx 4

рівняння:

1 4 3

+ = .

x 3x − 4 4

Це рівняння має корені x₁= 4 і x₂= . Із умови задачі зрозуміло, що швидкість мотоцикліст на шляху із А в В більша швидкості велосипедиста, тобто, х〉1. Значить, х = 4.

Відповідь: швидкість мотоцикліста при русі із А в В в 4 рази більша швидкості велосипедиста. Задача 54.

Пішохід, велосипедист і мотоцикліст рухаються по шосе в одну сторону з постійними швидкостями. В той момент, коли пішохід і велосипедист знаходились в одній точці, мотоцикліст був на відстані 6 км позаду них. В той момент, коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста, пішохід відставав від них на 3 км. На скільки кілометрів велосипедист обігнав пішохода в той момент, коли пішохода наздогнав мотоцикліст?

Розв’язання:

Перше розв’язання.

Позначимо через υ_м^км швидкість мотоцикліста, через υ_в^км год год

швидкість велосипедиста, через υ_п^км— швидкість пішохода. Нехай год

з моменту зустрічі пішохода і велосипедиста до зустрічі мотоцикліста і пішохода пройшло t₁ години, а з моменту зустрічі пішохода і велосипедиста до зустрічі мотоцикліста і велосипедиста пройшло t₂години. За час t₁ мотоцикліст проїхав υ_мt₁км,а пішохід пройшов υ_пt₁км. Із умови задачі маємо рівняння:

υ_мt₁−υ_пt₁= 6.

З моменту зустрічі мотоцикліста і пішохода до зустрічі мотоцикліста і велосипедиста пройшло (t₂−t₁) години. За цей час мотоцикліст проїхав υ_м(t₂−t₁)км, а пішохід пройшов υ_п(t₂−t₁)км, і оскільки як пішохід відстав на 3 км, то маємо ще одне рівняння: υ_м(t₂−t₁)−υ_п(t₂−t₁)= 3.

Із умови, що велосипедист обігнав пішохода на 3 км, отримаємо рівняння:

υ_вt₂−υ_пt₂= 3. Тому отримали систему рівнянь:

υ_мt₁−υ_пt₁= 6,



υ_м(t₂−t₁)−υ_п(t₂−t₁)= 3,

υвt2 −υпt2 = 3.

Потрібно знайти, на скільки кілометрів велосипедист обігнав пішохода в той момент, коли пішохода наздогнав мотоцикліст. Оскільки як це відбулося через t₁ годин, то за цей час велосипедист проїхав υ_вt₁км, а пішохід пройшов υ_пt₁км.

Тобто, шукана відстань х рівна (υ_вt₁−υ_пt₁)км. Із першого рівняння системи: (υ_м−υ_п)t₁= 6, із другого рівняння системи:

(υ_м−υ_п)(t₂−t₁)= 3, звідки^t¹= 2, тобто, t₂= ³t₁. Із останнього

t₂−t₁2

рівняння системи: υ_в−υ_п₌³, тому

t₂

x .

Друге розв’язання.

Позначимо через υ_м^км швидкість мотоцикліста, через υ_в^км год год

швидкість велосипедиста, через υ_п^км швидкість пішохода. Час, за год

який велосипедист обігнав пішохода на 3км, рівний . Із умови

задачі випливає, що цей же час рівний , звідки

3 9 υ_в−υ_п1

= , чи = . Мотоцикліст наздогнав пішохода за

υв −υп υм −υп υм −υп 3

час . Тобто, за цей час велосипедист обігнав пішохода на:

Відповідь: велосипедист обігнав пішохода в той момент, коли пішохода наздогнав мотоцикліст, на 2 км.

Задача 55.

Із пункту А в пункт В вийшов пішохід, і одночасно із пункту В в пункт А виїхав мотоцикліст. Зустрівши в дорозі пішохода, мотоцикліст одразу ж розвернувся, довіз пішохода до пункту В, а потім одразу ж знову поїхав в пункт А, куди дістався без перешкод. В результаті цього мотоцикліст затратив на дорогу до пункту А в два з половиною рази більше часу, ніж якби він їхав із пункту В в пункт А, не підвозячи пішохода. В скільки разів повільніше пішохід дістався б до пункту В, якби весь шлях від А до В він пройшов пішки?

