Задачі математичних олімпіад для 6 класу та методи їх розв’язування

Задачі математичних олімпіад для 6 класу та методи їх розв’язування

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

 

1.Подільність чисел.

2.Звичайні дроби.

3.Розв’язування задач за допомогою рівнянь.

4.Принцип Діріхле.

5.Ігри,стратегії та алгоритми.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подільність чисел

1.Доведіть, що коли р — просте число, більше від 3, то число (р- 1)(р+ 1) ділиться на: а) 3; б) 8; в) 24.

Розв’язання.

а) Розглянемо добуток (р - 1 )р(р + 1 ). Одне з трьох послідовних натуральних чисел р – 1, р або р + 1 ділиться на 3. Оскільки р –просте число, більше від 3, то р на 3 не ділиться. Отже, р – 1 або р + 1 ділиться на 3, тому й добуток (р - 1 )(р + 1 ) ділиться на3.

б) Оскільки р — просте число, більше від числа 3, то р — непарне. Тому
добуток (р - 1 )(р + 1 )  є добутком двох послідовних парних  чисел. Одне з цих чисел має ділитися на 4, а інше — на 2. Тому добуток (р - 1 )(р + 1 )   ділиться на 8.

в) Добуток (р- 1)(р + 1), як ми вже показали, ділиться на 3 і на 8. Тому
він ділиться на 3 ∙ 8 = 24.

 

2.Якщо у запису 3*4*5*0*28 замість зірочок у довільному порядку поста­вити цифри 2, 3, 4 і 5 (кожну — один раз), то одержане число поділиться на 36. Доведіть це.

Розв’язання.

Число 3*4*5*0*28 ділиться на 4, бо двома останніми його цифрами за­писується число 28, яке ділиться на 4. У якому порядку ми не розставляли б замість зірочок цифри 2, 3, 4 і 5, сума цифр одержаного числа дорівнюватиме 3+4 + 5 + 0 + 2 + 8 + 2 + 3 + 4 + 5 = 36. Отже, одержане число ділитиметься й на 9. Тому воно ділитиметься й на 4 • 9 = 36.

 3.Напишіть довільне трицифрове число. Допишіть до нього це ж саме чис­ло. Чи ділиться одержане шестицифрове число па 7; на 11; на 1З? Чи для будь-якого трицифрового числа це справедливо? Якщо так, то чому?

Розв’язання.

 ―

Нехай abc = 100а + 10 b + с — записане число, де a, b і с — цифри. До­-

—―—

писавши це ж число, матимемо: abcabc = 100000а + 10000 b+ 1000с + + 100а + 10b+ с = 100100а + 10010b+ 1001с = 1001(100а+10b+ с). Оскільки число 1001 ділиться на 7, на 11 і на 13, то одержане шестицифрове число ді­литиметься на 7, на 11 і на 13, яке трицифрове

 ―

число аbс ми не записали б.

 

 4.Чи існують два натуральні числа, добуток яких дорівнює 168, а найбіль­ший спільний дільник — 14?

Розв’язання.

Таких чисел не існує. Справді, припустимо, що існують натуральні чис­ла, добуток яких дорівнює 168, а найбільший спільний дільник — 14. Тоді кожне із цих чисел має бути не меншим від числа 14, а добуток — не меншим від 14 ∙ 14 = 196, що суперечить умові про добуток чисел.

 

5.Знайдіть усі прості числа х та у, для яких є правильною рівність:

а) З х - у =12; б) х +у = 31; в) х² -у² = 21.

 

Розв’язання.

а) х = 5; у = 3. Вказівка. Число у має ділитися на 3. Оскільки воно просте, то у = 3.

б) х = 2; у = 29 або х = 29; у = 2. Вказівка. Одне із чисел — х або у — має бути парним числом, а інше — непарним, бо їх сума є непарним числом. Отже, х = 2 або у = 2.

в) х = 5; у = 2. Вказівка. З рівності х²-у² = 21 випливає, що одне з простих чисел — х або у — має бути парним числом. Оскільки х має бути більшим від у, то у = 2.

6.Чотири кораблі вирушили одночасно в плавання. Відомо, що перший корабель повернеться і знову вирушить із цього порту в наступне плавання через 30 днів, другий — через 8 днів, третій — через 12 днів, а четвертий — через 60 днів. Через скільки днів усі кораблі знову зустрінуться в порту?

Розв’язання. Знайдемо НСК чисел 30, 8, 12 та 60. Найменше спільне кратне дорівнює 120. Отже, кораблі зустрінуться через 120 днів.

Відповідь. Через 120 днів.

7. У класі 27 учнів. Чи може кожен з них товаришувати 9 однокласниками?

Розв’язання. якщо це можливо, то таких товаришувань усього повинно бути 27∙9=243. У товаришуванні беруть участь завжди двоє, тобто кількість товаришувань повинна ділитись на 2. Знайдене число не ділиться на 2. Отже, таке неможливо.

Відповідь. Ні.

8.Довести , що число 49¹⁰⁰ – 14⁵⁰ кратне 5.

Доведення: знайдемо цифри, на які закінчуються зменшуване та від'ємник.

 49¹=…9; 49²=…1; 49³=…9;…; 49¹⁰⁰=…1 .

14¹=…4; 14²=…6; 14³=…4; …;14⁵⁰=…6 .

Оскільки зменшуване закінчується цифрою 1, а від’ємник — цифрою 6, то різниця закінчиться цифрою 5.

9. Знайти двоцифрові числа, які при діленні на суму їх цифр дають неповну частку, що дорівнюють 5, і остачу, яка дорівнює 7.

Розв’язання. Використовуючи властивість ділення з остачею, маємо рівняння:

10а + b= 5( а +b) +7. Виразимо а через b: а= . Отже,b=2 або 7, тоді а=3 або 7.Маємо два числа 32 та77. Перше число не може дати при діленні на суму своїх цифр остачу 7. Друге число задовольняє  умову задачі.

Відповідь. 77.

10.З чотирьох тверджень: « Число А ділиться на два», « Число А ділиться на 8», « Число А ділиться на 16», « Число А ділиться на 48» три правильні, а одне – ні. Яке саме?

Розв’язання: нехай четверте твердження правильне, тобто А ділиться 48.
З того, що 48 = 3 • 16, правильними будуть і перші три твердження. Але за умовою правильними є лише три твердження. Отже, останнє твердження є неправильним.

Відповідь. Четверте.

11. На дошці написані числа: 0,1,0,0. За один крок дозволяється додавати одиницю до будь – яких двох із них. Чи можна повторюючи цю операцію багато разів, досягти того, щоб усі числа стали рівними?

Розв’язання. Щоб числа стали рівними, необхідно, щоб їх парність була однаковою.
Додавати одиницю — це означає змінювати парність числа. За умовою задачі змінити парність одночасно можна лише у двох, але оскільки серед  чотирьох даних чисел одне непарне і три парних, то досягти того, щоб числа стали однією парності , неможливо.

Відповідь. Ні.

12.Довести,що число , в десятковому запису якого є лише три одиниці та кілька нулів, не є квадратом.

