Представлені дидактичні матеріали призначені для організації самостійної роботи учнів та для здійснення контролю знань, умінь і навичок, для забезпечення диференційованого підходу при підготовці домашнього завдання.
Самостійні роботи поділено на чотири групи з урахуванням характеру навчальної діяльності, яка визначається системою завдань та відповідає відповідному методу навчання: репродуктивному, частково пошуковому, дослідницькому:
1) самостійні роботи за зразком, тобто найпростіші відтворювальні самостійні роботи;
2) реконструктивно-варіативні самостійні роботи;
3) частково пошукові самостійні роботи;
4) творчі, дослідницькі самостійні роботи.
Дані дидактичні матеріали також можуть бути використані як ефективний засіб закріплення, поглиблення, повторення і розширення теоретичних та практичних знань і умінь, для розвитку творчої математичної діяльності учнів.
Бердичівська загальноосвітня школа-інтернат І-ІІІ ст..
для дітей-сиріт і дітей, позбавлених батьківського піклування
Формування компетентності «вчись вчитися» - одне з головних завдань сучасної школи. Навчання математиці передбачає реалізацію діяльнісного підходу як головної умови забезпечення ефективності математичної освіти, оволодіння загальною математичною культурою, вироблення математичного стилю мислення. Основною метою своєї роботи вважаю формування в учнів стійкої мотивації до навчально-пізнавальної діяльності. Тому, при підготовці до вивчення кожного з розділів добираю систему завдань та стимулюю учнів до самостійної та систематичної роботи з відпрацювання обчислювальних навичок, розвитку формально-оперативних умінь.
Рівняння в шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему шкільного курсу математики. Сила теорії рівнянь в тому, що вона не тільки має теоретичне значення для пізнання природних законів, але і служить конкретним практичним цілям. Більшість задач про просторові форми і кількісні співвідношення реального світу зводиться до складання та розв’язування різних видів рівнянь. Опановуючи способами їх вирішення, діти знаходять відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв'язок і т.і.). Неабиякого значення для формування вміння розв'язувати рівняння має самостійна робота учнів.
Серед методів, які спрямовані на активізацію пізнавальної діяльності учнів, важлива роль належить самостійній роботі. Термін «самостійна робота» вживають у різних значеннях. Часто так називають окремі уроки, присвячені самостійному розв'язуванню задач, які дуже схожі на контрольні роботи. Але це тільки один з видів самостійної роботи, причому не основний.
При укладанні даного збірника у термін «самостійна робота» я намагалася вкласти значно ширший зміст, віднесла сюди і самостійне вивчення теорії за підручником, і самостійне опановування учнями способів розв’язування квадратних рівнянь, і самостійне розв'язування задач за допомогою квадратних рівнянь тощо. Самостійну роботу учнів, з огляду на те, що навчатись можна не тільки з слів учителя, не тільки під час колективного розв'язування задач і вправ, а й самостійно, розглядаю як метод навчання, як освітню технологію.
Працюючи самостійно, учні, як правило, глибше вдумуються в зміст опрацьованого матеріалу, краще зосереджують свою увагу, ніж це звичайно буває при поясненнях учителя або розповідях учнів. Тому знання, уміння і навички, набуті учнями в результаті добре організованої самостійної роботи, бувають міцнішими і ґрунтовнішими. Крім того, у процесі самостійної роботи в учнів виховується наполегливість, увага, витримка та інші корисні якості.
Представлені вашій увазі дидактичні матеріали призначені для організації самостійної роботи учнів та для здійснення контролю знань, умінь і навичок, для забезпечення диференційованого підходу при підготовці домашнього завдання.
Самостійні роботи поділено на чотири групи з урахуванням характеру навчальної діяльності, яка визначається системою завдань та відповідає відповідному методу навчання: репродуктивному, частково пошуковому, дослідницькому:
1) самостійні роботи за зразком, тобто найпростіші відтворювальні самостійні роботи;
2) реконструктивно-варіативні самостійні роботи;
3) частково пошукові самостійні роботи;
4) творчі, дослідницькі самостійні роботи.