Розв’язання:

Позначимо через υ_п^км і υ_м^кмвідповідно швидкості пішохода

год год

і мотоцикліста, а через t годин — час, через який вони зустрілись.

За час t пішохід пройшов υ_п⋅t км, а мотоцикліст проїхав υ_мt км.

Якби мотоцикліст не підвозив пішохода, то на шлях від В до А він витратив би υ^п⋅^t⁺^υ^м^⋅^tгодин. Оскільки мотоцикліст підвозив υ_м

 ^υ^п^⋅^t_ годин. Із умови пішохода, то він прибув в пункт А через _3t ⁺_υм _{ }

задачі відомо, що на це він затратив в разу більше часу, ніж у випадку, коли б він не підвозив пішохода, тому: υ^п⋅t 3t +

υ_м5

= .

Якби весь шлях від А до В пішохід пройшов пішки, то він затратив би на весь шлях ^_t +^υ_υ^мп^t^_^ годин, а в дійсності він затратив на

_

весь шлях 2t годин. В задачі потрібно знайти, в скільки разів час

υмt

t +

^t +^υ^м^t^_ більший часу 2t , тобто, потрібно знайти величину ^υ^п,

 υ_п 2t

υ^п⋅t

1+ 3t +

чи величину . Із маємо: 3υ_м+υ_п= 5, звідки

2υ_п+υ_м2

6υ_м+ 2υ_п= 5υ_п+5υ_м чи υ_м= 3υ_п, тобто^,^мп = 3. Отже^,^1⁺_υ^мп ^_^:2 = 2,

_υ_

тобто, якби мотоцикліст не підвозив пішохода, то пішохід дістався б до А в два рази повільніше.

Відповідь: пішохід дістався б до пункту В в 2 рази повільніше, якби весь шлях від А до В він пройшов пішки. Задача 56.

Два тіла рухаються рівномірно назустріч одне одному і відстань між ними зменшується на S₁=16м за кожні t₁=10c. Якщо ці тіла з такими самими швидкостями рухатимуться в одному напрямі, то відстань між ними збільшуватиметься на S₂= 3м за кожні t₂= 5c. З якою швидкістю рухається кожне з цих тіл?

υ  υ 

Розв’язання:

Систему координат зв’яжемо з першим тілом і вісь OS спрямуємо в напрямі швидкості υ₁ першого тіла. У цій системі відліку перше тіло перебуває в спокої, а друге рухається відносно першого з швидкістю υ₁+υ₂ у першому випадку і з швидкістю υ₁−υ₂ в другому. Тоді S₁= (υ₁+υ₂)⋅t₁ і S₂= (υ₁−υ₂)t₂, або υ₁+υ₂⁼^S¹ і t₁

υ₁−υ₂= ².

t₂

Додаючи і віднімаючи праві частини дістанемо 2υ₁₌^S¹+ ^S² і 2υ₂= ^S¹− ^S², звідки

t1 t2 t1 t2

υ₁=1,1 і υ₂= 0,5 ^м. с с

останніх

рівнянь,

Відповідь: перше тіло рухається зі швидкістю 1,1 ^м, друге тіло с

рухається зі швидкістю 0,5 ^м. с

Задача 57.

Автомобілі А і В з однаковою

швидкістю υ₁=υ₂= 20 ^м рухаються с

по двох шосе, які перетинаються в точці О під кутом α= 60°. Визначити мінімальну відстань між автомобілями, якщо в певний момент вони знаходилися на відстанях d₁= 30км і d₂= 60км від перехрестя доріг.

Розв’язання:

Задачі такого типу зручно розв’язувати в системі відліку, зв’язаній з одним із рухомих тіл. Припустимо, що систему відліку ми зв’язали з автомобілем В, тобто в цій системі автомобіль В нерухомий, а автомобіль А рухається відносно В. Знайдемо відносну швидкість автомобіля А. Для цього з кінця вектора швидкості υ₁ відкладемо вектор −υ₂,тоді відносна швидкість автомобіля А буде

υ_в=υ₁−υ₂. Отже, спостерігач, який сидить в автомобілі В, вважає, що автомобіль А рухається по лінії АС. Щоб знайти мінімальну відстань між автомобілями, опустимо з точки В на продовження лінії

АС перпендикуляр BD, який і буде мінімальною відстанню

BD = (OB −OA)sin60° = (d₂− d₁)sin60° ≈ 25,6(км).

