Арифметичний корінь n-го степеня, його властивості. Перетворення коренів. Дії над коренями.

Арифметичний корінь n-го степеня, його властивості. Перетворення коренів. Дії над коренями. Урок 1

Мета уроку:навчальна: сформувати поняття кореня n-го степеня, арифметичного кореня n-го степеня, домогтися засвоєння учнями властивостей арифметичного кореня n-го степеня, формувати такі навчальні компетентності як: уміння витягати користь із досвіду; організація взаємозв'язку своїх знань і впорядковування їх; організація своїх власних прийомів вивчення; уміння вирішувати проблеми; самостійна організація свого навчання;

Мета уроку:розвивальна: активізувати пізнавальні здібності учнів, розвивати вміння та навички учнів знаходити корінь n-го степеня із числа та застосовувати властивості коренів для перетворення виразів із ними, розвивати такі види компетентності як: математична компетентність – уміти працювати з числом, числовою інформацією (володіти математичними вміннями); автономізаційна – бути здатним до саморозвитку, здатність до самовизначення, самоосвіти, конкурентноспроможності;

Мета уроку:виховна: виховувати культуру розумової праці; охайність при виконанні математичних записів; формувати такі компетентністні навички: комунікативну компетентність (удосконалювати навички роботи в групі, вміння працювати на результат, доводити власну думку, вести діалог), ціннісно-смислову компетентність (готовність бачити і розуміти навколишній світ, орієнтуватися в ньому, усвідомлювати свою роль і призначення, вміти вибирати цільові та смислові установки для своїх дій і вчинків, приймати рішення); соціально-трудову компетентність: здатність застосувавати вміння обчислювати в різних (у тому числі нестандартних) ситуаціях;

Вченість - це солодкий плід гіркого кореня. Ісократ

Для багатьох задач фізики важливо визначити степені з раціональним і ірраціональним показниками. У фізиці зустрічаються величини, які мають таку властивість: за рівні проміжки часу величина змінюється в одне й те саме число разів. Прикладом таких величин може бути маса радіоактивної речовини. Мотивація навчальної діяльності𝒎= 𝒎𝟎∙𝟐−𝒕𝑻 

Поняття степеня виникло у зв’язку з обчисленням площі квадрата й об’єма куба. Мотивація навчальної діяльності𝑺= 𝒂𝟐 ab𝑽= 𝒃𝟑 

Знання властивостей степеня з раціональним показником і арифметичного кореня n-го степеня дозволить розв’язувати степеневі та ірраціональні рівняння, нерівності та їх системи. Мотивація навчальної діяльності

Знання властивостей степеня з раціональним показником і арифметичного кореня n-го степеня дозволить розв’язувати степеневі та ірраціональні рівняння, нерівності та їх системи. Мотивація навчальної діяльності

Корінь n–го степеня з числа а. Квадратним коренем (коренем другого степеня) з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. 𝒂𝟐=𝒂=𝒂, якщо 𝒂≥𝟎,𝒂, якщо 𝒂<𝟎;𝒂𝟐=𝒂, якщо 𝒂≥𝟎. Аналогічно дають означення кореня n-го степеня з числа a, де n ∈ N, n > 1. Коренем n-го степеня з числа a, де n ∈ N, n > 1, називають таке число, n-й степінь якого дорівнює a.

Наприклад:коренем п’ятого степеня з числа 32 є число 2, оскільки 25 = 32; коренем третього степеня з числа –64 є число –4, оскільки (–4)3 = –64; коренями четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і –3, оскільки 34 = 81 і (–3)4 = 81. З означення випливає, що будь-який корінь рівняння xn = a, де n ∈ N, n > 1, є коренем n-го степеня з числа a, і навпаки, корінь n-го степеня з числа a є коренем розглядуваного рівняння. Корінь n–го степеня з числа а. Квадратним коренем (коренем другого степеня) з числа a називають таке число, квадрат якого дорівнює a. 𝒂𝟐=𝒂=𝒂, якщо 𝒂≥𝟎,𝒂, якщо 𝒂<𝟎;𝒂𝟐=𝒂, якщо 𝒂≥𝟎. Аналогічно дають означення кореня n-го степеня з числа a, де n ∈ N, n > 1. Коренем n-го степеня з числа a, де n ∈ N, n > 1, називають таке число b, n-й степінь якого дорівнює a. 𝒏𝒂=𝒃; 𝒃𝒏=𝒂 

