Задачі "Застосування графічного методу до розв'язування задач з параметром""

1. Скільки  спільних точок мають графіки заданих функцій у=|x²-4|x|+3|+a та у=2 залежно від параметра а?
   Розв’язання
   Точки перетину заданих графіків функцій співпадають з точками перетину графіків у=|x²-4|x|+3| та у=2-а
   у=x²-4x+3=(х-2)²-1          у=x²-4|x|+3            у=|x²-4|x|+3|
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   І. 2-а>3, a<-1, то дві точки перетину.
   ІІ.  2-а=3, а=-1, то три точки перетину
   ІІІ.1<2-а<3, -1<а<1, то чотири точки перетину.
   ІV. 2-а=1, a=1,  то шість точок перетину.
   V. 0<2-а<1, 1<a<2, то вісім точок перетину.
   VI. 2-а=0, a=2, то чотири точки перетину.
   VII. 2-а<0, a>2, точок перетину немає
   
   Відповідь: якщо 2-а>3, a<-1, то дві точки перетину;
   якщо 2-а=3, а=-1, то три точки перетину;
   якщо 1<2-а<3, -1<а<1, то чотири точки перетину;
   якщо 2-а=1, a=1,  то шість точок перетину;
   якщо 0<2-а<1, 1<a<2, то вісім точок перетин;
   якщо 2-а=0, a=2, то чотири точки перетину;
   якщо 2-а<0, a>2, точок перетину немає.
2. Скільки спільних точок мають графіки заданих функцій у=||x+2|-1|, y=|x-a| залежно від параметра а?
   Розв’язання
   y=x+2               y=|x+2|             y=|x+2| -1            y=||x+2| -1||
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   І. а>1,  то одна спільна точка.
   ІІ.  а=-1, то безліч спільних точок.
   ІІІ. -3<а<-1, то дві спільні точки.
   ІV.  a=-3,   то безліч спільних точок.
   V. a<-3, то одна спільна точка.
   Відповідь: якщо ає(-;-3) (-1;+)  то одна спільна точка;
   якщо ає{-3;-1}, то безліч спільних точок;
   якщо ає(-3;-1), то дві спільні точки.
   
    
3. Скільки спільних точок мають графіки заданих функцій у=|x+5|-|4-x|+a, y=1 залежно від параметра а?
   Розв’язання
   Точки перетину заданих графіків функцій співпадають з точками перетину графіків у=|x+5|-|4-x| та у=1-а.
   у=|x+5|-|4-x| у=|x+5|-|x-4|.
   x-4              -              -                +
   x+5            -              +                +
   
                               -5            4
    

І. 1- а>9, а<8,  то спільних точок немає.
ІІ.  1- а=9, а=-8, то безліч спільних точок.
ІІІ. -9<1-а<9,  -8< а<10,то одна спільна точка.
ІV. 1- а=-9 a=10,   то безліч спільних точок.
V. 1- а<-9, a>10, то  спільних точок немає.
Відповідь: якщо ає(-;-8) (10;+)  то  спільних точок немає;
якщо ає{-8;10}, то безліч спільних точок;
якщо ає(-8;10), то одна спільна точка.

4. Скільки спільних точок мають графіки заданих функцій у=|x+2|+|x-3|,     y=а-2х  залежно від параметра а?
   Розв’язання
   
   x-3              -              -                +
   x+2            -              +                +
   
                               -2            3
    

І. а<1,  то  спільних точок немає.
ІІ.  а=1, то безліч спільних точок.
ІІІ. а>1, то одна спільна точка.

Відповідь: якщо ає(-;1) ,  то  спільних точок немає;
якщо а=1, то безліч спільних точок;
якщо ає(1;), то одна спільна точка.

5. Скільки спільних точок мають графіки заданих функцій у=,     y=а+2  залежно від параметра а?
   Розв’язання
   у=       у=
   y= , x                y=                 у=.
   y= ,  y=,    y=.
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
    

І. а+2>1,  a>-, то чотири спільні точки .
ІІ.  а+2=1 ,  а=-, то три спільні точки.
ІІІ.1а+2<1, -1а<-,, то дві спільні точки .
ІV. 0<а+2<1, -2<а<-1,  то чотири спільні точки.
V. а+2=0, a=-2, то дві спільні точки .
VI. а<-2, то спільних точок  немає.

Відповідь:  якщо ає(-;-2),  то  спільних точок немає;
якщо ає{-2} [-1;-)  , то дві спільні точки;
якщо ає(-2; -1) (-+)  , то чотири спільні точки. ;
якщо а=-, то три спільні точки.

6. Скільки спільних точок мають множини А₁={(x,y): x, yєR,
   |y-x|+|x+y|=2a}, A₂={(x,y): x, yєR, x²+y²=1} залежно від параметра а?
   Розв’язання.
   |y-x|+|x+y|=2a

ОА=R=1, R=; a – сторона квадрата. а=R =, OK==.
Змінюючи сторону квадрата, маємо основні  випадки взаємного розміщення множин. х²+у² – фіксована множина.

І. а >1, то спільних точок немає.

ІІ. а=1, то чотири спільні точки.

ІІІ. <a<1, то вісім спільних точок.

ІV. a=, то  чотири спільні точки.

V. a<, то спільних точок немає.

Відповідь: якщо ає(-;) (1;+)  , то спільних точок немає;

якщо ає{1}, то чотири спільні точки;

якщо ає(), то вісім спільних точок.