Відділ освіти і науки Маневицької райдержадміністрації

 

Загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів с. Кукли

Маневицького району Волинської області

 

 

 

 

Чотирикутники та їх властивості

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З досвіду роботи

вчителя математики

Чебелюк Ірини Сергіївни

 

 

Маневичі 2019

Назва навчального видання: Чотирикутники та їх властивості

 

Тип навчально-методичного видання: посібник

 

Повна назва навчального закладу:  загальноосвітня  школа  І-ІІІ ступенів с. КуклиМаневицького району Волинської області

 

Кількість сторінок: 63

У посібнику зібрано теоретичні та практичні відомості з теми «Чотирикутники та їх властивості». Наведені приклади розв’язування задач з даної теми. Підібрані задачі для підготовки учнів до ЗНО.

Навчальний посібник рекомендований для вчителів математики 8-11 класів.

 

 

 

 

 

 

 

Розробник Чебелюк Ірина Сергіївна – вчитель математики

Рецензенти:

Лукашук В.Л., методист РМК

Хомич Н.М., директор школи

 

 

 

 

 

Навчально-методичне видання затверджено радою методичного кабінету Маневицького району Протокол №4 від 07.02.2019 р.

 

Зміст

 

1. Історичні відомості………………………………………………………………..4

2. Прямокутник………………………………………………………………………6

2.1. Задачі на властивості прямокутника………………………………………….13

3. Квадрат…………………………………………………………………………...19

4. Паралелограм…………………………………………………………………….24

4.1. Задачі на властивості паралелограма…………………………………………29

5. Ромб………………………………………………………………………………36

5.1. Задачі на кути, діагоналі, площу ромба………………………………………42

6. Трапеція…………………………………………………………………………..46

6.1. Задачі на властивості трапеції………………………………………….……..56

Список використаних джерел……………………………………….…………….63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Історичні відомості

Основою основ науково-технічного прогресу є подальший розвиток науки, зокрема математики, прикладне значення якої дуже велике. А всебічний розвиток будь-якої науки неможливий без глибокого аналізу її історії. Лейбніц застерігав, що хто хоче обмежитися сучасним без знання минулого, той ніколи не зрозуміє сучасного.

Історія математики має особливу привабливість. Задачі і теореми, доведені сотні і тисячі років тому, захоплюють нас своєю красою, витонченістю логічних міркувань так само, як захоплювали всі попередні покоління.

Перегортаючи сторінки минулого науки, ми переконуємось, що найбільші поклади математичних ідей, понять, задач містяться у практичній діяльності людини.

Найдавніші математичні тексти до нас дійшли від цивілізацій Стародавнього Сходу – Єгипту й Вавилону. У цих країнах не було великих земельних площ і господарська діяльність вимагала проведення значних робіт землевпорядкування, зокрема межування ділянок після повеней, які приносили річковий намул, що руйнував  межі наділів. Саме із практики землеробства і будівництва виникли геометричні задачі. Термінів «трикутник», «чотирикутник» ще не було. Скрізь мова йде про пряме, косе чи кругле поле. Історично, обчислення площі називалося квадратурою. Фігура, що має площу, називалася квадрованою. Площі прямокутників і трапецій обчислювали за точними правилами, площу довільного чотирикутника – наближено, як добуток півсум його протилежних сторін a, c і b, d:  .  Порівняно з єгиптянами вавилонські математики зробили крок вперед і в розвитку геометрії. Квадрат вавилоняни сприймали як абстрактну фігуру, про прямокутник говорили – «те, що має  довжину і ширину», про трапецію – «лоб бика». У задачах йшлося про обчислення елементів плоских фігур, з якими приходилося зустрічатись архітектору, будівнику, господарнику. Поряд з точними використовувались і наближені методи обчислення. Цій точності відповідає π=3.

З VІ ст. до н. е. математика починає швидко збагачуватися новими фундаментальними фактами завдяки грекам. Першими вченими Античної Греції були  Фалес Мілетський і легендарний Піфагор Самоський. Саме вони перетворили геометрію із зібрання рецептів розв’язування різних задач в абстрактну науку, що розглядала вже не площі полів, а геометричні фігури – абстракції, ідеалізації певних властивостей реальних об’єктів. У школі Піфагора зародилося вчення про правильні многокутники, зокрема чотирикутники. У V ст. до н. е. були сформульовані три знамениті задачі про квадратуру круга, подвоєння куба й трисекцію кута. За допомогою піфагорових трійок можна утворити скільки завгодно трикутників, у яких довжини сторін і площі виражаються натуральними числами. Піфагор довів теорему, в якій площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновелика сумі площ квадратів, побудованих на його катетах. У давньогрецьких математиків навіть числа називалися квадратні – n² і прямокутні – n(n+1).

В епоху еллінізму творили видатні вчені античного світу: Евклід, Архімед і Сіракуз. «Начала» Евкліда були зразком викладу наукових теорій і підручником, за яким вивчало геометрію не одне покоління. Справою життя Архімеда була математика. Він створив нові методи обчислення площ фігур, відкрив багато глибоких залежностей у  геометричних фігурах, наприклад, що площа круга, описаного навколо квадрата, вдвічі більша за площу круга, вписаного в квадрат.

