БІНАРНИЙ УРОК З МАТЕМАТИКИ У 6 КЛАСІ «Чи можна обчислити красу»

БІНАРНИЙ УРОК З МАТЕМАТИКИ У 6 КЛАСІ

«Чи можна обчислити красу»

     (слайд 1)

У математиці прекрасне завжди містить елемент несподіваного – хоч не все несподіване прекрасне, - тоді як у математиці несподіване завжди прекрасне

Сковорода

Мета уроку:                                                                                            (слайд 2)

•      Повторити і узагальнити матеріал з теми «Пропорції».
•      Познайомити учнів із застосуванням відношення «золотого перерізу» в скульптурі, архітектурі, живописі, музиці
•      Виховувати інтерес до математики через показ практичного застосування математичних знань в житті людини; вчити учнів знаходити відношення величин практично
•      Формувати навички самоконтролю, взаємоконтролю, увагу, наполегливість.

•      Розвивати логічне і творче мислення.

Обладнання: мультимедійна установка, дошка, лінійка,

репродукції  картин, скульптур, архітектурних споруд,

виставка учнівських дослідницьких робіт за темою уроку,

запис вальсу Шопена,

підручник «Математика 6 клас», А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С.Якір, Харків, «Гимназія», 2006

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань. Підсумковий урок  з теми        «Відношення і пропорції»

ХІД УРОКУ

I . Організація класу до уроку.

Ідея уроку: “Те, що не ясно, слід вияснити ”       Конфуцій                (слайд 3) Пам'ятка для учнів:

- Я почуваю себе дуже впевнено

- Я вмію творчо мислити

- Мені подобається отримувати знання

- Я задоволений, що можу працювати на уроці

II. Мотивація навчання

Вчитель математики. Наш сьогоднішній урок - це підсумковий урок з теми «Відношення та пропорція». А на  уроці ми зможемо відповісти на питання  «Чи можна обчислити красу?»

Вчитель образотворчого мистецтва. Краса тішить розум, серце, душу людини. Цю незвичайну красу не раз оспівували поети, філософи, митці… Ще у Стародавній Греції вважали, що краса розуму — це найвеличніше!

Вчитель математики. Краса науки полягає у відкритті нових істин, у виявленні стрункого ладу там, де ще недавно панував хаос.                           (слайд 4)

Математика в усі часи була і є «першою красунею» серед наук. Як наука неможлива без творчості, так і творчість неможлива без краси.

Математичної творчості це стосується на сам перед.

«Всюди, де число, там і краса», — казали ще давні греки.

ІІІ. Перевірка домашнього завдання.

Вчитель математики.

 Закінчи речення...                                                                                              (слайд 5)

1. Відношення чисел a та b – це...
2. Відношення чисел a та b показує…
3. Члени відношення називаються…
4. Відношення не зміниться, якщо…
5. Часто на практиці використовують відношення величин: …
6. Пропорція – це...
7. Добуток крайніх членів пропорції дорівнює…
8. Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, …
9. Щоб знайти невідомий середній член пропорції, …
10. Якщо дві величини збільшуються в однакову кількість разів, то вони називаються…

Представить  відсотки у вигляді десяткового дробу                                (слайд 6)

IV. Актуалізація знань.

Видатний німецький астроном і математик Йоганн Кеплер назвав золотий переріз скарбом геометрії.

      Що ж таке «золотий переріз»?

      Чи зустрічаємось ми з ним поза  уроками математики?

      Що пов’язує його з красою?                                         (слайд 8)

Саме на ці запитання ми зможемо відповісти під кінець уроку.

Більшість учнів знайшли значення відношення з проміжку від 1,6 до 1,75. А чому так? На це питання потрібно знайти відповідь! Який відсоток учнів класу отримали 2 результат вимірювань?

32 учня – 100%

18учнів – х%

х = 56,25

Відповідь: 56,25% учнів класу отримали 2 результат.

До речі,саме в «золотому» відношенні знаходяться розміри стан-дартних книжок, документів, поштових листівок, кредитних карток.

