Числові нерівності. Доведення числових нерівностей.

Тема уроку. Числові нерівності. Доведення числових нерівностей.

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту: додаткових нерівностей для суми взаємно обернених додатних чисел та середнього арифметичного двох невід'ємних чисел (у порівнянні з їх середнім геометричним) та доведення цих нерівностей; способу застосування доведених нерівностей при дове­денні інших числових нерівностей. Продовжити роботу з вироблення вмінь: відтворювати зміст вивчених понять і алгоритмів та застосовувати їх для розв'язування вправ на порівняння числових і буквених виразів, а також вправ на доведення нерівностей у найпростіших випадках і випадках, що передбачають застосування означення і перетворен­ня різниці лівої та правої частин нерівності, яку треба довести з використанням виділення квадрата двочлена.

Тип уроку: закріплення знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект.

Хід уроку

І. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Виконання вправ домашньої роботи перевіряється ретельно в учнів, що потребують додаткової педагогічної уваги (учитель збирає їхні зошити на перевірку).

Фронтальну перевірку якості виконання вправ домашньої ро­боти можна провести у формі гри «Знайди помилку».

III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

Створенню відповідної мотивації на уроці може посприяти ви­конання учнями такого завдання.

Завдання

Порівняйте два вирази, якщо відомо, що а > 0, b > 0, а різниця першого і другого виразів дорівнює:

1) ; 2) .

Після обговорення результатів, отриманих у ході виконання запропонованого вище завдання, сумісними зусиллями приходимо до висновку: порівняння виразів шляхом визначення знака різ­ниці двох виразів та застосування означення порівняння чисел можна проводити, навіть коли різниця є буквеним виразом, що містить квадрат двочлена. Вивчення цього питання і є основною дидактичною метою уроку. Завдання на урок логічно випливають із цієї мети: сформулювати загальне правило, а також навчитися застосовувати це правило для розв'язування задач на доведення нерівностей.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1. Порівняйте числа а і b, якщо:

1) а – b = -5; 2) а – b = 4,5; 3) а – b = -19,8;

4) b – а = -0,1; 5) а – b = 0.

2. Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз:

1) х² – 2х + 1;  2) т² + 10т + 25;   3) х² – 6т + 9;

4) т² – тп + п² – тп;  5) х – 2 + у (х > 0; у > 0).

3. Порівняйте з нулем значення виразу:

1) т²;  2) т² + 1; 3) (т + 1)²;  4) т² + 2тп + п² + 1.

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Доведення нерівності , а > 0, b > 0.
2. Доведення нерівності , а ≥ 0, b ≥ 0.
3. Приклади застосування доведених нерівностей.

Опорний конспект № 2

Методичний коментар

Доведення нерівностей шляхом застосування нерівностей для середнього арифметичного двох невід'ємних чисел і через порів­няння з нулем виразу, що дорівнює різниці лівої та правої частин нерівності, з попереднім виділенням квадрата двочлена з утворено­го виразу є одним із питань, які передбачені програмою з матема­тики і мають досить широке практичне застосування. Саме тому вже на даному, другому, уроці, присвяченому вивченню способів доведення нерівностей, розглядаються питання:

• про доведення нерівностей у випадку, коли різниця лівої та правої частин нерівності є виразом, що містить букви;
• про застосування для доведення нерівностей співвідношень між середнім арифметичним та середнім геометричним двох невід'ємних чисел і сумою двох взаємно обернених додатних чисел.

Для успішного сприйняття матеріалу уроку на етапі актуалі­зації опорних знань та вмінь учнів рекомендується виконати усні вправи на порівняння з нулем буквеного виразу та на повторення формул скороченого множення, зокрема квадрата двочлена (див. вище). Після розв'язання цих вправ цілком логічним є доведен­ня нерівності для суми двох додатних взаємно обернених чисел і для середнього арифметичного та середнього геометричного двох невід'ємних чисел (під час доведення акцентуємо увагу учнів на те, що при порівняння з нулем різниці лівої та правої частин не­рівності виділяємо квадрат двочлена). Також важливо звернути увагу учнів на те, що крім ілюстрації загального способу доведення нерівностей (шляхом виділення квадрата двочлена у виразі, що по­даний як різниця лівої та правої частин даної нерівності) доведені нерівності можуть бути використані як засіб доведення інших не­рівностей. Для цього розглядається приклад, що ілюструє спосіб міркувань при розв'язуванні подібних прикладів.

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1. Порівняйте числа а і b, якщо:

1) а – b = т²; 2) а – b = (m + 1)²; 3) а = ; b = ; т ≥ 0.

2. Виділіть повний квадрат у виразі:

1) b² – 2bс + с²; 2) 4b² – 4bс + с²; 3) -4b² + 4bс – с²; 4) -4b² + 4b – 2.

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1. довести нерівності (з використанням виділення квадрата дво­члена з виразу, що дорівнює різниці лівої та правої частин даної нерівності);
2. довести нерівності (з використанням доведених опорних нерів­ностей).

Методичний коментар

Відповідно до мети уроку проводиться робота для вироблення вмінь доводити нерівності з використанням означення (див. алго­ритм, складений на попередньому уроці), а також уміння засто­совувати доведені нерівності для доведення нерівностей (оскіль­ки цей матеріал вимагає від учнів достатнього та високого рівнів знань і вмінь, то обов'язковим він є тільки для учнів відповідного рівня навчальних досягнень).

VII. Підсумки уроку

Контрольні завдання

1. Заповніть пропуски:

1) т + ... > 2, т > 0;  2) , т ≥ 0, n ≥ 0.

2. Порівняйте вирази тіл, якщо:

1) т – п = а²;  2) т – п = а² + 4;

3) т – п = а² – 2а + 1;  4) т – n = а² – 2а + 2.

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити схему доведення нерівностей, розглянутих на уроці.
2. Розв'язати вправи: на доведення нерівностей, подібних до роз­глянутих на уроці.
3. Повторити властивості числових рівностей [7, табл. 4].