Золотий переріз– вищий прояв структурної й функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніку й природі.

               Золотий переріз (золотое сечение)

Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать комбінація симетрії й золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю й появі відчуття краси й гармонії. Ціле завжди складається із частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні друг до друга й до цілого. Принцип золотого перетину – вищий прояв структурної й функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніку й природі.

Існує цікавий ланцюговий дріб, всі числа в якому дорівнюють 1:

 

 

Якщо позначити це число за х, то воно задовольнятиме рівняння  1 + 1/x=1, або х2+х+1=0. Розляненмо його додатній розв’язок х=(1+√5):2≈1,618...

Саме це число називають в математиці "золотим перерізом" і позначають грецькою літерою τ.

Наприклад, поштові листівки виготовляють у вигляді прямокутника, відношення сторін у якому дорівнює цьому числу. Якщо від цього прямокутника відрізати найбільший можливий квадрат, то отримаємо прямокутник, подібний даному. Процес цей є нескінченним, і ми вже знаємо чому: розклад ірраціонального числа τ=(1+√5):2 у ланцюговий дріб є нескінченним.

 

 

Золотий перетин – гармонійна пропорція

 

У математику пропорцією (лат. proportio) називають рівність двох відносин: a : b = c : d.

Відрізок прямій АВ можна розділити на дві частини такими способами:

• на дві рівні частини – АВ : АС = АВ : ВС;

• на дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції  не утворюють);

• таким чином, коли АВ : АС = АС : ВС.

Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому й середньому відношенні.

Золотий перетин – цей такий пропорційний розподіл відрізка на нерівні частини, при якім увесь відрізок так ставиться до більшої частини, як сама більша частина ставиться до меншої; або інакше кажучи, менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього a : b = b : c або с : b = b : а.

Рис. 1. Геометричне зображення золотої пропорції

 

Практичне знайомство із золотим перетином починають із розподілу відрізка прямій у золотої пропорції за допомогою циркуля й лінійки.

 

Рис. 2. Розподіл відрізка прямій по золотому перетину.

BC = 1/2 AB; CD = BC

 З точки В восставляется перпендикуляр, дорівнює половині АВ. Отримана точка С з´ єднується лінією із точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ВС, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е ділить відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE = 0,618..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка рівна 62, а менша – 38 частинам.

 

Властивості золотого перетину описуються рівнянням:  x² – x – 1 = 0.

 

Рішення цього рівняння:

 

Властивості золотого перетину створили навколо цього числа романтичний ореол таємничості й ледве чи не містичного поклоніння.

 

                                         Другий золотий перетин

 

Болгарський журнал "Батьківщина" (№10, 1983 р.) опублікував статтю Цветана Цекова- Олівця "Про другий золотий перетин", яке випливає з основного перетину й дає інше відношення 44:56 .

Така пропорція виявлена в архітектурі, а також має місце при побудові композицій зображень подовженого горизонтального формату.

Рис. 3. Побудова другого золотого перетину

 

 

Розподіл здійснюється в такий спосіб. Відрізок АВ ділиться в пропорції золотого перетину. Із крапки С проводиться перпендикуляр СD. Радіусом АВ перебуває крапка D, яка з´ єднується лінією із крапкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. Із крапки С проводиться лінія до перетинання з лінією AD. Крапка Е ділить відрізок AD у відношенні 56:44.

 

 

                                          

Рис. 4. Розподіл прямокутника лінією другого золотого перетину

 

 

На малюнку показане положення лінії другого золотого перетину. Вона перебуває посередині між лінією золотого перетину й середньою лінією прямокутника.

 

  

                     

                                 

Золотий трикутник

 

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного й спадного рядів можна користуватися пентаграмою.

