Завдання з теми "Рівняння з параметрами"

І. Передмова

Розв’язати рівняння з параметрами означає знайти всі його розв’язки для кожної системи допустимих значень параметрів. Значення параметрів, при переході через які відбуваються якісні зміни рівняння, називаються контрольними значеннями параметрів.

 При розв’язуванні рівнянь з параметрами область зміни параметрів може бути заданою, або в рівнянні вказано додаткові умови, наприклад, знайти значення рівняння, при яких корінь рівняння задовольняє задану рівність, нерівність і  т.д. Якщо не вказані умови для параметрів, то вважається, що параметри набувають усіх своїх допустимих значень.

ІІ. Лінійні рівняння з однією змінною

 Рівняння виду  ах=в, де а і в – дійсні числа, х – змінна, називаються лінійними рівнями з однією змінною. Дослідимо його.

1. Якщо a = 0 і в =0, тобто 0х= 0. Це рівняння задовольняє будь-яке дійсне значення (х є R), а тому воно має безліч розв’язків.
2. Якщо a = 0 і в ≠ 0, то рівняння не має розв’язків. (х ).
3. Якщо  a≠0, то рівняння має єдиний розв’язок х =.

 

Приклад 1. Розв’язати рівняння х+2=ах.

Розв’язання.

(1-а)х = -2; (а-1)х = 2

1.Якщо а=1, то ох=2, х 2.Якщо а≠1, то х=

Відповідь: Якщо а=1, то  х; якщо   а≠1, то х=

 

 Приклад 2. Розв’язати рівняння (а-1)(а+1)х = (2а+3)(а-1).

Розв’язання

а=1, а= -1 – контрольні значення параметра.

1. якщо а=1, то ох=о, х є R.

2. Якщо а= -1, то ох= -2, х .

3.Якщо а≠1; а≠ -1, то х=;  х=

Відповідь: Якщо а=1, то х є R; якщо а= -1, то х ; якщо  а≠1; а≠ -1, то х=.

 

 

Приклад 3. Розв’язати рівняння (а-1)х= а+а-2.

Розв’язання.

а=1, а= -1 – контрольні значення параметра.

1.Якщо а=1, то ох=о, х є R

2.Якщо а= -1, то ох= -2, х.

3. Якщо а≠1; а≠ -1, то х=; х=; х=

Відповідь: Якщо а=1, то х є R; якщо а= -1, то х ; якщо  а≠1; а≠ -1, то х=

 

 

Приклад 4. Розв’язати рівняння

Розв’язання

а≠о.

2(а+1)х=7+3а(х+1); (2а+2-3а)х=3а+7; (2-а)х=3а+7

1. якщо а=2, то ох=13, х .

2. якщо а≠2 і  а≠ о, то х=.

Відповідь: Якщо а=0 або а=2, то  х ;

         якщо а≠2 і  а≠ о, то х=.

 

 

Завдання для самостійного розв’язання.

1. Розв’язати рівняння ах-3=a.
2. Розв’язати рівняння (a-1)(a+1)x-a-1=0.
3. Розв’язати рівняння (a+4)x-2,5x=(a-2)(a+3)+3,5x.
4. Розв’язати рівняння 7,5x-2ax-a²=5,5x-3ax-4.
5. Розв’язати рівняння  (a²-1)x=a+1.
6. Розв’язати рівняння (a²-1)x=a²+3a-4.
7. Розв’язати рівняння .
8. При яких значеннях параметра а рівняння 2(х-1)=5+ах має корінь, більший за 1?
9. При якому значенні параметра k рівняння k+2х=2(х-3) не матиме коренів?
10. При яких значеннях параметра а корінь рівняння х+а=ах+а² від’ємний?
11. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких рівняння       10х-15а=13-5ах+2а має корінь, більший ніж 2.
12. Визначте, при яких значеннях а рівняння (х-1)(а-2)=1 має корінь, який належить проміжку (1;2).

 

ІІІ.Квдратні рівняння з однією змінною

  Рівняння виду + вх + с = о, де а, в, с – дійсні числа і а≠ о, називаються квадратними. При розв’язанні таких рівнянь з параметрами розглядають випадки:

1. якщо а=о, то рівняння є лінійним  вх + с = о.

2. Якщо а≠ о, то знаходимо D= .

А) Якщо D<0, то х.

Б) Якщо D≥0, то х=.

 

Приклад 1. Розв’язати рівняння +(а-2)х+а+1=0.

