Збірник олімпіадних задач з математики для учнів 5 класу. Частина 3. Числові задачі

Числові задачі

1. У скільки разів збільшиться трицифрове число, якщо до нього приписати таке саме трицифрове число? Відповідь проілюструвати прикладами.

2. Знайдіть суму найзручнішим способом:

а) ;

б) .

3. Скількома нулями закінчується добуток усіх натуральних чисел:

а) від до включно; б) від до включно?

4. Катруся поділила число на деяке число і одержала остачу . На яке число ділила Катруся?

5. Скількома нулями закінчується добуток усіх натуральних чисел:

а) від до включно;

б) від до включно?

6. Усі натуральні числа від до записані в один ряд. Скільки разів повторюється в цьому ряді цифра і цифра ?

7. Одне трицифрове число записано цифрами , і , друге – , і . Розмістити у кожному числі цифри так, щоб добуток цих чисел був:

а) найбільшим;

б) найменшим.

8. Якщо в деякому десятковому дробі перенести кому вправо через одну цифру, то він збільшиться на . Знайти цей дріб.

9. У числі закреслити цифри так, щоб цифри, які залишилися (в тій самій послідовності) утворили:

а) найбільше можливе чотирицифрове число;

б) найменше можливе чотирицифрове число.

10. Деяке число поділили на і від результату відняли . Дістали найменше трицифрове число. Знайти ділене.

11. Замість зірочок поставити цифри так, щоб утворена рівність була правильною: .

12. Скількома нулями закінчується добуток натуральних чисел від до ?

13. При діленні трицифрового числа, у якого цифри десятків і сотень однакові, а цифра одиниць дорівнює , на одноцифрове число дістали в остачі . Знайти трицифрове число, дільник і неповну частку.

14. Із цифр , , , , і скласти два таких трицифрових числа, щоб одне з них було більше, ніж друге, в разів.

15. Замінити букви цифрами: . Скільки розв’язків має задача?

16. На яке число треба помножити , щоб дістати добуток, який записується тільки цифрами ?

17. Замість зірочок поставити такі цифри, щоб утворена рівність була правильною: .

18. Записати шість десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює , а дробова частина кожного числа складена з чотирьох різних цифр: , , , . Записати ці дроби в порядку їх зростання.

19. Закреслити в числі три нулі так, щоб утворилося якнайбільше число.

20. Записати всі десяткові дроби, ціла частина яких дорівнює , а дробова містить три десяткові знаки, записані цифрами і . Записати ці дроби в порядку їх спадання.

21. Яких трицифрових чисел більше: всі цифри яких парні чи всі цифри яких непарні?

22. Яка із сум і більша і на скільки?

23. Замінити зірочки числами так, щоб сума будь-яких трьох сусідніх чисел дорівнювала : .

24. На скільки сума менша від суми ?

25. Довести, що остання цифра числа дорівнює остачі від ділення цього числа на .

26. Зліва від знака рівності між цифрами поставити знаки додавання так, щоб утворена рівність була правильною: .

27. Зліва від знака рівності між цифрами поставити знаки віднімання так, щоб утворена рівність була правильною: .

28. У двоцифровому числі кількість десятків у рази менша від кількості одиниць, а сума цифр цього числа дорівнює найменшому двоцифровому числу. Що це за число?

29. Скільки існує трицифрових чисел, запис яких містить хоча б один нуль?

30. Знайти числа, квадратами яких є і , де зірочками позначено рівні двоцифрові числа.

31. Замінити зірочки цифрами, коли відомо, що сума цифр першого доданка , а другого : .

32. Продовжити кожний з рядів:

а) , , , , , … ;

б) , , , , , … .

33. Яку найменшу кількість цифр потрібно стерти у числі , щоб одержати число, яке читається однаково зліва направо, та справа наліво?

34. Написати найменше ціле трицифрове число, в якому цифра десятків , а сума цифр одиниць і сотень дорівнює .

35. Знайко написав на дошці числа ; ; ; ; . Яких два наступних числа напише Знайко.

36. Записати поспіль натуральні числа від до . Скільки разів в запису всіх цих чисел зустрічається цифра ?

37. Знайти два таких числа, щоб їх добуток дорівнював , а частка від ділення більшого числа на менше також дорівнювала .

