Заняття № 35 «Математичні софізми»

Заняття № 35 «Математичні софізми»

Дане заняття відповідає діючій програмі факультативного курсу з математики для 7 класу Бевз В. Г, Бурда М. І., Прокопенко Н. С. «За лаштунками шкільної математики». Воно містить теоретичний матеріал, що відображає тему, приклади завдань з розв'язками та вправи для самостійного виконання.

Враховуючи інтереси та нахили учнів, їхню підготовленість, вчитель може доповнювати зміст заняття додатковим матеріалом, змінювати та удосконалювати методику проведення.

Тема 4. Математична мозаїка

Заняття 35

Математичні софізми

Математичні софізми – це арифметичні, геометричні, логічні задачі, які мають у розв’язку навмисну логічну помилку на деякому етапі розв’язку, в результаті виявляються несподівані парадоксальні (неможливі) результати.

Термін «софізм» від грецького означає хитрий викрутас, вигадка, хитрий умовивід.

Софізм першим ввів давньогрецький філософ, засновник школи софізмів  Протагор із Обдери (близько 480-410 р. до н.е.)

Софізм «Будь-яке число дорівнює його половині».

Беремо два рівних числа а  і  в,  а = в.

Обидві частини цієї рівності множимо на а  і потім віднімаємо від них по в². Дістаємо: а²-в²=ав-в²,

або (а-в)(а+в)=в(а-в).

Звідси а+в=в,

або а+а=а.

У нас в=а.  Отже, 2а=а, або .

Яку помилку допущено в цих міркуваннях?

Софізм «5=7».

Нехай число а в півтора рази  більше від числа в, тобто

.

Помножимо обидві частини рівності на 4, матимемо:

4а=6в,

але 4а=14а-10а і 6в= 21в-15в.

Тоді 14а-10а=21в-15в,

але 15в-10а=21в-14а;

5(3в-2а)=7(3в-2а).

Поділивши обидві частини на 3в-2а,дістанемо 5=7.

Де помилка?

Знайти помилку в міркуваннях.

Розв'язування вправ.

1. Знайдіть помилку в такому міркуванні:

«доведемо, що 5=6. розглянемо для цього числову тотожність: 35+10-45=42+12-54.

Винесемо спільні множники в обох частинах рівності за дужки. Отримаємо:

5(7+2-9)=6(7+2-9). Розділимо обидві частини рівності на спільний множник, який записано у дужках. Отримуємо  «5=6».

(Ділити на 0 не можна).

Використана література

1. Адлер А. Теорія геометричних побудов, Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Навчпедвид, 1940—232 с.
2. Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
4. Воронець О. М. Геометрія циркуля, Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л. О. Люстерника, М.- Л., ОНТІ, 1934 — 40 с.
5. Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с.
6. Манін Ю. І., Про розв'язність задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки, Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія), М., Фізматвид, 1963. — 568с.
7. Петерсен Ю. Методи і теорії розв'язку геометричних задач на побудову, Москва, типографія Э.Ліснера та Ю.Романа, 1892 — VIII + 114с.
8. Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія <Популярні лекції з математики>, випуск 62.
9. Щетников А. І. Як було знайдено де-які розв'язки трьох класичних задач древності? Математична освіта, № 4 (48), 2008, с. 3-15.
10. Слива Н. В.Математика 7клас. Факультативний курс http://www.fak-matematika_7_klas_sliva_n.v.