 

 

Рис. 5. Побудова правильного п´ ятикутника й пентаграми

 

 

Для побудови пентаграми необхідно побудувати правильний п´ ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець і графік Альбрехт Дюрер (1471...1528). Нехай O – центр окружності, A – крапка на окружності й Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, вставлений у крапці О, перетинається з окружністю в крапці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в окружність правильного п´ ятикутника рівна DC. Відкладаємо на окружності відрізки DC і одержимо п´ ять крапок для накреслення правильного п´ ятикутника. З´ єднуємо кути п´ ятикутника через один діагоналями й одержуємо пентаграмою. Усі діагоналі п´ ятикутника ділять один одного на відрізки, зв´ язані між собою золотою пропорцією.

 

Кожний кінець п’яти кутової зірки являє собою золотий трикутник. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а підстава, відкладене на бічну сторону, ділить її в пропорції золотого перетину.

Рис. 6. Побудова золотого трикутника

 

 

Проводимо пряму АВ. Від крапки А відкладаємо на ній три рази відрізок О довільної величини, ерез отриману крапку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі вправо й уліво від крапки Р відкладаємо відрізки О. Отримані крапки d і d1 з´ єднуємо прямими із крапкою А. Відрізок dd1 відкладаємо на лінію Ad1, одержуючи крапку С. Вона розділила лінію Ad1 у пропорції золотого перетину. Лініями Ad1 і dd1 користуються для побудови "золотого" прямокутника.

 

 

               Історія виникнення поняття золотого  перерізу

 

Прийнято вважати, що поняття про золотий переріз увів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI в. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту й прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзье знайшов, що в рельєфі із храму фараона Мережі I в Абидосе й у рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев´ яної дошки із гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовані пропорції золотого розподілу.

Греки були митецькими геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора й діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

 

Рис. 7. Динамічні прямокутники

 

 

Платон (427...347 рр.до н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог "Тимейимей, Тиме" присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора й, зокрема, питанням золотого розподілу.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори й скульптори античного миру. У Помпейскому циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу.

 

Рис. 8. Античний циркуль золотого перетину

 

 

        В античній літературі золотий переріз уперше   згадується в  “Начала” Евкліда. В 2- й книзі  “Начал” дається геометрична побудова золотого переріз .

 

. Інші книги “Начал” містять задачі про поділ відрізка у крайньому і середньому відношеннях,

утому числі задачі про побудову правильного опуклого п’ятикутника, вильних додекаедра та ікосаедра.

Протягом багатьох століть після Евкліда про поділ відрізка у крайньому і середньому відношеннях ніхто не згадував. Середньовічні європейські вчені довідалися про золотий переріз лише з арабських перекладів “Начал”.

 

Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гипсикл (II в. до н.е.), Папп (III в. н.е.) і ін. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III в.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в строгій таємниці. Вони були відомі тільки присвяченим.

 В епоху Відродження підсилюється інтерес до золотого розподілу серед учених і художників у  зв´ язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо ДА Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і початків писати книгу по геометрії, але в цей час з´ явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі й Галилеем. Лука Пачолі був учнем художника Пьеро делла Франчески, що написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу в живописі". Його вважають творцем нарисної геометрії.  

Лука Пачолі прекрасно розумів значення науки для мистецтва. В 1496 г за запрошенням герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції по математиці. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо Да Вінчі. В 1509 г. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" із блискуче виконаними ілюстраціями, через що починають, що їх зробив Леонардо Да Вінчі. Книга була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох гідностей золотої пропорції чернець Лука Пачолі не проминув назвати і її "божественну суть" як вираження божественної триєдності бог син, бог батько й бог дух святої (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок – бога батька, а весь відрізок – бога духу святого).

Леонардо Да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він робив перетини стереометричного тіла, утвореного правильними п´ ятикутниками, і щораз одержував прямокутники з відносинами сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому розподілу назва золота перетин. Так воно й тримається дотепер як саме популярне.

 

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанта трактату про пропорції. Дюрер пише. "Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цьому інших, які в цьому бідують. Це я й намірився зробити".