Значно менших успіхів досягли індійські вчені у галузі геометрії. Великих праць з геометрії не було. Геометричний матеріал містився в астрономічних і математичних трактатах. Однак Брахмагупта (нар. 598 р.) знаходить формулу, за якою можна обчислити площу чотирикутника, вписаного в коло: . Він не застерігає, що його формула правильна тільки для чотирикутників, вписаних в коло. Але він розглядає два типи чотирикутників – рівнобедрені трапеції й чотирикутники, в яких діагоналі перетинаються під прямими кутами. Для цих чотирикутників формула точно справджується.

Прямокутник

Прямокутник– цечотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні і всі чотири кути однакові.

Прямокутники відрізняються між собою тільки співвідношенням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довшу сторону прямокутника називаютьдовжиною прямокутника, а коротшу – шириноюпрямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Основні властивості прямокутника

Прямокутником можуть бути паралелограм, ромб або квадрат.

1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:

AB = CD,   BC = AD

2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:

AB||CD,   BC||AD

3. Прилеглі сторони прямокутника завжди перпендикулярні:

AB _┴ BC,   BC _┴ CD,   CD _┴ AD,   AD _┴ AB

4. Всі чотири кути прямокутника прямі:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Діагоналі прямокутника однакової довжини:

AC = BD

7. Сума квадратів діагоналей прямокутника дорівнюють сумі квадратів сторін:

2d² = 2a² + 2b²

8. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.

9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

AO=BO=CO=DO=

10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника, а також є центром описаного кола

11. Діагональ прямокутника є діаметром описаного кола

12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, бо сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:

∠ABC = ∠CDA = 180°   ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, бо суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можна тільки в частинний випадок прямокутника - квадрат).

Сторони прямокутника (довжина і ширина прямокутника)

Означення.

Довжиною прямокутника називають довжину довшої пари його сторін. Шириною прямокутника називають довжину коротшої пари його сторін.

Формули визначення довжин сторін прямокутника

1. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діагональ та іншу сторону:

2. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через площу та іншу сторону:

3. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через периметр та іншу сторону:

4. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діаметр та кут α:

a=d sin

b=d cosα

5. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діаметр та кут β:

Діагональ прямокутника

Означення.

 Діагоналлю прямокутника називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів прямокутника.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):

2. Формула діагоналі прямокутника через площу та будь-яку сторону:

3. Формула діагоналі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:

4. Формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:

d=2R

5. Формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:

d=D_о

6. Формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, та протилежної сторони цього кута:

7. Формула діагоналі прямокутника через косинус кута, прилеглого до діагоналі, та прилеглої сторони до цього кута:

Периметр прямокутника

Означення.

Периметром прямокутниканазивається сума довжин всіх сторін прямокутника.

Формули визначення довжини периметру прямокутника

1. Формула периметру прямокутника через дві сторони прямокутника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Формула периметру прямокутника через площу та будь-яку сторону:

3. Формула периметру прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:

4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

Площа прямокутника

Означення.

 Площею прямокутника називається простір, який обмежений сторонами прямокутника, тобто в межах периметру прямокутника.

Формули визначення площі прямокутника

1. Формула площі прямокутника через дві сторони:

S = a · b

2. Формула площі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:

3. Формула площі прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:

4. Формула площі прямокутника через діагональ та синус гострого кута між діагоналями:

5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

Коло, описане навколо прямокутника

Означення.

 Колом, описаним навколо прямокутника, називається коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів прямокутника і має центр на перетині діагоналей прямокутника.

Формули визначення радіуса кола, описаного навколо прямокутника

1. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через дві сторони:

2. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через периметр квадрата та будь-яку сторону:

=

3. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через діагональ квадрату:

4. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через діаметр описаного кола:

5. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через синус кута, прилеглого до діагоналі, та протилежної сторони цього кута:

6. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через косинус кута, прилеглого до діагоналі, та прилеглої сторони цього кута:

7. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника:

Кут між стороною та діагоналлю прямокутника

Формули визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника

1. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через діагональ та сторону:

2. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через кут між діагоналями:

Кут між діагоналями прямокутника

Формули визначення кута між діагоналями прямокутника

1. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через кут між стороною та діагоналлю:

β = 2α

2. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через площу і діагональ прямокутника:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачі на властивості прямокутника

Приклад 1. У чотирикутнику діагоналі дорівнюють 8 см і 5 см.

Обчислити периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника.

Обчислення:

Нехай маємо чотирикутник ABCD, у якого AC=5 см і BD=8 см – діагоналі.

KLMN – чотирикутник, вершини якого є, відповідно, середини сторін AB, BC, CD і AD чотирикутника ABCD. 

Наголошуємо  на необхідності робити схематичні рисунки до більшості задач з геометрії. Як вчать викладачі: гарно виконаний рисунок містить половину розв'язаної задачі.

