Брошурка з алгебри длі підготовки до ДПА/ЗНО

Число на яке ділимо

Ознака

Приклад

2

Остання цифра числа ділиться на 2 (парна).

956: 2, оскільки остання цифра 6 (парна);

258968:2, оскільки остання цифра 8 (парна).

5

Остання цифра числа дорівнює 0 або 5.

375:­ 5; 8500:­ 5

10

Число закінчується на 0

5000:10; 2480:10

4

Число, виражене двома останніми цифрами даного числа, ділиться на 4.

35 724:­ 4, оскільки 24:­ 4

8

Число, виражене трьома останніми цифрами даного числа, ділиться на 8.

17 328:­ 8, оскільки 328:­ 8

3

Сума цифр числа ділиться на 3.

9822:­ 3, оскільки 9 + 8 + 2 + 2 = 21:­ 3

9

Сума цифр числа ділиться на 9.

15 732:­ 9, бо 1 + 5 + 7 + 3 + 2 = 18:­ 9

3-5=-2

-5+5=0

0*5=0

Будь-яке число помножене на 0, буде 0!

-3-5=-(3+5)=-8

0-5=-5

0/5=0

Нуль розділити на будь-яке число, буде 0!

-3+5=5-3=2

5-0=0

На нуль ділити не можна!

3+(-5)=3-5=-2

3-(-5)=3+5=8

5*1=5

Будь-яке число помножене на 1, буде теж саме число!

-3+(-5)=-3-5=-8

-5*3=-15

-6/3=-2

При множенні чи діленні двох від’ємних чисел, отримують додатне!

-5+3=-(5-3)=-2

-5*(-3)=15

-6/(-3)=2

Властивості додавання

Властивості множення

a + b = b + a;

a + (b + c) = (a + b) + c;

 а + 0 = а;

 а + (–а) = 0;

ab = ba;

a (bc) = (ab)c;

а1 = а;

a =1, a ≠ 0;

Множення одночлена на многочлен

Множення многочлена на многочлен

Дія

Правило

Приклад

1. Додавання
2. Віднімання

Щоб додати чи відняти десяткові дроби, треба записати їх так, щоб кома була під комою і виконати дію.

Якщо необхідно, то можна дописати до одного з дробів нулі праворуч.

3. Множення

Множать десяткові дроби, не зважаючи на коми, а в добутку виділяють комою праворуч стільки цифр, скільки їх після коми в обох множниках разом.

4. Ділення

Щоб поділити на десятковий дріб, треба в діленому і дільнику перенести кому вправо на стільки знаків, скільки їх є в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число

Дія

Правило

Приклад

1. Додавання дробів
2. Віднімання дробів

а) з однаковими знаменниками

б) з різними знаменниками

3. Множення дробів

4. Ділення дробів

5. Піднесення дробу до степеня

Означення

Формула

Приклад

 Модулем додатного числа називают само це число, модулем від’ємного числа називають число, йому протилежне; модуль нуля дорівнює нулю:

Означення

Основні задачі на відсотки

Приклад

Відсоток – це сота часина цілого

1.                Знаходження відсотка від числа.

р% від числа а дорівнює: .

7% від числа 300 дорівнює:  

%.

2. Знаходження числа за заданою величиною його відсотка.

Якщо р% якого-небудь числа становить b, то все число до­рівнює   .

Число, 30% якого дорівнює 24:

100 = 80.

3. Знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Число а від числа b становить  · 100%.

Число 26 від числа 65 становить:

· 100% =40%.

Означення

Основна властивість пропорції

Пропорція – це рівність двох відношень

1

Різниця квадратів

2

Квадрат різниці

3

Квадрат суми

4

Різниця кубів

5

Сума кубів

6

Куб різниці

7

Куб суми

Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники

Властивості степенів

Приклад

Властивості кореня n-го степеня

Приклад

, 

Види рівнянь

Спосіб розв’язання

Приклад

1. Лінійні рівняння

Невідомі доданки перенести вліво, а відомі вправо.

