Математичні дослідження з GeoGebra

підготувала Булавин Крістіна Олегівна

                                                                            

1. Аналіз можливостей калькуляторів GeoGebra 

Під час ознайомлення з інструментами було визначено такі оптимальні шляхи використання різних калькуляторів: 

●     Графічний калькулятор: Найкраще підходить для алгебри. Дозволяє учням візуалізувати, як зміна коефіцієнтів у рівнянні функції (наприклад, y = ax^2 + bx + c) миттєво змінює положення та форму параболи.

●     3D калькулятор: Незамінний для стереометрії. Допомагає розвивати просторове мислення, демонструючи перерізи многогранників, тіла обертання (циліндр, конус) та їхні властивості в тривимірному просторі.

●     Калькулятор «Геометрія»: Ідеальний для планіметрії (7–9 класи). Учні можуть самостійно "відкривати" теореми (наприклад, про суму кутів трикутника або властивості дотичної), будуючи динамічні фігури, які можна деформувати, зберігаючи геометричні закономірності.

Сценарій заняття з математики 

Тема уроку

«Таємниці параболи: як керувати графіком функції?»

Клас 9 клас

STEM + Inquiry-Based Learning + цифрове дослідження GeoGebra

Освітня ідея уроку

Учні стають «математичними дослідниками», які отримують місію — з’ясувати, як змінюється «характер» параболи залежно від коефіцієнтів функції. Мета уроку Учні:

·   дослідять властивості квадратичної функції;

·   встановлять зв’язок між коефіцієнтами та виглядом графіка; ·   навчаться працювати з цифровими математичними моделями; ·   розвинуть навички дослідницького навчання.

Допомагає:

·   будувати графіки миттєво;

·   змінювати параметри через повзунки;

·   візуалізувати зміни функції. Динамічна анімація Учні можуть:

·   «оживляти» графік;

·   бачити рух вершини параболи;

·   спостерігати трансформації в реальному часі. Інтерактивне дослідження GeoGebra дозволяє:

·   експериментувати без страху помилки; ·   робити власні математичні відкриття; ·   працювати в парах або групах.

Хід уроку за моделлю 5E

1.   ENGAGE - Занурення у проблему

Учитель демонструє анімацію в GeoGebra:

Учитель демонструє базовий графік квадратичної функції

Уроку-дослідження з математики за моделлю 5E (IBL) з використанням GeoGebra

Використані можливості GeoGebra Графічний калькулятор у=x²

 

Потім, не пояснюючи правил, учитель запускає заздалегідь створену динамічну анімацію: парабола на екрані починає плавно звужуватися, розширюватися, перевертатися догори дриґоm та «подорожувати» по координатній площині, залишаючи за собою ледь помітний кольоровий слід.

Проблемне питання до «дослідників»: «Подивіться, наш графік "ожив"! Він ніби виконує танець на площині. Що саме змушує його так змінювати свій "характер"? Як за допомогою звичайних чисел ми можемо змусити параболу підкорятися нашим командам? Сьогодні ви отримаєте секретні цифрові інструменти, щоб стати повелителями графіків». Діяльність учнів: Візуально спостерігають за трансформаціями в реальному часі. Висувають перші емоційні та інтуїтивні припущення (наприклад: «Графік рухає якась змінна», «Він змінюється, бо ми додаємо чи множимо числа»).

Адаптація для дітей з ООП: Для учнів із зоровими або когнітивними порушеннями вчитель виставляє максимальну товщину лінії параболи (8 pt) та яскравий контрастний колір (наприклад, неоново-синій на білому тлі), щоб рух об'єкта чітко простежувався. Асистент вчителя допомагає дитині зафіксувати поглядом крайні точки зміни графіка (найвищу, найнижчу, найвужчу).

2.   EXPLORE - дослідити

Діяльність учителя: Оголошує старт «Математичної лабораторії». Об'єднує учнів у гетерогенні пари (STEM-елемент: розподіл ролей -

Штурман/Технічний водій та Аналітик/Протоколіст). Надає кожній парі доступ до комп'ютера/планшета та інструкційну картку «Місія:

Коефіцієнт».

Учитель виконує роль наукового консультанта: переходить від пари до пари, підказує, як користуватися повзунками, але не розкриває математичну суть раніше часу.

Діяльність учнів (Нормотипові пари): Самостійно працюють у Графічному калькуляторі GeoGebra.