Розв’язання.

 13.Якщо квадрат деякого натурального числа ділиться на 3, то він ділитиметься і на 9.Число , яке містить лише три одиниці , а решта – нулі, ділиться на 3, але не ділиться на 9. Отже, дане число не є квадратом.

 14.Скількома нулями закінчується добуток 1*2*3*…49*50?

Розв’язання.

У розкладі на прості множники даного добутку 12 п’ятірок. Отже. Даний добуток закінчується 12 нулями.

Відповідь.12.

15.Довести , що будь-яке  трицифрове число, записане однаковими цифрами ділиться на 37.

Відповідь.

 — —
ааа=100а+10а+а=111а.Число 111 ділиться на 37 , а тому і число ааа 

ділиться на 37.

16.Число 13*045*(де зірочки -це цифри) ділиться на 72. Знайти це число.

Розв’язання.

Число 72 можна подати у вигляді добутку чисел 8 та9.Отже,шукане число повинно ділитися на 8 та9. Отже, шукане число повинно ділитися на 8 та9. Якщо три останні цифри утворюють число,яке ділиться на 8, то і дане число буде ділитися на 8. Простим перебором встановлюємо, що це 456. Якщо число ділиться на9, то сума його цифр ділиться на 9. Сума цифр числа 13*0456 дорівнює19. Тому замість зірочки необхідно поставити число 8.

Відповідь.1380456.

17.Володя написав на дошці 1*2*3*4*5*6*7*8*9=21, причому замість зірочок він поставив або плюс, або мінус. Сашко переправив кілька знаків на протилежні і в результаті замість числа 21 він отримав число Чи можна стверджувати , що хоча б один із хлопчиків помилився?

Розв’язання. Помилився Сашко:сума(різниця) непарної кількості непарних чисел завжди непарна.

18. 6 аркушів паперу. Кожен з них розрізали на 6 частин, потім деякі з одержаних частин знову розрізали на 6 частин. Коли порахували загальну кількість, то виявилося , що є 204 частини. Доведіть, що рахунок виконали неправильно.

Розв’язання .У результаті кожного розрізування до попереднього числа аркушів додається ще 5 аркушів. Тому якщо від загального числа аркушів відняти 6, які були спочатку, то одержане число має ділиться на 5. Знаходимо різницю 2004-6= 1998, це число не ділиться на 5. Робимо висновок: підрахунок виконали неправильно.

19. Перемноживши чотири простих послідовних числа, Наталя одержала в результаті число, остання цифра якого дорівнює нулю. Які числа вона перемножила і який результат одержала?

Розв’язання. Добуток закінчується нулем, тому він ділится на 2 і5. Отже, чотири прості послідовні числа такі: 2,5, 7, 11.Їх добуток 2*5*7*11=770.

20. Замініть зірочку цифрою та знайдіть такі прості числа а , щоб була правильною рівність: 33*=а∙3∙5∙11

Розв’язання:

Замість зірочок можна написати 0 або 5,бо число ділиться на 5; 330= а∙3∙5∙11;дописали 0; 330=а∙165; а=330:165;а=2.

335=а∙3∙5∙11;дописали5.335=а∙165;335 не ділиться на 165.  Замість зірочок можна записати лише цифру 0 і а=2.

 

21. Дівчинку запитали: «Скільки грибів ти знайшла?».Вона відповіла:  « Менше, ніж 100, і якби я розклала їх на купки або по 3, або по 4,або по 7 грибів, то в кожному випадку залишку не було б». Скільки грибів знайшла дівчинка?

Розв’язання.

3*4*7=84( гриби)

22. У змаганнях беруть участь 90 учнів. На футболці кожного з учасників нанесено номер від10 до 90 учнів. На футболці кожного з учасників нанесено номер від 10 до 99 включно. Фірма «Пінг- Понг» вручила призи власникам тих номерів, які діляться на кожну із цифр у запису номера. Скільки учнів одержали призи?

Розв’язання. Числа,що закінчуються нулем, не задовольняють зазначену умову, бо ділити на нуль не можна. Числа від 11 до 19 задовольняють умову, якщо діляться на число, що записане останньою цифрою. Це числа 11, 12, 15.

Числа від 21 до 29 мають бути парними і ділиться на число, записане останньою цифрою. Це числа 22, 24.Числа від 31 до 39 мають ділитися на 3 і на число, записане останньою цифрою. Це 33, 36. Числа від 41 до 49-44, 48; від 51 до 59-55;від 61 до 69-66;наступні числа-77,88,99.Призи одержать 14 дітей.

23. Якою може бути остання цифра числа, кратного:а)2; б)3; в) 561.

Розв’язання.

Щоб знайти числа кратні числу 2, потрібно число 2 помножити на 2,3.4, …,9,10,11,… Остання цифра кратного обумовлена останньою цифрою числа, на яке множимо, тому потрібно знайти, якою цифрою закінчуються добутки:2*1=2, 2*2=4,2*3=6,2*4=8,2*5=10,2*6=12,2*7=14,2*8=16,2*9=18,2*10=20.

Отож,останньою цифрою числа , кратного 2, є всі цифри: 0, 2,4,6,8.

3*1=3,3*2=6,3*3=9,3*4=12,3*5=15,3*6=18,3*7=21,3*8=24,3*9=27,3*10=30.

Отож,останньою цифрою числа, кратного 3. Є всі цифри: 0,1.2,…,9.

Останньою цифрою числа , кратного 561, теж є всі цифри від 0 до 9.

24.Яке найменше число одержимо, якщо , ділячи його на 2, отримаємо остачу 1, ділячи на 3- остачу 2, ділячи на 4- остачу3, ділячи на 5- остачу 4. Ділячи на 6- остачу 5 і воно ділиться на 7?

Розв’язання. Число ,яке дорівнює добутку 3*4*5, є найменшим числом, що ділиться на 2, 3, 4,5 і 6.Якщо від нього відняти одиницю, то одержимо остачі на 1 менші від чисел 2,3. 4.5,6,тобто 1, 2. 3, 4,5. Маємо число 3*4*5-1=59,але воно не ділиться на 7.Додамо добуток 3*4*5, який не змінить остач, 59+60=119, це число ділиться на 7. Отже, 119- шукане число.

Доведіть,що за допомогою цифр 1,2,3,4,5,6,узятих по одному разу,не можна записати шестицифрове число, яке було б квадратом цілого числа.

Розв’язання.

Сума цифр 1,2,3,4.5,6 дорівнює 21. Тому будь-яке записане за допомогою цифр шестицифрове число ділиться на 3, але не ділиться на 9.

Припустимо, що існує ціле число a, квадрат якого дорівнює записаному шестицифровому числу. Тоді число aмає ділитися на 3, його квадрат, тобто записане шестицифрове число, має ділитися на 9. Одержали суперечність.

 

 

 

Звичайні дроби

1.Знайти значення виразу: + + … + .

Розв’язання: подамо кожний дріб у вигляді різниці двох дробів:

 - + - + … + - = - = .

Відповідь.