38. Знайти різницю між найбільшим і найменшим тризначними числами; між найбільшим і найменшим чотиризначним числами. Назвати різницю між найбільшим і найменшим п’ятизначними числами не обчислюючи її.

39. Якою цифрою закінчується добуток множників: ?

40. Обчислити: .

41. Сума цифр двозначного числа . Якщо в цьому числі переставити цифри, то воно збільшиться на . Знайти це число.

42. Знайти двозначне число, сума цифр якого і яке більше на числа, записаного тими ж цифрами, але взятими в зворотному порядку.

43. Знайти двозначне число, сума цифр якого , а різниця між даним числом і числом, записаним тими ж цифрами, але у зворотному порядку, закінчується цифрою .

44. До двозначного числа дописали рівне йому числу. В скільки разів отримане число більше від даного?

45. Ділене поділили на подвоєний дільник і у частці отримали . Коли ж ділене поділили на потроєну частку, то знову отримали . Знайти ділене і дільник.

46. Сума двох чисел . Коли більший доданок збільшили в разів, а менший – в рази, то нова сума виявилась рівною . Знайти ці числа.

47. Сума цифри десятків і цифри одиниць двозначного числа, що додана з їх різницею, дорівнює . Якщо ж між цими цифрами вставити , то число збільшиться в разів. Знайти початкове число.

48. Сума яких двох натуральних чисел більша, ніж їх добуток?

49. Встановити такі два числа, що б їх сума, добуток і частка були рівними між собою?

50. Яке число в разів більше цифри його одиниць?

51. Яке найбільше число можна записати за допомогою:

а) трьох одиниць; б) чотирьох одиниць?

52. Записати найбільш можливе число, користуючись трьома двійками.

53. Записати найбільш можливе число, використовуючи цифри.

54. Скільки буде нулів в кінці числа, яке виражає добуток десяти послідовних натуральних чисел?

55. Скільки буде нулів в кінці числа, яке виражає добуток двадцяти послідовних натуральних чисел?

56. Написати найменше тризначне число, яке кратне так, щоб перша цифра його була і всі цифри були б різними.

57. Написати найменше п’ятизначне число, яке кратне , так, щоб перша цифра його була і всі цифри були б різними.

58. При діленні деякого числа на цифру тисяч прийняли за , а цифру одиниць прийняли за і отримали в частці , а в остачі . Знайти вірну частку і вірну остачу.

59. При діленні числа на в остачі отримали . Як зміниться частка і скільки отримаємо в остачі, якщо те саме число поділити на ?

60. При діленні на число в остачі отримали . Як зміниться частка і скільки отримаємо в остачі, якщо те саме число поділити на ?

61. Різниця двох чисел ділиться на . Остача від ділення від’ємника на дорівнює . Чому дорівнює остача від ділення зменшуваного на ?

62. При додаванні декількох чисел учень через неакуратність своїх записів допустив наступні помилки: цифру одиниць він прийняв за , цифру сотень він прийняв за , нарешті, цифру тисяч він прийняв за . В учня вийшло число . Як учню можна допомогти знайти правильно необхідну суму?

63. Знайти закономірність і записати наступні три числа: ; ; ; ; ; ; ; … .

64. Написати найменше шестизначне число, в запису якого є тільки цифри ; ; ; (кожна цифра записується не менше одного разу).

65. Восьмизначне число записано двома одиницями, двома двійками, двома трійками і двома четвірками. Між одиницями стоїть одна цифра, між двійками – дві, між трійками – три, між четвірками – чотири. Знайти це число. Чи є інші розв’язки?

66. Сума двох чисел дорівнює . Одне з них закінчується нулем. Якщо цей нуль перекреслити, то утвориться друге число. Знайти ці числа.

67. Добуток трьох різних натуральних чисел дорівнює . Чому дорівнює сума цих чисел?

68. Скільки разів в ряді натуральних чисел від до зустрічається цифра ?

69. Знайти всі двозначні числа, які зменшуються в разів при закресленні останньої цифри.

70. При діленні деякого числа на і на отримались однакові частки. Перше ділення дало в остачі , а друге було без остачі. Знайти це число.

71. Знайти двозначне число, якого дорівнює сумі його цифр.

72. На уроці математики Тарас записав деяке число. Потім він поділив його на і додав , а отриманий результат помножив на . У відповіді отримав . Яке число Тарас записав спочатку?

73. Продовжити кожний з рядів:

а) , , , , , … ;

б) , , , , , , , … .