Застосування навичок з курсу алгебри 8 класу

Застосування навичок з курсу алгебри (8 клас)

1. Раціональні вирази

Раціональний вираз - це будь-який вираз, що складається з цифр, буквених змінних, арифметичних операцій і зведення в степінь.

В основі всіх наук, де присутні навіть елементарні розрахунки, наприклад в хімії, фізиці, економіці, біології, лежать раціональні вирази. Їхню роль в житті людини важко недооцінити. Прикладне застосування раціональних виразів можна яскраво продемонструвати на прикладі розв’язування генетичних задач з біології.

Задача 1

У виборці, що складається з 84 000 рослин жита, 210 рослин виявилися альбіносами, тому що у них рецесивні гени знаходяться в гомозиготному стані. Визначте частоти алелей А і а, а також частоту гетерозиготних рослин.

Розв’язання: позначимо частоту виникання домінантного алельного гена А буквою p, а рецесивного а - буквою q. Тоді, для розв’язування задачі використовуємо формулу Харді-Вайнберга p²AA + 2pqAa + q²aa = 1.

Оскільки загальна чисельність всіх особин даної популяції жита нам відома (84000 рослин), а в долях це і є 1, то частка гомозиготних альбіносних особин з генотипом аа рівна q², яких всього 210 штук, складе q² = 210: 84000 = 0,0025, тоді q = 0,05; p = 1 - q = 0,95 і тоді 2pq = 0,095.

Відповідь: частота алеля а - 0,05; частота алеля А - 0,95; частота гетерозиготних рослин з генотипом Аа складе 0,095.

2. Раціональні дроби

Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається раціональним (алгебраїчним). Прикладом застосування раціональніх дробів може слугувати використання їх у фізичних розрахунках, в даному випадку – на закон всесвітнього тяжіння.

Задача 2

Яка сила взаємного притягання двох тіл масами по 100 т, центри мас яких знаходяться на відстані 40 м?

3. Степінь із цілим показником

Степінь із цілим показником також використовують у багатьох науках. Так, вирази зі степенем присутні у біології, їх використовують для дослідження генетики популяцій; у фізиці для розрахунків прискорення, кінетичної енергії, тощо; в геометрії. Останні, на мою думку, знайшли найширше прикладне використання в житті людини.

Задача 3

Перед посівом соняшників у підприємців виникло питання щодо вибору найбільш врожайного сорту. Один з багатьох запропонованих сортів дає можливість виростити соняшники діаметром 30 см (у середньому), а другий — соняшники діаметром 20 см (у середньому). При цьому чисельність на 1 га рослин першого сорту вдвічі менша від чисельності на 1 га рослин другого сорту. Який сорт соняшнику вибрали підприємці? (Вважати, що густина наповнення і розмір насіння у соняшників однаковий).

Розв’язання: нехай чисельність соняшників першого сорту дорівнює m штук на 1 га, тоді чисельність соняшників другого сорту дорівнює 2m штук на 1 га. Тоді площа, яку мають корзинки соняшників першого сорту, на 1 га дорівнює 706,5m см2, а корзинки соняшників другого сорту — 628m см2. Отже, підприємці вибрали перший сорт.

Відповідь: перший сорт.

4. Арифметичний квадратний корінь

Квадра́тний ко́рінь з числа x — це число, квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює x.

Квадратні корені також мають широке застосування не лише у багатьох науках, таких як біолоігія, фізика, економіка, інформатика, астрономія, а й в повсякденному житті людини. Ми використовуємо їх для будівництва, для рохрахунків сторони земельних ділянок, в шитті тощо. Прикладом може слугувати елементарна задача.

Задача 4

Потрібно обнести парканом земельну ділянку площею 64 м². Якою має бути ця ділянка, щоб витрат на паркан було найменше? Скільки метрів завдовжки буде одна його сторона?

Розв’язання: для того, щоб витрат на паркан було найменше, периметр ділянки має бути мінімальний. Отже, ділянка має бути квадратної форми. Звідси робимо обчислення:

(S=a²)

64=а²

а=√64= 8 м.

Відповідь:  8 м.

5. Квадратні рівняння

Розв'язування квадратних рівнянь застосовується в багатьох  більш спеціалізованих дисциплінах, які, в свою чергу, застосовуються в якихось інших спеціалізованих дисциплінах, які вже застосовуються на практиці.

Наприклад - в розрахунках, які застосовуються і в машинобудуванні, і в архітектурі; у програмах для обробки звуку, відео, векторної і растрової графіки; у складній електроніці, механіці - і взагалі техніці; у різних економічних дсциплінах; у фізиці, яка, як відомо, застосовується повсюдно.

Список можна продовжувати до нескінченності.

Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:

                           ax² + bх = с, а> 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцієнти, можуть бути і негативними.

Задача 5

У кінотеатрі кількість місць у ряді на 5 більша за кількість рядів. Скільки рядів у кінотеатрі, якщо всього в ньому 414 місць?

Розв’язання: нехай у кінотеатрі х рядів, тоді місць у кожному ряді - (х + 5). Всього місць у залі х (х + 5). За умовою: х(х + 5)= 414.

Розв’язуючи це рівняння, дістанемо:

За змістом задачі х - додатне число. Цю умову задовольняє лише перший корінь.

Відповідь: 18 рядів.