Дані дидактичні матеріали також можуть бути використані як ефективний засіб закріплення, поглиблення, повторення і розширення теоретичних та практичних знань і умінь, для розвитку творчої математичної діяльності учнів.
Методичні рекомендації
Найважливішою умовою і засобом плідної навчальної діяльності учнів, спрямованої на успішний розвиток у них досвіду творчої діяльності, є організація самостійної роботи школярів в процесі навчання. Особливо важлива така самостійна робота, в ході якої учень повинен постійно переносити як відомі, так і знову сконструйовані способи вирішення в нові ситуації пізнавальної діяльності.
Самостійна робота учнів це такий спосіб навчальної роботи, де:
1) учням пропонуються навчальні завдання та інструктаж для їх виконання,
2) робота проводиться без безпосередньої участі вчителя, але під його керівництвом,
3) виконання роботи вимагає від учнів розумової напруги.
Самостійна робота активізує учнів в тому сенсі, що всі учні, навіть більш пасивні і ліниві, повинні виконувати завдання самі.
Навчальні завдання для самостійної роботи різноманітні, вони залежать від навчальних умінь учнів. Сильні учні володіють раціональними і більш складними навчальними уміннями. Слабкі ж учні обмежуються в основному вміннями, пов'язаними з репродуктивною діяльністю.
Навчальні завдання діляться на 4 логічних основи:
1) за методом самостійної роботи учнів (спостереження, вправи, робота з підручником);
2) по ланках навчального процесу (завдання на сприйняття, систематизацію, закріплення і повторення навчального матеріалу);
3) за характером пізнавальної діяльності учнів (репродуктивні і творчі завдання);
4) за характером керівництва (докладний, менш докладний інструктаж).
За характером навчальної самостійної діяльності учнів можна виділити чотири види робіт виходячи з поступового підвищення рівня самостійності.
Перший рівень - найпростіша самостійність (за зразком)
Учень виконує вправу, яка потребує простого відтворення наявних знань за правилом, за зразком, самостійно вирішує завдання, вправи за наданим прикладом.
Виконуючи самостійні роботи цього виду, учням необхідно зробити пряме перенесення відомого способу діяльності в аналогічній ситуації.
Другий рівень - реконструктивно - варіативна самостійність
Учневі слід вміти з кількох наявних правил, визначень, зразків міркувань і т.і. вибрати одне визначення і використовувати його в процесі самостійного рішення нового завдання. На даному рівні учень показує вміння застосовувати розумові операції, такі як порівняння, аналіз. Аналізуючи умови завдання, учень перебирає наявні в його розпорядженні засоби для її вирішення, порівнює їх і вибирає більш дієвий спосіб з деякою модифікацією в незвичайні внутрішньопредметні та межпредметні проблемні ситуації. Наприклад, математичні завдання вирішуються за допомогою перенесення способу розв'язання геометричних задач.
Третій рівень - частково пошукова самостійність
Частково пошукова самостійність проявляється в умінні з наявного арсеналу правил та інструкцій для вирішення завдань певного розділу математики, формувати (комбінувати) узагальнені способи для вирішення більш широкого класу задач, у тому числі й з інших розділів математики. В умінні здійснювати перенесення математичних методів, розглянутих в одному розділі, на вирішення завдань з інших розділів або з суміжних навчальних предметів; в прагненні знайти «власне правило», прийом, спосіб діяльності; в пошуках кількох способів вирішення завдання й у виборі найбільш раціонального, витонченого; в варіюванні умов завдання і в порівнянні відповідних способів рішення і т.і.. Тут вже існують елементи творчості. Учень на цьому рівні володіє відносно великим набором прийомів розумової діяльності - вміє проводити порівняння, аналіз, синтез, абстрагування тощо. У його діяльності значне місце займає контроль результатів і самоконтроль. Він може самостійно спланувати та організувати свою навчальну діяльність.
Вищий, четвертий рівень самостійності - творча, дослідницька
Самостійні роботи всіх цих видів включають в себе певні проблемні ситуації, що стимулюють і орієнтують учня на пошук теоретичних знань і способів діяльності різного ступеня складності (за принципом наростання).