V. Основна частина уроку.

Вчитель математики.     З давніх-давен в людській мові існує словосполучення «золотий переріз» або «золоте відношення». Іноді його називають «чарівною», або «божественною» пропорцією. Ця пропорція була відома людині більш як 5 тисяч років тому.                            (слайд 9)

Взагалі, «золотий переріз»- це такий поділ відрізка точкою,при якому довжина всього відрізка так відноситься до довжини його більшої частини, як довжина більшої частини до меншої.     (слайд 10)

Тобто   c : b = b : a .     (Рис. 1.1)                                                  (слайд 11)

Якщо взяти відрізок одиничної довжини (с = 1), позначити одну з частин за х (b = x), то інша дорівнюватиме 1 - х (а = 1 - х).    

Маємо рівняння:     ,    звідси, отримаємо х ≈ 0,618 .

Але частіше беруть відношення всього відрізка до x, тобто .                  

Саме число  називають числом золотого перерізу і позначають . При поділі відрізка у  золотому відношенні

.

Це число має дуже цікаві властивості, одна з них полягає в тому, що   та  взаємно обернені числа. Число позначено на честь видатного скульптора Фідія                                                         (слайд 12)

                                                                                                 (слайд 13)

Вчитель образотворчого мистецтва. Фі́дій— давньогрецький скульптор 5 ст. до н. е. Серед робіт Фідія, найбільш уславленими були колосальна бронзова статуя Афіни Промахос, встановлена близько 460 до н. е. на афінському Акрополі, та двох грандіозних статуй: Зевса Олімпійського в храмі Зевса в Олімпії (одне з «семи чудес світу») і Афіни Парфенос (Діви) в храмі Парфенон в Афінах У цих роботах Фідія, золотий переріз закладено у різних пропорціях людського тіла. Часом не тільки вся статуя, а й окремі її частини діляться в золотом відношенні..

Вчитель математики.     Але на практиці частіше використовують відношення чисел 8 : 5 = 1,6 або 13 : 8 = 1,625. Так от, якщо відрізок чи якийсь предмет поділений на частини саме так, що їх розміри відносяться як 13 до 8,   чи 8 до 5, то такий поділ називають   «золотим перерізом».

  Ці відношення – 13 : 8  і   8 : 5  ми часто будемо зустрічати сьогодні, адже саме відношення цих чисел і називають  «золотим відношенням».                                                                            (слайд 14)

Перша фігура яку ми розглянемо – це «золотий прямокутник».  Будуємо прямокутник зі сторонами 5 см та 8 см або 8 см та 13 см.

Якщо відділити від нього квадрат ABEF, сторона якого збігається з меншою стороною прямокутника, отримаємо знову «золотий» прямокутник ECDF.

Якщо провести діагональ цього прямокутника, то вона перетнеться з відрізком EF у точці О, яка обидва ці відрізки ділить «золотим поділом».

Якщо від прямокутника ECDF відрізати квадрат і повторити це кілька разів, то весь час будуть утворюватися квадрати й «золоті» прямокутники.                                                                                                

 (слайд 15)

Якщо сполучити вершини квадратів кривою, то отримаємо золоту спіраль Архімеда.                                                                          (слайд 16)

(слайд 17)

Існує також золотий трикутник – це рівнобедрений трикутник з кутом при вершині 36⁰, в якому проведено бісектриси кутів при основі. Кожен раз ми отримаємо рівнобедрений трикутник з цим самим кутом. З цими фігурами ми ще з вами зустрінемося в продовж уроку.

Учні класу виконували творчі дослідження, збирали цікавий матеріал.

До слова запрошується група «Істориків»

З поняттям золотого перерізу були обізнані, ще піфагорійці, які вміли будувати правильний опуклий п'ятикутник і пентаграму.

(слайд 18)

Поділ відрізка у крайньому та середньому відношеннях був уперше здійснений великим філософом і геометром Піфагором 2500 років тому. Але існують і факти, що свідчать про те, що про золоту пропорцію знали і задовго до Піфагора.                                     (слайд 19)

Перші письмові свідчення про золотий переріз наводяться у «Началах» Евкліда (3 ст. до н.е.). У книгах є задачі про поділ відрізка у золотому відношенні, а також задачі про побудову правильного опуклого п'ятикутника, правильних додекаедра та ікосаедра. Ці геометричні тіла також пов’язані із золотим перерізом.

Протягом багатьох століть після Евкліда про поділ відрізка у крайньому і середньому відношеннях ніхто не згадував. Середньовічні європейські вчені довідалися про золотий переріз лише з арабських перекладів «Начал».

