АБСОЛЮТНЕ ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ МАТРИЧНИМИ МЕТОДАМИ Дипломна робота на здобуття ступеня вищої освіти магістр

Ряди широко використовуються в математиці, особливо при дослідженні різноманітних технічних проблем, пов’язаних з наближеним інтегруванням диференціальних рівнянь, обчисленням значень функцій та інтегралів, розв’язуванням трансцендентних та алгебраїчних рівнянь.

Вони відіграють важливу роль у математиці принаймні з двох причин: є ефективним інструментом математичних досліджень і одним із найважливіших засобів побудови практичних чисельних методів.

Широким застосуванням теорії рядів і пояснюється актуальність теми дипломної роботи. Метою роботи є детальне вивчення основних методів підсумовування збіжних та розбіжних рядів.

Теорія рядів почала розвиватися в кінці ХVII ст. але була створена лише в ХІХ ст. на основі поняття границі в роботах Гаусса, Коші. Багато математиків минулого працювали над проблемою знаходження суми ряду. Ейлер в статті «О расходящихся радах» (1754-1755р.) називає ряд збіжним, якщо його члени прямують до нуля, і розбіжним в іншому випадку. Надаючи кожному ряду числове значення, яке Ейлер називає сумою ряду, він підкреслює, що частинні суми не завжди мають точне значення, рівне сумі.

Отже, підсумовувати ряд вдалось в тому випадку, коли ряд збіжний: задача підсумовування зводилась лише до відшукання границі послідовності частинних сум. Що ж стосується розбіжних рядів, то в даному випадку застосування частинних сум не дає бажаного результату. Тому для підсумовування розбіжних рядів необхідно було побудувати іншу теорію.

Поставимо ряду U у відповідність деяке число S(U) , яке будемо називати його сумою. Ми можемо вважати, що маємо справу з функцією S, визначеною для деяких рядів і яка приймає числові значення. Функцію будемо називати підсумовуючою функцією. Прикладом такої підсумовуючої функції може бути .

Ця функція визначена на множині всіх збіжних рядів, і для кожного збіжного ряду її значення рівне звичайній сумі цього ряду. Так, визначену конкретну підсумовуючу функцію позначимо через

Можна побудувати надзвичайно велику кількість підсумовуючих функцій. Для виправдання своєї назви вони повинні мати властивості звичайних сум. По-перше, підсумовуюча функція S не повинна суперечити звичайному підсумовуванню збіжних рядів. Іншими словами, якщо U – деякий збіжний ряд, то значення S(U) повинне існувати і бути рівним . Підсумовуюча функція S , яка має цю властивість, називається регулярною.

По-друге, для будь-яких двох рядів U і V і чисел a і b з існування значень S(U) і S(V) слідує існування значення S(aU+bV) і рівність S(aU+bV)=aS(U) +bS(V).

Підсумовуюча функція, яка має цю властивість називається лінійною.

Наукова робота складається з двох розділів – «Підсумовування збіжних рядів» та «Підсумовування розбіжних рядів». У першому розділі мова йде про збіжні ряди. Розглядаються основні поняття з теорії та подано основні методи підсумовування збіжних рядів: метод Абеля, Ейлера, Кумера та інші. Наводиться ряд прикладів на застосування вказаних методів.

Другий розділ повністю присвячений розбіжним рядам. Тут зясовується суть задачі підсумовування розбіжних рядів, вводиться означення підсумовуючої функції, наводиться ряд способів підсумовування розбіжних рядів, над якими працювали такі вчені як Пуассон, Абель, Чезаро, Ейлер. Також розглядаються інші методи підсумовування розбіжних рядів.

РОЗДІЛ 1.

Підсумовування збіжних рядів

Основні поняття та означення. Найпростіші властивості числових рядів

Нехай – деяка послідовність чисел.

Означення. Числовим рядом називають вираз

Числа називаються його членами, а загальним членом.

Утворимо скінчені суми:

ці суми називаються частинними сумами числового ряду.

Означення. Якщо існує скінченна границя

послідовності частинних сум, то ряд (1.1) називається збіжним, а число вважають його сумою і записують:

Якщо ж границя (1.2) нескінченна або зовсім не існує, то ряд (1.1) називають розбіжним і вважають, що він суми не має.

Найпростішим прикладом нескінченого ряду є геометрична прогресія

Її частинна сума буде

Якщо , то має скінченну границю:

, то ряд збігається і буде його сумою.