Самостійність рішення полягає у тому, що учень по заданій умові розчленовує загальну задачу на кілька завдань, визначає шляхи їх вирішення, а потім результати кожної з них об'єднує, зіставляє, комбінує і отримує загальний результат.
Такі види самостійних робіт, які лежать в основі навчання школярів теоретичних знань як інструменту пізнання, формують у дітей вміння планувати власну пізнавальну діяльність, контролювати її хід.
Кожен з перелічених видів робіт включає в себе певні проблемні ситуації, що спонукають до творчої, дослідницької роботи у напрямку відшуковування способів розв’язування. Залежно від знайденого способу розв'язання, учень спрямовує свої пошуки на розвиток і обгрунтування цього способу. Колишні знання і досвід самостійної пізнавальної і практичної діяльності використовуються при цьому залежно від умов завдання.
Найвища ступінь самостійності - вміння вирішувати дослідницькі завдання. Сюди входить уміння самостійно формулювати завдання різного ступеня складності в заданій ситуації, ставити проблеми і розробляти план їх вирішення, визначати пошук рішення і будувати його гіпотезу.
Неповні квадратні рівняння
I. Найпростіша відтворювальна самостійна робота
(за зразком)
Таблиця № 1
Розв’язування неповних квадратних рівнянь
Коефіці-єнт |
b = 0 |
c = 0 |
b = 0 і c = 0 |
|
Вигляд |
ax2 + c = 0 |
ax2 + bx = 0 |
ax2 = 0 |
|
Загальний розв’язок |
ax2 = -c
x2 =
|
x (ax + b) = 0 x1 = 0 або ax + b = 0 ax = -b
x2 =- два розв’язки Відповідь: x1 = 0, x2 = -b/a |
x2 = 0 x = 0 |
|
Якщо
|
Якщо
|
|||
x1 =
x2 = - |
Рівняння розв’язків не має |
|||
Приклад |
2x2 -18 = 0 2x2 = 18 x2 = 9 9 > 0 x1 = √9 = 3 x1 = -√9 = -3 Відповідь: -3: 3 |
2x2 – 7x = 0 x (2x - 7) = 0 x = 0 або 2x – 7 = 0 2x = 7 x = 3,5 Відповідь: 0; 3,5 |
7x2 = 0 x2 = 0 x = 0 Відповідь: 0 |
|
Розв’яжи сам |
2x2 – 8 = 0 |
2x2 + 3x = 0 |
9x2 = 0
|
х2 - 6х = 0; 0,5х2 - 7,5 = 0; х2 = 2;
Зх2 - 11=0; х2 = 81; 3 - х2 = 0;
8х - х2 = 0; х2 - 25 = 0; 5х2 - 15х = 0;
-х2 - 11=0; 6084 -х2 = 0; 49х - х2 = 0;
х2 = 0,09; 2х2 - 98 = 0; 2х2 + х = 0;
х2 + 4х = 0; х2 = -3; 49х2 = 0;
х2= -961; 2х2 + 8 = 0; Зх2 + 75 = 0;
4 - 2х2 = 6; 7х2 =21952; 0,1х2 - 547,6 = 0.
Коефіцієнти рівняння |
Квадратне рівняння |
||
а |
в |
с |
ах2+вх.+с=0 |
7 |
-2 |
5 |
|
-11 |
4 |
0 |
|
1 |
8 |
-3 |
|
-1,8 |
0 |
-2,3 |
|
II. Реконструктивно-варіативна самостійна робота
1. Доведіть, що:
а) Кожне з чисел 7 та -7 є коренем рівняння 2х2 - 98 = 0;
б) Кожне з чисел 0 та -4 є коренем рівняння х2 - 98 = 0.
1) старший коефіцієнт дорівнює 6, другий коефіцієнт дорівнює 7, а вільний член дорівнює 2;
2) старший коефіцієнт дорівнює 1, другий коефіцієнт дорівнює –8, а вільний член дорівнює −
3) старший коефіцієнт дорівнює 7,2, другий коефіцієнт дорівнює –2, а вільний член дорівнює 0.
