Збірник олімпіадних задач з математики для учнів 5 класу. Частина 6. Геометричні задачі

Про матеріал

Збірник олімпіадних задач з математики для учнів 5 класу покликаний забезпечити дидактичним матеріалом на уроках математики під час розв’язування задач підвищеного рівня складності. Бажаним є використання цього видання для факультативних курсів за вибором вчителями математики у загальноосвітніх навчальних закладах та при підготовці школярів до предметних олімпіад.

Перегляд файлу

Геометричні задачі

1. На стіл поклали два ряди однакових кульок. В одному ряді було кульок на відстані см одна від одної, а в другому – кульок на відстані см одна від одної. Який ряд довший?

2. Брусок, що має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами см, см і см, пофарбували з усіх сторін і розрізали на кубики з ребром см. Скільки утвориться кубиків, у яких пофарбовано:

а) три грані;

б) дві грані;

в) одну грань?

3. У басейн, площа дна якого дорівнює га, налили мільйон літрів води. Чи можна в цьому басейні провести змагання з плавання серед учнів п’ятого класу?

4. У скільки разів довжина кілометра більша довжини міліметра?

5. Яку відстань пройде людина, яка зробить мільйон кроків, якщо середня довжина його кроку м?

6. Накреслити трикутник. Перетнути його двома прямими так, щоб на рисунку утворилося:

а) трикутників;

б) трикутники.

7. Ділянка прямокутної форми обнесена парканом. Через кожні м паркану вритий стовп. Скільки всього стовпів у паркані, якщо довжина однієї сторони ділянки м, а довжина другої на м більша?

8. Сторона квадрата см. Як поділити цей квадрат на рівні квадрати площею см² кожний? Скільки утвориться таких квадратів?

9. Виміри прямокутного паралелепіпеда, виготовленого з дерева, см, см і см. Як можна одним розпилом вирізати з даного паралелепіпеда куб? яка довжина ребер куба, що утворився? Які виміри прямокутного паралелепіпеда, що залишився (без урахування відходів розпилювання)?

10. Гліб має дерев’яний прямокутний паралелепіпед з вимірами см, см і см. Він розпилює його на кубики з ребром см і ставить їх один на один. Чи зможе Гліб добудувати вишку з цих кубиків, якщо навіть вилізе на триметрову драбину?

11. Виміри куска мила, який має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнюють см, см і см. Щодня витрачають однакову кількість мила. За днів усі виміри куска мила зменшилися в рази. На скільки ще днів вистачить цього куска, якщо й надалі мило витрачатимуть у тій самій кількості?

12. Товарний контейнер має форму куба, ребро якого м. У цей контейнер треба навантажити максимальну кількість ящиків, які мають форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами м, м і м. Скільки ящиків можна навантажити в контейнер? Пояснити, як їх розмістити.

13. Скільки квадратних міліметрів міститься в квадратному метрі? А в гектарі?

14. Провести шість прямих і позначити на них точок так, щоб на кожній прямій було позначено рівно чотири точки.

15. Скільки в кубічному метрі міститься кубічних сантиметрів? Кубічних міліметрів?

16. На площині проведено три прямі. На першій прямій позначено точок, на другій – точок, а на третій – точки. Яка найменша кількість різних точок може бути позначеною?

17. Якої висоти буде стовпчик, якщо один кубічний метр розрізати на кубічні міліметри і поставити їх один на один?

18. Якої довжини буде лінія, якщо кубічний кілометр розрізати на кубічні метри і викласти їх в одну лінію?

19. На площині проведено три прямі. На яку найбільшу і на яку найменшу кількість частин ці прямі розбивають площину?

20. Провести шість прямих, що перетинаються в одній точці. Чи правильно, що серед кутів, які при цьому утворилися, є кут, градусна міра якого менша від ?

21. Скільки діагоналей можна провести з однієї вершини:

а) п’ятикутника;

б) дев’ятикутника;

в) -кутника, ?

22. Як, використовуючи шаблон кута, градусна міра якого , побудувати кут, градусна міра якого дорівнює ?

23. Як побудувати кут, градусна міра якого , використовуючи шаблон кута, градусна міра якого дорівнює:

а) ;

б) ?

24. Чи існує многокутник з периметром см, який можна помістити в квадрат зі стороною см?

25. Виміри куска мила, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнюють см, см і см. Щодня витрачають однакову кількість мила. Через днів користування цим милом усі його виміри зменшились в рази. На скільки днів вистачить куска, що залишився?

26. Квадрат розрізали на чотири рівних частини і склали з них два квадрати. Як це зробили?

27. Рівнобедрений прямокутний трикутник розрізали на чотири рівних частини і склали з них квадрат. Як це зробили?

28. Прямокутник зі сторонами см і см розрізали на чотири частини і склали з них квадрат. Як це зробили?

29. Квадрат розрізали на трикутник та чотирикутник і склали з них трикутник. Як це зробили?

30. Квадрат зі стороною см розрізали на дві частини по ламаній і склали з отриманих частин прямокутник. Як це зробили?

31. Площа прямокутного листа паперу дорівнює см². Скільки квадратів площею см² можна вирізати з цього прямокутника?

32. Площа прямокутного листа паперу дорівнює см². Скільки квадратів зі стороною см можна вирізати з цього листа?

33. Чи можна розрізати квадрат на кілька частин так, щоб з них можна було скласти два квадрати, довжини сторін яких виражаються цілим числом сантиметрів, якщо сторона даного квадрата дорівнює:

а) см;

б) см?

34. Деяка точка ділить відрізок на дві частини. Відстань між серединами цих частин дм. Яка довжина відрізка ?

35. На площині є точок, але ніякі три з них не лежать на одній прямій. Через кожні дві точки проведено пряму. Скільки таких прямих можна провести?

36. Прямокутний паралелепіпед з вимірами дм, дм, дм розрізали на кубики з ребром, що дорівнює см. Яку довжину мав би ланцюг з кубиків, якби їх розмістили в один ряд?

37. Ребро куба см. Грані куба пофарбували в червоний колір, а потім розрізали на рівні кубики з довжиною ребра см. Скільки маленьких кубиків мають:

а) одну червону грань;

б) червоні грані;

в) червоні грані?

38. Довжина однієї сторони трикутника см. Це є половина довжини кожної із решти сторін. Знайти сторону квадрата, периметр якого дорівнює периметру даного трикутника.

39. Накреслити коло і прямокутник так, щоб коло і сторона прямокутника мали:

а) одну спільну точку;

б) дві спільні точки;

в) три спільні точки;

г) чотири спільні точки.

40. Складіть із сірників три квадрати.

41. Складіть із сірників шість квадратів.

42. Як за допомогою лінійки виміряти діагональ цеглини, маючи ще кілька таких цеглин?

43. Периметр одного квадрату дорівнює мм. Чому дорівнює периметр іншого квадрата, сторона якого в рази більша сторони першого? В рази менше сторони першого?

44. Вода при замерзанні збільшується на частину свого об’єму. На яку частину свого об’єму зменшиться лід при зворотному перетворенні у воду?

45. Учню, який працює в майстерні, дали дошку довжиною м і сказали, що потрібно її розрізати впоперек на частини так, щоб число метрів в більшій частині було рівне числу дециметрів у меншій. Як цей учень повинен розрізати дошку?