В 1202 році вийшов у світ твір  італійського математика Фібоначчі.                                                                                     (слайд 20)

(слайд 21)

На початку епохи Відродження у зв'язку з потребами архітектури зріс інтерес до золотого перерізу. У 1509 р. вихованець славетного в той час Болонського університету, математик Лука Пачолі, під впливом свого друга і вченого Леонардо да Вінчі (1452-1519) видає книгу під заголовком «Про божественну пропорцію». Особливу увагу Пачолі приділив правильному додекаедру — тілу, тісно пов'язаному із золотим перерізом. Ця книга ілюстрована Леонардо да Вінчі.

Ентузіастом золотого перерізу був і Йоганн Кеплер (1571-1630), який пов'язував золотий переріз із будовою Сонячної системи.

До слова запрошується група «Соціологи»                                                  (слайд 22)

1 учень. Наприкінці 19-го століття засновник експериментальної психології Густав Фехнер поставив експеримент: з п’яти прямокутників, серед яких був і золотий, потрібно було вибрати один. Виявилося, що найчастіше вибір припадав на золотий прямокутник. Це свідчить про те, що з естетичного погляду золотий переріз має певні переваги .

2 учень. З метою простеження  змін в уявленнях про красу сьогодні порівняно з епохою Відродження в школі  було проведено соціологічне опитування. Ставилося запитання: «Який прямокутник вам подобається найбільше?». Результати були зведені у таблицю і проаналізовані.

3 учень. Цей факт має фізіологічне пояснення. Виявляється, що кривизни акомодуючого кришталика та нашого ока відносяться як 3:5, що відповідає золотому перерізу. Тому нам більше подобаються і здаються прекрасними ті речі, які відповідають золотому перерізу.

Вчитель образотворчого мистецтва. Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, яки притягують нашу увагу, це так звані зорові центри. При цьому неважливо, у якому форматі ця картина – горизонтальному чи вертикальному. Таких точок всього чотири, вони розташовані на відстані 3/8 и 5/8 від країв картини. Це відкриття отримало назву «золотий переріз» картини. А тому щоб привернути увагу до головного елементу картини, необхідно сумістити з одним із зорових центрів  цей елемент. Зараз кожна група виконує своє завдання:                                         (слайд 23)

1 група. На картині Е.Волкова «В лісі. Весною» знайти об’єкт, розташований  по закону «золотого перерізу» по вертикалі.

2 група. На картині Е.Волкова «В лісі. Весною» знайти об’єкт, розташований  по закону «золотого перерізу» по горизонталі.

(слайд 24)

3 група. На картині И.Левітана «Вечірній дзвін» знайти об’єкт, розташований  по закону «золотого перерізу» по вертикалі.

4 група. На картині И.Левітана «Вечірній дзвін» знайти об’єкт, розташований  по закону «золотого перерізу» по вертикалі.

Вчитель образотворчого мистецтва. « Ні один живописець не може писати, не знаючи  геометрії».  Леон Альберті.                                            (слайд 25)

(слайд 26)

На знаменитій картині І.І. Шишкіна «Сосновий бір», очевидно, проявляються мотиви золотого перерізу. Яскраво освічена сосна, яка стоїть на передньому плані, ділить довжину картини у золотому відношенні. Праворуч від сосни — освічений сонцем пагорб. Він ділить у золотому відношенні праву частину картини по горизонталі. Зліва від головної сосни розміщено багато сосен. За бажанням можна успішно продовжити і надалі поділ картини по золотому перетину. Наявність у картині яскравих вертикалей і горизонталей, які ділять її у відношенні золотого перерізу, надають їй характеру врівноваженості та спокою, згідно із задумом художника. Коли ж задум художника інший, якщо, скажімо, він створює картину з бурхливим розвитком події, то подібна геометрична схема з (переважанням горизонталей та вертикалей) стає неприпустимою.

(слайд 27)

Багатофігурна композиція, виконана Рафаелем в 1509-1510 рр., коли знаменитий живописець створював свої фрески у Ватикані, відрізняється динамікою та трагізмом сюжету. Рафаель так і не завершив свій задум, але на основі його ескізу маловідомий італійський гравер Маркантиніо Раймонді створив гравюру «Побиття малят».