коренем п’ятого степеня з числа 32 є число 2 (532 =2) , оскільки 25 = 32; коренем третього степеня з числа –64 є число –4 (𝟑−𝟔𝟒 =-4), оскільки (–4)3=–64; коренями четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і –3 (𝟒𝟖𝟏 =𝟑−𝟑), оскільки 34 = 81 і (–3)4 = 81.  Наприклад: Корінь n–го степеня з числа а

Корінь непарного степеня n, n > 1, з числа a позначають так: (читають: «корінь n-го степеня з a»). Знак називають знаком кореня n-го степеня або радикалом. Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневим виразом. Наприклад, Корінь третього степеня також прийнято називати кубічним коренем. Наприклад, запис читають: «корінь кубічний з числа 2». Корінь n-го степеня, n - непарне. Якщо n — непарне натуральне число, то графіки функцій y = xn і y = a при будь-якому a перетинаються в одній точці (рис). Це означає, що рівняння xn = a має єдиний корінь при будь-якому a. Висновок: якщо n — непарне натуральне число, більше за 1, то корінь n-го степеня з будь-якого числа існує, причому тільки один.

Корінь n-го степеня, n - непарне. Розглянемо рівняння xn = a, де n — парне натуральне число. Якщо a < 0, то графіки функцій y = xn і y = a не мають спільних точок; Якщо a = 0, то розглядувані графіки мають одну спільну точку; Якщо a > 0, то спільних точок дві, причому їх абсциси — протилежні числа (рис). Тоді можна зробити такий висновок: якщо n — парне натуральне число, то: при a < 0 корінь n-го степеня з числа a не існує; при a = 0 корінь n-го степеня з числа a дорівнює 0; при a > 0 існують два протилежні числа, які є коренями n-го степеня з числа a. З рисунків 78 і 79 видно, що рівняння xn = a при a ≥ 0 обов’язково має один невід’ємний корінь. Його називають арифметичним коренем n-го степеня з числа a.

Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа a, де n ∈ N, n > 1, називають таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює a. 𝒏𝒂=𝒃       𝒃𝒏=𝒂    𝒂≥𝟎     𝒃≥𝟎 Число n називають показником кореня, а саме число а – підкореневим виразом. Знак 𝒏  і вираз 𝒏𝒂 називають також радикалом. Арифметичний корінь n-го степеня𝟑𝟐𝟕=𝟑 𝟕𝟏𝟐𝟖=𝟐 

𝑛𝑎 = b,𝑏𝑛=𝑎 a – підкореневий виразn – показник кореняn=2k+1 для позначення будь-якого кореняn=2k для позначення арифметичного кореня

𝟐𝒌+𝟏−𝒂=−𝟐𝒌+𝟏𝒂  Властивості кореня n-го степеня

𝒏𝒂𝒏=𝟐𝒌+𝟏𝒂𝟐𝒌+𝟏=𝒂; 𝒏𝒂𝒏=𝟐𝒌𝒂𝟐𝒌=𝒂; Властивості кореня n-го степеня

𝒏𝒌𝒂=𝒏𝒌𝒂, при 𝒂≥𝟎 Властивості кореня n-го степеня𝟑𝟕𝟓 𝟑𝟒𝟗  𝟐𝟓𝟔 𝟓𝟏𝟎𝟐𝟒 

𝒏𝒂𝒌=𝒏𝒂𝒌, при 𝒂≥𝟎 Властивості кореня n-го степеня𝟔𝟗𝟑 𝟐∙𝟑𝟎,𝟑𝟑  𝟐𝟓𝟔 𝟑𝟒𝟒 

𝒏𝒂𝒃=𝒏𝒂∙𝒏𝒃, при 𝒂≥𝟎, 𝒃≥𝟎 Властивості кореня n-го степеня𝟒𝟒𝟖∙𝟒𝟐𝟕 𝟔𝟑𝟐∙𝟔𝟐 𝟒𝟖∙𝟒𝟏𝟔𝟐 𝟒𝟎,𝟎𝟔𝟐𝟓∙𝟐𝟓𝟔 