Розглянемо трикутник ABD, у якого KN сполучає середини сторін AB і AD. Звідси слідує, що KN – середня лінія трикутника ABD. Тому, за властивістю середньої лінії трикутника ABD: KN||BD і KN=BD/2=8/2=4 см. Розглянемо трикутник BCD, у якого LM сполучає середини сторін BC і CD. Звідси слідує, що LM – середня лінія трикутника BCD. Тому, за властивістю середньої лінії трикутникаBCD: LM||BD і LM=BD/2=4 см. За теоремою про паралельні прямі («якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні одна одній») отримаємо, що KN||LM.Аналогічно встановлюємо, що KL=MN=AC/2=5/2=2,5 см і KL||MN (тобто KL і MN – середні лінії трикутників ABC і ACD, відповідно). Оскільки у чотирикутника KLMN протилежні сторони паралельні (і рівні), то цей чотирикутник – паралелограм. Обчислимо його периметр:P=KL+LM+MN+KN=2(KL+LM)=2(4+2,5)=13 см.

Відповідь: 13 см – Б.

Приклад 2. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 8 см. Знайти площу прямокутника, якщо площа круга, описаного навколо нього, дорівнює 25π см²

Обчислення: Записуємо все, що нам відомо про прямокутник ABCD, BC=AD=8 см і AB=CD. 

За властивістю: діагоналі прямокутника рівні. 

Кожна діагональ прямокутника розбиває його на два рівні прямокутні трикутники (ознака рівності: «за трьома сторонами»). 

Діагональ прямокутника є гіпотенузою прямокутного трикутника. Оскільки коло описане навколо прямокутника, то ці два рівні прямокутні трикутники вписані у коло. За властивістю: гіпотенуза прямокутного трикутника, вписаного в коло є діаметром цього кола. Звідси слідує, що діагональ прямокутника BD вписаного в коло є діаметром кола 2R (BD=2R). 

Площа кола: S=πR², де R – радіус описаного навколо прямокутника кола.Звідси:25π=πR², R²=25, тому R=5 см. Отже, BD=2•R=10 см.Розглянемо прямокутний трикутник ABD (∠BAD=90⁰). За теоремою Піфагора знайдемо катет AB(BD=10 см – гіпотенуза, AD=8 см– катет):

Знайдемо площу прямокутника зі сторонамиAD=8 сміAB=6 см: S_ABCD=AB•AD=6•8=48 см². 

Відповідь: 48 см² – Б.

Приклад 3.У прямокутнику ABCDточкаO– точка перетину діагоналей, ∠BOC=108⁰. 

Знайти ∠ABD.

Обчислення: Нехай маємо прямокутник ABCD, AC=BD – діагоналі, ∠BOC=108, де O – точка перетину діагоналей AC і BD. 

Оскільки будь-який прямокутник – це паралелограм, то за властивістю:AO=CO і BO=DO. А так як, за властивістю, у прямокутника діагоналі рівні, то AO=CO=BO=DO. 

Розглянемо трикутник BOC, у якого ∠BOC=108⁰і BO=CO. 

Звідси слідує, що трикутник BOC – рівнобедрений з основою BC і бічними сторонами BO, CO. 

Тому  (за теоремою про суму кутів трикутника). Оскільки BO є половина діагоналі BD, то ∠DBC=∠OBC=36⁰. У прямокутника ABCD маємо: ∠DBC+∠ABD=90⁰, звідси слідує, що∠ABD=90⁰-∠DBC=90⁰-36⁰=54⁰.

Відповідь: 54⁰ – Г.

Приклад 4. Діагоналі прямокутника утворюють кут 50⁰. 

Знайти кут між діагоналлю прямокутника та бісектрисою кута, проведеними з однієї вершини. 

Обчислення: У прямокутнику маємо наступні позначення: AC=BD – діагоналі, ∠COD=50⁰, де O – точка перетину діагоналей AC і BD.

Оскільки будь-який прямокутник – це паралелограм, то за властивістю маємо: AO=CO і BO=DO. 

А так як, за властивістю, у прямокутника діагоналі рівні, то AO=CO=BO=DO. 

Знайдемо ∠AOD за теоремою про суму суміжних кутів∠CODі∠AOD:∠COD+∠AOD=180⁰, звідси ∠AOD=180⁰-∠COD=180⁰-50⁰=130⁰. 

Розглянемо трикутник AOD. У нього ∠AOD=130⁰і AO=DO. Звідси слідує, що трикутник AOD – рівнобедрений з основою AD, тому ∠CAD=∠OAD як кути при основі AD рівнобедреного трикутника AOD. За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо кути при основі AD трикутника AOD: 

звідси ∠CAD=∠OAD=25⁰. 

Оскільки AL – бісектриса кута A, а ∠A=90⁰  (за означенням прямокутника), то 

Знайдемо ∠LAC – кут між бісектрисою ALі діагоналлюACпрямокутникаABCD, які проведені з кута A: 

∠LAC=∠LAD-∠CAD=45⁰-25⁰=20⁰, отже ∠LAC=20⁰. 

Відповідь: 20⁰ – Д.

Приклад 5. Перпендикуляр, проведений з вершини прямокутника на діагональ, дорівнює 12 і поділяє діагональ на відрізки, різниця яких дорівнює 7. 

Знайти площу прямокутника.

Обчислення: Задано прямокутник ABCD, AC– діагональ, BH⊥AD, BH=12.

Введемо позначення: AH=b і HC=a, (тут AC=a+b), тоді за умовою задачі a-b=7 (*).