Розв’язання.

D=(а-2)-4(а+1)= -4а+4-4а-4=-8а.

1.Якщо D<0, тобто -8а<0, а(а-8) <0, а є (о;8), то х .

2.Якщо D≥0, тобто -8а≥0, а(а-8) ≥0, а є (-∞;о]U[8;+∞), то х_1,2=.

Відповідь.  Якщо а є (0;8), то х;

  якщо а є (-∞;о]U[8;+∞), то х_1,2=.

Приклад 2. Розв’язати рівняння (а-1) +2(2а+1)х+4а+3=0

Розв’язання.

1. Якщо а=1, то 6х=-7, х=-.

2. Якщо а≠ 1, то D= (2а+1) -(а-1)(4а+3)=4а.

А) Якщо 5а+4<0, тобто а<-, то х.

Б) Якщо 5а+4≥0, тобто а ≥-, то х=.

Відповідь. Якщо а=1, то х=-;

                  якщо а є (-∞;-), то х є ø;

                  якщо а є [-;1)U(1; +∞), то х=.

 

Приклад. 3 Розв’язати рівняння а(а+1) х-()х+а(а-1)=0.

Розв’язання.

1. а=о і а= -1- контрольні значення параметра.

Якщо а=о, то  х=о.

Якщо а=-1, то  –х +2=0;  х=2.

2.а≠о і а≠-1, то  D=

х=; х==; х==.

Відповідь. Якщо а=о, то х=о;

                    якщо а=-1, то х=2;

                    якщо а≠о, а≠-1, то х=; х= .

 

 

Приклад 4. Розв’язати рівняння (.

Розв’язання.

1. а=-2 і а=1 – контрольні значення параметра.

Якщо а=-2, то 9х=-3, х=-.

Якщо а=1, то 6х=0, х=0.

2.Якщо а≠-2, а≠1, то   

D≥0; тому х=

=-

Відповідь. Якщо а=-2, то х=-; якщо а=1, то х=0; якщо а≠-2, а≠1, то 

Розв’яжемо дробово-раціональні рівняння з параметрами. Як і розв’язання відповідних рівнянь без параметрів, розпочинати потрібно із знаходження ОДЗ рівняння.

Після перенесення доданків в ліву частину рівняння, зведення до спільного значення, прирівнюємо чисельник отриманого дробу до нуля.   Отримавши лінійне або квадратне рівняння, розв’язуємо його. В кінці обов'язково потрібно встановити, при яких значеннях параметрів знайдені розв'язки належать ОДЗ рівняння.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

Розв’язання.  

ОДЗ    х≠2а

 

D=(>0, х=; х=а+1; х=а-2.

Знайдемо, ті значення параметра а, при яких х не є коренем рівняння.

а+1=2а;а=1.При цьому значенні параметра рівняння матиме тільки один розв’язок х=1-2=-1.

Знайдемо, ті значення параметра а, при яких х не є коренем рівняння. а-2=2а; а=-2.

 Якщо а=-2, то рівняння матиме тільки один корінь х=-2+1=-1.

Відповідь. Якщо а=1 або а=-2. то х=-1; якщо а≠1 і а≠-2, то х=а+1, х=а-2.

Приклад 2. Розв’язати рівняння.

Розв’язання. ОДЗ х≠1.

   

1. Якщо а=0, то –х+1=0, х=1 – не належить ОДЗ рівняння.

2. Якщо а≠0, то рівняння квадратне.

Знайдемо D. D=(а+1)

х=

 х=

Знайдемо значення параметра а, при яких х не є коренем рівняння. а+1; а=о, тоді х .

Знайдемо значення параметра а, при яких х не є коренем рівняння. а=-1, а.

Відповідь. Якщо а=о, то х; якщо а≠0, то  х=а+1, х=. .

Приклад 3. Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ       ;

1. 10-15=0, =1,5 – контрольне значення; якщо =1,5, то ох=15,5,   х.

2. Якщо ≠1,5, то х=

Знайдемо значення  , при яких х= є коренем даного рівняння.

    

Відповідь. Якщо то х , якщо то х=.

 Приклад4. Розв’язати рівняння

Розв’язування.

ОДЗ. х≠2,

(

1. контрольне значення параметра. Якщо то -9х=0, х=0.

2.

 D=

х=

х=

Знайдемо значення , при яких х не є коренем рівняння.