Розглянемо деякі властивості збіжних рядів.

Якщо ряд

збіжний і має суму , то ряд

Також збіжний і сума його дорівнює . Іншими словами, збіжний ряд можна множити почленно на одне і те саме число.

Збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати, тобто якщо ряди

збіжні і мають суми відповідно та , то збіжними є також ряди

і суми їх дорівнюють .

На збіжність ряду не впливає відкидання або приєднання до нього скінченної кількості членів.
(Необхідна умова збіжності ряду.) Якщо ряд

збіжний, то

При дослідженні на збіжність знакододатних рядів, тобто рядів з невід’ємними членами, найчастіше користуються такими достатніми умовами (ознаками) збіжності, як ознаки порівняння, ознаки Д’Аламбера і Коші та інтегральна ознака Коші.

Теорема1 (ознаки порівняння). Нехай задано два ряди з невід’ємними членами

і для всіх виконується нерівність

Тоді, якщо ряд (1.4) збіжний, то збіжний і ряд (1.3). Якщо ряд (1.3) розбіжний, то розбіжний і ряд (1.4)

Теорема 2 (гранична ознака порівняння). Якщо задано два ряди з додатними членами

причому існує скінченна, відмінна від нуля границя

то ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Теорема 3 (ознака Д’Аламбера). Якщо для ряду з додатними членами (1.6) існує границя

ряд збіжний при ;
ряд розбіжний при

Теорема 4 (ознака Коші) Якщо для ряду (1.6) з додатними членами існує границя

то цей ряд збіжний при і розбіжний при

Розглянемо ряд, в яких знаки членів строго чергуються:

де . Цей ряд досліджується на збіжність за допомогою такої достатньої ознаки.

Теорема 5 (ознака Лейбніца) Ряд (1.8) збіжний, якщо :

При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого його члена.

Візьмемо довільний знакозмінний ряд

де числа можуть мати довільний знак. Одночасно розглянемо ряд, утворений з модулів ряду (1.11):

Для знакозмінних рядів справедлива така ознака збіжності.

Теорема 6. Якщо ряд (1.12) збіжний, то збіжний і ряд (1.11).

Знакозмінний ряд (1.11) називають абсолютно збіжним, якщо ряд(1.12), утворений з модулів його членів, є збіжним.

Якщо ж ряд (1.11) збіжний, а ряд (1.12), утворений з модулів його членів розбіжний, то ряд (1.11) називають умовно збіжним.

Розглянемо функціональні ряди,тобто ряди членами якого є функції визначені на деякій множині

Якщо взяти довільне число і в ряді (1.13) покласти то дістанемо числовий ряд

Цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Якщо ряд (1.14) є збіжним, то точка називається точкою збіжності функціонального ряду (1.13). Якщо ж ряд (1.14) є розбіжним, то точка називається точкою розбіжності ряду (1.13). Множина всіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності.

Частинна сума функціонального ряду є функцією від і визначається за аналогією з числовими рядами:

У кожній точці , яка належить області збіжності ряду (1.13), існує скінченна границя

яку називають сумою ряду (1.13) і записують

Функціональний ряд (1.13) називається рівномірно збіжним на множині , якщо для довільного існує таке число , яке залежить лише від і не залежить від , що для всіх і для всіх виконується нерівність

Теорема 7 (ознака Вейєрштрасса). Функціональний ряд (1.13) абсолютно і рівномірно збіжний на відрізку якщо існує знакододатний збіжний числовий ряд

такий що

Лінійні перетворення рядів

З’ясуємо збіжність і знайдемо суму ряду

Зауважимо, що при будь-якому n=1,2,…

Розглянемо ряд

Очевидно, для цього ряду

…………………………..

Для парного:

а для непарного:

Звідси видно, що

ряд (1.18) збігається.

Приклади:

Наступна теорема може розглядатися як узагальнення цього прийому:

Теорема 1. Нехай для ряду

++...+… (1.19)

знайдеться така збіжна послідовність , , …,, … із границею T, що для будь-якого цілого додатного q і для всіх n=1, 2, … виконується =.

Тоді

Доведення. Позначивши через n-ту частинну суму ряду (1.19), для будь-якого n маємо

При необмеженому зростанні n кожна із змінних за умовою прямує до T, і отримаємо (1.20).