Відповідь: 4.

2.Квадратні рівняння

Розв’язують за допомогою дискримінанта

Якщо

Якщо коренів немає

Якщо

Або за теоремою Вієта:

Відповідь: ; 3.

3.Рівняння з модулями

Способи розв’язання:

1. За означенням модуля

, якщо

Якщо , то рівняння коренів не має.

2. Піднесення обох частин до квадрата

3. Метод інтервалів

Відповідь: -1; 4

2)

Відповідь:4.

3)

Відповідь: -; 10.

4.Дробово- раціональні рівняння

Спосіб розв’язання:

1. Перенести всі доданки в один бік
2. Звести їх до спільного знаменника
3. До одержаного рівняння застосувати умову рівності дробу нулю
4. Знайти корені чисельника
5. Перевірити, чи не дорівнює знаменник нулю при цих значеннях невідомого
6. Записати відповідь.

Відповідь: -2,2; 6.

5.Ірраціональні рівняння –

це рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня.

Способи розв’язання:

1. За допомогою піднесення обох частин рівняння до одного степеня
2. За допомогою заміни змінних
3. За допомогою застосування властивостей функцій

При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня слід обов’язково робити перевірку одержаних коренів.

Перевірка:;

Відповідь:

6.Показникові рівняння –

це рівняння, яке містить невідоме в показнику степеня.

Зведення обох частин до однієї основи є одним з основних методів розв’язання показникових рівнянь.

Способи розв’язання найпростіших показникових рівнянь:

1. 1. Рівняння виду  ,

де рівносильне рівнянню .

2. 2. Рівняння виду

де рівносильне рівнянню .

Способи розв’язання показникових рівнянь:

1.    Винесення спільного множника за дужки
2.    Зведення показникових рівнянь до квадратних
3.    Розв’язування показникових рівнянь способом заміни змінних
4.    Однорідні показникові рівняння (розвязуються   діленням обох частин рівняння на найбільший степінь одного з видів змінних).

1)

2) , , х=5

3) , х=-2

4) .

Оскільки , то рівняння коренів не має

5) ,

,

Відповідь: 2;3.

6)

Відповідь: 1.

7)

Нехай

Відповідь: 1.

7.Логарифмічні рівняння –

це рівняння, яке містить невідоме під знаком логарифма.

Способи розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь:

1. Рівняння виду

де рівносильне рівнянню . Рівняння розв’язується за означенням логарифма.

2. Рівняння виду   рівносильне рівнянню . В таких рівняннях обов’язково треба враховувати ОДЗ або робити перевірку.

Способи розв’язання логарифмічних рівнянь:

1. 1. Потенціювання (звільнення від знаків логарифма).

2.Введення нової змінної.

2. 3. Логарифмування.

1. , ,
2. 

Відповідь: 4.

Нехай

Відповідь: 16;

8.Тригонометричні рівняння –

це рівняння, яке містить невідоме під знаком тригонометричної функції.

1) 

Якщо , то

Якщо , то

рівняння розв’язків не має.

Окремі випадки

2) 

Якщо ,  то

Якщо , то

рівняння розв’язків не має.

Окремі випадки

       3)   

4) 

1.    ;            

2.   ;      

3.    ;  

Строгі нерівності

Нестрогі нерівності

Дужки круглі ()

Точка виколота

Дужки квадратні []

Точка замальована

Види нерівностей

Спосіб розв’язання

Приклад

Лінійні нерівності

Невідомі доданки перенести вліво, а відомі вправо.

Відповідь:

Квадратні нерівності

Метод інтервалів

-2 7

Відповідь:

Метод інтервалів

1. Знайти ОДЗ
2. Знайти нулі функції:
3. Позначити нулі та ОДЗ на числовій прямій. Знайти знак на кожному проміжку
4. Записати відповідь, враховуючи знак заданої нерівності.