Якщо =4, то рівняння матиме один розв’язок х= 

Знайдемо значення , при яких  х не є коренем рівняння.

Якщо то рівняння має один розв’язок х= 

Відповідь. Якщо  =1, = -1, то х ; якщо  = -2, то х=0; якщо  = -5, =4, то х=;

якщо   ≠1, ≠ -1, ≠ -2, ≠ -5, ≠4, то х= х=

Приклад 5. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

ОДЗ. ≠0. 

D=>0,

х=  то х= х=

Знайдемо значення параметра  , при яких х  є коренем рівняння.

Якщо =2, то рівняння має розв’язок х=2+1=3.

Якщо =1, то рівняння має розв’язок х=1+1=2.

Відповідь. Якщо = -2, то х=-5; якщо =-3, то х=-6; якщо =2, то х=3; якщо =1, то х=2; якщо =0, то х є ø; якщо ≠-2,  ≠-3, ≠2, ≠1, ≠0, то х=+1, х=-3.

Приклад 6. При яких значеннях параметра а, рівняння має єдиний корінь? Знайти цей корінь. .

Розв’язання.

ОДЗ. х≠±2.>

1.

D=0, D= ; х=

2. D>0, х=2 або х=-2 або х=2 або х=-2.

>0; >0; (а( а>0; а є (- ∞; U()

х=

А) 2; =2+а

       а= -    х=-()

Б) –а+=-2; =а-2

      а=    х=-+

В) –а-=2; =-а-2

  а .

4) –а-=-2; =2-а

   а=   

Відповідь. якщо а=-, то х= якщо а=, то х= якщо а= то х= якщо а=- то х=

Виділимо основні типи задач, пов’язані із розташуванням коренів х, х квадратного рівняння ах відносно числа R.

Нехайƒ(х)=ах D= тоді:

1. <  2.

3. <4.

 5.6. 7. 8.

 

9. 10.

Приклад 1.

    При яких значення к корені рівняння будуть більші ніж – 1.

Розв’язання.

-1<х≤  х.

k є

Відповідь. k є

Приклад 2.При яких значеннях к рівняння має корені менші ніж 1.

Розв’язання.

к є

Відповідь. к є .

Приклад 3.  При яких значеннях а число 1 знаходиться між коренями рівняння (2а+1)х

Розв’язання.

ƒ(1)=2а+1-а+а-2=2а-1. (2а+1)(2а-1)<0, <0, а є (-

Відповідь. а є (-

Приклад 4.При яких значеннях а корені рівняннямістяться між числами 0 і 1.

Розв’язання.

а є (3;4).

Відповідь: а є (3;4).

Приклад 5. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких корені рівняння належить вказаній множині.

Розв’язання.

D= -

Відповідь.

Приклад 6. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких корені рівняння належать вказаній множині.

Розв’язання.

Відповідь.

 

До азбуки квадратного тричлена відноситься і теорема Вієта.

Для того, щоб і були коренями квадратного тричлена необхідно  і достатньо виконати рівностей

 

Приклад 1.При яких значеннях к корені рівняння відноситься як 1:4

Розв’язання. D=к

  Відповідь. 2; -

 

 

 

Приклад 2.  і - корені рівняння х

Знайти таке а, щоб величина виразу була найменшою.

Розв’язання.

за теоремою Вієта + =а; . = а-1.

Тому

отже, найменше значення виразу дорівнює 1 при а=1.

Відповідь. 1.

Приклад 3. Корені і рівняння х задовольняють умову - =1.

Знайти р при умові,  що р>0.

Розв’язання.

Відповідь. 7.

 

 

Приклад 4.

Нехай і - корені рівняння х де а є N. Обчислити при якому найменшому значені а вираз ділиться на 25.

Розв’язування.

Отримаємо формулу для оцінки суми п’ятих степенів двох виразів.

Отже,

За теоремою Вієта + =а, · =1.

=

якщо а=1,2,3,4, то на ділиться на 5. Тому найменше значення а, при якому  дорівнює 5.

Відповідь. 5.

Якщо корені рівняння то мають місце співвідношення:

+d; які називаються формулами Вієта.

Покажемо, як використовується властивості коренів рівнянь четвертного  степеня при розв’язуванні рівнянь з параметрами.

 

 

 

 

 

Приклад 5.

При якому к>0 корені рівняння утворюють арифметичну прогресію?

Розв’язання.

Нехай рівняння має чотири корені:  

оскільки, - корінь рівняння, то підставляємо отримане значення в дане рівняння.