Судячи з одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачоли під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перетину. Ріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина особи – ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвав золотий перетин одним зі скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (ріст рослин і їх будова).

 

Кеплер називав золоту пропорцію, що продовжує саму себе "Улаштована вона так, – писав він, – що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається нескінченно ".

 

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як убік збільшення (зростаючий ряд), так і убік зменшення (спадний ряд).

Якщо на прямої довільної довжини, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вишиковуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного й спадного рядів

 

 

Рис. 9. Побудова шкали відрізків золотої пропорції

 

 

У наступні століття правило золотий пропорції перетворилося в академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби "разом з водою виплеснули й дитину". Знову "відкрите" золотий перетин був у середині XIX в. В 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікувала своя праця "Естетичні дослідження". ІЗ Цейзінгом відбулося саме те, що й повинне було неминуче відбутися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв´ язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальної для всіх явищ природи й мистецтва. У Цейзінга були численні послідовники, але були й супротивники, які оголосили його вчення про пропорції "математичною естетикою".

 

Рис. 10. Золоті пропорції в частинах тіла людину

 

 

Рис. 11. Золоті пропорції у фігурі людини

 

 

Цейзінг проробив колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла крапкою пупа – найважливіший показник золотого перетину. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13:8 = 1,625 і трохи ближче підходять уводити, увести до ладу золотому перетину, чому пропорції жіночого тіла, у відношенні якого середнє значення пропорції виражається в співвідношенні 8:5 = 1,6. У немовляти пропорція становить відношення 1:1 , до 13 років вона рівна 1,6, а до 21 року рівняється чоловічий. Пропорції золотого перетину проявляються й у відношенні інших частин тіла – довжина плеча, передпліччя й кисті, кисті й пальців і т.д.

      Справедливість своєї теорії Цейзінг перевіряв на грецьких статуях. Найбільше докладно він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Піддалися дослідженню грецькі вази, архітектурні спорудження різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзінг дав визначення золотому перетину, показав, як воно виражається у відрізках прямої й у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзінг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчи, який можна продовжувати нескінченно в одну й в іншу сторону. Наступна його книга мала назву "Золотий розподіл як основний морфологічний закон у природі й мистецтві". В 1876 г. у Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор укрився під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згаданий жодне добуток живопису.

НАПРИКІНЦІ XIX – початку XX ст. з´ явилося чимало чисто формалістичних теорії про застосування золотого перетину у творах мистецтва й архітектури. З розвитком дизайну й технічної естетики чинність закону золотого перетину поширилася на конструювання машин, меблів і т.д.

 

Ряд Фібоначчи

 

З історією золотого перетину непрямим образом зв´ язане ім´ я італійського математика ченця Леонардо з Пізи ( Леонардо Пізнанського), більш відомого під іменем Фібоначчи (син Боначчи). Він багато подорожував по Сході, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. В 1202 г вийшов у світ його математична праця "Книга про абак" (рахунковій дошці), у якім були зібрані всі відомі на той час завдання. Одна із завдань говорила "Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться".

Міркуючи на цю тему, Фібоначчи вибудував такий ряд цифр:

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, і т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчи. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожний її член, починаючи із третього, дорівнює сумі двох попередні 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого розподілу. Так, 21:34 = 0,617, а 34:55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення – 0,618 : 0,382 – дає безперервний розподіл відрізка прямій у золотої пропорції, збільшення його або зменшення нескінченно , коли менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього. На графіку це має такий вигляд:

 

Фібоначчи так само займався рішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар?

Фібоначчи доводить, що оптимальної є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16...

 

Узагальнений золотий перетин

 

Ряд Фібоначчи міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого розподілу в рослинному й у тваринному світі, не говорячи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого розподілу.

Учені продовжували активно розбудовувати теорію чисел Фібоначчи й золотого перетину. Ю. Матиясевіч із використанням чисел Фібоначчи вирішує 10- ю проблему Гілберта. Виникають витончені методи рішення ряду кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчи й золотого перетину. У США створюється навіть Математична   Асоціація, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал.