Відповідь: мінімальна відстань між автомобілями рівна ≈ 25,6км.

Задача 58.

Два автобуси одночасно виїхали з пункту А в пункт В. Один з них першу половину шляху їхав зі сталою швидкістю υ₁, а решту шляху — зі швидкістю υ₂. Другий автобус їхав зі швидкістю υ₁ половину всього часу свого руху від А до В, а решту часу — зі швидкістю υ₂. Визначити середню швидкість руху кожного автобуса,

якщо υ₁= 30 ^км і υ₂= 50 ^км. год год

Розв’язання:

Досить часто при розв’язуванні цієї задачі учні помилково вважають, що середня швидкість обох автобусів буде υ_с=.

Проте так можна визначити середню швидкість тільки тоді, коли автобус рухається однакові проміжки часу з кожною із швидкостей, тобто середню швидкість другого автобуса. Середнє значення швидкості визначається у відношенні до часу, а не у відношенні до пройденого шляху. Тому:

υ1 1t +υ2t2 S1 + S2

υс = = , t1 +t2 t1 +t2

або

υ_c= ,

де S —повна відстань, а t—час, за який цю відстань проходить

автобус.

Для першого автобуса: S = 0,5S + 0,5S і t = t₁+t₂= ^0,5S+ ^0,5S.

υ1 υ2

Тоді

S 2υ¹υ²км

υ_с₁= = = 37,5 .

 1 1  υ₁+υ₂год

0,5Sυ1 +υ2 

S 2υ¹υ²км

υ_c₁= = ≈ 37,5 .

 1 1  υ₁+υ₂год

0,5Sυ1 +υ2 

Для другого автобуса: t = 0,5t + 0,5t і S = 0,5υ₁t + 0,5υ₂t = 0,5t(υ₁+υ₂).

тоді

Відповідь: середня швидкість першого автобуса рівна 37_,5^км, год

середня швидкість другого автобуса рівна 40 ^км. год

Задача 59.

Два тіла почали одночасно рухатися в одному напрямі: одне

рівномірно з швидкістю υ₁= 54 ^км, а друге з прискоренням год

м а = 0,6 ₂. Через скільки часу друге тіло наздожене перше?

Розв’язання:

За початок системи координат візьмемо точку, з якої почали рухатися обидва тіла, а вісь OS спрямуємо в напрямі руху обох тіл.

Через час t від початку руху координати тіл будуть S₁=υ₁t і S₂₌^at². 2 Якщо друге тіло наздогнало перше, то координати тіл будуть

однаковими, тобто S₁= S₂,або υ₁t = ^at², звідки t = ²^υ¹= 50c.

2 a

Відповідь: друге тіло наздожене перше через 50 с.

Задача 60.

Одне тіло кидають вертикально вгору з висоти H з початковою швидкістю υ₁. Одночасно з початком руху першого тіла з землі кидають угору друге тіло з початковою швидкістю υ₂. Через який час тіла зустрінуться?

Розв’язання:

За початок системи координат візьмемо точку кидання першого тіла і вісь координат OS спрямуємо вертикально вгору. Тоді в момент часу t координата першого тіла буде S₁=υ₁t − gt ² і, отже, через час t його відстань від землі буде H + S₁= H +υ₁t − gt ². Через час t від початку руху друге тіло буде від землі на відстані

S₂=υ₂t − gt ².

Якщо t дорівнює тому проміжку часу, через який тіла зустрінуться, то H + S₁= S₂, або H +υ₁t − gt ²=υ₂t − gt ², звідки:

t = . υ2 −υ1 Відповідь: тіла зустрінуться через t ₌^H. υ2 −υ1

Задача 61.

Пасажир потягу, що рухається зі швидкістю υ₁= 36 ^км, бачить год

протягом t₁= 60cсусідній потяг довжиною l = 600м, який іде паралельно першому в одному з ним напрямі. З якою швидкістю йде другий потяг? Скільки часу пасажир другого потягу бачить перший потяг, довжина якого l₁= 900м?

Ті самі потяги рухаються назустріч один одному. Скільки часу пасажири цих поїздів бачитимуть зустрічний потяг, що рухається повз них?

Розв’язання: Систему відліку пов’яжемо з першим потягом.