Приклади:

Візьмемо довільне ціле додатне q. Тоді для будь-якого α, що не є цілим невід’ємним числом

Покладемо

Очевидно, що

і застосування доведеної теореми дає

Для ряду

можемо представити

(очевидно тут при збільшенні n) а q=1 і одержимо

Якщо то після множення ряду на отримаємо

Подальше узагальнення доведеної теореми полягає в наступному:

Теорема 2. Нехай для ряду

++...+… (1.21)

знайдеться така збіжна послідовність , , …,, … із границею T, і такі і додатні числа що

і для будь – якого n=1, 2, …

(1.22)

Тоді ряд (1.21) збігається і

Доведення. Виразимо всі члени даного ряду (1.21) у вигляді (1.22) і так випишемо ці вирази одне під другим, щоб складові, що містять t з однаковими індексами розташовувались по одній вертикалі для економії місця здійснимо цей запис у формі таблиці 1(числа, які стоять в заголовках стовпців, множаться на всі числа, які стоять у відповідному стовпці і всі такі добутки сумуються). Т1

Суми чисел в кожному із стовпців, які лежать між суцільними вертикальними лініями, рівні нулю, а із зростання n всі числа прямують до спільної границі T. Звідси випливає (1.23). Зручно користуватись цією теоремою при T=0.

Приклади:

Для ряду

маємо

Тому його сума рівна

Для ряду

буде

так, що сума цього ряду буде рівна

Сума ряду

рівна

4. Сума ряду

рівна

1.3 Теорема Абеля і почленне диференціювання та інтегрування рядів

Значення суми рівномірно збіжного на деякому проміжку функціонального ряду дозволяє переходити до похідних або до первісних його членів, знаходити суми іншого ряду. Нажаль, не завжди можна скористатись цим способом при обчисленні суми функціональних рядів на межі області їх збіжності. Наступні міркування відкривають в цьому напрямку достатньо широкі перспективи.

Теорема (принцип збіжності) Якщо - деяка послідовність функцій, то для того, щоб вона рівномірно в області D збігалась до граничної функції (x), необхідно і достатньо, щоб для кожного >0 знайшлося таке n, що для будь-якого т≥ і для всіх xD виконувалось

Теорема (критерій збіжності) Для того щоб функціональний ряд збігався рівномірно в деякій області D, необхідно і достатньо, щоб послідовність його частинних сум мала наступну властивість: яке б не було існує таке n, що при будь-якого m≥ 0 для всіх x має місце

Теорема. Якщо ряд

збігається, то степеневий ряд

збігається рівномірно на сегменті

Доведення. Збіжність ряду (1.24) згідно з критерієм Коші означає, що для будь-якого знайдеться таке n, що для всіх m виконується нерівність

Крім того, для будь-якого x

(

Таким чином опинились в умовах леми.

Лема. Якщо послідовність монотонна і для всіх то

Ця лема оцінює в даному випадку частинні суми ряду

тобто ряду

Ця лема дає

Оскільки ця оцінка являється рівномірною по x, сформульований вище критерій збіжності Коші стверджує рівномірну збіжність ряду (1.25) на сегменті Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд

має радіус збіжності R, причому збігається (не обов’язково абсолютно) і при x = R, то збіжність буде рівномірною на всьому сегменті а сума ряду – неперервною зліва в точці x = R функцією, тобто

Симетричне твердження має місце у випадку збіжності ряду (1.26) при x = –R.

Доведення. За попередньою теоремою ряд (1.26) збігається на сегменті рівномірно. Тоді його сума є неперервною функцією від x на всьому сегменті і в частинному випадку має місце (1.27).

Приклади:

Розглянемо, наприклад, розклад в ряд

Очевидно, ряд який стоїть справа збігається рівномірно при і тому про інтегрувавши в межах від 0 отримаємо

При x =0,1маємо

Цей ряд – знакозмінний. Тому його залишок не перевищує останнього відкинутого члена. Звідси отримаємо значення

з п’ятьма знаками.