 

1.        Вводять у поле вводу функцію y =  ax²

2.        і натискають «Створити повзунок для a».

3.        Рухають повзунок (параметр a) від -5 до 5. Записують у дослідницький протокол, що відбувається з вітками параболи при переході через нуль.

4.        Експериментують із великими значеннями (a = 4, a = 8) та дробовими (a = 0.2, a = 0.5). Робиться відкриття: чим більший модуль числа, тим «стрункішою» (вужчою) стає парабола.

 

 

Диференціація для дітей з ООП: Дитина працює в адаптованій парі або з асистентом за спрощеним інтерактивним аплетом. Панель введення формул прихована, щоб не викликати стресу. Залишено лише один великий повзунок a.

Завдання для дитини: Спіймати момент, коли парабола «сумна» (вітки вниз) і коли вона «посміхається» (вітки вгору). Дитина самостійно рухає повзунок і замість складних нотаток ставить на спеціальній картці знаки «+» або «-» навпроти відповідних смайликів.

3.   EXPLAIN - пояснити

Діяльність учителя: Запрошує «математичних дослідників» до наукової дискусії. Просить пари представити свої відкриття. Виписує на дошку ключові тези та допомагає учням перевести їх із мови спостережень на академічну мову математики.

Діяльність учнів: Пари аналізують власні скріншоти та графічні дані. Вони захищають свої висновки:

●     «Ми думали, що велике число зробить параболу ширшою, але GeoGebra показала зворотне - графік сильно стиснувся до осі Oy!» (Спростування помилкової гіпотези).

●     Разом формулюють математичний закон: знак коефіцієнта a керує напрямком віток (додатний - вгору, від'ємний - вниз), а величина |a| - швидкістю росту функції (стиском/розтягом).

Адаптація для дітей з ООП: Учень з ООП залучається до відповіді за допомогою візуальних опор. Вчитель запитує: «Коли на повзунку був мінус, куди дивилися вітки?». Дитина показує жестом руки або карткою ⬇. Вчитель хвалить дитину, закріплюючи ситуацію успіху в колективі.

ІV. EXTEND  продоження дослідження

Математична лабораторія «Парабола навколо нас» Учитель :

«На попередніх етапах ви дослідили, як коефіцієнти (a), (b), (c) змінюють параболу. Тепер використаємо ці знання для створення власних моделей.»

1.Дослідницькі завдання .Творчі місії

Місія 1 — «Емоції параболи»

Учні створюють у GeoGebra,досліджують, роблять висновок.

1.«Веселу» параболу 

●     чому вона «усміхається»; ●  чому гілки напрямлені вгору.

 2.«Сумну» параболу. 

●     чому вона «сумує»;

●     чому гілки напрямлені вниз.

 Дослідити :

1.     Які параболи « ширше посміхаються»?

2.     Які «вужче посміхаються»?

3.     Що змінюється, коли число перед (x²) стає більшим або меншим як змінюється «настрій »параболи?

4.     Як знак коефіцієнта впливає на напрям гілок(«настрій »параболи)? Учні повинні використати знання про коефіцієнт (a).

Побудувати:

«Веселу» параболу “   та   «Сумну» параболу                                                                        

Наприклад :Варіант 1 а=1 “ Веселі  параболи”

  

Варіант 2 а=0,6  

 

Варіант 3 а=10  

“Сумні параболи”

 

  Варіант 1

 

Варант 2

 

Варіант 3

 

Обговорення

Учні пояснюють:

●     чому одна парабола напрямлена вгору(  « посміхається»);

●     чому інша — вниз;

●     який коефіцієнт це змінює.( а) Учні роблять висновок:

●     якщо (a>0) — парабола напрямлена вгору («весела»);

●     якщо (a<0) — парабола напрямлена вниз («сумна»);

●     чим більше (|a|), тим вужча парабола(« вужча посмішка »параболи); ● якщо (0<a<1), парабола стає ширшою  (« ширша посмішка »параболи)

●     .

 

Учні роблять висновок .

Знак і значення коефіцієнта a змінює настрій графіка.Учні переконались, що коефіцієнт a  відповідає за напрям і ширину параболи.   ІІ .Місія дослідження — «Ліфт для параболи»

1.Досліджуємо вплив коефіцієнта (c).                                                        

Дослідження вертикального переміщення графіка                                                     Мета місії

 

З’ясувати:

●     як коефіцієнт (c) переміщує параболу; ● чому графік рухається вгору або вниз; ● як змінюється вершина параболи.