5. Розв’яжіть рівняння:
а) (3х-1)(2х-2) = (х-4)2 + 6;
б) 6х - 6(х - 4) = (2х - 1) (2х + 1);
в) (3х - 4)2 - (5х + 2) (2х + 8) = 0;
г) (2х - 1) (2х + 3) - (х + 2)2 = 0.
6.Розв’яжіть рівняння:
а) ; б)
в) г)
III. Частково пошукова самостійна робота
а) б)
;
в)
2. Складіть квадратне рівняння, яке має такі корені:
а) 5 і 7; б) 4 і – 4; в) 0 і 11.
3. Подайте дане рівняння у вигляді ax2 + bx + c = 0, укажіть значення коефіцієнтів a, b і c:
1) 6x (3 – x) = 7 – 2x2; 2) (5x – 1)2 = (x + 4) (x – 2).
4. Розв’яжіть рівняння:
а) (5х-1)2-( 3х + 2)2 + (х-1)(х+1) = х - 4;
б) 12 х2 - (3х + 2)2 + (х + 4) (5х - 1) = х2 - 8;
в)
г)
IV. Творча, дослідницька самостійна робота
а) (m – 4) x2 + mx + 7 = 0;
б) (m2 + 8m) x2 + (m + 8) x + 10 = 0;
в) (m2 – 81) x2 – 6x + m = 0.
а) ах2 = 9;
б) ах2 - = 0;
в) 6,25 – а2х2 = 0;
г) ах2 – = 0.
Розв’язування квадратних рівнянь
виділенням квадрата двочлена
I. Найпростіша відтворювальна самостійна робота
1.Розв’яжіть рівняння, виділивши повний квадрат суми або різниці (за формулою а2 ± 2аb + b2 = (a ± b)2).
а) х2 + 2х + 1 = 0; г) х2 + 6х + 9 = 0; б) х2- 2х + 1 = 0; д) х2 - 14х + 49= 0;
в) х2- 6х + 9 = 0; е) х2 + 8х + 16 = 0.
II. Реконструктивно-варіативна самостійна робота
1.Розв’яжіть рівняння, виділивши повний квадрат суми або різниці
а) х2 + 2х + 1 = 40; е) х2 - 3х + 3 = 0;
б) х2 - 8х + 15 = 0; є) х2 + 8х + 15 = 0;
в) х2 +12х + 20 = 0; ж) х2 + 9х + 14 = 0;
г) х2 - 5х - 61 = 0; з) х2 - 2х - 1 = 0;
д) х2 - 8х - 9 = 0; и) х2 + 4х + 3 = 0.
III. Частково пошукова самостійна робота
1.Розв’яжіть рівняння, виділенням квадрата двочлена
а) 9 х2 - 30х + 25 = 0;
б) -2х2 - 6х + 1,5 = 0;
в) (х – 0,2-3)(х+)(х+2,1)=0
г) 2х2 - 9х + 10 = 0;
д) 5х2 + 3х - 8 = 0;
е) 5х2 + 14х - 3 = 0.
IV. Творча, дослідницька самостійна робота
Розв’язування рівнянь
за допомогою формули коренів квадратного рівняння
Повне квадратне рівняння ах2+вх.+с=0,
а≠0, в≠0, с≠0 |
||
Дискримінант квадратного рівняння
D=b2 – 4ac
|
||
D>0 |
D=0 |
D<0 |
х1=
|
х= |
Рівняння розв’язків немає |
I. Найпростіша відтворювальна самостійна робота
(за зразком)
Таблиця № 2
Розв’язування квадратних рівнянь за формулою коренів
Алгоритм |
Приклад |
Розв’яжи сам |
||||||||||||||||
ах2 + bx + c = 0
a = …, b = …, c = …
D = b2 – 4ac = …
та знаходимо його корені:
Відповідь: х1; х2. б) якщо D = 0, то знаходимо
Відповідь: х. в) якщо D < 0, то записуємо Відповідь: розв’язків не має
|
х2 - 4х + 3 = 0 a = 1, b = - 4, c = 3.