 

2.Знайти всі натуральні значення n,при яких дріб буде цілим.

Розв’язання.

Здійснимо такі перетворення даного дробу:

===+=3+.

Підставляючи замість змінної n числа1,3,4,5,8, одержуємо цілі значення виразу.

Відповідь.1,3,4,5,8.

3.Знайдіть усно значення виразу

Розв’язання.128*255-127=127*255+255-127=127*255+128.

Відповідь.1.

4. Різниця знаменника та чисельника дробу дорівнює 2114.Знайдіть цей дріб, якщо після його скорочення одержали

Розв’язання. Різниця знаменника та чисельника дробудорівнює 7,що у 2114:7=302 рази менше, ніж відповідна різниця шуканого дробу.

Отже, шуканий дріб скорочували на 302.

Відповідь..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв'язування задач за допомогою рівнянь

Методичні поради

Розв'язуючи задачі зо допомогою рівнянь здебільшого дотримуються такої схеми:

1) вибирають невідоме і позначають його через х (або будь-якою іншою
буквою);

2.                        використовуючи умову задачі, складають рівняння;
3.                        розв'язують рівняння і відповідають на поставлені в задачі запитання.

Починати розв'язання задачі доцільно зі встановлення величин, значення
яких рівні. Через х бажано позначати ту невідому величину, через яку легше
виражаються величини, значення яких можна прирівняти. 

Задача. Велосипедист проїхав запланованого шляху і ще 40 км, після чого йому залишилося проїхати 0,75 шляху без 118 км. Яка довжина всього шляху?

Розв’язання:

Нехай   х км   —  довжина   всього   шляху.   Велосипедист   проїхав  (+40) км. Весь шлях: + 40 +0,75 х – 118) км.

Рівняння:

+ +40 -118 =;

– =118 – 40;

=78.

=78 : ;

=168.

 

 Задача .З міста а до міста В одночасно виїхали автомобіль і мотоцикліст. Коли через 2,5 год. автомобіль прибув до міста В, мотоциклістові до В залиша­лося проїхати ще 75 км. Знайдіть відстань між містами, якщо швидка автомобіля в 1,6 разу більша від швидкості мотоцикліста.

Розв’язання:

Нехай маса води дорівнює а, тоді маса льоду — а. Маса води становить а: а= маси льоду. Звідки випливає, що коли лід перетвориться у, то зменшиться на 1- = свого об’єму.

Задача.Сестра дала одному своєму брату половину всіх груш, що були у неї, і ще 5 груш, а другому - половину решти і останні 5 груш. Скільки груш було у сестри?

Розв’язання: Позначимо всі груші через х. За умовою задачі складемо рівняння і розв’яжемо його:

+5+

Х+20+(

,

Х=30.

Відповідь.30.

Батькові 29 років, а сину 7 років. Через скільки років батько буде старший за сина в 2 рази?

Розв’язання.

Через х років батькові буде(29+х) років, а синові(7+х) років. Маємо рівняння: (7+х)*2=29+х. Звідки х=15.

Відповідь. Через 15 років.

На скільки відсотків і в яку сторону зміниться добуток двох додатних чисел, якщо перше число зменшити на 20 %, а друге збільшити на 20%?

Розв’язання.

Позначимо задані числа через х та у. оді їх добуток ху. Якщо перше число зменшити на 20%, а друге збільшити на 20%, то добуток нових чисел дорівнюватиме 0.8х*1.2у=0.96ху.Отже, другий добуток становить 96% першого добутку, тобто зменшився на 4%.

Відповідь. Зменшиться на 4%.

 

Яке двоцифрове число, будучи прочитаним справа наліво, збільшується в 4.5 рази?

Розв’язання. — —

Розглянемо два двоцифрові числа:ab=10а=b та ba=10b=а. тТоді

За умовою задачі маємо рівняння

10b+a=4.5(10a+b).

10 b+а=45а+4.5b

20b+2а=90а+9b,

88а-11b=0,b=8а.

Оскільки а≠0,то а=1,в=8.

Відповідь.18.

Логічні задачі

 

1. 15 сірників розміщені в ряд. Треба зібрати їх у 5 купок по 3 в кожній, перекладаючи їх по одному і кожний раз перестрибуючи при цьому через три сірники:XIII:II=IV

                     +V:III=III

                      II  II   II

                      III:I=I

Відповідь. Треба зробити 12 таких перекладань:2 до 6; 1 до 6;8до12;7до12;9до5;10до5;4 між5і6 ;11 між5і6;13 на місце з номером11,14 на те ж місце,15 на те ж місце.

2. Двоє почергово говорять довільні числа, які не більші, ніж 10. Ці числа додаються одне за одним. Виграє той , хто першим скаже « сто». Як виграти?

Відповідь. Треба називати числа, щоб отримати послідовність сум: 1;12;23;34;45;56;67;78;89.

3.  Серед 80 однакових на вигляд монет одна фальшива(легша). Як за допомогою чотириразового використання шалькових терезів без важків знайти фальшиву монету?

Відповідь. Покладемо на обидві шальки терезів по 27 монет. У випадку рівноваги фальшива монета у групі з 26 монет. Якщо терези в рівновазі, то фальшива монета в легшій групі з 27 монет. З групи, де фальшива монета, беремо по 9 монет і т. д. 8.Прийшовши в тир, Петрик купив 5 куль, За кожний успішний постріл йому дають ще 5 куль. Петрик стверджує, що він зробив 50 пострілів і 8 раз влучив у ціль, а його товариш Васько каже, що такого бути не може. Хто з них правий?

Розв’язання:

За вісім влучних пострілів Петрик одержав 40 додаткових куль. Отже, всього Петрик зробив лише 45 пострілів, а не 50 , як він стверджує. Васько правий.

Відповідь. Васько.

4.Заданий прямокутник розрізали на декілька прямокутників, периметр кожного з яких — ціле число. Чи можна стверджувати, що периметр даного прямокутника також є цілим числом?

Відповідь: ні, не можна. Наприклад, квадрат зі стороною

           розбивається на два рівні прямокутники, периметри яких дорівнюють 2.

 

5.Один хлопчик 20 листопада 2004 року сказав: "Різниця між числами прожитих мною місяців і прожитих мною (повних) років сьогодні вперше стала рівною 111". Коли народився цей хлопчик?

Відповідь: 20 жовтня 1994 року. Нехай хлопчик прожив х років та у місяців. Тоді він прожив 12х+у місяців, і тому 12х + у - х = 111, тобто 11х + у = 11 • 10 +1. Оскільки  у<12,то у =1, х = 10.

 

6. Є 68 монет, попарно різних за вагою. За 100 зважувань на талькових терезах без гир знайдіть найважчу й найлегшу монети.

Відповідь: розіб'ємо 68 монет на 34 пари і порівняємо монети в парах. Потім серед 34-х найважчих монет за 33 зважування знаходимо найважчу, а серед 34-х найлегших за 33 зважування знаходимо найлегшу.