к=0 або к=6.

Відповідь. 6.

Розв’яжемо рівняння з параметрами, які містять змінну під знаком модуля.

Приклад 1.

Знайти значення а, при яких рівняння має один корінь.

Розв’язання.

 

І. Розглянемо першу систему сукупності (І)

D

а) Якщо то рівняння має один корінь.

    х=-а

Перевіряємо виконання умови х

а= ;-а отже, при а= дане рівняння не має розв’язків.

б) Якщо і для одного з коренів не виконується умова .

1)

Розв’яжемо окремо ірраціональні нерівності даної системи.

 

Повертаємося до системи (1).

а .

2)

Розв’яжемо окремо ірраціональні нерівності системи. ,

 

Повертаємося до системи (2).

ІІ. Розв’яжемо другу систему сукупності (ІІ).

а) a є ø.

б) при будь-якому а.

Розглянемо два випадки, коли один з коренів не задовольняє умову х<-2a.

1)

Розв’яжемо окремо кожну з ірраціональних нерівностей системи.

а є R.

Повернемося до системи (1).

а є (-∞;1).

2)

Розв’яжемо окремо кожну з нерівностей даної системи.

а є Ø.

Отже, повертаємося до систему (2)

а є Ø.

Щоб встановити значення параметра а, при яких дане рівняння має єдиний розв’язок, знайдемо те значення а при яких система (І) та (ІІ) мають по два розв’язки. 

Система (І) має дав розв’язки D>0 і корені задовольняють умову х≥-2а.

(А)

Випишемо та розв’яжемо ірраціональні нерівності системи.

Повертаємося до системи (А).

.

(Б)

а є ø.

Отже, система (Б) має вигляд;

а є ø.

Внесемо в таблицю дані про кількість розв’язків рівняння в залежності від параметра а.

№ систиеми /а						1	(1;+∞)
І	-	-	-	1	2	2	1
ІІ	1	1	1	1	1	-	-

Відповідь .

Приклад 2.

При будь - якому а розв’язати рівняння

Розв’язання.

х=-1, х=-а – нулі модулів.                       –а              -1

І. Нехай – а<-1, тобто а>1.             ---------І------------І-------→

1) х<-а

-2х-2-х-а=4,

-3х=6+а,

х =  -  6+а

           3

а є (1;3).

2)-а≤х<-1

-2х-2+х+а=4

х=а-6

а є [3;5).

3) х≥-1                             

2х+2+х+а=4; 3х=2-а;

ІІ. –а=-1, а=1

2|х+1|+|х+1|=4

3·|х+1|=4; |х+1|=

ІІІ. -а>-1, тобто а<1      --------|------------|--------→

                                                 -1              -а

1) х<-1

-2х-2-х-а=4; х= -

а є (-3;1).

2) -1≤х<-а

2х+2-х-а=4, х=2+а

а є [-3;-1).

3) х≥-а

2х+2+х+а=4; 3х=2-а; х=

а є [-1;1).

Відповідь. Якщо а є   то х ;

                   якщо а є  [-3;-1), то =2+а, =

                    якщо а є [-1;3), то =; =

                    якщо а є [3;5], то = =а-6.

Приклад 3. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння має два різні корені.

Розв’язування.

І Нехай а є (-∞;-1).

          1                    2                     3

--------------|-----------------|-------------→

                                     а

1) х є (-∞;)

-х-х+а=а(а-1)

-2х=--а+-а

-2х=-+-2а

х=

а є (-2;-1).

2) х є [;а)

-+х-х+а=а(а-1)

ох=-а+-а

ох=+-2а

якщо а≠-2, то х є ø, тому , якщо а є (-∞;-2)U(-2;-1), то х є ø, якщо а=-2, то х є R (тобто задовольняється умова задачі).

3) х є [а;+∞)

-+х+х-а=а(а-1)

2х=+а+-а

2х=+; х=

а є (-2;-1).

Робимо висновок про те, що при а є [-2;-1) дане рівняння два різні  корені (==≠).

ІІ. а=-1.

х+1=1 або х+1=-1

х=0 або х=-2.

Висновок при а=-1 дане рівняння має два різні корені.

ІІІ. а є (-1;0)

     1    а      2                3

--------|--------------|-------------→

1) х є (-∞;а)

-х-х+а=а(а-1)

-2х=--а+-а

-2х=-+-2а

х=

  а є (-1;0).