Одним з досягнень у цій області є відкриття узагальнених чисел Фібоначчи й узагальнених золотих перетинів.

Ряд Фібоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий їм же "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, 16... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сума попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., у другому – це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... чи неможна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і "двійковий" ряд, і ряд Фібоначчи? А може бути, ця формула дасть нам нові числові безлічі, що володіють якимись новими унікальними властивостями?

Дійсно, задамося числовим параметром S, який може ухвалювати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого – одиниці, а кожний з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього й віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n- й член цього ряду ми позначимо через S (n), то одержимо загальну формулу S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).

Очевидно, що при S = 0 із цієї формули ми одержимо "двійковий" ряд, при S = 1 – ряд Фібоначчи, при S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які одержали назву S- Чисел Фібоначчи.

У загальному виді золота S- Пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S- Перетину xs+1 – xs – 1 = 0.

Неважко показати, що при S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S = 1 – знайомий класичний золотий перетин.

Відносини сусідніх S- Чисел Фібоначчи з абсолютною математичною точністю збігаються в межі із золотими S- Пропорціями! Математики в таких випадках говорять, що золоті S- Перетини є числовими інваріантами S- чисел Фібоначчи.

Факти, що підтверджують існування золотих S- Перетинів у природі, приводить білоруський учений Є.М. Сороко в книзі "Структурна гармонія систем" (Мінськ, "Наука й техніка", 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво вираженими функціональними властивостями (стійкі в термічнім відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окиснення й т. п) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів зв´ язано один з одним однією із золотих S- Пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золотий S- Перетин є числовий інваріант систем, що Будуть підтверджені експериментально, ця гіпотеза мала фундаментальне значення для розвитку синергетики – нова галузь науки, що вивчала процес и у само організаційних системах.

За допомогою кодів золотий S- пропорції можна виразити будьяке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S- пропорцій із цілими коефіцієнтами.

Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що представляють собою золоті S- Пропорції, при S > 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять "з голови на ноги" історично складену ієрархію відносин між числами раціональними й ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були "відкриті" числа натуральні; потім їх відносини – числа раціональні. І лише пізніше – після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків – на світло з´ явилися ірраціональні числа. Скажемо, у десятковій, п’ятерічної, двійкової й інших класичних позиційних системах числення як своєрідної першооснови були обрані натуральні числа – 10, 5, 2, – з яких уже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні й ірраціональні числа.

Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, у якості першооснови, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перетину); через нього вже виражаються інші дійсні числа.

У такій системі числення будьяке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевої – а не нескінченної, як думали раніше! – суми ступенів кожної із золотих S- Пропорцій. Це одна із причин, чому "ірраціональна" арифметика, володіючи дивною математичною простотою й добірністю, як би увібрала в себе кращі якості класичної двійкової й "Фібоначчиєвої" арифметик.

 

Принципи формоутворення у природі

 

       Але найдивовижніша особливість числа τ - це його роль як основного структурного принципу в природі. Рослинам, тваринам і навіть людям властиві пропорції, що дорівнюють відношенню τ до одиниці, τ трапляється в природі так часто, що, очевидно, це  не може бути збігом. Тому в давнину люди вірили, що Творець Всесвіту відвів числу τ особливу роль. Давні вчені проголосили 1,618... божественною пропорцією.

  Було установлено, що числовий ряд Фібоначчі характеризує структурну організацію багатьох живих систем. Наприклад, спіральне розташування листя на гілці, молекули ДНК та РНК - мають структуру подвійної спіралі; її розміри майже повністю відповідають числам ряду Фібоначчі. Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Павук плете павутину по спіралі. Спірально закручується ураган. Налякане стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете назвав спіраль «кривою життя». Спільна праця ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи.