На попередньому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, які йдуть від смислового центру композиції — точки, де пальці воїна тримають дитину, — вздовж фігур дитини, жінки, яка його тримає, воїна з занесеним мечем, а потім вздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу. Якщо природним способом з'єднати ці частини кривої пунктиром, то з точністю виходить золота спіраль. Це можна довести, якщо виміряти відношення відрізків, які відкладаються спіраллю на прямих, що проходять через початок кривої. Ми не знаємо, чи малював насправді Рафаель золоту спіраль пристворенні композиції «Побиття немовлят», чи просто «відчував її». Але впевнено можна стверджувати, що гравер Раймонді цю спіраль побачив. Про це свідчать додані ним нові елементи композиції, які підкреслюють розгортання спіралі в тих місцях, де на ескізі її позначено лише пунктиром. Ці елементи можна побачити на остаточній гравюрі Раймонді: арка моста, що іде від голови жінки, — в лівій частині композиції та тіло дитини — в її центрі. У композиції «Побиття немовлят» чудово поєднуються динамізм та гармонія, цьому сприяє вибір золотої спіралі за композиційну основу малюнка Рафаеля: динамізму йому надає вихровий характер спіралі, а гармонійності — вибір золотого перерізу, як пропорції, яка визначає розгортання спіралі.

(слайд 28)

Увагу дослідників привернув портрет Мони Лізи (Джоконди), написаний Леонардо да Вінчі. Вони довели, що композиція малюнка грунтується на золотих трикутниках (золотий трикутник – це рівнобедрений трикутник, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює 1,618), ( точніше на трикутниках, які є частинами правильного зірчастого п’ятикутника)

Висновок: якщо зображення симетричне, центр картини і композиції збігається, то картина сприймається статично, зображення виглядає урочисто, однак позбавлене руху. Якщо ж композиційний центр картини і композиції не збігаються, картина сприймається у динаміці. Художники, помітивши цей факт, стали широко його використовувати, однак постало запитання, куди потрібно зрушити центр композиції, щоб досягти ефекту руху? Це місце на картині і є лінією золотого перерізу. Таке використання золотого перерізу іноді здійснюється інтуїтивно і зумовлено близькістю цього поняття до законів гармонії, що існують у природі. Приклади використання цього правила можна знайти в роботах Веласкеса «Мадонна з немовлям» (слайд 29), О. Іванова «З'явлення Христа народу» (слайд 30), І. Крамського «Незнайомка» (слайд 31) та інших художників.

Слово-керівнику групи художників.

 Наша група досліджувала картини нашого земляка,художника сучасності Івана Марчука (слайд 32). Він-уродженець Тернопільщини (1936), лауреат національної премії ім. Шевченка, у 2007 році, за версією британського видання Дейлі Телеграф, визнаний 72 у списку  сотні геніїв сучасності, єдиний українець у цьому списку.

  Його картини є на всіх континентах, крім Антарктиди.

   Картина «Місячна ніч». Її реальні розміри – 97 см на 60 см. Знайдіть відношення  довжини до ширини  97:60 1,617.

    Лінія горизонту проходить так,що ділить полотно на дві частини у 37,1 см та 22,9 см.  Знайдіть відношення  37,1:22,9    1,617

    Можна зробити висновок, що при створенні картини Іван Марчук дотримувався «золотого відношення».

(слайд 33)

Вчитель математики. У давні часи золотому перерізу, як і деяким фігурам, числам і магічним квадратам, надавали містичного значення, наприклад, Мефістофель не може вийти із кімнати Фауста тому, що на порозі намальовано правильний зірчастий п'ятикутник. Пентаграму у вигляді печатки використовували деякі таємні товариства. У піфагорійців пентаграма була символом здоров'я і досконалості, розпізнавальним знаком для членів організації. У християнській символіці пентаграма означає Святу Трійцю та подвійну (божественну і людську) природу Христа. У Китаї пентаграма — символ п'яти стихій (V-Син). Слід зазначити, що в началах Евкліда виклад питань, пов'язаних із золотим перерізом, не містить жодних містичних домислів.

У чому ж привабливість зірки?

 У цій фігурі спостерігається дивна сталість відрізків, що її утворюють. Важко повірити, але

AD:AC=AC:CD=AB:BC=AD:AF=AF:FC.