а) Коли потяги рухаються в одному напрямі, то швидкість другого потяга відносно першого υ_в=υ₂−υ₁. З другого боку, відносна

швидкість υ₂= ^l²= ^l¹=10 ^м. Тоді υ₂=υ_в+υ₁= 20 ^м= 72 ^км, а час t₂, t₁t₂с с год

протягом якого пасажир другого потягу бачить перед собою перший потяг, t₂= ^l¹= 90с.

υ_в

б) Якщо потяги рухаються один одному назустріч, то відносна швидкість υ_в=υ₁+υ₂, а час, протягом якого кожен пасажир бачитиме зустрічний потяг:

l²l¹t₁= = 20c і t₂= = 30c. υ1 +υ2 υ1 +υ2

Відповідь: другий потяг йде зі швидкістю 72 ^км, а час протягом год

якого пасажир другого потягу бачить перед собою перший потяг, 90с; пасажири бачитимуть зустрічний потяг, що рухається повз них, 20 с і 30 с відповідно.

Задача 62.

Теплохід А, довжина якого l₁= 65м, в стоячій воді розвиває швидкість υ₁, а теплохід В, довжина якого l₂= 40м, розвиває швидкість υ₂(υ₁〉υ₂). Теплоходи пливуть за течією річки, і теплохід А обганяє теплохід В за t₁= 70c. Якщо теплохід А пливе за течією, а В— проти течії, то теплоходи минають один одного за t₂=14c. Визначити швидкість теплоходів у стоячій воді.

Розв’язання:

У системі відліку, пов’язаній з другим теплоходом, рівняння руху першого теплохода запишемо:

(υ₁−υ₂)t₁= l₁−l₂ і(υ₁+υ₂)t₂= l₁+l₂. Розв’язавши ці рівняння, дістанемо:

υ1 = (l1 +l2 )(t1 +t2 ) = 4,5 _м і υ2 = (l1 +l2 )(t1 −t2 ) = 3 м.

2t t_{1 2}с 2t t_{1 2}c

Відповідь: швидкість теплоходу А в стоячій воді становить

4,5 м, швидкість теплоходу В в стоячій воді становить 3 ^м. с с

Задача 63.

Відстань між двома стоянками моторний човен проходить за течією річки за 10 хв, а проти течії—за 30 хв. За який час цю відстань пропливе за течією рятувальний круг, що впав у воду?

Розв’язання:

У системі відліку, пов’язаній з берегом, рівняння руху човна за течією і проти течії запишемо S = (υ+υ₀)t₁ і S = (υ−υ₀)t₂, а рівняння руху рятувального круга— S =υ₀t₃, де S —відстань між станціями.

Вилучивши з цих трьох рівнянь величини S, υ і υ₀, дістанемо:

2t t^{1 2}

t₃= = 30хв. t2 −t1

Відповідь: рятувальний круг, що впав у воду, пропливе за течією цю відстань за 30 хв. Задача 64.

Між двома пунктами, розташованими на річці на відстані l =100км один від одного, курсує катер. Катер проходить цю відстань за течією за t₁= 4год, а проти течії за t₂=10год. Визначити швидкість течії річки υ₁ і швидкість катера υ₂ відносно води.

Розв’язання:

Для руху катера вгору і вниз по річці можна записати рівняння:

l = (υ₁+υ₂)t₁ і l = (υ₂−υ₁)t₂. Розв’язавши цю систему рівнянь відносно υ₁ і υ₂, дістанемо:

t²−t¹км

υ₁= l = 7,5

2t t_{1 2}год

t¹+t²км

υ₂= l =17,5 .

2t t_{1 2}год

Відповідь: швидкість течії річки становить 7,5 ^км, а швидкість год

катера відносно води становить17,5 ^км. год

Задача 65.

Відстань між кінцевими зупинками тролейбуса 6 км. Через кожні 5 хв з кінцевої зупинки відходить тролейбус і рухається із середньою швидкістю 18 ^км. Скільки тролейбусів зустріне на год

протязі всього маршруту пасажир, що знаходиться в зустрічному тролейбусі, який рухається з такою самою середньою швидкістю? Розв’язання:

Побудуємо графіки шляхів зустрічних тролейбусів і тролейбуса, в якому їде пасажир. З малюнка видно, що пасажир зустріне 7 тролейбусів.