І – спосіб (важчий!):

Із прямокутного трикутника ABH (∠AHB=90⁰)запишемо гіпотенузу AB:

Із прямокутного трикутника BCH (∠BHC=90)запишемо гіпотенузу

Площу прямокутника можна обчислити: 

1) за двома її сторонами, тобтоS[ABCD]=AB•BC, тобто

2) як суму площ прямокутних трикутників ABC і ADC. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні (за властивістю), то ΔABC=ΔADC, звідси 

звідси S[ABCD]=12(a+b). 

Прирівняємо отримані вирази для обчислення площі прямокутника ABCD: 

 (**). 

Отримали два рівняння (*) і (**) з двома невідомими a і b: 

b1=b2=-16<0 (не задовольняє умові задачі), b3=b4=9. 

Отже, b=9 і a=16. 

Звідси AC=16+9=25. 

Обчислимо площу прямокутника ABCD:S[ABCD]=12•25=300.

ІІ – спосіб (легший!):

Обчислення: Нехай нам відомо наступне: 

∠BAH=alpha, тоді ∠BAH=90-alpha (∠AHB=90 за умовою задачі). 

Оскільки ∠ABC=90 (за означенням прямокутника ABCD), то∠CBH=90^о-∠ABH=90^о-(90^о-)=. 

Отже , ∠BAH=∠CBH. 

Розглянемо два прямокутні трикутники ABH і BCH зі спільним катетом BH=12. Оскільки ∠BAH=∠CBH, то звідси випливає, що ці трикутники подібні (ознака подібності: «за рівним гострим кутом»). Тому маємо 

a•b=12•12=144 (**). 

Отримали два рівняння (*) і (**) з двома невідомими a і b:

Другий корінь квадратного рівняння не задовольняє умову задачі. 

Отже, b=9 і a=16. 

Звідси AC=9+16=25. 

Обчислимо площу прямокутника: 

S[ABCD]=12(a+b)=12•25=300.

Відповідь: 300.

 

 

 

 

 

 

 

Квадрат

Квадрат– цечотирикутник, у якого всі чотири сторони та кути однакові. Квадрати відрізняються між собою тільки довжиною сторони, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90°.

Основні властивості квадрату

Квадратом також можуть бути паралелограм, ромб або прямокутник якщо вони мають однакові довжини діагоналей, сторін та однакові кути.

1. Всі чотири сторони квадрата мають однакову довжину, тобто вони рівні:

AB = BC = CD = AD

2. Протилежні сторони квадрата паралельні:

AB||CD,   BC||AD

3. Всі чотири кути квадрата прямі:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сума кутів квадрата дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Діагоналі квадрата мають однакові довжини:

AC = BD

6. Кожна діагональ квадрата ділить квадрат на дві однакові симетричні фігури

7. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і розділяють одна одну навпіл:

ACBD AO=BO=CO=DO=

8. Точка перетину діагоналей називається центром квадрата і також є центром вписаного та описаного кола

9. Кожна діагональ ділить кут квадрата навпіл, тобто вони є бісектрисами кутів квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD

∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обидві діагоналі розділяють квадрат на чотири рівні трикутника, до того ж ці трикутники одночасно і рівнобедрені, і прямокутні:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Діагональ квадрата

Означення.

Діагоналлю квадрата називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів квадрата.

Діагональ будь-якого квадрату завжди більша за його сторону в √2 раз.

Формули визначення довжини діагоналі квадрата

1. Формула діагоналі квадрата через сторону квадрата:

d = a·

2. Формула діагоналі квадрата через площу квадрата:

d =

3. Формула діагоналі квадрата через периметр квадрата:

4. Формула діагоналі квадрата через радіус описаного кола:

d = 2R

5. Формула діагоналі квадрата через діаметр описаного кола:

d = D_о

6. Формула діагоналі квадрата через радіус вписаного кола:

7. Формула діагоналі квадрата через діаметр вписаного кола:

Периметр квадрата

Означення.

Периметром квадрата називається сума довжин всіх сторін квадрата.

Формули визначення довжини периметра квадрата

1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:

P = 4a

2. Формула периметра квадрата через площу квадрата:

P = 4

3. Формула периметра квадрата через діагональ квадрата:

P = 2d

4. Формула периметра квадрата через радіус описаного кола:

P = 4R

5. Формула периметра квадрата через діаметр описаного кола:

P = 2D_о

6. Формула периметра квадрата через радіус вписаного кола:

P = 8r

7. Формула периметра квадрата через діаметр вписаного кола:

P = 4D_в

Площа квадрата

Означення.

Площею квадрата називається простір, який обмежений сторонами квадрата, тобто в межах периметру квадрата.

Площа квадрата більша площі будь-якого чотирикутника з таким же периметром.

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата через сторону квадрата:

S =a²

2. Формула площі квадрата через периметр квадрата:

3. Формула площі квадрата через діагональ квадрата:

4. Формула площі квадрата через радіус описаного кола:

S = 2R²

5. Формула площі квадрата через діаметр описаного кола:

6. Формула площі квадрата через радіус вписаного кола:

S = 4r²

7. Формула площі квадрата через діаметр вписаного кола:

S = D_в²

Коло, описане навколо квадрата

Означення.