Означення тригонометричних функцій через прямокутний трикутник

Означення тригонометричних функцій через одиничне коло

Знаки тригонометричних функцій

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

Арифметичною прогресією називається числова послідовність, в якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те саме число.

Це число називається різницею прогресії, і позначається d.

Геометричною прогресією називається числова послідовність, в якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число.

Це число називається знаменником прогресії, і позначається q.

Пишуть. a₁, a₂, a₃, …, a_n, ….

n-ний член арифметичної прогресії обчислюється за формулою: 

a_n=a₁+d(n-1)

Нариклад у арифметичній прогресії 
1, 3, 5, 7, 9,...  a₁=1, d=2.

Сума n перших членів арифметичної прогресії: 

Пишуть. b₁, b₂, b₃, …, b_n, ….

n-ний член геометричної прогресії обчислюється за формулою: 

b_n=b₁q^n-1

Нариклад у геометричній прогресії 
2, 6, 18, 54, 162,...  b₁=2, q=3.

Сума n перших членів геометричної прогресії: 

Функція – це залежність змінної у від змінної х, коли кожному значенню х відповідає єдине значення у

Позначають функції у, у(х), f, f(x)

х – незалежна змінна (аргумент)       у – залежна змінна (функція)

Властивості функції

1. Область визначення функції D (це всі значення змінної х)

2. Множина значень функції E (це всі значення змінної у)
3. Нулі функції (це значення х, при яких функція у=0)

Щоб знайти нулі функції, треба функцію прирівняти до нуля

4. Проміжки знакосталості (проміжки монотонності)

Функція називається монотонною, якщо вона лише зростаюча або лише спадна в своїй області визначення.

5. Зростання, спадання функції

Якщо функція зростає, то більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу.

Якщо функція спадає, то більшому значенню функції відповідає менше значення аргументу.

6. Парність, непарність функції

Якщо  f(-х)= f(х), то функція є парною;

Якщо  f(-х)= -f(х), то функція є непарною;

Якщо не виконується ні одна з рівностей, то  функція є ні парною, ні непарною.

7. Періодичність функції

ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК

Означення

Властивості

Приклади

Логарифмом числа за основою називається показник степеня x, до якого треба піднести основу , щоб отримати число .

Наприклад,

Види логарифмів:

1. Десятковий – це логарифм за основою 10.
2. Натуральний – це логарифм за основою е

(е=2,7)

Основна логарифмічна тотожність

Правила диференціювання

Таблиця похідних

Невизначений інтеграл – це множина всіх первісних функції на деякому проміжку.

Позначається так: , читається „інтеграл еф від ікс по де ікс”.

Приклади:

Таблиця основних інтегралів

Властивості невизначеного інтеграла

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Визначеним інтегралом функції на інтервалі від до називається число, рівне різниці значень первісної для функції у точках та :

- деяка первісна функції на проміжку Позначається ; читається „інтеграл від до еф від ікс де ікс”

- формула Ньютона-Лейбніца

Приклади:

1)

2)

3)

Імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події, до загальної кількості n подій.

Властивості імовірності:

1. Імовірність достовірної події дорівнює 1.

2. Імовірність неможливої події дорівнює 0.

3. Імовірність будь-якої випадкової події

Комбінаторика - це розділ математики, що відповідає на питання скількома способами можна вибрати елементи певної множини, якщо вибірка задовольняє деяким властивостям.

1. Перестановкою з n елементів називається будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається.

Позначення:  .

.

   — це добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно.

2. Розміщенням з m елементів по n називається будь-яка впорядкована множина з n елементів даної множини M, яка містить m елементів, де .

Позначення: .

Порядок важливий!!!

3. Комбінацією з m елементів по n називається будь-яка підмножина з n елементів даної множини M, яка містить m елементів, де .

Позначення: .

Порядок не важливий!!!