2.Завдання для учнів

Уявіть, що парабола їде ліфтом

Коефіцієнт (c) — це кнопка ліфта, яка піднімає або опускає графік. Крок 1. Побудуйте базову параболу

y=x² Спостереження:

вершина знаходиться в точці ((0;0)). Крок 2. Підніміть параболу вгору Побудуйте: y=x²+5

Дослідіть:

●         куди перемістилась вершина; ● чи змінилась форма графіка. Крок 3. Опустіть параболу вниз Побудуйте:

y=x²-5

Дослідіть:

●         що сталося з графіком; ● як змінилось положення вершини.

 

 Крок 4. STEM-мінігра «Ліфт параболи»   Змінити  число(с):

(-10)

(-15)

(+10)

Учні швидко змінюють коефіцієнт (c) та показують:

наскільки високо «піднявся» графік;

на скільки низько «спустився».

 

 Дослідницькі запитання

1.     Який графік знаходиться найвище ?

2.     Який — найнижче?

3.     Як коефіцієнт (c) впливає на вершину?

 

 

Учні встановлюють:

·   коефіцієнт (c) переміщує параболу вгору або вниз;

·   вершина рухається по осі (Oy);

·   форма та ширина параболи не змінюються.

Висновок

●     коефіцієнт (c) переміщує графік по вертикалі;

●     якщо (c>0), парабола рухається вгору;

●     якщо (c<0), парабола рухається вниз;

●     форма параболи не змінюється;

●     ширина графіка залишається однаковою.                                                             

Адаптація для дітей з ООП

Для учнів із труднощами навчання

·   один повзунок (c); ·   великі кольорові стрілки :

·   готові шаблони.

 

Для учнів із порушеннями уваги

·   гра «Підніми параболу»; ·   короткі місії по 1 хвилині; ·   анімація руху графіка.

 

Для учнів із РАС

·   чіткий алгоритм;

·   прогнозовані зміни;

·   мінімум зайвих об’єктів на екрані.

Для учнів із порушеннями зору

·   товсті контрастні лінії; ·   збільшений масштаб; ·   усне озвучення змін.

 

рубрика “Цікаві завдання з графіками”:

1.   Дослідження впливу відразу трьох коефіцієнтів через повзунки

●     Завдання: створити динамічну модель функції y = a(x - h)^2 + k.

●     Інструкція в GeoGebra:

1.     Введіть у рядок вводу: a=1, h=0, k=0. GeoGebra автоматично створить повзунки.

2.     Введіть функцію: f(x) = a*(x-h)^2 + k.

3.     Завдання для учня:

■ Як змінюється парабола, якщо a стає від'ємним?

■ Що відповідає за рух вершини вгору/вниз та вліво/вправо?

■ Знайдіть значення a, h, k, при яких парабола проходить через точки (1, 2) та (-1, 4).

 

2.   Задача про "Зіткнення" (Параметричні задачі) Ця задача вчить аналізувати точки перетину.

●     Завдання: Дано параболу f(x) = x^2 - 4x + 3 та пряму g(x) = mx + 2.

При якому значенні m пряма є дотичною до параболи?

●     Інструкція в GeoGebra:

1.     Побудуйте функцію f(x) = x^2 - 4x + 3.

2.     Створіть повзунок для m (наприклад, від -10 до 10).

3.     Побудуйте g(x) = m*x + 2.

4.     Використовуйте інструмент "Перетин об'єктів", щоб бачити точки перетину.

5.     Питання: Плавно рухайте повзунок. У який момент дві точки перетину зливаються в одну? Як це пов'язано з дискримінантом рівняння x^2 - 4x + 3 = mx + 2?

 

3.   Оптимізація: Найкоротша відстань

●     Завдання: Знайти точку на параболі y = x^2, яка знаходиться найближче до заданої точки A(0, 3).

●     Інструкція в GeoGebra:

1.     Побудуйте f(x) = x^2.

2.     Створіть точку A = (0, 3).

3.     Створіть точку B на графіку функції (інструмент "Точка на об'єкті").

4.     Побудуйте відрізок AB. Виведіть його довжину (GeoGebra покаже це в панелі алгебри).

5.     Переміщуйте точку B вздовж параболи. У якій позиції довжина AB мінімальна?

4.   Моделювання реальних процесів (Фізика)

●     Завдання: Спроектувати траєкторію польоту м'яча, який перелітає через паркан.