Колом, описаним навколо квадрата, називається таке коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.Радіус кола, описаного навколо квадрата, завжди більший за радіус вписаного кола вразів.Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині діагоналі.Площа круга, описаного навколо квадрата, більша площі того  квадрата в π/2 раз.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо квадрата

1. Формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через сторону квадрата:

2. Формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через периметр квадрата:

3. Формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через площу квадрата:

4. Формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діагональ квадрата:

5. Формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діаметр описаного кола:

6. Формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через радіус вписаного кола:

7. Формула радіуса кола описаного навколо квадрата через діаметр вписаного кола:

Коло, вписане в квадрат

Означення.

Колом, вписаним в квадрат, називається коло, яке дотикається до середин сторін квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.Площа круга, вписаного в квадрат, менша площі квадрата в π/4 рази.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в квадрат

1. Формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через сторону квадрата:

2. Формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діагональ квадрата:

3. Формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через периметр квадрата:

4. Формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через площу квадрата:

5. Формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через радіус описаного кола:

6. Формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр описаного кола:

7 Формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр вписаного кола:

Паралелограм

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні (лежать на паралельних прямих).

Паралелограми відрізняються між собою як розміром прилеглих сторін, так і кутами, проте протилежні кути однакові.

Рис.1		Рис.2

Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD буде паралелограмом, якщо виконується хоча б одна з наступних умов:

1. Чотирикутник має дві пари паралельних сторін:

AB||CD, BC||AD

2. Чотирикутник має пару паралельних та рівних сторін:

AB||CD, AB = CD (або BC||AD, BC = AD)

3. В чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні:

AB = CD, BC = AD

4. В чотирикутнику протилежні кути попарно рівні:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл:

AO = OC, BO = OD

6. Сума кутів чотирикутника прилеглих до будь-якої сторони дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

7. В чотирикутнику сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Основні властивості паралелограма

Квадрат, прямокутник та ромб - є паралелограмом.

1. Протилежні сторони паралелограма мають однакову довжину:

AB = CD, BC = AD

2. Протилежні сторони паралелограма паралельні:

AB||CD,   BC||AD

3. Протилежні кути паралелограма однакові:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сума кутів паралелограма дорівнює 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сума кутів паралелограма прилеглих до будь-якої сторони дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Кожна діагональ ділить паралелограма на два рівних трикутника

7. Дві діагоналі ділять паралелограм на дві пари рівних трикутників

8. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину розділяють одна одну навпіл:

AO=CO=

BO=DO=

9. Точка перетину діагоналей називається центром симетрії паралелограма

10. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін:

AC² + BD² = 2AB² + 2BC²

11. Бісектриси протилежних кутів паралелограма завжди паралельні

12. Бісектриси сусідніх кутів паралелограма завжди перетинаються під прямим кутом (90°)

Сторони паралелограма

Формули визначення довжин сторін паралелограма:

1. Формула сторін паралелограма через діагоналі та кут між ними:

2. Формула сторін паралелограма через діагоналі та іншу сторону:

3. Формула сторін паралелограма через висоту та синус кута:

4. Формула сторін паралелограма через площу та висоту:

Діагоналі паралелограма

Означення.

 Діагоналлю паралелограма називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів паралелограма.

Паралелограм має дві діагоналі - довшу, нехай будеd₁, та коротшу - d₂

Формули визначення довжини діагоналі паралелограма:

1. Формули діагоналей паралелограма через сторони та косинус кута β (за теоремою косинусів)

2. Формули діагоналей паралелограма через сторони та косинус кута α (за теоремою косинусів)

3. Формула діагоналі паралелограма через дві сторони та відому іншу діагональ:

4. Формула діагоналі паралелограма через площу, відому діагональ та кут між діагоналями:

Периметр паралелограма

Означення.

Периметром паралелограманазивається сума довжин всіх сторін паралелограма.

Формули визначення довжини периметру паралелограма:

1. Формула периметру паралелограма через сторони паралелограма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметру паралелограма через одну сторону та дві діагоналі: 

3. Формула периметру паралелограма через одну сторону, висоту та синус кута:

Площа паралелограма

Означення.

 Площею паралелограма називається простір, який обмежений сторонами паралелограма, тобто в межах периметру паралелограма.

Формули визначення площі паралелограма:

1. Формула площі паралелограма через сторону та висоту, проведену до цієї сторони:

2. Формула площі паралелограма через дві сторони та синус кута між ними: 

S = ab sinα

S = ab sinβ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачі на властивості паралелограма

Приклад 1. Сума кутів паралелограма дорівнює 130⁰. 

Знайти найбільший кут паралелограма. 

Обчислення: Нехай маємо паралелограм з кутами α і β. 

За властивістю паралелограма: протилежні кути у нього рівні, також сума сусідніх кутів дорівнює 180⁰ градусів 

(звідси робимо висновок, що тільки протилежні кути паралелограма можуть в сумі давати 130^о). 

Тому маємо α+β=180⁰,за умовою задачі α+α=130⁰, тобто α=130⁰/2=65⁰. β=180⁰-α=180⁰-65⁰=115⁰– найбільший кут паралелограма. 

Відповідь: 115⁰ – Г.