 

7.Трамвайні квитки мають номери від 000000 до 999999. Номер називається щасливим, якщо в нього сума трьох перших цифр дорівнює сумі трьох останніх. Доведіть, що кількість усіх щасливих номерів дорівнює кількості номерів, у кожного з яких сума цифр дорівнює 27.

Відповідь:дійсно, якщо замінити перші три цифри щасливого номера на їхні доповнення до дев'яти, то одержимо номер із сумою цифр, рівною 27, і навпаки.

8.На острові живуть лицарі, які завжди кажуть правду, і брехуни,
кожне твердження яких хибне. Мандрівник зустрів трьох жителів цього острова і запитав кожного з них: "Скільки лицарів серед твоїх попутників?" Перший відповів: "Жодного". Другий відповів: "Один". Яку відповідь дав третій?

Відповідь: "Один". Якщо перший — лицар, то другий і третій — брехуни, що суперечить відповіді другого. Отже перший — брехун. Якщо другий — брехун, то третій також брехун, що підтверджує відповідь першого. Отже, другий — лицар. Тоді третій також лицар.

9.Щоб пронумерувати сторінки великої наукової роботи, знадобилося 3389 цифр. Скільки сторінок у роботі?

Розв’язання.

Однією цифрою пронумеровано 9 сторінок, двома цифрами- 90 сторінок , трьома - 900 сторінок. Всього будемо мати 9+90*2+900*3=2889(цифр).

Залишається ще 500 цифр , використаних для запису чотирицифрового номера сторінки. Таких сторінок 500:4=125.

Отже,у науковій роботі 9+90+900+125=1124(сторінок).

Відповідь.1124.

10.Чи можна з’єднати п’ять міст дорогами так, щоб кожне місто було з’єднане рівно з трьома іншими?

Розв’язання. За умовою задачі доріг має бути

Відповідь. Ні.

11.Чи можна розставити числа в квадратній таблиці 5*5 так, щоб сума чисел у кожному рядку була додатною, а в кожному  стовпчику від’ємною?

Розв’язання.

Якщо додатні всі числа у рядках, то вийде додатне число,а якщо у стовпчиках, то від’ємне. Сума чисел у таблиці не може бути різною, адже від перестановки доданків сума не змінюється.

Відповідь. Ні, не можна.

12.Під час ранкової зарядки учні вишикувалися в шеренгу по одному з інтервалом 1 м. Довжина шеренги 30 м. Скільки учнів було на зарядці?

Відповідь.31 учень.

13.П’ять хлопчиків знайшли 9 грибів . Довести , що хоча б двоє з них знайшли грибів порівну. Довести , що серед них є хлопчик , який знайшов не менше 2 грибів.

Розв’язання.

Якби всі хлопчики знайшли різну кількість грибів, то всього було б не більше п’яти грибів. Отже, хтось із хлопчиків повинен знайти не менше двох грибів.

 

14.Написати найменше десятицифрове число, у якого всі цифри різні.

Відповідь.1023456789.

15.Дано квадрат5*5. Розставити знаки «+» та «-« так, щоб у будь-якому квадраті розміром 3*3 було рівно вісім “_- ”.

-	-	-	-	-
-	-	-	-	-
-	-	+	-	-
-	-	-	-	-
-	-	-	-	-

 

16.Що більше:15%від числа240 чи число,75%якого дорівнює 27?

Розв’язання. Оскільки 240*0.15=27/0.75, то ці числа рівні.

17.Миколка і Петрик біжать навколо стадіону. Миколці потрібно 3 хв, щоб подолати 1 круг, а Петрику-4 хвилини. Стартували вони одночасно. Через скільки хвилин вони вперше перетнуть лінію старту одночасно?

Розв’язання.

Якщо довжину одного кола позначити умовно через1, то за 1 хв Миколка пробігав 1/3 кола, а Петрик 1/4 кола. Різниця в швидкостях хлопчиків 1/12. Хлопці одночасно перетнуть лінію старту, коли Миколка пробіжить на одне коло більше, ніж Петрик. Це станеться через 1:1/12=12(хв.).

Відповідь.12 хв.

18.Відшукати всі трицифрові числа, які у 12 раз більші від суми своїх цифр.

Розв’язання.

Трицифрове число можна записати так: 100а+10b+с, суму його цифр : а+b+с. Маємо рівняння:

100а+10b+с=12(а+ в +с).

88а-2b-11с=0,11с=88a-2b,

С=8а- b.

Змінна b може набувати лише значення 0.Оскільки а не може дорівнювати 0, тоді с=8*1-0=8. Отже,маємо число 108.

Відповідь .108.

19.Іван Іванович купив собаку. Сашко думає , що цей собака чорний пудель, Павлик вважає його білою болонкою, а Маша – білим шпіцом. Відомо, що кожний з дітей правильно вгадав або колір шерсті собаки, або породу. Назвати породу собаки і колір його шерсті.

Роз’язання.

Якщо вважати, що собака має чорну шерсть, то він повинен бути або болонкою, або шпіцом. Тоді один із друзів правильно вгадав породу,а другий- колір, що фактично означає , що собака має білу шерсть.

Ми прийшли до суперечності. Якщо собака має білу шерсть, то він не може бути болонкою або шпіцом. Отже,порода собаки-пудель.

Принцип Діріхле

Математикам часто доводиться розв'язувати задачі, пов'язані з проблемами існування розв'язків рівняння, квадратних коренів n-го степеня дійсних чисел, границі послідовності, похідної функції в точці тощо. Розв'язування одних задач досить просте і доступне навіть юним математикам (наприклад існування розв'язків квадратно­го рівняння); розв'язання інших може бути досить складним і довгот­ривалим (згадаймо велику теорему Ферма, на доведення якої пішло майже чотири століття). Повсякденне життя також часто примушує людину вирішувати проблеми, пов'язані з тими чи іншими питаннями «існування». Тому важливо вміти розв'язувати задачі на «існування».

У більшості випадків розв'язування таких задач вимагає індивіду­ального підходу. Проте часто допомагає принцип Діріхле, який форму­люється так:

У кожній сукупності з п множин, де загальна кількість елементів перевищує п, є принаймні одна множина, в якій міститься не менше двох елементів.

П. Діріхле вперше його використав у 1842 р. під час доведення тео­реми про існування раціонального наближення ірраціонального числа.

Задачі, в яких проблеми «існування» можна вирішити за допомо­гою принципу Діріхле, часто пропонуються учасникам різних матема­тичних змагань, читачам журналів «У світі математики», «Математика в школі», «Квант». Для їх розв'язування використовують принцип Діріхле, який формулюють у рівносильній за змістом, але простішій формі, а саме:

Якщо в п ящиках лежать k предметів і k більше під n, то принаймні а одному ящику є не менше двох предметів.

або

Якщо в n клітках число кролів більше від nk, то принаймні в одній клітинці кролів більше ніж k.

Проілюструємо застосування принципу Діріхле під час роз­в'язування задач, серед яких є арифметичні й геометричні, жартівливі й побутові.

1.                       У похід пішли 12 туристів. Наймолодшому з них 20 років, а найстаршому — 30. Чи є серед них однолітки?