Використавши симетричність зірки, можна ще довго продовжувати ряд рівностей.

До слова запрошується група «Геральдика»                                             (слайд 34)

1 учень. П’ятикутна зірка – пентаграма – завжди привертала увагу людей досконалістю форми.  Вона вважається амулетом здоров’я. І в наш час п’ятикутна зірка зустрічається на прапорах і гербах багатьох країн, наприклад Китаю, США, Сінгапуру, В’єтнаму, Пакистану, Туреччини, Євросоюзу.

Вчитель математики. На перший погляд золотий переріз відрізка видається дуже складним і рідкісним. Але це не так, оскільки він існує у природі, а уважні люди його помітили. Тільки дотримуючись законів геометрії, архітектори змогли створити свої шедеври. Пропорція в архітектурі – це ніби її внутрішня краса.                                                        (слайд 35)

У 1840 р. одне із чудес світу, Велика піраміда Хеопса біля Гізи, ще не мала пошкоджень. У цьому році встановили, що переріз піраміди, який проходить через її висоту, перпендикулярно основі, — рівнобедрений трикутник. Висота піраміди в той час становила 148,2 м (нині вона становить приблизно 137 м), а сторона квадратної основи — 232,8 м.

Задача. Знайдіть відношення висоти піраміди до основи.

 Отже, відношення висоти піраміди до сторони основи: 232,8:148,21,57.  

Цей дивовижний збіг, звісно, не дає підстав вважати, що такої форми зодчий наддав їй свідомо.

Вчитель математики. У стародавньому храмі богині мудрості Афіни Парфеноні, побудованому у 5-му столітті до н. е. в Афінах, в розмірах окремих архітектурних деталей витримано пропорції золотого перерізу. Наприклад, відношення висоти цієї будівлі до її довжини становить 1,618.                                                                                         (слайд 36)

  У будівлі собору Паризької Богоматері ми теж бачимо золоту пропорцію.                                                                                (слайд 37)

Золота пропорція в архітектурі часто пов’язана з правильними многогранниками (тетраедр, куб, октаедр, ікосаедр, додекаедр)

(слайд 38)

Вчитель образотворчого мистецтва. Одним з найвищих досягнень класичного грецького мистецтва є статуя Доріфора (V століття до н. Доби). Ця статуя є прикладом ідеальних пропорцій тіла людини і на пряму пов’язана із золотим перерізом.                                               (слайд 39)

Венера Мілоська, статуя богині Афродіти і еталон жіночої краси, являється одним з найкращих пам’ятників грецького скульптурного мистецтва - також побудована на пропорціях золотого перерізу.

(слайд 40)

Дійсно, пропорції добре розвинутого людського тіла підпорядковуються законам золотого перерізу. Перевірено, що відношення середніх значень лінійних розмірів певних частин тіла людини близьке до числа 1,618. Давайте звернемося зараз до еталона чоловічої краси статуї Апполона

Грецький скульптор Леохар (4-те століття до н. е.) створив статую Апполона Бельведерського, якого в Стародавній Греції вважали ідеалом чоловічої краси. Лінії, проведені на малюнку, визначають основні пропорції тіла. Вважається, що талія поділяє висоту досконалого людського тіла у відношенні золотого перерізу. Та сама закономірність розповсюджується, зокрема, на обличчя, руку, кисть руки. У людини, обличчя, якої пропорційне, рот ділить нижню частину обличчя, а дуги брів – усе обличчя у відношенні золотого перерізу.

(слайд 41)

Вчитель математики. Задача на пропорції, яка пов’язана з музикою.

Музичний етюд, утворений з трьох однакових за довжиною частин, триває 1 хвилину 15 секунд. Скільки часу буде тривати етюд, складений з п’яти таких самих частин?

Розвязування.

3 частини – 75 хв.

5 частин   – х хв. 

Складаємо пропорцію . Отримаємо , х = 125.

Відповідь. Етюд буде тривати 2 хвилини 5 секунд.

Які інші способі розв’язання задачі?

(слайд 42)

До слова запрошується група «Музикознавці» Може здатися неймовірним, що золоте відношення має певне застосування у музиці, але це так. Ще Піфагор і його учні, які досліджували гармонію, помітили, що висота звуку при даному натягу струни залежить від її довжини.