Ряд при x = 1 збігається,тому згідно доведеної теореми маємо

Якщо про інтегрувати ряд

в межах від отримаємо

За допомогою цієї формули можна обчислювати логарифм чисел. Обчислимо, наприклад,

Так як записаний ряд (1.30) збігається і при ,(за теоремою Абеля) отримаємо

Запишемо розклад

справедливий для Інтегруючи його почленно від 0 до деякого x одержимо

Ряд, який стоїть справа збігається при x = 1, а інтеграл який стоїть зліва є неперервною функцією своєї верхньої границі. Це дає нам можливість обчислити суму ряду

Розкладають підінтегральну функцію (1.32) на елементарні дроби

або після перетворення останнього доданку, отримаємо

Звідки

при x = 1, отримаємо

1.4 Перетворення рядів за Ейлером

Означення. Перетворенням Ейлера називається перехід від ряду

до ряду

Лема. Якщо ряд (1.42) збігається то для будь-якого n =0, 1, 2, …

Доведення. Оцінимо вираз, який стоїть під знаком границі. Згідно з лемою попереднього пункту маємо

Зауважимо, що сума всіх коефіцієнтів при модулях тут рівна одиниці, так що сума будь-якого набору цих коефіцієнтів не перевищує одиниці.

Для будь-яких k і можемо записати

Виберемо тепер довільне і знайдемо у зв’язку із збіжністю ряду (1.41) таке , що для всіх . В силу зробленого зауваження про коефіцієнти другий доданок (1.44) справа менший за .

Звернемось до першого доданку. На основі збіжності ряду (1.41) модулі його членів повинні бути обмеженими. Нехай Далі для довільного маємо

Значить

Отже

(в чому легко переконатися, застосовуючи r раз правило Лопіталя з диференціюванням по k), і тому можна знайти таке k, починаючи з якого

Таким чином, права частина (1.44) із зростання k стає меншою за 2, і нерівність доводить наше твердження.

Теорема. Якщо ряд (1.41) збігається, то одержаний в результаті його перетворення за Ейлером ряд (1.42) також збігається, і їх суми рівні:

Довести цю теорему можна з використанням теорії подвійних рядів, зокрема теореми Маркова.

Приклади:

Візьмемо ряд

і складемо послідовності його різниць:

……………………………………

Неважко перевірити, що для ряду (1.46)

Дійсно будемо доводити методом математичної індукції.

При це справедливо:

Припустивши, що такий вигляд мають і , ми отримаємо

так що за означенням () –ї різниці

В частинному випадку,

Звідси випливає, що перетворення Ейлера ряду (1.46) дає

і ми отримаємо рівність

Для ряду

послідовності різниць будуть такі:

………………….

Припустимо, що тут

Для перевірки цього припущення методом математичної індукції напишемо

і складемо різницю

Бачимо, що припущення (1.47) підтвердилось. Відповідно при маємо

Таким чином, перетворення Ейлера дає

Перетворення рядів за Ейлером в багатьох випадках прискорює їх збіжність. Але це справджується не завжди.

Перетворення рядів за Кумером

Зручно обчислювати значення суми збіжних рядів, використовуючи такі прості міркування. Для знаходження суми ряду можна замінити його іншим рядом із відомою сумою, а потім лише підсумовувати «різницю» між ними. Якщо «різниця» швидко спадає, то й складений із нього ряд буде збігатися досить швидко. Ці міркування запропонував Кумер.

Теорема. Якщо

збіжні ряди, причому

то для будь –якого

і в частинному випадку, при

Доведення. Очевидно:

Якщо в умовах даної теореми

так, що ряд який стоїть в середній частині (1.48) збігається швидше ніж вихідний ряд.

Приклади:

Для ряду

складемо допоміжний ряд з відомою сумою:

Тут

Тому

Якщо взяти в перетвореному ряді, наприклад, 9 членів, то похибку можна оцінити так

тобто вона в 100 разів менша похибки, одержаної при взяті того ж самого числа членів у вихідному ряді.

Для ряду

скористаємось тим самим допоміжним рядом « зворотних квадратів». Завдяки тому, що

будемо мати

Очевидно, коефіцієнт, який з'являється при членах ряду, спадає приблизно як

РОЗДІЛ 2. Підсумовування розбіжних рядів

2.1 Підсумовуючі функції

У попередньому розділі для збіжного числового ряду

в якості його суми розглядали границю послідовності його частинних сум

І припускали, що ця границя існує, причому вона скінченна.