2)  х є [а; )

-х+х-а=а(а-1)

ох=-+а+-а

ох=-+

при а≠0 отримане рівняння не має розв’язків (х є ø).

3) х є [;+∞)

-+х+х-а=а(а-1)

2х=+а+-а

2х=+

х=; а є (-1;0).

Висновок: при а є (-1;0) дане рівняння має два різні корені ( ==).

ІУ. а=0.

х=0

Отже, при а=0 умова задачі не задовольняється.

У. а є (0;1)

          1                    2                     3

--------------|-----------------|-------------→

                                     а

1) х є (-∞;).

-х-х+а=-а(а-1)

-2х=--а-+а

-2х=--

х= а є (0;1).

2) х є [;а)

-+х-х+а=-а(а-1)

ох=-а++а

ох=+ при а є (0;1), х є ø.

3) х є [а;+∞).

-+х+х-а=-а(а-1)

2х=+а-+а

2х=-+2а

х= а.

Отже, при а є (0;1) дане рівняння має один розв’язок  х=, тому при цих значеннях параметра а умова задачі не задовольняється.

УІ. а=1.

Отже, при а=1 рівняння має тільки один розв’язок.

УІІ. а є (1;+∞)

          1                    2                     3

--------------|-----------------|-------------→

                  а                     

1) х є (-∞;а).

-х-х+а=а(а-1)

-2х=--а+-а

х= а.

2) х є [а; ).

-х+х-а=а(а-1)

ох=-+а+-а

ох=-+ при а є (1;+∞), то х.

3) х є [;+∞)

-+х+х-а=а(а-1)

2х=+а+-а

2х=+

х=  а.

Висновок: при а є (1;+∞) дане рівняння не має розв’язків, а тому не задовольняється умова задачі.

Відповідь. а є [-2;-1].

Часто при розв’язуванні рівнянь   з параметрами, що містять змінну під знаком модуля, зручно використовувати графічний метод.

 

 

Приклад 4. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння має не менше двох розв’язків.

Розв’язування.

Розглянемо функції у= і у=а.

Побудуємо в одній системі координат графіки обох функцій.

у=

графіком є парабола, вітки якої напрямлені вгору, а вершина має координати (1;-1).

 

Відповідь. а є [0;+∞).

Приклад 5.

Для всіх значень а встановити кількість розв’язків рівняння.

Розв’язування.

Розглянемо функції у= то у=а+2.

у=

Вкажемо послідовність побудови графіка даної функції.

1) у= 2) у= 3) у= 4) у=

 

 

 

Відповідь. Якщо а є то рівняння не має розв’язків; якщо а=-2, то два розв’язки; якщо а є (-2;-1), то чотири розв’язки; якщо а є [-1;- ), то два розв’язки; якщо а=-, то три розв’язки; якщо а є (-;+∞), то чотири розв’язки.

 

Приклади 6.

Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння має два різні корені.

Розв’язування.

х=а

Побудуємо графіки функцій а=- та а=() в системі координат х о а, розглядаючи їх у відповідних півплощинах (х≥а та х<а ).

 

 

 

Для того,

щоб система мала два розв’язки, потрібно, щоб горизонтальна пряма перетинала графік двічі. Відповідь:ає(-∞;-)U(-2;+∞)

Оскільки при розв’язуванні ірраціональних рівнянь з параметрами виконати перевірку всіх коренів виможливо, то розв’язуємо ці рівняння з урахуванням області допустимих значень змінних, пам’ятаючи, що якщо обидві частини рівняння ƒ(х)=g(х) невід’ємні, та рівняння ƒ(х)=g(х) і (ƒ(х)) (g(х)) рівносильні.

 

 

 

Приклад 1.

При будь-якому значенні а розв’язати рівняння

Розв’язування.

ОДЗ

Підносимо до квадрату обидві частини рівності.

3х-2=+2ах+

+(2а-3)х++2=0.

1)

х є ø.

2)

Перевіримо, при яких значеннях а задовольняє ОДЗ.

(1)

 

 

 

Розв’яжемо окремо  кожну з ірраціональних нерівностей системи.

а є (-∞;.

  ; а є (-∞;.

Тому розв’язок системи (1)  а є (-∞;.

Отже х= є розв’язком даного рівняння при а є

Перевіримо, при яких значеннях а   задовольняє ОДЗ.

(2)

Розв’яжемо кожну з ірраціональних нерівностей системи окремо.