●     Умова: Паркан має висоту 2 метри і знаходиться на відстані 5 метрів від точки кидка. М'яч має впасти на відстані 12 метрів.

●     Алгоритм:

1.     Учні мають знайти рівняння параболи, що проходить через (0,

0), (12, 0) та (5, y > 2).

2.     Перевірити результат, побудувавши графік у GeoGebra та "паркан" як вертикальний відрізок.

 

Поради для вчителя/учня:

●     Колір: Використовуйте різні кольори для графіків (правий клік на об'єкт -> Налаштування -> Колір).

●     Аналітична перевірка: Завжди проcимо учнів спочатку розв'язати задачу на папері, а потім використовувати GeoGebra для перевірки свого результату.

 

V. EVALUATE — Оцінювання через рефлексію, гру та творчість «Фестиваль парабол» Діяльність учителя.

Учитель оголошує завершення роботи «Математичної лабораторії» та запрошує учнів на «Фестиваль парабол», де кожен дослідник може представити власні відкриття, STEM-моделі та творчі роботи.

На екрані з’являється напис:

«Сьогодні ви були не просто учнями, а справжніми дослідниками, інженерами та дизайнерами графіків.»

V. EVALUATE — Оцінювання через рефлексію, гру та творчість

«Фестиваль парабол»

1.Діяльність учителя

Учитель оголошує завершення роботи «Математичної лабораторії» та запрошує учнів на «Фестиваль парабол», де кожен дослідник може представити власні відкриття, STEM-моделі та творчі роботи.

На екрані з’являється напис:

«Сьогодні ви були не просто учнями, а справжніми дослідниками,

інженерами та дизайнерами графіків.»

Діяльність учнів

Учні  в групах демонструють одну зі створених у GeoGebra парабол та коротко розповідають про неї.

Вони можуть:

●     показати «веселу» або «сумну» параболу;

●     презентувати «ліфт параболи»;

●     показати власну STEM-модель; 2.Міні Презентація учнів Кожна група пояснює:

●     який коефіцієнт вони змінювали;

●     як змінився графік;

●     чому парабола стала ширшою або вужчою;

●     чому графік перемістився;

●     який «настрій» має їхня парабола.Інтерактивне оцінювання

3.Гра «Впізнай коефіцієнт»

Одна група демонструє графік без формули.

●     Інші учні повинні визначити:

●     який коефіцієнт змінився;

●     що сталося з графіком;

●     чому парабола змінила форму або положення 

4.Рефлексивна вправа «Математичний мікрофон»  .Учитель передає символічний «цифровий мікрофон».

Варіант 1

Учні завершують речення:

●     «Сьогодні я відкрив(ла)…»

●     «Мене здивувало…»

●     «Найцікавішою місією була…»

●     «Тепер я знаю, що парабола може…»

●     «Найскладніше для мене було…»

●     «Я навчився(лась) керувати графіком за допомогою…»   Варіант 2.

Учні прикріплюють стікер на плакат:

«Сьогодні я зрозумів(ла), що…»

Наприклад:

«Коефіцієнт (a) змінює настрій параболи.» «Коефіцієнт (c) працює як ліфт.»

«GeoGebra допомагає бачити математику.»

5.. Інтерактивне оцінювання «Світлофор розуміння»

Учні оцінюють власне розуміння теми за допомогою кольорових карток або цифрових стікерів.

●     Зелений   «Я можу пояснити іншому, як коефіцієнти змінюють параболу.»

●     Жовтий   «Я зрозумів(ла) тему, але хочу ще потренуватись.»

●     Червоний     «Мені потрібна допомога або додаткове пояснення.» ○  

                                   Диференціація оцінювання

Учні високого рівня

●     пояснюють математичні закономірності;

●     створюють власні задачі;

●     аналізують кілька функцій одночасно;

●     допомагають іншим учням;

●     створюють власні моделі в GeoGebra.

Учні достатнього рівня

●     самостійно будують параболи;

●     пояснюють вплив коефіцієнтів (a), (b), (c);

●     визначають вершину та напрям віток;

●     порівнюють кілька графіків;

●     роблять висновки за результатами дослідження.

Учні середнього рівня

●     описують зміни графіка;

●     працюють за прикладом;

●     відповідають на запитання; ● заповнюють таблицю спостережень; ● працюють із готовими формулами.