Різноманітні факти із області математичного аналізу висунули в другій половині XIX ст. питання про можливість підсумовування розбіжних рядів у деякому новому розумінні. Деякі методи такого «підсумовування» виявилися особливо зручними. Треба сказати, що до створення Коші строгої теорії границь (і зв’язаної з нею теорії рядів) розбіжні ряди нерідко зустрічалися в математичній практиці. Хоча їх застосування при доведеннях часто призводило до суперечок, але тим не менше, робились спроби надавати їм навіть числове значення. Так розбіжному ряду

ще за часів Лейбніца в якості «суми» приписувалось число Ейлер, наприклад, мотивував це тим, що із розкладу

(який насправді справедливий лише для ) при постановці питання не вистачало чіткості, бо довільність у виборі розкладу залишав відкритою можливість із іншого розкладу (де і довільні, )

отримали одночасно

Сучасний аналіз ставить питання по іншому. В основу покладемо деяке сформульоване означення «підсумовуючої функції», що стосується цілого класу таких рядів.

Поставимо ряду у відповідність деяке число , яке будемо називати його сумою. Ми можемо вважати, що маємо справу з функцією , визначеною для деяких рядів і яка приймає числові значення. Функцію будемо називати підсумовуючою функцією.

Прикладом такої підсумовуючої функції може бути

Всі підсумовуючі функції, які будемо згадувати далі прийнято зв’язувати із іменами математиків, які їх ввели. Для «звичайної» підсумовуючої функції цього не роблять. Однак звичайне підсумовування рядів справедливо було б називати «підсумовуванням за Коші».

Можна побудувати надзвичайно велику кількість підсумовуючих функцій. Для виправдання своєї назви вони повинні мати властивості звичайних сум.

По-перше, підсумовуюча функція не повинна суперечити звичайному підсумовуванню збіжних рядів. Іншими словами,якщо – деякий збіжний ряд, то значення повинне існувати і бути рівним . Підсумовуюча функція , яка має цю властивість, називається регулярною.

По-друге, для будь-яких двох рядів і і чисел і з існування значень і слідує існування значення і рівність

Підсумовуюча функція, яка має цю властивість називається лінійною.

2.2 Підсумовування за Пуассоном-Абелем

Означення. Якщо підсумовуюча функція визначається рівністю

то таке підсумовування називається підсумовуванням за Пуассоном-Абелем.

Приклади:

Для ряду

підсумовування за Пуассоном-Абелем дає

Розглянемо ряд

Для нього

Але для будь-якого , близького до 1, але меншого за 1, ряд який стоїть під знаком границі збігається. А тому:

Підсумовуючи ряди які стоять справа, одержимо:

Розглянемо ряд

Тут границя

не існує, тому згідно з необхідною умовою збіжності ряду (2.1) розбігається.

Підсумуємо цей ряд за Пуассоном-Абелем. Для цього візьмемо довільне розглянемо ряд

і складемо ряд з модулів членів цього ряду:

Ознака збіжності Коші дає нам, що

Отже останній ряд збігається. Це означає, що ряд (2.2) збігається абсолютно, а тому – збігається. Знайдемо його суму.

Зазначимо, що дійсна частина комплексного числа

Тому

є дійсною частиною виразу

Або, підсумовуючи дану геометричну прогресію, отримаємо

Множення чисельника і знаменника цього дробу на комплексне число, спряжене знаменнику, дає нам

Після очевидних обчислень виявляється, що дійсна чистина цього виразу рівна

Таким чином (підкреслимо, що припускаємо

2.3 Лінійність та регулярність підсумовування за Пуассоном-Абелем

Лінійність підсумування за Пуассоном-Абелем випливає із того, що для будь-яких рядів і

Встановимо регулярність цього підсумовування.

Теорема. Якщо збіжний ряд, то він підсумовується за методом Пуассона-Абеля і

Доведення. Складемо за рядом степеневий ряд

Із збіжності ряду випливає, що радіус збіжності степеневого ряду (2.4) не менше одиниці, причому при цей ряд збігається. Тому в другій теоремі Абеля сума ряду (2.4) неперервна в точці зліва, тобто

теорему доведено.

2.4 Абсолютна збіжність методу Пуассона - Абеля

Ряд (1.2) називається підсумовуваним методом Пуассона-Абеля (А – підсумовуваним до числа ), якщо степеневий ряд, збігається при і [1, 45].

Переформулюємо означення: послідовність називається А – підсумовуваною до числа , якщо степеневий ряд збігається при , і.