D = (-4)2 4 · 1 · 3 = 4 4 > 0
х1
х2
Відповідь: 1; 3. |
х2 + 5х + 4 = 0 |
1. Розв’яжіть рівняння за зразком:
а) 3х2 - 13х + 4 = 0; є) –x2 – 8x + 12 = 0;
б) 2x2 – 5x + 2 = 0; ж) 5х2 + 8х + 3 = 0;
в) 5х2 - 13х + 6 = 0; з) х2 - 10х - 24 = 0;
г) 9х2 - 12х + 4 = 0; и) х2 + 3х - 4 = 0;
д) 49х2 - 28х + 3 = 0; і) х2 - 3х + 28 = 0;
е) 18x2 – 9x – 5 = 0; ї) х2 + х + 8 = 0;
II. Реконструктивно-варіативна самостійна робота
1. Розв’яжіть рівняння, попередньо записавши їх в стандартному вигляді:
а) х2 + 5х = 14;
б) 3х2 = 2х – 5;
в) (4x – 3)2 + (3x – 1) (3x + 1) = 9;
г) 25х2 + 10 = 10х + 9;
д) (х - 2)(х + 2) + 14 = 9х – х2;
е) x2 + 3x + 4 = 0;
є) 2х – 9 + 5х2 = 2х2 + 6х – 20;
ж) 2(2х2 - 7) = - 8х – 9;
з) (x + 7) (x – 8) – (4x + 1) (x – 2) = –21x;
и) (3х + 1)2 – х( 7х + 5) = 4;
і) ( х - 2)( х + 2 ) – 2х( х – 3 ) = 6 – х;
ї) (у + 1)2 = - 1 – ( 3 + у )у;
й) х( х – 1 ) – 2х( х + 1) = х – (2х +1)(2х -1);
к) x2 - x ( + 2) + 2
= 0.
III. Частково пошукова самостійна робота
|= х;
( 3 – х )2 + 5 | 3 - х | - 6 = 0;
5( )2 - 6
+ 1 = 0;
2| у |2 - 9| у | = 0;
4х4 + х2 – 33 = 0;
– ( у + 5 )2 + 3 | у + 5 | + 5 = 0;
2х2 + 9( )2 – 27= 0
1 – 18 | 2 – р | + 81( 2 – р )2 = 0;
5x2 – 8 | x | + 3 = 0;
| | x2 – 6x + 4 | – 3 | = 1;
3 | х | 2 – 14 | х | + 16 = 0;
5х – 16 + 3 = 0;
х 6 + 2х 3 - 3 = 0;
8 ( 1 – 2х ) 2 – 14 | 2х – 1 | + 5 = 0;
12 ( 4х ) 2 + 64х – 3 = 0.
а) значення виразів ( х – 2 ) 2 – 5 | х + 2 | - 3 та 2 | х + 2 | - 3 рівні;
б) вираз - 2х 4 + 5х 2 + 6 дорівнює виразу 4х 4 + 5х 2 ;
в) вираз ( ) 2 –
дорівнює виразу
– 18;
г) вираз 3 () 2 – 4 ·
+ 3 дорівнює виразу (
) 2 +
+ 1?
IV. Творча, дослідницька самостійна робота
а) | x2 - 2x | = 3 - 2x;
б) | x – 2 | = x2 – 2x;
в) | x2 + x – 1 | = 2x – 1;
г) | 2x + 1 | = x2 – x – 1.
2. При яких значеннях параметра b мають один корінь рівняння:
а) bx2 – 6x – 7 = 0;
б) (b + 5) x2 – (b + 6) x + 3 = 0;
в) (b – 4) x2 + (2b – 8) x + 15 = 0;
г) (a + 2) x2 + (a2 + 2a) x + a + 2 = 0?
a (2a + 4) x2 – (a + 2) x – 5a – 10 = 0 має більше ніж один розв’язок?