Приклад 2. Периметр паралелограма дорівнює 84 см, а сума двох його сторін – 58 см. 

Знайти меншу сторону паралелограма. 

Обчислення: Намалюємо паралелограм зі сторонами a і b. 

За властивістю паралелограма: протилежні сторони у нього рівні. 

Оскільки периметр паралелограма – це сума всіх сторін, то маємо2(a+b)=84, або a+b=42.

Звідси видно, що сума сусідніх сторін НЕ може дорівнювати 58 см, тому a+a=58, звідси a=29 см b=42-a=42-29=13 см – менша сторона паралелограма. 

Відповідь: 13см – Д.

Приклад 3. Бісектриса гострого кута паралелограма поділяє сторону на відрізки завдовжки 7 см і 10 см, починаючи від вершини тупого кута. 

Знайти периметр паралелограма.

Обчислення: Нехай маємо паралелограм ABCD, AB||DC і AD||BC, AK – бісектриса.

За умовою: BK=7 см, RC=10 см, тому маємо BC=BK+KC=7+10=17 см. 

За властивістю паралелограма:AD=BC=17 см.Оскільки AK – бісектриса, то ∠BAK=∠KAD. За ознакою паралельності прямих (AD||BC), як перетнуті січною AK, маємо ∠AKB=∠KAD. 

Тому ∠BAK=∠AKB. Звідси слідує (за теоремою), що ΔABK– рівнобедрений з основою AK і бічними сторонами AB і BK, тому (за означенням) AB=BK=7 см.За властивістю паралелограма: CD=AB=7 см. 

Знайдемо периметр паралелограма (сума всіх його сторін):P=AB+BC+CD+AD=2(AB+BC)=2(7+17)=48 см.

Відповідь: 48 см – А.

Приклад 4.Сторони паралелограма дорівнюють 18 см і 30 см, а висота, яка проведена до більшої сторони, - 6 см. Знайти іншу висоту паралелограма. 

Обчислення: Виконаємо побудову паралелограма у якого AB||DC і AD||BC, CK ⊥AB, AH ⊥BC, де CK і AH – висоти паралелограма, опущені на сторони AB і BC, відповідно. 

За умовою: AB=30 см, BC=18 см, CK=6 см 

Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до неї. 

Обчислимо площу паралелограма ABCD: S[ABCD]=AB•CK=30•6=180 cм² 

Але площу паралелограма можна обчислити також за формулою: S[ABCD]=BC•AH, звідси 

 

Відповідь: 10 см – А.

Приклад 5.Висоти паралелограма дорівнюють h₁ і h₂, а кут між ними – α. 

Визначити площу паралелограма. 

Обчислення: Нехай маємо паралелограм ABCD, AB||CD і AD||BC, BM⊥AD, BN⊥CD, де BM і BN – висоти паралелограма, опущені на сторони AD і CD, відповідно. 

∠MBN=α (за умовою), тоді ∠NBC=90⁰-α, оскільки BM⊥BC. 

Розглянемо прямокутний трикутник BNC (∠BNC=90⁰). 

У нього ∠BNC=(90⁰-α), BN=h₂ – прилеглий катет до ∠NBC, знайдемо гіпотенузу BC за означенням косинуса гострого кута, причому cos(90⁰-α)=sin α: 

, звідси

 
За властивістю паралелограма (протилежні сторони рівні), маємо: 

AD=BC=h2/sin α. 

Знайдемо площу паралелограма: 

Відповідь: h1•h2/sin α– Б.

Приклад 6. Одна з діагоналей паралелограма дорівнює d і поділяє його гострий кут на кути  і β. 

Визначити площу паралелограма.

Обчислення: Записуємо дані з умови та з властивостей паралелограма AB||CD і AD||BC, AC=d, ∠BAC=α, ∠CAD=β, де AC – діагональ паралелограма. 

Тоді ∠A=∠BAC+∠CAD=, α+ β,оскільки сума сусідніх кутів паралелограма 180⁰ (за властивістю), то ∠B=180⁰-∠A=180⁰-(α+ β). 

∠ACB=∠ACD= β ,як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB, CD і січній AC (за властивістю). 

Розглянемо трикутник ABC, у якого AC=d і ∠BAC=α,∠ABC=180⁰-(α+β). ∠ACB=β.

За теоремою синусів знайдемо сторони AB і BC: 

Знайдемо площу паралелограма (за двома сторонами і кутом між ними): 

Тут була використана формула зведення для синуса гострого кута: 

Відповідь:  – Г.

Приклад 7. Периметр паралелограма більший від однієї з його сторін на 23 см і більший на 19 см від іншої його сторони. 

Знайти периметр паралелограма.

Обчислення: Побудуємо паралелограм зі сторонами a см і b см. 

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні (за властивістю), то його периметр визначаємо через подвоєну суму сусідніх сторін:P=2a+2b. 

За умовою задачі, маємо: 2a+2b-a=23 (*) і 2a+2b-b=19 (**). 

Отримали систему двох рівнянь з двома невідомими: 

звідси b=9 і a=5. 

Знаючи сторони, без проблем знаходимо периметр паралелограма за формулою:P=2a+2b=2•5+2•9=28 см

Відповідь: 28 см – Б.