𝒏𝒂𝒃=𝒏𝒂𝒏𝒃, при 𝒂≥𝟎, 𝒃>𝟎 Властивості кореня n-го степеня𝟒𝟏𝟔𝟐𝟓 𝟓𝟕𝟐𝟗𝟓𝟑 𝟑𝟏𝟓𝟓𝟖 𝟑𝟐𝟒𝟑𝟖𝟏 

𝒏𝒂𝒎=𝒏𝒌𝒂𝒎𝒌, при 𝒂≥𝟎 Властивості кореня n-го степеня𝟐𝟎𝒚𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟏𝟐𝟖 𝟓𝟑𝟐𝟒 𝟓𝟎,𝟑𝟏𝟎∙𝟐𝟏𝟓 

Наслідки:— винесення множника з-під знака кореня ;— внесення множника під знак кореня ;8) Для будь-яких невід’ємних чисел а і b якщо , то Шевчук А. Г. Властивості кореня n-го степеня

Внесіть множник під знак кореня:𝟐𝟓𝟕 𝟓𝟐 𝒚𝒙∙𝟔𝒙𝒚𝟒 𝒙𝟑𝒚𝟕𝟏𝟎𝒙𝟖𝒚𝟏𝟐 −𝟐𝟔𝟑 𝒂𝟕 -b𝟒𝟑 

Винесіть множник з-під знака радикала:𝟏𝟐𝒂𝟖 𝟒𝟖𝟏𝒙𝟏𝟑𝒚𝟑 𝟓𝒙𝟏𝟐𝒚𝟑 𝟏𝟔𝟐 𝟑𝟓𝟒 𝟒𝟖𝟏𝟎𝒂𝟐𝟔𝒃𝟏𝟕 𝒙𝟑𝒚𝟕𝟒𝒙𝟖𝒚𝟏𝟐, y≥𝟎 

Порівняйте числа:𝟖𝟎,𝟐 𝒊 𝟖𝟎,𝟑 𝟓 𝒊 𝟓𝟐 𝟐 𝒊 𝟓𝟓 𝟓𝟐 𝒊 𝟑𝟑 𝟑𝟎,𝟑 𝒊 𝟓𝟎,𝟒 

Підсумок уроку• Що називають коренем n-го степеня з числа а, де n є N, n>1?• Що називають кубічним коренем із числа а?• Що називають підкореневим виразом?• При яких значеннях а має зміст вираз 2𝑘+1𝑎, kN?• Що називають арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а , де n є N, n>1?• При яких значеннях а має зміст вираз 2𝑘𝑎 , kN? 

Домашнє завдання1. Опрацювати §10 підручника (Є. П. Неліна Алгебра і початки аналізу. 10 клас)2. Письмово виконати вправи:№2 (1-6), №3, №4 (с. 178)

Список використаних джерел: Література: Мазур К.І. та ін. Тестові задачі з математики: Алгебра та початки аналізу: Навчальний посібник/ Мазур К.І., Мазур О. К., Ясінський В. В. – К.: Фенікс, 2001. – 600 с. (книга трьох авторів)Роганін О. М. Алгебра і початки аналізу: 10 клас: Плани-конспекти уроків/ Роганін О. М. – Х.: Світ дитинства, 2002. – 256 с. (книга одного автора)

Список використаних джерел:Інтернет-ресурси:http://subject.com.ua/mathematics/zno/71.htmlhttp://subject.com.ua/mathematics/zno/72.html https://goo.gl/YK0gdo