Метод А – напівнеперервний метод підсумовування, де

Ряд (1.2) називається абсолютно підсумовуваним методом Пуассона-Абеля (– підсумовуваним), якщо функція має обмежену зміну на сегменті, або[13, 14, 23].

Так, наприклад,

1). ряд не є А – підсумовуваним, оскільки, при ;

2). ряд не є А – підсумовуваним, оскільки степеневий ряд розбігається при .

3). рядє А – підсумовуваним до суми , оскільки при .

Теорема1.41. Метод є регулярним.

Теорема1.42. Метод зберігає абсолютну збіжність.

Теорема1.43. Якщо , то і обидва методи сумісні.

Дляотримуємо: якщо , то .

Підсумовуваність та абсолютна підсумовуваність методом Пуассона-Абеля мають велике значення в теорії рядів Фур’є [20].

Різниця між абсолютною збіжністю ряду і його умовною збіжністю з точки зору підсумовування за Пуассоном-Абелем зберігається, наприклад, ряд

за Пуассоном-Абелем підсумовуємо, але ряд, який складається із модулів його членів, тобто ряд

ні. Тут ця різниця виявляється слабшою, ніж у випадку звичайної збіжності.

Означення. Нехай нам дано ряди

Добутком цих рядів будемо називати ряд в якому

Для абсолютно збіжних рядів має місце наступна рівність

Якщо ж обидва ряди збігаються, але лише умовно, то це очевидне на перший погляд співвідношення не виконується (втрачає зміст його перша частина).

Наприклад. Нехай кожен із рядів є

Тоді для члена ряду , який є добутком маємо:

Внаслідок того, що

тут повинно бути

тобто ряд не задовільняє необхідну умову збіжності, і сума не існує.

Однак з точки зору підсумовування за Пуассоном-Абелем різниця в цьому питанні між абсолютною і умовною збіжністю втрачається.

Теорема. Якщо ряди підсумовувані за Пуассоном-Абелем, то їх добуток також підсумовуємо за Пуассоном-Абелем, і

Доведення. Підсумовування рядів ,за теоремою Пуассона-Абеля означає збіжність степеневих рядів

Звідси, за теоремою Абеля кожен такий ряд збігається, причому абсолютно. Але тоді за теоремою про множення абсолютно збіжних рядів

Ліва частина цієї рівності за умовою при має границю рівну добутку Значить, і права його частина має границю, яка за означенням дорівнює

Таким чином, з точки зору множення радів підсумовування рядів за Пуассоном – Абелем навіть «ближче» до скінченних сум ніж підсумовування рядів у звичайному розумінні.

Приклади:

Нехай обидва ряди є одним і тим же рядом

тобто Тоді тобто ряд

Тому за тільки що доведеною теоремою

Розглянемо ряд

Він не збіжний навіть умовно, оскільки

Однак цей ряд може бути отриманий в результаті перемноження ряду

і геометричної прогресії

В нашому випадку

і підсумовування скінченної геометричної прогресії, яка стоїть у дужках дає можливість знайти

Нагадаємо, що сума ряду (2.7) за Пуассоном-Абелем рівна , а прогресія (2.8) збігається в звичайному розумінні (а значить і за Пуассоном – Абелем) і має суму рівну 2.

Звідси ряд (2.6) також збігається за Пуассоном – Абелем і його сума дорівнює

2.5 Теорема Таубера

В результаті різного роду перетворень, зокрема, в результаті переходів від одних рядів до інших, можемо отримати ряди сумовні за Пуассоном-Абелем. Прикладом їх можуть бути розглянуті в попередньому параграфі добутки рядів. У всіх потрібних випадках може викликати інтерес з’ясування збіжності цих рядів у звичайному розумінні.

Таким чином, виникає питання про ознаки збіжності спеціально для тих рядів які є сумовними за Пуассоном-Абелем. Ці ознаки, які відносяться до рядів, що підсумовуються за Пуассоном-Абелем, так і до рядів, що підсумовуються будь-яким іншим методом, зазвичай називаються тауберовими теоремами. Історично перша з них, належить самому Тауберу, полягає в наступному

Теорема Таубера. Для того, щоб сумовний за Пуассоном – Абелем ряд

що має суму , збігався в звичайному розумінні ( і мав суму ) необхідно і достатньо щоб виконувалось граничне відношення

Частинну теореми Таубера, яка стосується необхідності, виділимо як самостійну лему.