 

 

Розв’язання. Туристи утворюють 11 вікових груп, які і будуть «ящиками»,
а «предметами» будуть самі туристи. Оскільки К=12>11=n, то за
принципом Діріхле принаймні в одній віковій групі буде щонайменше

2 туристи, які є однолітками.

 

1.2.Усі точки площини пофарбовані у два кольори. Довести, що на площині є дві точки однакового кольору, відстань між якими дорівнює 1.

Розв’язання. У цій задачі «ящиками» будуть кольори, їх 2. Тому «предметів»,
тобто точок, треба взяти 3. Такими точками можуть бути вершини
рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 1. Згідно

3 принципом Діріхле принаймні дві з них матимуть однаковий колір, що й треба було довести.

 

1.3.На кожній клітинці дошки розміром 5х 5 клітинок сидить жук. За командою жуки переповзають на сусідні клітинки (клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону). Довести, що після того як усі жуки переповзуть, знайдеться клітинка, на якій сидітимуть принаймні два жуки.

 Розв’язання.У задачі йдеться про дві множини — множину клітинок і множину жуків. Оскільки їх однакова кількість, то до цих множин принцип Діріхле застосувати не можна. Тому зробимо так. Пофарбу­ємо у два кольори, наприклад білий і чорний, клітинки дошки і жуків, що сидять на них, за схемою шахівниці. Нехай білих клітинок 12. Тоді чорних жуків — 13. Тепер очевидно, що на білі клітинки повинні переповзати чорні жуки. Тому за принципом Діріхле знайдеться біла клітинка, на якій сидітимуть щонайменше два чорні жуки.

 

1.4.У вищій лізі першості України з футболу виступає 16 команд. У першому колі чемпіонату кожні дві команди повинні зіграти між собою один матч. Довести, що завжди є дві команди, які провели однакову кількість ігор чемпіонату.

Розв’язання. У будь-який момент часу команди можуть провести таку кіль­кість зустрічей: 0, 1, 15. Візьмемо 16 аркушів паперу і на кожному з них запишемо ті команди, які провели однакову кількість зустрічей: на першому — команди, які ще не зустрічались з іншими командами, на другому команди, які провели по одній зустрічі, на третьому — по дві зустрічі і т. д. На останньому, шістнадцятому, аркуші запишемо ті команди, які провели всі 15 зустрічей. Заповнених аркушів буде менше ніж 16. (Якщо перший аркуш заповнений, то жодна з команд ще не провела всіх матчів, і останній аркуш не буде заповнений; якщо ж останній аркуш заповнений, то принаймні одна команда провела всі зустрічі, а отже, всі команди вже вступили в змагання, а тому перший аркуш буде незаповнений). Оскільки 16 команд записані на її аркушах, причому n<16, то хоча б на одному аркуші будуть написані дві команди. Саме ці команди й провели однакову кількість матчів.

1.5.  У ящику лежать 12 червоних, 13 блакитних і 8 жовтих куль, які
відрізняються тільки кольором. Три дівчинки хочуть із заплющеними
очима витягнути таку найменшу кількість куль, щоб серед них було
5 однакових. Аня гадає, що для цього треба взяти 15 куль, Оксанка
вважає, що достатньо витягнути 13 куль, а на думку Тетянки, їх треба
тільки 12. Хто з дівчаток правий? Відповідь обгрунтувати.

Розв’язання.

Права Оксанка. Якщо витягнуті кулі, які будемо вважати «кроликами», поміщати в « клітки» так,щоб у кожній «клітці» були тільки кулі однакового кольору, то треба всього 3 «клітки».  Оскільки 133*4, то за принципом Діріхле на мові «кроликів-кліток» принаймні в одній «клітці»буде не менше 5 «кроликів»,тобто в одній з «кліток»буде щонайменше 5 куль однакового кольору. Якщо ж взяти тільки 12 куль, то може статися так,що буде тільки по 4 кулі кожного кольору.

• Аналізуючи ці задачі, легко встановити, що в них вимагається фак­тично одне й те саме: або довести, що є «дві точки, клітинка спочатку н кожній задачі виділити множину, елементи якої виконувати­муть роль «ящиків» («кліток»), і множину, чиї елементи зіграють роль «предметів» («кроликів»), слідкуючи, щоб при цьому обов'язково «пред­метів» («кроликів») було більше, ніж «ящиків» («кліток»), а потім на підставі принципу зробити належний висновок.

Зважаючи на зроблені зауваження, перейдемо до розв'язування цих задач.

1.6 . Який з дробів більший: чи ?

Розв’язання:Використаємо метод Діріхле та властивості подільності.

Теорема. Якщо два числа при діленні на дане число А дають рівні остачі, то їх різниця ділиться на це число.

Доведення. Нехай числа В і С при діленні на число А дають остачу r:

В=N1A+r, С=N2A+r. Тоді В-С=(N1-N2)А.

Тобто різниця ділиться на А без остачі. Теорема доведено. Оскільки  при діленні на 5 отримують п’ять різних остач, то серед шести різних чисел завжди знайдуться два, остачі яких рівні. Отже, різниця саме цих двох чисел і буде ділитися на 5.

Відповідь. Так.

Розв’яжи самостійно.

1.Чи завжди серед будь-яких шести цілих чисел знайдеться два числа, різниця яких ділиться на 5?

2.У квадраті зі стороною 12 позначені довільним чином 13 точок. Довести, що серед них обов'язково є дві точки, відстань між якими не більша за 5.

3.На площині є 5 точок з цілими координатами. Довести, що середина хоча б одного з відрізків, які їх сполучають, має цілі координати.

4.Довести, що серед будь-яких 1001 різних натуральних чисел, менших за 2000, принаймні одне дорівнює сумі двох інших.

5.У 500 ящиках лежать яблука. Відомо, що в ящику не більше 240 яблук. Довести, що знайдеться не менше трьох ящиків з однаковою кількістю яблук.

 

Ігри, переслідування, стратегіЇ та алгоритми

 

Загальні відомості

Розв'язування задач, в яких йдеться про досягнення мети за допомо­гою послідовності ходів — зокрема, потрібно з'ясувати, хто з гравців перемагає в тій чи іншій грі — потрібно описати стратегії, правила вибору ходів, які забезпечують досягнення мети; у задачах про ігри (або в задачах про переслідування) при цьому потрібно довести, що стратегія забезпечує виграш при будь-яких діях партнера (в межах умо­ви задачі).

Такі задачі умовно можна розділити на три класи:

1) задачі, в яких виграшна стратегія базується на ідеї симетрії;

2)  задачі, в яких міркування ведеться з кінця, для відшукання початкових виграшних позицій;

3) задачі, з яких результат гри не залежить від дій обох гравців.
Хочеться зробити ще й таке зауваження: у таких задачах гравці

ходять по черзі, причому пропускати хід заборонено.

Задачі

1.На полі h8 шахової клітинки стоїть тура. За один хід її

можна пересунути вниз чи вліво (на довільну кількість клітинок). Програє той, кому нікуди ходити. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

2. Є дошка 50x50. Двоє по черзі закреслюють вибрану ним

клітинку, а також клітинки, які знаходяться над нею і справа від неї. Програє той. хто закреслить ліву нижню клітинку. Хто ви­грає при правильній грі: починаючий чи його партнер?

