Числові нерівності. Властивості числових нерівностей

Тема 1 Числові нерівності. Властивості числових нерівностей. Поняття числової нерівності. Властивості числових нерівностей. Розв’язування вправ. Самостійна робота. Почленне додавання і множення числових нерівностей. Розв’язування вправ. Самостійна робота. Застосування властивостей числових нерівностей для оцінювання значення виразу

Число а=b, якщо різниця чисел а і b дорівнює нулю

Властивості числових нерівностей

Властивість 1 Доведення. Для того, щоб довести, що b < а, треба показати, що b - а < 0. З умови а > b випливає, що а - b > 0, тобто а - b — додатне число. Звідси: -(a-b) = -a + b = b-a—число від'ємне, тобто b - а < 0. Отже, b < а, за означенням. Цю властивість називають властивістю оборотності. Якщо a>b, то b

Властивість 2 Доведення. Якщо а > b, то а - b > 0; якщо b >с, то b - с> 0. Сума двох додатних чисел a-b і b-c є додатним числом: (a-b) + (b-c) = a-b + b - c = a- с > 0 Звідси випливає, що а > с. Розглянуту властивість називають властивістю транзитивності. Якщо а > b, b > с, то а > с.

Властивість 3 Доведення. Для доведення утворимо різницю чисел а + с та b + с і покажемо, що вона є додатним числом:(а + с) - (b + с) = а + с- b - с = а – b . Оскільки, за умовою, а > b , то а — b > 0. Отже, a + c > b + c. Якщо а > b та с — будь-яке число, то а + с > b + с. Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне і те саме число, то отримаємо правильну нерівність того самого смислу.

Властивість 4 Доведення. Для доведення досить показати, що ас - bс > 0.ac-bc = с(а -b); с > 0, за умовою, a — b > 0, бо а > b. Добуток двох додатних множників (с та а — b) є додатним числом: с(а - b) = ас — bс > 0. Отже, ас > bс. Якщо а>b та с > 0, то ас > bс. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне і те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність того самого смислу.

Властивість 5 Доведення. Покажемо, що ас — bс < 0.ас - bс = с(а – b); с < 0, за умовою, a — b >0, бо а > b. Добуток від'ємного (с) і додатного (а — b) чисел є від'ємним числом. Отже, с(а —b) = ac-bc < 0. Звідси: ас < bс. Якщо а > b та с < 0, то ас < bс. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне і те саме від'ємне число, то отримаємо правильну нерівність протилежного смислу.

Властивість 6 Доведення. Оскільки а > 0, b > 0, то ab > 0 і обернене число >0. Якщо а > b і >0, то з властивості 4 випливає, що. Якщо а>0, b>0 і а>b, то