Завдання І етапу олімпіади з математики

Завдання для І етапу олімпіади з математики 

На виконання  завдань відводиться 2 год, кожне завдання оцінюється трьома балами.

Схема оцінювання

1. Розпочав розв’язання, але виконав менше половини завдання -1бал.
2. Виконав половину або більше половини завдання – 2 бали.
3. Виконав повність завдання з поясненням – 3 бали.

5 клас

1. Розмістити у виразі дужки так, щоб його значення дорівнювало 23.
2. Знайти суму натуральних чисел від 1 до 99.
3. Розв’язати ребус:

        *5*8 

        5*3*

           *0209

4.  Записати всі відрізки , зображені  на малюнку. Скільки таких відрізків?

6 клас

1. У родині четверо дітей, їм 5, 8, 13 і 15 років, а звуть їх Таня, Юра, Світлана та Олена. Одна дівчинка ходить у дитячий садок, Таня старше, ніж Юра, а сума років Тані і Світлани ділиться на 3. З’ясувати, скільки років кожній дитині. Відповідь обґрунтувати.
2. Для   номерації  сторінок   підручника   використали   312 цифр. Скільки сторінок в цій книжці? Відповідь пояснити. 
3. Скільки разів і коли саме за такий проміжок часу від 0 до 12 год хвилинна стрілка співпаде із годинною?
4. Знайдіть останню цифру числа 97531*, якщо  воно  ділиться на 6, але не ділиться на 9.
5. Яблука становили 45% від усієї  кількості зібраних фруктів, а яблука сорту «сніжний кальвін» становили 40% від загальної кількості зібраних яблук. Скільки центнерів фруктів було зібрано, якщо сніжного кальвіну зібрали 10,8 ц?

7клас

1. 70% учнів класу ходили у похід, а 50%  –  були на екскурсії. Скільки відсотків учнів класу були і в поході, і на екскурсії, якщо 10% учнів не були ніде?

2.Якою цифрою закінчується запис числа ?

3.Розвяжіть  рівняння   5-(1-(2х-5))=2016

4. Як за допомогою бідонів ємністю 10 л і 7 л відлити 8 л води?(можна виливати).

5. У коло стали чотири дівчини: Ганна, Роксолана, Марія та Олександра. Дівчина у зеленій сукні, не Ганна і не Валентина, стоїть між дівчиною в блакитному і Олександрою. Дівчина у білій сукні стоїть між дівчиною в рожевому та Роксоланою.  Якого кольору сукня у кожної дівчини?

 8клас

1. У парусній регаті брало участь 86 чоловік на одно- та двопарусних яхтах. Екіпаж однопарусної яхти складається з 5 членів, екіпаж двопарусної – з 7 членів. Скільки яхт брало участь у регаті?
2. Знайти останню цифру числа 9²⁰¹⁵.
3. Петрику треба було поділити коло навпіл. Він накреслив коло на  аркуші паперу і пішов вечеряти. Поки його не було, його маленький хом’ячок вигриз клаптик паперу з центром кола. Як допомогти Петрику знайти центр кола? (за допомогою побудов)
4. Ванна має 4 крани. Якщо відкрити їх усі, то вона наповниться за 4 год. 1-й, 2-й і 3-й крани наповнюють її за 5 год,  2-й,  3-й  і 4-й – за 6 год. За який час наповниться ванна, якщо відкрити 1-й  і 4-й крани?
5. Доведіть тотожність .

9 клас

1. Знайти суму цілих розв’язків  системи  нерівностей:

    , що задовільняють умову │х│< 2.

2. Через годину після початку рівномірного спуску води у басейні її залишилося 400м³ а ще через 4 год – 200м³. Скільки було води у басейні спочатку?
3. Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника 12,5см, периметр трикутника 60см. Знайти середнє арифметичне радіуса вписаного і описаного кіл цього трикутника.
4. Як за допомогою двох бідонів ємністю  5 л і 8 л відлити з молочної цистерни 7 л молока?
5. Коли "КОРОК" помножили на 99999, одержали число, три останні цифри якого були 705. Яке  число позначено словом  "КОРОК"? (однакові букви позначають однакові цифри)

10 клас

1.У посудині є 30% розчин солі. Скільки кг дистильованої води треба добавити до 20 кг розчину, щоб концентрація солі стала 10%?

2.Є 9 пластин і терези. Одна з пластин легша за рещту, але за виглядом вони однакові. Як за допомогою двох зважувань визначити легшу пластину?

3. Побудувати графік функції 

4. Розв’язати рівняння   (х– 1)х(х– 2)(х– 3)=24

5.Чому дорівнює сума виразів , якщо їх різниця дорівнює 4?

11 клас

1.Розв’язати рівняння:

    + = 4

 2. Розв’язати рівняння

 2sin²x +(2-√3)sinx = √3, що задовільняє умову 0<х≤π/2.

3. Якщо  f(x)=  i  f(g(x))=x,   то g(x)-?

4. При якому значенні параметра а сума квадратів коренів рівняння

      х² – ах + а – 1 = 0 буде найменшою?

5. Нехай АВСD і A₁B₁C₁D₁ - одиничний куб. P,Q – середини відрізків АВ і A₁B₁ відповідно. Знайти відстань між прямими A₁P   D₁Q.