3.На одному кінці полоси 1 х 103 стоїть чорна, а на другому — біла фішка. Двоє по черзі рухають кожний свою фішку на 1, 2, 3 або 4 клітинки у будь-якому напрямку (перескочити через фішку суперника заборонено). Програє той, хто не зможе зробити свій хід. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

4. Гра починається з числа 100. За один хід дозволяється
зменшити число, яке дістали, на будь-який з його дільників. Програє той, хто одержить нуль. Хто виграє при правильній грі починаючий чи його партнер?

5. У коробці лежить 300 сірників. За один хід дозволяється

взяти із коробки не більше половини сірників, які там є. Програє  той, хто не зможе зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

6. Є дві купи цукерок: у першій — 40, у другій — 45. За один

хід можна одну купу з'їсти, а другу розділити на дві (не обов'яз­ково рівні). Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

7. Які поля виграшні, а які програшні на шаховій дошці 8x8

у такій грі: двоє ходять по черзі ферзем вліво, вниз чи по Діагоналі вліво — вниз. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто виграє: починаючий чи його партнер?

8. Гра починається з числа 1. За один хід можна помножиш

число, яке дістали, на будь-яке натуральне число від 2 до 9, Виграє той, хто першим отримає число, яке більше 1000. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

9. На дошці написано число 2. Двоє гравців по черзі додають

до написаного числа деякий його дільник (відмінний від самою числа). Програє той, хто першим запише число: а) більше 1989; б) більше 1990. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

10. На дошці записано числа 63 та 55. За один хід дозволяєть­ся дописати ще одне число, що є різницею двох чисел, які вже записані. Числа на дошці не повинні повторюватися. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто виграє: починаючий чи його партнер?

11. Двоє грають в шахи, виконуючи по черзі по два ходи підряд за звичайними правилами. Доведіть, що у другого гравця немає виграшної стратегії.

12. У n коробках лежить 2n цукерок. Двоє гравців по черзі беруть по одній цукерці. Якщо останні дві цукерки лежать у різних коробках, то виграє перший, інакше —другий. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

13.Двоє грають у хрестики-нулики на нескінченній площи­ні, яка розбита на клітинки. Перший за один хід може поставити два хрестики, а другий— один нулик. Доведіть, що перший зможе поставити 100 хрестиків в ряд.

14. Двоє грають у хрестики-нулики на нескінченній площи­ні, розбитій на клітинки. Кожен хоче поставити свій знак 5 ра­зів підряд по вертикалі чи по горизонталі. Доведіть, що другий гравець може грати так, щоб ніколи не програти.

15. В ряд стоять 12 зірочок. Двоє по черзі замінюють зіроч­ки на цифри. Якщо одержане 12-значне число ділиться на 77, то виграє другий гравець, інакше перший. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи ЙОГО партнер?

16.На дошці 3 х 1988 стоять біла тура і чорний слон. Дове­діть, що тура може взяти слона. (Важається що дані фігури хо­дять по черзі за звичайними шаховими правилами).

17. У смузі 1 х 1989 в трьох лівих клітинках стоїть по шашці. За один хід можна перемістити будь-яку шашку вправо, не пе­рестрибуючи через інші. Програє той, хто не зможе зробити хід.

Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

18. Двоє гравців по черзі  зафарбовують клітинки дошки 8x8.
Перший гравець своїм ходом зафарбовує дві сусідні клітинки в
чорний колір, а другий - довільну клітинку в білий колір. Спочатку всі клітинки були білими. Чи може другий гравець досягти
того, що після кожною його ходу: а) хоча б одна кутова клітинка; б) хоча б  дві кутових клітинки довільного квадрата розміром
5x5 були пофарбовані в чорний колір? (Клітинки називаються
сусідніми, якщо вони мають спільну сторону; одна і та ж клітинка
по холу гри може перефарбовуватися декілька разів).

Розв'язки, вказівки, відповіді

1. Вказівка. Виграє другий. Кожним своїм ходом він повинен        поверта­ти туру на діагональ.

2.Вказівка. Виграє перший. Першим своїм ходом він повинен закреслити квадрат 49x49, а потім ходити симетрично.

3.Вказівка. Виграє перший. Позиція буде програшною, якщо число клітинок між фішками ділиться на 5.

4.Вказівка. Парні числа виграшні, а непарні ― програшні.

5.Вказівка. Виграє перший. У програшних позиціях число сірників дорівнює 2ⁿ - 1.

6.Вказівка. Виграє перший. Виграшні ті позиції, в яких хоча б одна з куч парна.

7. Вказівка. Див. рисунок. Програшні позиції відмічено штрихуванням.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Вказівка. Виграє перший. Програшні позиції — числа від 4 до 6 та від 56 до 111.

9.Вказівка. Виграє перший. а) Парні числа виграшні, а непарні — програшні. б) Розберіть два випадки: число 6 — виграшне; число 6 — програш­не. В обох випадках число 4 — виграшне.

10.Вказівка. Виграє перший. Незалежно від ходів суперників у кінці будуть виписані всі числа від 1 до 63.

11.Вказівка. Якби у другого була б виграшна стратегія, то перший міг би зробити «хід на місці», а потім скористатися нею для себе.

12.Вказівка. Виграє другий. Після його ходів не порожніх коробок по­винно залишатись вдвічі менше, ніж цукерок.

13.Вказівка. Спочатку потрібно поставити 2¹⁰⁰ хрестиків по вертикалі. Принаймні 2⁹⁹ із них не будуть мати нулів на своїх горизонталях, а тому, і поряд з ними можна буде ставити чергові хрестики. Після цього залишиться 2⁹⁸ вільних пар хрестиків, і т. д. Продовжуючи цей процес вказаним чином, можна буде поставити в ряд 100 хрестиків.

14. Вказівка. Розіб'ємо площину на доміношки (див. рисунок) так, щоб будь-яка лінія з п'яти клітинок містила цілу доміношку. Тоді другий гравець повинен зайняти другу половину доміношки, в яку щойно походив перший.

 

 

15. Вказівка. Виграє другий. Врахуйте те, що число 1001
ділиться на 77.

      16. Вказівка. Нехай даний слон стоїть на чорній клітинці даної шахо­вої дошки. Поставимо туру на b1988 і будемо ходити на клітинки b 1997, b 1996, ... так, щоб слон був на лівій сусідній клітинці (яка має спільну вершину). У випадку, коли слон стоїть на білій клітинці, ми розташовуємо туру на Ь1, а далі попередня стратегія (тільки вже зліва направо).

17  Вказівка. Виграє  перший. Праву третю шашку він переміщує в са­мий кінець смуги, а потім, після кожного ходу другого (другою шашкою), він першу шашку ставить біля другої (зліва).