Теорема Вієта
I. Найпростіша відтворювальна самостійна робота
(за зразком)
Таблиця № 3
Формула |
Приклади |
|||||||
x 2 + p x + q = 0
x1 + x2 = - p
x1 x2 = q
|
x2 + bx + c = 0, якщо його коренями є числа –7 і 4. Розв’язання. За теоремою Вієта b = –(–7 + 4) = 3, c = –7· 4 = –28. Відповідь: b = 3, c = –28. 2.Один з коренів квадратного рівняння дорівнює 2. Знайдіть другий корінь рівняння x 2 + 17 x - 38 = 0. Розв’язання. 2 + х2 = - 17 або 2 х2 = - 38 х 2 = - 17 – 2 х 2 = - 38 : 2 х 2 = - 19 х 2 = - 19
Відповідь: - 19. |
|||||||
ах2 + bx + c = 0
x1 + x2 = -
x1 · x2 =
|
3x2 – 15x + 2 = 0. Розв’язання. З’ясуємо, чи має дане рівняння корені. Маємо: D = (–15)2 – 4·3·2 = 225 – 24 > 0. Отже, рівняння має два корені x1 і x2.
Тоді за теоремою Вієта x1 + x2 =
x1 x2 =
Розв’язання. Нехай x1 = 4 і x2 =
Тоді x1 + x2 = 4-
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, числа x1 і x2 є коренями рівняння x2 - Помноживши обидві частини цього рівняння на 7, отримуємо квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами: 7x2 – 23x – 20 = 0.
Відповідь: 7x2 – 23x – 20 = 0 |
а) x 2 - 12 x - 45 = 0; д) 60 z + z 2 = 0;
б) x 2 - 16x + 28 = 0; е) 4,5у - у 2 = 0;
в) у 2 + 17 у + 60 = 0; є) 3x 2 - 6x - 7 = 0;
г) 5у 2 + у - 3 = 0; ж) у 2 - 12 = 0.
2.Встановіть відповідність (методом підбору)
|
Рівняння |
|
Корені рівняння |
1 |
x 2 - 4 x -5 = 0 |
А |
3 і 7 |
2 |
x 2 - 10 x+21 = 0 |
Б |
-4 і -5 |
3 |
x 2 +9 x+20 = 0 |
В |
-3 і -2 |
4 |
x 2 +3 x-18 = 0 |
Г |
-1 і 5 |
5 |
x 2 +5 x+6 = 0 |
Д |
-6 і 3 |
3. Один з коренів квадратного рівняння рівний 2. Знайдіть другий корінь рівняння:
а) 7х 2 – 11х – 6 = 0; б) х 2 – 8х + 12 = 0.
4. Знайдіть коефіцієнти b і c рівняння x2 + bx + c = 0, якщо його коренями є числа:
а) –2 і 0,5; б) –10 і –20.
5.Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють:
а) –7 і –8; б) 5 і –0,4;
в) г) 5 −
і 5 +
.
6.Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють:
а) 2 і 5; б) – 0,2 і –10; в) 0 і 6;
г) - і 2; д) 2 -
і 2 +
; е) -
і
II. Реконструктивно-варіативна самостійна робота
Вказівка. Скористатися тим, що добуток коренів дорівнює – 24.
2. В рівнянні x2 - 8x + q = 0 один з коренів дорівнює 12. Знайдіть другий корінь і коефіцієнт q.
х 1 = 4, знайдіть х 2 : 2х 2 - 9х + 4 = 0.
3. Один корінь дорівнює 1, знайдіть b : х2 – bx =0
х 1 = 5, знайдіть с : 2х 2 - 4х - с = 0.
х 1 = - 2, знайдіть b : 3х 2 + bх - 2 = 0.
х 1 = 4, знайдіть х 2 : 2х 2 - bх + 8 = 0.
4.Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта встановіть відповідність:
|
Рівняння |
|
Корені рівняння |
1 |
x 2 - 27 x = 0 |
А |
-4 і 2 |
2 |
x2 + 2x – 8 = 0 |
Б |
|
3 |
x2 – 3x – 18 = 0 |
В |
0 і 27 |
4 |
x2 + 5x + 4 = 0 |
Г |
4- і -1 |
5 |
2x2 – 5x + 3 = 0 |
Д |
-3 і 6 |
III. Частково пошукова самостійна робота
а) ; б) x12 + x22.
4. Корені рівняння x2 + 20x + a = 0 відносяться як 7:3. Знайдіть значення a і корені рівняння.
IV. Творча, дослідницька самостійна робота
доведіть, що якщо a + b + c = 0 (тобто сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю), то х1 = 1, х2 = .