Насіння соняшника, квітки ромашки розташовані по «золотим» спіралям  які закручуються на зустріч одна одній, причому числа «правих» та «лівих» спіралей завжди відносяться один до одного, як сусідні числа Фібоначчі. В багатьох метеликів відношення розмірів грудної і черевної частини тіла відповідає золотій пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює рівносторонній трикутник. Але як тільки він розведе крила, одразу видно той же принцип поділу тіла на 2,3,5,8. Бабка-лютка теж створена по законах «золотої» пропорції: відношення довжини хвоста до корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста.

   Усе, що здобувало якусь форму, утворювалося, росло, прагнуло зайняти місце в просторі й зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному у двох варіантах – ріст нагору або розстеляння по поверхні землі й закручування по спіралі.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що небагато уступає довжині змії. Невелика десяти сантиметрова раковина має спіраль довжиною 35 див. Спирали дуже поширені в природі. Вистава про золотий перетин буде неповним, якщо не сказати про спіраль.

       

      

Рис. 12. Спіраль Архімеда

 

 

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її й вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслена по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. У цей час спіраль Архімеда широко застосовується в техніку.

Ще Ґете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне й спіральне розташування листів на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, у шишках сосни, ананасах, кактусах і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивні явища природи. З´ ясувалося, що в розташуванні листів на гілці (філотаксис), насіння соняшника, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчи, а стало бути, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралєобразно. Спіраллю закручується ураган. Перелякана череда північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Ґете називав спіраль "кривого життя".

Серед пришляхових трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворювався відросток. Відразу розташувався перший листок.

            

 

 

Рис. 13. Цикорій

 

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру й знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий рівний 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 і т.д. Довжина пелюстків теж підлегла золотої пропорції. У росту, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його росту поступово зменшувалися в пропорції золотого перетину.

 

 

Рис. 14. Ящірка живородна

 

 

 

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції – довжина її хвоста так ставиться до довжини іншого тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і у тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи – симетрія щодо напрямку росту й руху. Тут золотий перетин проявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напрямку росту.

Природа здійснила розподіл на симетричні частини й золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

 

 

Рис. 15. Яйце птаха

 

 

 Великий Ґете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, утвір і перетворенні органічних тел. Це він увів у науковий побут термін морфологія.

     П’ер Кюрі на початку нашого сторіччя сформулював ряд глибоких ідей симетрії. Він затверджував, що не можна розглядати симетрію якого-небудь тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

     Закономірності "золотий" симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є в будові окремих органів людини й тіла в цілому, а також проявляються в біоритмах і функціонуванні головного мозку й зорового сприйняття.

 

Золотий перетин і симетрія

 

Золотий перетин не можна розглядати саме по собі, окремо, без зв´ язку із симетрією. Великий росіянин кристалограф Г.В. Вульф (1863...1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

   Золотий розподіл не є прояв асиметрії, чогось протилежного симетрії Згідно із сучасними виставами золотий розподіл – це асиметрична симетрія. У науку про симетрію ввійшли такі поняття, як статична й динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна – рух, ріст. Так, у природі статична симетрія представлена будовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу й нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона – свідчення життя. Статичної симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічної симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перетину зростаючого або убутного ряду.

 

Золота пропорція в образотворчому мистецтві

 

     Ще художники епохи Відродження дослідили, що в мистецького твору є точки, які мимоволі приваблюють зір людини. Мова йдеться про зорові центри. Незалежно від формату картини, яка розглядається, є чотири точки, на які глядач звертає увагу. Ці точки розміщені на відстані 3/8 і 5/8 від країв площини В епоху Відродження посилився інтерес до золотого перерізу серед художників і учених. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з прекрасними ілюстраціями. Вважають, що ілюстрації до книги виконав Леонардо да Вінчі. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції чернець Лука Пачолі не забув назвати і її "божественну суть" як вираження божественного триєдності Бог Син, Бог Батько і Бог Дух Святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення Бога Сина, більший відрізок - Бога Батька, а весь відрізок - Бога Духу Святого).