18. Вказівка, а) Скористайтесь тим. що для довіль­ного квадрата 5x5 хоча б одна з клітинок. відмічених на рисунку — кутова. Відповідь. Зможе. б) Для досягнення цілі другий гравець мусить  ходити так, щоб після кожного його ходу на дошці було не менше 32 білих клітинок. Пер­ший гравець зможе йому перешкодити, якщо своїми пер­шими 32 ходами пофарбує всі 64 клітинки  дошки, а 33-м ходом пофарбує будь-які дві сусідні білі клітинки. Відповідь. Не зможе.

+			+			+
		+			+
	+			+			+
+			+			+
		+			+
	+			+			+
+			+			+
		+			+

Вибір стратегії успіху

   В ігрових задачах під стратегією успіху (виграшною стратегією) ро­зуміють план гри, реалізація якого дозволяє гравцю одержати перемогу незалежно від дій суперника.

Задача вважається розв'язаною, якщо вказана виграшна стратегія.

Найбільш поширеними є симетричні й парні стратегії, а також стратегії, які будуються на основі аналізу ігрових позицій.

Симетричні стратегії — це виграшні стратегії, розроблені на ос­нові симетрії стартової позиції гри. Аналіз розв'язувань таких задач по­казує, що в іграх із симетричною стартовою позицією здебільшого ви­грає той, хто не порушує її симетрію, а порушену суперником симетрію стартової чи ігрової позиції може поновити. Цей простий висновок часто допомагає здобути перемогу в ігрових задачах з симетричною стартовою позицією.

Задача. У таблиці розміром 1x13 клітинок хлопчик і дівчинка по черзі
замальовують одну або дві сусідні клітинки. Перемагає той, хто замалює
останню клітинку. Хто виграє — хлопчик, який починає гру, чи
дівчинка?

Розв'язання. Позначимо буквою О сьому клітинку таблиці і розгля­немо таблицю як симетричну фігуру відносно цієї клітинки. Хлопчик не порушить симетрії стартової позиції гри, якщо своїм першим хо­дом замалює клітинку О. Симетрію ігрової позиції, напевно, по­рушить дівчинка, які б клітинки вона не замальовувала, а хлопчик, навпаки, завжди порушену симетрію може поновити — для цього йому слід замалювати клітинки, симетричні клітинкам відносно клітинки О, які замалювала дівчинка. Якщо хлопчик до закінчення гри триматиметься такої стратегії, то він виграє.

Задача. Оксанка й Оленка обривають на ромашці пелюстки. За один
раз можна зірвати будь-яку одну пелюстку або дві, які розташовані поруч.
Виграє та дівчинка, яка зірве останню пелюстку. Гру починає Оксанка.
Хто виграє, якщо на ромашці: а) 24 пелюстки? б) 25 пелюсток?

Розв'язання, а) Виграє Оленка, якщо, будуючи свою стратегію гри, використає центральну симетрію стартової позиції.

б) У цьому випадку стартова позиція гри має осьові симетрії. їх усього 25 — стільки, скільки ромашка має пелюсток. Оксанка своїм першим ходом не порушить симетрії відносно однієї з цих осей. Але своїм першим ходом й Оленка може не порушити симетрії. Для цього їй треба так зірвати одну або дві пелюстки, щоб між зірваними пелюст­ками їх залишилося по 11. Другим ходом Оксанка вже змушена пору­шити симетрію. Відповідаючи на кожний хід Оксанки, Оленка щоразу може поновлювати симетрію ігрових позицій, що врешті-решт забезпе­чить їй перемогу у грі.

Задача. З паперу в клітинку вирізали квадрат розміром 1993x1993,
з якого потім вирізали кутову клітинку. Двоє гравців по черзі від цієї
фігури відрізають по лініях клітинок квадрати довільних розмірів
і відкидають їх. Програє той гравець, після ходу якого фігура, що залишиться,
є або прямокутником довільних розмірів, або розпадається на
частини (якщо частини мають хоча б одну спільну точку — вершину, то
вони не розпадаються). Хто з гравців може забезпечити собі виграш?

Розв'язання. У цій задачі також маємо справу з осьовою симетрією — віссю симетрії слугує пряма, на якій лежить діагональ квадрата, що прохо­дить через вилучену клітинку. Якщо гравець, який починає гру, першим своїм ходом виріже квадрат зі стороною у 1991 клітинку, діагональ якого міститься на осі симетрії, то, по-перше, він не порушить симетрії, а по-друге, змусить суперника її порушити. Поновлюючи впродовж гри симетрію, порушену другим гравцем, перший переможцем завершить гру. (Якщо ж перший гравець за першим своїм ходом виріже квадрат менших розмірів, то другий гравець може перехопити ініціативу і примусити пер­шого визнати поразку).

Задача. Хлопчик і дівчинка по черзі фарбують клітинки таблиці розміром
1986х1986. За один хід дозволяється зафарбувати будь-які дві не
зафарбовані раніше клітинки, що мають спільну сторону. Починає цю
гру хлопчик, а переможцем вважається той, після ходу якого вже не
можна продовжувати гру (у таблиці немає двох сусідніх вільних клітинок). Як слід грати дівчинці, щоб завжди перемагати у цій грі?

Розв'язання. Стартова позиція гри симетрична відносно точки О пере­тину діагоналей таблиці. Тому хлопчик будь-яким першим ходом пору­шує симетрію; дівчинці для перемоги треба фарбувати клітинки, які си­метричні відносно точки О тим клітинкам, що їх зафарбував хлопчик, виконуючи свій хід.

Симетрія ігрових позицій забезпечує існування множини пар «про­образ — образ». У розглянутих задачах такими є пари клітинок таб­лиць, пари пелюсток ромашки, пари чисел виразу тощо. Гравець, дбаючи про симетрію ігрової позиції, зберігав пари «прообраз — об­раз». Він давав можливість супернику під час виконання ходу викори­стати «прообраз» і цим самим гарантував можливість виконання свого наступного ходу, використовуючи симетричний «образ».

Іноді пари, подібні симетричним парам, можна використовувати і в задачах, стартова позиція яких не є симетричною. Виграшну стра­тегію, яка передбачає використання пар, називають парною стратегією. Зазначимо, що конкретних порад щодо вибору «пар» не існує. Кожно­го разу виділення «пар» здійснюється, виходячи з умови конкретної задачі.

Розв'яжемо з допомогою парної стратегії задачі.

Задача. Двоє гравців по черзі ставлять на клітинки шахівниці розміром
25x25 фішки — один білого, а другий чорного кольорів. Кожна
нова фішка ставиться на вільну клітинку. Забороняється лише
ставити фішку на таку клітинку, для якої на всіх сусідніх із нею уже
стоять фішки цього кольору (сусідніми вважаються ті клітинки, які
мають спільну сторону). Програє той, хто не зможе зробити свій черговий хід. Хто виграє за правильної гри — той, хто починає гру, чи його суперник?

Розв'язання. Зважаючи на симетрію стартової позиції гри, перше, що спадає на думку гравцеві, який починає гру, — використати симет­ричну стратегію: за першим ходом поставити свою фішку на клітинку, яка міститься на перетині діагоналей шахівниці, а далі відповідати на ходи суперника симетричними ходами. Але за такої гри другий гравець може підготувати «пастку» і виграти, бо він на клітинку X може поста­вити свою фішку, а першому гравцеві ставити білу фішку на клітину У не можна.