Приклад 8. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 5 см. Установити відповідність між величинами гострих кутів (1–4) паралелограмів і їх площами (А – Д).

 

Обчислення: Нехай маємо паралелограм зі сторонами a=12 см, b=5 см і кутом між ними . 

Запишемо формулу площі паралелограма за сторонами та кутом між ними:S=a•b•sin(). 

Знайдемо площу паралелограма для заданого кута :

Приклад 9. Одна з діагоналей паралелограма дорівнює 6 і утворює зі стороною паралелограма кут 60⁰. 

Знайти іншу діагональ, якщо вона утворює з тією ж стороною кут 45⁰.

Обчислення: Маємо паралелограм ABCD, AB||CD і AD||BC, AC=6 , ∠CAD=60⁰, ∠BDA=45⁰, де AC і BD – діагоналі паралелограма, які перетинаються в точці O.

Тоді, за властивістю паралелограма

 

Розглянемо трикутник AOD, у якого 

За теоремою синусів знайдемо сторону OD: 

Знайдемо діагональ BD паралелограма ABCD: оскільки BO=OD=BD/2=9, то BD=2•OD=2•9=18. 

Відповідь: 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ромб

Ромб — це паралелограм, який має рівні сторони. Якщо у ромба всі кути прямі, тоді він називається квадратом.

Ромби відрізняються між собою за сторонами та кутами.

Ознаки ромба

 

 

 

 

Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна із наступних умов:

1. Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні):

АВ = ВС = СD = AD

2. Його діагоналі перетинаються під прямим кутом:

AC┴BD

3. Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:

∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC

4. Якщо всі висоти рівні:

BN = DL = BM = DK

5. Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Якщо в паралелограм можна вписати коло.

Основні властивості ромба

1. Має всі властивості паралелограма

2. Діагоналі перпендикулярні:

AC┴BD

3. Діагоналі є бісектрисами кутів ромба:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сума квадратів діагоналей рівна квадрату сторони, помноженому на чотири:

AC² + BD² = 4AB²

5. Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.

6. В будь-який ромб можна вписати коло.

7. Центром кола, вписаного в ромб, буде точка перетину його діагоналей.

Сторона ромба

Формули визначення довжини сторони ромба:

1. Формула сторони ромба через площу і висоту:

2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:

3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:

4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:

5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (cos α) або косинус тупого кута (cos β):

6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:

7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:

8. Формула сторони ромба через периметр:

Діагоналі ромба

Означення.

Діагональ ромба - це довільний відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.

Ромб має дві діагоналі - більшу d₁, та меншу - d₂

Формули визначення довжини діагоналі ромба:

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d₁ = 2a · cos(α/2)

d₁ = 2a · sin(β/2)

4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d₂ = 2a · sin(α/2)

d₂ = 2a · cos(β/2)

5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:

6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:

d₁ = d₂ · tg(β/2)

d₂ = d₁ · tg(α/2)

7. Формули діагоналей через площу і другу діагональ:

8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:

Периметр ромба

Означення.

 Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.

Довжину сторони ромба можна знайти за формулами, вказаними вище.

Формула визначення довжини периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площа ромба

Означення.

 Площа ромба - це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.

Формули визначення площі ромба:

1. Формула площі ромба через сторону і висоту:

S = a · h_a

2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута: 

S = a² · sinα

3. Формула площі ромба через сторону і радіус: 

S = 2а r

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:

6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):

Коло, вписане у ромб

Означення.

 Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб:

1. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:

2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:

3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:

4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:

5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:

6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:

7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачі на кути, діагоналі, площу ромба

Приклад 1. Діагональ ромба утворює з однією зі сторін кут, що дорівнює 54 градуси. Знайти менший кут ромба. 

Обчислення: Вводимо прості позначення, характерні для ромба ABCD, O – точка перетину діагоналей AC і BD, ∠ACB=54 – кут між діагоналлю AC і стороною BC у ромбі ABCD. 

За властивістю: діагоналі ромба є бісектрисою його кутів, маємо∠ACB=54, тому ∠C=54+54=108. Оскільки кожен ромб – це паралелограм, то протилежні кути ромба рівні, а сума сусідніх кутів дорівнює 180⁰. Тому ∠A=∠C=108, ∠B+∠C=180, звідси∠B=180-∠C=180-108=72. 
Отже, ∠A=∠B=72– менший кут ромба. 

Відповідь: 72⁰ – В.

Приклад 2. Одна з діагоналей ромба дорівнює 30 см. Знайти іншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 68 см.

Обчислення: Нехай маємо ромб ABCD, AC і BD=30 см – діагоналі ромба,P_ABCD=68 см – периметр ромба.
Оскільки ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні, то 
.

За властивістю паралелограма (діагоналі в точці перетину діляться навпіл):BO=OD=30/2=15см, а такожAO=OC.За властивістю ромба (діагоналі перетинаються під прямим кутом) маємо AC⊥BD, томуAO⊥OB, тобто∠AOB=90. У прямокутному трикутнику AOB (∠AOB=90) відомо: BO=15 см – катет, AB=17см – гіпотенуза.

За теоремою Піфагора теоремою знайдемо катет АО:

Звідси, AC=2AO=2•8=16 см – друга діагональ ромба.

Відповідь: 16 см - Г.