 На знаменитій картині І.І. Шишкіна “Сосновий бір”, очевидно, проявляються мотиви золотого перерізу.

Яскраво освічена сосна, яка стоїть на передньому

 плані,ділить довжину картини у золотому відношенні.

Праворуч від сосни — освічений сонцем

пагорб. Він ділить у золотому відншенні праву части-

ну картини по горизонталі. Зліва від головної сосни роз-

міщено багато сосен. За бажанням можна успішно

продовжити і надаліподіл картини по золотому перетину.

Наявність у картині яскравих вертикалей і горизонталей,

які ділять її увідношенні золотого перерізу, надають

їй характеру врівноваженості та спокою, згідно із

задумом художника. Коли ж задум художника інший, якщо,

скажімо, він створює картину з бурхливим розвитком події, то подібна геометрична схема з (переважанням горизонталей та вертикалей) стає неприпустимою.

Багатофігурна композиція, виконана Рафаелем в 150941510 рр., коли знаменитий живописець створювавсвої фрески у Ватикані, відрізняється динамікою та трагізмом сюжету. Рафаель так і не завершив свій задум, але наоснові його ескізу маловідомий італійський гравер Маркантиніо Раймонді              створив гравюру “Побиття немовлят”.

  На попередньому ескізі Рафаеля

проведені червоні лінії, які йдуть від

смислового центру композиції — точки, де пальці воїна тримають дитину, вздовж фігур дитини, жінки, яка його тримає, воїна з занесеним мечем, а потім вздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу. Якщо природним способом з'єднати ці частини кривої пунктиром, то з точністю виходить золота спіраль. Це можна довести, якщо виміряти відношення відрізків, які відкладаються спіраллю на прямих, що проходять через початок кривої. Ми не знаємо, чи малював насправді Рафаель золоту спіраль пристворенні композиції “Побиття немовлят”, чи просто “відчував її”. Алев певнено можна стверджувати, що гравер Раймонді цю спіраль побачив.Про це свідчать додані ним нові елементи композиції, які підкреслюють розгортання спіралі в тих місцях, де наескізі її позначено лише пунктиром. Ці елементи можна побачити на остаточній гравюрі Раймонді: арка моста, що іде від голови жінки,  в лівій частині композиції та тіло дитини - в їїцентрі.  

Висновок: якщо зображення симетричне, центр картини і композиції збігається, то картина сприймається статично, зображення

Виглядає урчисто, однак позбавлене руху. Якщо ж композиційний центрі центр картини і композиції не збігаються, картина сприймається у динаміці. Художники, помітивши цей факт, стали широко його використовувати, однак постало запитання, куди потрібно зрушити центр композиції, щоб досягти ефекту руху? Це місце на картині   і є лінією золотого перерізу. Таке використання золотого перерізу іноді здійснюється інтуїтивноі зумовлено близькістю цього поняття до законів гармонії, що існують у природі. Приклади використання цього правила можна знайти в роботах Ботічеллі “Народження Венери”, Веласкеса “Мадонна з немовлям”, Леонардо да Вінчі “Таємна вечеря” і “Джоконда”, О. Іванова “З'явлення Христа народу”, І. Крамського “Незнайомка” та інших художників.

                 

 

     Золотий переріз в архітектурі

 

У 1840 р. одне із чудес світу, Велика піраміда Хеопса біля Гізи, ще не мала пошкоджень. У цьому році встановили, що переріз піраміди, який проходить через її висоту, паралельно сторонам основи, - рівнобедрений трикутник, складений з двох прямокутних трикутників, сторони кожного з яких утворюють геометричну прогресію. Висота піраміди в той час становила 148,2 м (нині вона становить приблизно 137 м), а сторона квадратної основи — 232,8 м. Отже, відношення висоти піраміди до половиниоснови: h/0,5 = 148,2/232,8 = τ1/2. Цей дивовижний збіг, звісно, не дає підстав вважати, що такої форми зодчий надав їй свідомо. У стародавніх країніх у будівлях громадського призначення широко використовували пропорцію золотого перерізу (Парфенон в Афінах, Колізей в Римі). Пропорцію золотого перерізу зустрічаємо у творах зодчих Ренесансу: Мікеланджело, Палладіо, Д. Браманте.