Учні початкового рівня

●     визначають напрям віток;

●     показують вершину;

●     працюють із підказками та картками;

●     обирають правильний графік серед запропонованих;

●     виконують завдання за допомогою вчителя або асистента

                          Адаптації для дітей з ООП на етапі EVALUATE

Для учнів із труднощами навчання

●     усне оцінювання; ● короткі відповіді;

●     підтримка асистента;

●     мінімум письмових завдань.

 Для учнів із РАС

●     чіткі критерії оцінювання;

●     передбачувана структура; ● картки-відповіді; ● спокійне середовище.

 Для учнів із порушеннями уваги

●     короткі інтерактивні завдання;

●     швидкий зворотний зв’язок;

●     руханка між етапами;

●     зміна діяльності кожні 2–3 хвилини.

 Для учнів із порушеннями мовлення

●     відповіді через картинки;

●     вибір варіанта відповіді;

●     демонстрація графіка замість усного пояснення.

 Для учнів із порушеннями зору

●     великі контрастні картки;

●     усне озвучення інформації; ● збільшений масштаб графіків; ● аудіопідказки.  Очікувані результати уроку Після уроку учні:

●     пояснюють вплив коефіцієнтів (a), (b), (c) на графік функції;

●     проводять математичні дослідження;

●     використовують GeoGebra як цифрову лабораторію;

●     працюють у команді;

●     застосовують математику до реальних ситуацій; ● презентують результати власних досліджень.

 Підсумок уроку

Сьогодні на уроці ми переконалися, що математика може бути цікавою, творчою та навіть «живою». Завдяки GeoGebra ми не просто будували графіки, а досліджували їх, змінювали та спостерігали, як парабола може «посміхатися», «сумувати», рухатися вгору чи вниз.

Під час уроку ви стали справжніми дослідниками:

●     експериментували з коефіцієнтами;

●     створювали власні моделі;

●     будували ракети та STEM-об’єкти;

●     працювали в командах і допомагали одне одному.

Ми з’ясували, що:

●     коефіцієнт (a) змінює «настрій» параболи;

●     коефіцієнт (c) працює як ліфт;

●     математика існує не лише в підручнику, а й у реальному житті — у мостах, фонтанах, траєкторіях руху та сучасних технологіях.

Сьогодні кожен із вас зміг:

●     досліджувати;

●     робити відкриття;

●     ставити запитання; ● творчо мислити; ● працювати в команді.

А головне — побачити, що математика може бути захопливою пригодою, якщо досліджувати її разом.

 

 

  Висновки

    Під час виконання роботи переконалися, що GeoGebra — це не просто математичний сайт із графіками, а справжня цифрова лабораторія для досліджень, експериментів і творчості. Портал допомагає «оживити» математику: учні можуть не лише бачити графіки, а й змінювати їх, досліджувати та навіть створювати власні математичні моделі.

     У процесі роботи було проаналізовано можливості вкладок «Ресурси» та «Калькулятори» на порталі GeoGebra. Особливо корисним виявився Графічний калькулятор, який дозволяє швидко будувати графіки функцій, змінювати коефіцієнти за допомогою повзунків і миттєво спостерігати, як «поводиться» парабола.

     На основі досліджених ресурсів було розроблено урок математики за технологією Inquiry-Based Learning (IBL). Під час заняття учні не просто слухали пояснення вчителя, а самостійно відкривали математичні закономірності через експеримент та дослідження. Вони досліджували, як коефіцієнти (a), (b), (c) змінюють «характер» параболи:

●     коефіцієнт (a) змінював її «настрій»;

●     коефіцієнт (c) працював як «ліфт»;

●     а GeoGebra перетворювала урок на інтерактивну STEM-лабораторію.

Особливо цінним стало те, що урок містив творчі завдання: відчувати  себе справжніми дослідниками. 

Такі завдання допомогають  учням побачити, що математика існує не лише

у підручнику, а й навколо нас.                                                                                                 

Під час розробки уроку ми  врахували  диференціацію навчання та адаптації для дітей з особливими освітніми потребами. Завдяки використанню візуальних моделей, анімацій, інтерактивних елементів і покрокових інструкцій кожен учень міг відчути успіх та долучитися до спільного дослідження.

    Використання GeoGebra та технології IBL робить уроки математики сучасними, цікавими та доступними. Таке навчання розвиває дослідницьке мислення, творчість, цифрову грамотність і допомагає учням не боятися математики, а досліджувати її із захопленням.