2x2 – (a + 1) x + a – 1 = 0 дорівнює їх добутку?
Розв’язування задач з допомогою квадратних рівнянь
I. Найпростіша відтворювальна самостійна робота
Заповніть пропуски та завершіть розв’язування задачі:
Нехай довжина ділянки дорівнює х м. Зваживши на те, що сума довжини та ширини ділянки обраховується за формулою периметра прямокутника, маємо, а+в=360:2=180 м. Тоді його ширина дорівнює (180 - х) м. Значить площа ділянки дорівнює _______________ м2, що складає 8 000 м2. Отримуємо рівняння __________________.
а) 3х·х=200; б) (3х)2+х2=200;
в) (3х)2 - х2=200; г) 3х 2 - х2=200.
Відповідь: 4 та – 3.
Відповідь: 12 см та 10 см.
Відповідь: 17 і 18.
Вказівка. Позначивши довжину гіпотенузи через х см, виразіть довжини катетів та скористайтеся теоремою Піфагора.
II. Реконструктивно-варіативна самостійна робота
III. Частково пошукова самостійна робота
IV. Творча, дослідницька самостійна робота
Розкладання квадратного тричлена
на лінійні множники
Формула |
Приклад |
Якщо х1, х2 – корені тричлена ах2+вх.+с,
то ах2+вх.+с=а(х-х1)(х-х2) |
x2 – 14x – 32 Розв’язання 1) Знайдемо корені даного тричлена: x2 – 14x – 32 = 0; x1 = –2, x2 = 16. Отже, x2 – 14x – 32 = (x + 2) (x – 16).
Розв’язання. Розкладемо на множники квадратний тричлен, який є чисельником даного дробу: 6a2 – a – 1 = 0;
a1=
6a2 – a – 1= 6 (а+ ( 3a +1 ) (2 a-1 ).
Тоді маємо:
=
Відповідь: |
I. Найпростіша відтворювальна самостійна робота
а)x2 – 7x + 12; б) –x2 + x + 2; в) b2-
b + 1;
г) x2 + 8x + 15; д) 6x2 – 5x – 1; е) –2x2 – 0,5x + 1,5.
а) б)
в)
II. Реконструктивно-варіативна самостійна робота
а)x2 + 5x – 14; б) 2a2 – 3a + 1; г) 0,3m2 – 3m + 7,5;
д) –x2 + 3x + 4; е) 4b2 – 11b – 3; є) –0,5x2 + x + 1,5.
а) б)
; в)
3. Розв’яжіть нерівність:
а) x2 + x + 1 > 0; б) (2x – 1) (2x2 – 3x + 5) < 0.
4. Спростіть вираз:
а) ; б)
III. Частково пошукова самостійна робота
а) –x2 + x – 1 0; б) (−5x2 + 8x − 5)
0.
2. Знайдіть значення функції:
а) у=; б)
.
3. При якому значенні параметра a розклад на лінійні множники тричлена:
а) 2x2 – 7x + a містить множник (x – 4);
б) 4x2 – ax + 6 містить множник (2x + 1)?
4. Розкладіть на множники многочлен:
а)x2 – 6xy + 5y2; б) a2 + 5ab – 36b2.
IV. Творча, дослідницька самостійна робота
1. Розкладіть на множники многочлен:
а) 3m2 – 8mn – 3n2; б) 4x2 – 5xy + y2;
в) a2 – 14ab + 40b2; г) 12b2 + bc – 6c2.
2. Скоротіть дріб:
а) б)
3. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях a значення виразу не залежить від значення змінної:
а) ; б)
Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних
1. Розв’яжіть рівняння: .
Для цього скористайтесь алгоритмом:
а) знайдіть спільний знаменник дробів;
б) помножте обидві частини рівняння на спільний знаменник дробів;
в) складіть рівносильну систему рівнянь, наклавши умову, що знаменник не дорівнює нулю;
г) розв’яжіть систему рівнянь.