 

Золота пропорція у фізиці

У кожної планети є мінімальний радіус орбіти, але є й максимальний - як і у будьякого еліпса. У всіх дев'яти планет сонячної системи відношення мінімального і максимального радіусів орбіт - цілі степені числа золотого перерізу. Похибки зовсім незначні -частки відсотка. У Землі ж відношення радіусів дорівнює числу золотого перерізу першого степеня.

Ще один цікавий факт: відношення відстані від Сонця до Землі до відстані від Сонця до Плутона — число, що виражає золотий переріз. Прискорення сили тяжіння при віддаленні від Землі описується формулою:

 gh = goR2/(R+h)2, де h — висота над поверхнею Землі, R — її радіус.

При опусканні тіла вглиб Землі характер залежності g від h змінюється:

g+h = go (1-h/R).

Коли gh = g+h? Зрозуміло, що одним із розв'язків буде h = 0. Другий розв'язок такий: h = R ((5+1/2 —1)/2),де ми бачимо вже знайому формулу золотого перерізу.

 

ГАРМОНІЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ І

СУЧАСНІ УЯВЛЕННЯ ПРО КРАСУ

У XIX ст. великої слави набули психологічні досліди Густава Фехнера.

Усім учасникам експерименту (228чоловіків і 119 жінок) пропонувалось

вибрати з 4 поміж запропонованих прямокутників найприйнятніший для

їхнього сприйняття з естетичного погляду. Виявилося, що досить часто

 вибір падав на прямокутник із відношенням сторін τ. А чи не змінилися з того часу уявлення людей про красу? У наш час золоті прямокутники

трапляються досить часто: це і форма столів, конвертів, поштових марок, шкільних дошок, деяких аркушів паперу, форми книжок, кімнат, будівель.

П'ятикутна зірка - пентаграма -трапляється на прапорах і гербах ба-гатьох країн, зокрема Китаю, США,

Сінгапуру, В'єтнаму, Пакистану,                                                                             Туреччини та Євросоюзу. У багатьох предметах побуту, таких як посуд, можна знайти золоті відношення.

Альбрехт Дюрер навіть створив “золотий” шрифт, у якому букви побудовані згідно з золотими пропорціями. Без перебільшення, принцип золотого перерізу є вищим проявом структурної і функціональної досконалості цілого і його частин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Джерела інформації:

 

1. Малис І.В. Подібність трикутників. Золотий переріз

//Математика. — 2003. — №34. — с. 13416.

2. Нікулін О. В., Кукуш О. Г. Геометрія: поглибл. курс. 74

3. 9 кл.: Навч. пос. — Київ: Ірпінь, Перун, 1999. — 352 с.

4. Попов. Є.Д. Алгебраїчні властивості відношення

золотого перерізу / У світі математики. — К.: Радянська

школа, 1980. — Вип. 11.

5. Попов Є.Д. Геометричні властивості відношення

золотого перерізу /У світі математики. — К.: Радянська

школа, 1982. — Вип. 13.

6. Попова І.М. Відношення та пропорції //

Математична газета . — 2006. — №4. — с. 7412.

7. Пустовит А.В. Этика и эстетика: Наследие Запада.

История красоты и добра: Учеб. пособие. — К.: МАУП,

2006. — 680 с.

8. Симонович С.В., Євсєєв Г.А., Алексєєв А.Г. Спеціальна

інформатика: Навчальний посібник. — М.: АСТ4ПРЕС

КНИГА, 2003. — 480 с.

9. Тадеєв В.О., Рибаков І.К. Про деякі властивості

правильних многокутників / У світі математики. 4 К.: Ра4

дянська школа, 1982. — Вип. 13.