а є (-∞;.

 

Повертаємося до системи (2).

Отже,  є розв’язком даного рівняння при

Відповідь. Якщо  а є (-∞;-, то якщо , то ; якщо то х .

 

 

Приклад 2. При будь якому значенні а розв’язати рівняння

 Розв’язування.

ОДЗ.

Підносимо до квадрату обидві частини рівності.

2ах-1=-2х+1

-(2а+2)х+2=0

1)

отже, якщо то х є ø.

2)

Знайдемо значення а, при яких належить ОДЗ.

(1)

Розв’яжемо окремо кожну з ірраціональних нерівностей системи.

Якщо а>0, то

 

 

 

 

 

Якщо а<0

Об’єднуємо отримані розв’язки.

    

 Повертаємося до системи (1).

при таких значеннях параметра є розв’язком  даного рівняння.

Знайдемо значення а, при яких належить ОДЗ.

(2)

Розв’яжемо окремо кожну з нерівностей системи.

якщо а>0, то

Якщо а<0, то  

                

.

Повертаємося до системи (2).

- при таких значеннях параметра а є розв’язком даного рівняння.

Відповідь. Якщо  , то  х ;

                   Якщо , то , ;

                   Якщо то

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 3. При будь-якому значенні параметра а розв’язати рівняння.

Розв’язання.

ОДЗ.

2х+1=-2ах+

-(2а-2)х+-1=0.

1)  2а+2<0, а<-1,  х є ø.

2)   2а+2≥0, а≥-1.

Знайдемо, при яких значеннях параметра а  належать ОДЗ рівняння.

(1)

Розв’яжемо окремо кожну з нерівностей системи.

Повертаємося до системи (1).

Отже,  є розв’язком даного рівняння, якщо

Знайдемо при яких значеннях параметра а належить ОДЗ рівняння.

(2)

Розв’яжемо окремо кожну з нерівностей системи (2).

Повертаємося до системи (2).

Отже,  при є розв’язком даного рівняння.

Відповідь. Якщо  , то  х ;

                   Якщо , то , ;

                    Якщо то

 

 

Приклад 4. При будь-якому значенні параметра а розв’язати рівняння.

Розв’язання.

ОДЗ.

Підносимо до квадрату обидві частини рівності.

Для того, щоб не з’явилися сторонні корені, звужуємо ОДЗ.

1)

Якщо   , то  х є ø.

2)  

Знайдемо при яких значеннях параметра а належить ОДЗ.

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’яжемо окремо кожну з ірраціональних нерівностей системи.

 

а=0.

Повертаємося до системи (1).

              

  а=0.

Отже, якщо а=0, то є коренем даного рівняння.

Знайдемо  значення параметра а, при яких  є коренем даного рівняння.

(2)

Розв’яжемо окремо кожну з ірраціональних нерівностей системи (2).

Повертаємося до системи (2).

Отже є розв’язком даного рівняння, якщо

Відповідь. Якщо  то  х;

                   Якщо , то ,

                    Якщо то

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 5. При будь-якому значенні параметра а розв’язати рівняння.

Розв’язання.

ОДЗ.

 

або

або

або

                  

Звуження ОДЗ.

х=0 або

Знайдемо значення параметра а, при яких х=-а є розв’язком даного рівняння.

а=0.

Отже, х=-а, якщо а=0.

 

Знайдемо значення параметра а, при яких х=0 є розв’язком даного рівняння.

а=0.

 

Отже, х=0 є розв’язком даного рівняння, якщо а=0.

 

Знайдемо значення параметра а, при яких є розв’язком даного рівняння.

а=0.

Отже, є розв’язком даного рівняння а=0.

Відповідь. Якщо  а=0, то х=-а, х=0; ;

                    якщо а≠0, то х .

 

Приклад 6.  При будь-якому значенні параметра а розв’язати рівняння

Розв’язування.

ОДЗ.

 

 

 

 

 

Знайдемо значення параметра а, при яких належить ОДЗ.

Відповідь. Якщо , то ;

                    Якщо то х .

 

 

Приклад 7.  При будь-якому значенні параметра а розв’язати рівняння

Розв’язання

нехай =t, t≥0

ОДЗ.

t+1=t+2a

1) a=0; t є ø.

2)

t=

 

 

 

Перевіримо, при яких значення а t= належить ОДЗ.

а є

Повертаємося до заміни.

Відповідь. . Якщо то

                    Якщо то х .