Однак перший гравець виграє в цій грі, якщо скористається пар­ною стратегією. Для цього йому досить поставити першим своїм ходом білу фішку на будь-яку клітинку дошки, а всі інші клітинки об'єднати в «пари», утворивши прямокутники розміром 1x2 . Якщо, відповідаючи на хід суперника, гравець, який почав гру, буде ставити свою фішку на клітинку прямокутника, куди щойно поставив фішку ЙОГО суперник, то він обов'язково виграє.

 

 

Задача. Двоє грають у таку гру. Спочатку перший гравець ставить
коня на довільну клітинку шахівниці 8x8, потім другий гравець робить
хід цим конем, потім хід робить перший і т. д. При цьому забороняється ставити коня на клітинку, де він уже побував раніше. Програє
той, хто не може зробити черговий хід. Хто виграє за правильної гри?

Розв'язання. «Пари» клітинок, які забезпечать другому гравцеві пе­ремогу, містяться у прямокутниках розміром 2x4. Тому після першого ходу гравця, який почав гру, другий гравець подумки поділяє шахівни­цю на вісім прямокутників зазначених розмірів і виконує свій хід, зали­шаючи коня у виділеному прямокутнику. Відповідаючи у такий спосіб на кожний хід суперника, другий гравець досягне перемоги.

 

Розглянемо спосіб побудови стратегії успіху, який базується на аналізі ігрових позицій. Ігрову позицію називають виграшною, якщо існує такий хід гравця, який забезпечує йому виграш. Ігрову позицію називають програшною, якщо з неї не можна виграти. Якість ігрової позиції визна­чається перед ходом гравця і не залежить від того, який хід виконувати­ме гравець. Після виконання ходу виграшна позиція перетворюється у програшну, а програшна — у виграшну. Аналіз ігрових позицій здебі­льшого варто починати з фінальної частини гри. Аналізом ігрових по­зицій треба визначити, чи є стартова позиція виграшною, чи вона про­грашна. Гравець, який починає гру з виграшної позиції за правильної гри завжди виграє, а гравець, який починає гру з програшної позиції — програє за правильної гри свого суперника.

Задача. На столі лежать 13 сірників. Двоє хлопчиків по черзі беруть
1 або 2 сірники з цієї купки. Виграє той, хто візьме останній сірник.
Який хлопчик виграє і як він повинен грати?

Розв'язання.  Для скорочення записів будемо використовувати по­значення ІП (n) — ігрова позиція, коли на столі лежить n сірників, ПП — програшна позиція, ВП — виграшна позиція. Зрозуміло, що ІП(1) й ІП(2) — виграшні позиції, а ІП(3) — програшна позиція, бо в перших двох випадках гравець бере 1 або 2 сірники відповідно і ви­грає, а в третьому випадку скільки б не взяв гравець сірників, він зали­шає супернику виграшну позицію і програє. Продовжуючи гру з по­зиції ІП(4), можна програти, якщо взяти 2 сірники, але можна й виграти, взявши 1 сірник. Тому 1П(4) — ВП, аналогічно ІП(5) — ВП, а 1П(6) — ПП. Продовжуючи міркування, доходимо висновку, що ІП (З n) — ПП. Оскільки 13 =3∙4 + 1, то ІП(13) — ПП, а тому хлопчик, який починає гру, виграє, якщо за своїм першим ходом він візьме 1 сірник, а далі, відповідаючи на ходи суперника, братиме стільки сірників, щоб число тих, що залишаються на столі, було кратне 3.

Задача. Дві дівчинки по черзі беруть цукерки з двох коробок. За один хід можна взяти або одну цукерку з першої коробки, або одну цукерку з другої коробки, або по одній цукерці з обох коробок. Виграє та дівчинка, яка візьме останню цукерку. Хто виграє за правильної гри, якщо в одній коробці було 23, а в іншій 32 цукерки?

 

 

 

 0   1 2 3 4 5 6 7  

		*		*		*
		*		*		*
		*		*		*
		*		*		*

0

1

2

3

4

5

6

7 

 

 

Розв'язання. Для розв'язання задачі розглянемо прямокутну клітчату таблицю розміром 24x33 клітинки. Клітинки пронумеруємо так, як показано на рисунку 3.3. Тоді номери клітинок по горизонталі відпові­датимуть кількості цукерок у другій коробці, а по вертикалі — у першій. Поставимо на клітинку, що міститься в лівому нижньому кутку таблиці, тобто клітинку (23; 32), фішку. Таке положення фішки відповідатиме стартовій позиції гри.

Якщо з першої коробки дівчинка бере одну цукерку, то фішка зміщується на одну клітинку по горизонталі праворуч, якщо одну цукерку взяти з другої коробки — фішка зміщу­ється на одну клітинку по вертикалі вгору, якщо ж взяти по одній цукер­ці з обох коробок, то фішка зміститься по діагоналі праворуч і вгору. Переміщення фішки по клітинках таблиці відповідає переміщенню короля по клітинках шахівниці .(Гра завершиться, коли обидві коробки будуть порожні — фішка стоятиме на верхній правій клітинці таблиці.

 Використовуючи результати аналізу ігрових позицій, проведеного в попередній задачі, доходимо висновку, що програшним позиціям гри відповідатимуть клітинки таблиці з парними номерами. Отже, стартова позиція гри — виграшна позиція, а тому виграє дівчинка, яка починає гру. Для того щоб виграти, їй треба залишати після свого ходу в обох коробках парну кількість цукерок. Насамкінець зауважимо, що далеко не всі ігрові задачі можна роз­в'язати, використовуючи описані способи вибору виграшної стратегії. Іноді для розв'язання задачі доводиться поєднувати відомі способи, іноді — розробляти оригінальні стратегії, притаманні одній-єдиній за­дачі.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури

 

1. В.А.Ясінський. Задачі математичних олімпіад та методи їх розв’язування.-Тернопіль.2005.Навчальна книга-Богдан.
2. О.М. Вороний. Готуємось до олімпіади з математики. Книга1.Харків.Видавнича група «Основа»2008.
3. Позакласна робота з математики у неповній середній школі.1 частина. Тернопіль «Підручники.посібники»1997.
4. В.Зуб. Міські олімпіади юних математиків. Міські олімпіади юних математиків. Київ. «Шкільний світ»,2008.
5. Г.Янченко ,В.Кравчук. Математика . Підручник для 6 класу. Тернопіль. «Підручники і посібники»2006.
6. В.М. Лейфура, І.М. Мітельман,В.М. радченко,В.А. Ясінський «Математичні олімпіади школярів України 2001-2006».Навчально-методичний посібник. Львів. Каменяр, 2008.
7. Федак І.В. Методи розв’язування олімпіадних завдань з математики. Посібник для підготовки до математичних олімпіад. - Чернівці:Зелена Буковина,2002.-340с.