2. Розв’яжіть рівняння, заповнюючи пропуски:
=
;
□·□≠0
3.Розв’яжіть рівняння:
а) ; б) 3х+
в) ; г)
;
д) у-10= е)
є) ж)
4.Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної, скориставшись алгоритмом:
а) x4 – 5x2 + 4 = 0; б) x4 – 8x2 – 9 = 0;
в) x4 – 5x2 + 6 = 0; г) x4 + 14x2 – 32 = 0.
1.При якому значенні змінної:
а) сума дробів і
дорівнює 3;
б) значення дробу на
більше за значення дробу
?
2.При яких значеннях а значення дробів рівні: і
3. Розв’яжіть рівняння:
а) 3х+1=;
б) = 3;
в)
4.Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної:
а) x4 – 29x2 + 100 = 0; б) x4 + 3x2 – 70 = 0;
в) x4 – 9x2 + 20 = 0; г) 9x4 – 10x2 + 1 = 0.
III. Частково пошукова самостійна робота
а) ;
б) ;
в)
г)
2. При яких значеннях у різниця дробів рівна їх добутку:
і
3.Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної:
а) (x + 3)4 – 3 (x + 3)2 – 4 = 0;
б) (2x + 1)4 – 10 (2x + 1)2 + 9 = 0;
в) (6x – 7)4 + 4 (6x – 7)2 + 3 = 0;
г) (x – 4)4 + 2 (x – 4)2 – 8 = 0.
4. Розв’яжіть рівняння:
а) (8x2 – 3x + 1)2 = 32x2 – 12x + 1;
б) (x2 – 5x + 7) (x – 2)(x – 3) = 2;
в)
г) .
IV. Творча, дослідницька самостійна робота
а) ;
б)
в)
2. При яких параметрах b рівняння :
=
3.Розв’яжіть рівняння відносно х:
.
4.Розв’яжіть рівняння:
а) x4 + 8x3 + 10x2 – 24x + 5 = 0;
б) x4 + 4x3 – 10x2 – 28x – 15 = 0;
в) 10x2 (x – 2)2 = 9 (x2 + (x – 2)2).
Розв’язування задач
з допомогою раціональних рівнянь
I. Найпростіша відтворювальна самостійна робота
Знаменник звичайного дробу більший за його чисельник на 3. Якщо до чисельника цього дробу додати 7, а до знаменника 5, то дріб збільшиться на
Заповніть пусті клітинки таблиці, складіть рівняння та знайдіть його корені
Ситуація |
Запис дробу і його компонентів через невідоме |
||
Чисельник |
Знаменник |
Дріб |
|
Було (за умовою) |
х |
х+3 |
|
Стало (після перетворення) |
|
|
|
Відповідь: .
Моторний човен пройшов 45 км за течією річки і 22 км проти течії. Знайдіть власну швидкість човна, якщо на шлях за течією річки човен витратив на 1 го більше, ніж на шлях проти течії. Швидкість течії – 2 км/год.
Алгоритм:
Відповідь: 13 км/год, 10 км/год.
II. Реконструктивно-варіативна самостійна робота
Розв’яжіть цю задачу.
IV. Творча, дослідницька самостійна робота
2. Автобус мав проїхати відстань між двома містами, яка дорівнює 400 км, з деякою швидкістю. Проїхавши 2 год із запланованою швидкістю, він зупинився на 20 хв і, щоб прибути у пункт призначення вчасно, збільшив швидкість руху на 10 км/год. З якою швидкістю автобус мав проїхати відстань між містами?
3. Щоб виконати певне виробниче завдання, одному робітникові треба на 12 год менше, ніж другому, і на 4 год більше, ніж обом робітникам для спільного виконання завдання. За скільки годин може виконати це завдання перший робітник?
Література
ЗМІСТ
1.Пояснювальна записка 1
2. Методичні рекомендації 3
3. Неповні квадратні рівняння 6
4. Розв’язування квадратних рівнянь виділенням квадрата
двочлена 10
5. Розв’язування рівнянь за допомогою формули коренів квадратного рівняння 12
6. Теорема Вієта 17
7. Розв’язування задач з допомогою квадратних рівнянь 21
8. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники 24
9. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних 27
10. Розв’язування задач з допомогою раціональних рівнянь 31
1
Алгебра 8 клас, Павлюк Л.П.