Лема. Якщо збігається ряд (2.9) то має місце (2.10).

Доведення. Нехай ряд (2.9) збігається і -тий його залишок. Збіжність ряду означає, що

Далі маємо

Таким чином,

За (2.11) друга границя справа тут рівна нулю. Якби перша границя не існувала або була відмінна від нуля, то знайшлося б таке що при як завгодно великих значеннях виконувалася б нерівність

Знайдемо тепер у відповідності із збіжністю ряду (2.9) таке , що при

а за ним – таке , що

Число можна брати скільки завгодно великим. Візьмемо його таким, щоб було одночасно

Запишемо

Із (2.14) випливає, що тут перший доданок менший ніж Із (2.13) випливає що другий доданок менший за Значить, з урахуванням (2.15)

А це суперечить (2.12), лема доведена.

Переходимо до доведення достатності. Почнемо з того частинного випадку, коли члени ряду (2.9) спадають настільки швидко, що

Покладемо

Із (2.16) випливає, що із збільшення величина монотонно прямує до нуля.

Візьмемо довільне і запишемо

Зауважимо, що при повинно бути

Користуючись цими оцінками і властивостями можемо оцінити перші два доданки в (2.17) справа:

Тому із (2.17) випливає, що

Візьмемо довільне і виберемо так, щоб було тобто Візьмемо тепер настільки великим, щоб виконувалась нерівність

а залежне від настільки близько до одиниці, щоб виконувалась нерівність

Тоді в (2.19) ліва частина може бути оцінена як

і довільність доводить збіжність ряду (2.9). Виділені умовами (2.16) частинний випадок доведений. Розглянемо тепер загальний випадок. Покладемо

і (умовно) Тоді, при

так що

або,пересунувши на одиницю нумерацію у другій сумі справа, маємо

звідси

Розглянемо тепер вираз

який представимо у вигляді

Візьмемо тут довільне і виберемо у відповідності до (2.10) настільки великим, щоб при було В цьому випадку з урахуванням (2.18) для будь-якого буде

Далі, наближаючи до одиниці можемо отримати

Враховуючи (2.21) і (2.22) отримаємо, що при значеннях достатньо близьких до одиниці

Звідси випливає (оскільки ліва частина цієї нерівності не залежить від що

з рівності (2.20) отримаємо

Але за умовою підсумовування рядів ліва частина рівна тут Тому

Розглянемо тепер допоміжний ряд

Для нього маємо згідно (2.10)

Тому опиняємось в умовах уже розглянутого частинного випадку. Тим самим від (2.23) можемо перейти до рівності

Нарешті маємо для будь-якого

звідси

Тут границя справа за умовою рівна нулю, і з (2.24) маємо

Таким чином, ряд (2.9) збігається і його сума рівна

Для методів Чезаро найбільш типовою формою умови (що допускає різні узагальнення) є [23, 28, 80].

Теорема 2.1.Якщодля деякогоі,то рядзбігається і є сумованимдля будь-якого додатного

doc

Завантажити
Зберегти на потім

Додав(-ла)
Камінська Юлія Віталіївна

Пов’язані теми
Математика, 11 клас, Інші матеріали

Додано
30 серпня 2020

Переглядів
1126

Оцінка розробки

Відгуки відсутні

Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки

Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку

Рекомендовані матеріали

docx

2291 0

Каледарне планування математика 11 клас, рівень стандарт

doc

880 5

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА інтегрованого заняття «Дослідження за допомогою функцій та їх графіків основних сюжетних елементів роману І.Багряного "Тигролови"

docx

3569 5

"Тригонометрія в завданнях ЗНО"

docx

1818 0

КРЕАТИВНЕ НАВЧАННЯ З ЕЛЕМЕНТАМИ МЕДІАОСВІТИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Схожі матеріали

zip

3272 0

Презентація,Впровадження методики

pptx

4456 4.3

Урок -конференція з презентацією на тему «Задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень фунції»

ppt

40805 5

Презентація до уроку з математики "Тіла обертання. Циліндр".

doc

4886 5

Застосування визначеного інтегралу до розв’язування фізичних задач

docx

2337 4.3

Математика від А до Я (фрагмент уроку )

Поділитись матеріалом
facebook 0 viber 0 telegram 0 Twitter 0 Google+ 0

Завантажити

Зберегти на потім