Розглядаючи матеріал ми  узнали, що в класичних музичних здобутках також можна знайти золотий переріз. Але для розташування точки золотого перерізу потрібно пам'ятати, що музика — мистецтво, яке перебуває в часі, а не у просторі. Тому твори, в яких потрібно знайти цю точку, необхідно поділяти на чотири рівні часові відрізки.

Точка золотого перерізу, що у цьому випадку краще не обчислюється, а відчувається, збігається в класичних і народних творах з кульмінацією (кульмінація — точка найвищої напруги, що створюється підкресленим, акцентованим, посиленим звучанням, наприклад усього оркестру, особливо голосно. У мелодії, зазвичай, це найвища нота. У класичних музичних творах кульмінація, зазвичай, міститься наприкінці третього часового відрізка.

(слайд 43)

Ще у 1925 році мистецтвознавець  Л.Л. Сабанєєв, проаналізувавши 1770 музичних творів 42 авторів, знайшов 3275 золотих перерізів і показав, що більшість видатних творів можна легко розділити на частини або за темою, або за інтонаційним ладом, які перебувають між собою у відношенні золотого перерізу. Крім того, чим талановитіший композитор, тим у більшій кількості його творів було знайдено золоті перерізи.                                                         

У Аренського — у 95%, Бетховена — 97%, Гайдна— 97%, Моцарта — 91%, Скрябіна —90%, Шопена —92%, Шуберта —91% від усіх творів.

На думку Сабанєєва, золотий переріз призводить до враження особливої стрункості музичного твору. Цей результат Сабанєєв перевірив на всіх 27 етюдах Шопена. Він знайшов у них 178 золотих перерізів. При цьому виявилося, що не тільки великі частини, але й менші всередині етюдів діляться у золотому відношенні і симетричні. У Бетховена твори також діляться на дві симетричні частини, всередині якої спостерігаються прояви золотої пропорції.

Висновок: золотий поділ є критерієм гармонії композиції музичного твору.

ІV . ЗВУЧИТЬ МУЗИКА. Вальс Шопена.

Вчитель математики. Математичні закони не тільки виявляють особливості об'єктивного світу, а й відображають «справжню глибоку красу природи». Як мистецтво дарує людині красу чуттєвого, так математика дарує людині красу розумового. Не випадково так багато математиків були ревними шанувальниками мистецтва, а багато митців виражали своє захоплення стрункістю та красою математичної думки. Недарма в математичній літературі зустрічаємо вислови ”красива побудова”, “стрункий виклад”, “чарівна, дивовижна теорема”, “нема нічого кращого, гарнішого”, “золота формула”, “витончена теорія”, “елегантний підхід” та інші. .                                                     (слайд 44)

Пропорція і мистецтво… Що спільного в них вбачали піфагорійці? Відповідь на це питання одержимо, розгадавши кросворд.

УЧНІ РОЗВЯЗУЮТЬ КРОСВОРД

1. Як називаються члени пропорції a i d?

(Крайні)

2. Як називаються в пропорції члени b i c?

(Середні)

3. Як називається пропорція, значення лівої і правої частини якої одне й те саме число?

(Істинна)

4. Як називається другий член відношення?

(Наступний)

5. Яким математичним терміном можна замінити слово відношення?

(Частка)

Вчитель математики. Яка ж відповідь на питання, що пов’язує пропорцію і мистецтво? Краса!

Сьогодні  на уроці ви познайомились із застосуванням золотого перерізу. Як ви бачите математика присутня в усьому: вона і в тілі людини, вона і в музиці, і за її законами будується всесвіт.

                                                                     (слайд 45)

Вчитель образотворчого мистецтва. Математика – це  не тільки сухі формули, теореми та їх доведення, а це ще й краса. Ви бачите, як тісно, майже нерозривно пов’язані математика і закони прекрасного, що  закони краси мають математичний характер.

Вчитель математики. Ми впевнені, що сьогодні ви почули багато нового, дуже цікавого і корисного. Ми з вами дізналися про «золоте відношення», навчились практично знаходити відношення лінійних величин. Всі ви одержали оцінки за підготовку цікавих повідомлень, за розв’язування задач, відповіді на питання.

Я дуже хочу, щоб дома, можливо з допомогою батьків, ви знайшли ще деякі приклади «золотої пропорції» і розв’язали задачу № 699, 705.

До побачення…