Приклад 3.Сторона ромба дорівнює 6 см, а його площа – 18 см2. Знайти найбільший кут ромба.

Обчислення: Нехай маємо ромб зі стороною a=6 см (у нього всі сторони рівні), площею S=18 см². 

Площа ромба (як і будь-якого паралелограма) обчислюється за формулою:S=•sin, де – кутміж сторонами ромба. 

Отже, 18=6^2• sin(alpha), звідси sin(alpha)=18/36=1/2.
Оскільки 0<alpha<180, то alpha[1]=30 і alpha[2]=180-30=150, так як sin(alpha)= sin(180-alpha). 

Звідси, alpha=150 – найбільший кут ромба. 

Відповідь: 150⁰ - Д.

Приклад 4. У ромбі ABCD більша діагональ AC поділяє висоту BK на відрізки BM=5 см і MK=3 см.

Знайти площу ромба.

Обчислення: Нехай маємо ромб ABCD, BM=5 см і MK=3см, BK=BM+MK=5+3=8 см, де BK– висота ромба, опущена на сторону AD (BK⊥AD), AC– діагональ ромба. 

Розглянемо прямокутні трикутникиAKM (∠AKM=90)іCBM (∠CBM=90).∠AMK=∠CMB(як вертикальні),∠MAK=∠MCB(як внутрішні різносторонні кути при перетині січною АCпаралельних прямихADіBC).

Звідси слідує, що ΔAKM~ΔCBM (подібні за трьома кутами) і тому їх сторони подібні.

Отже, AK=3k і BC=5k, де k – коефіцієнт пропорційності. 

Оскільки, за означенням, у ромба всі сторони рівні, то AB=BC=CD=AD=5k. 

Розглянемо прямокутний трикутник AKB (∠AKB=90), у якого BK=8 см, AK=3k – катети, AB=5k – гіпотенуза. 

За теоремою Піфагора запишемо рівність:звідси k=2. Отже, AD=5•2=10 см. Знайдемо площу ромба: S=BK•AD=8•10=80 см². 

Відповідь: 80 см^2 – Б.

Приклад 5. Діагональ ромба утворює зі стороною кут 60⁰.

Установити відповідність між довжинами сторін (1–4) ромба і площами (А–Д) прямокутників з вершинами на серединах сторін ромба.

Обчислення: Нехай маємо ромб ABCD, AB=BC=CD=AD=a см – сторони ромба (за означенням сторони ромба рівні).KLMN – прямокутник з вершинами на серединах сторін ромба ABCD.

Оскільки сторони ромба рівні, то ΔABD – рівнобедрений, тому ∠ADB=∠ABD=60. Із суми кутів трикутника слідує, що ∠BAD=60.Отже, ΔABD – рівносторонній, звідси BD=a см. 

Так як відрізок KN з'єднує середини сторін AB і АD відповідно, то KN – середня лінія ΔABD, тому KN=LM=a/2 см. У прямокутному трикутнику NPD (∠NPD=90) маємо: ND=a/2 і ∠NDP=60. За означенням синуса гострого кута знайдемо катет NP: Маємо  (оскільки діагональ BD ділить MN відрізок навпіл). Отже, KN=a/2 см – ширина і  – довжина прямокутника KLMN. Площа прямокутника KLMN: . На основі формули знаходимо площі ромбів та записуємо увідповіді:

Приклад 6.Установити відповідність між фігурами (1–4) та їхніми характерними властивостями (А–Д). 

1. Описаний навколо кола чотирикутник 

2. Вписаний у коло чотирикутник 

3. Паралелограм 

4. Ромб 

А. Сума протилежних кутів дорівнює 180⁰. 

Б. Діагоналі рівні. 

В. Суми протилежних сторін рівні. 

Г. Сума кутів при одній стороні дорівнює 180⁰. 

Д. Діагоналі є бісектрисами кутів.

Обчислення: Дані висновки ґрунтуються виключно на властивостях чотирикутників і вимагають детальних пояснень.Для себе запам'ятайте наступні відповіді, вони перевірені та правильні.1 – В, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

 

 

 

 

 

 

Трапеція

Трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони називаються основами трапеції, а дві інші боковими сторонами

Також, трапецією називається чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна, але сторони не рівні між собою.

Елементи трапеції:

• Основи трапеції - паралельні сторони
• Бокові сторони - дві інші сторони
• Середня лінія - відрізок, що з'єднує середини бокових сторін.

Види трапецій:

• Рівнобедрена трапеція - трапеція, у якої бокові сторони рівні
• Прямокутна трапеція - трапеція, у якої одна із бокових сторін перпендикулярна основам.

Основні властивості трапеції

1. В трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основи рівна сумі довжин бокових сторін:

AB + CD = BC + AD

2. Середня лінія трапеції розділяє навпіл будь-який відрізок, який з'єднує основи а також ділить навпіл діагоналі:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Середня лінія трапеції паралельна основам і рівна їх півсумі: 

4. Точка перетину діагоналей трапеції і середини основ лежать на одній прямій.

5. В трапеції бокову сторону видно із центра вписаного кола під кутом 90°.

6. Кожна діагональ в точці перетину ділиться на дві частини з таким співвідношенням довжини, як співвідношення між основами:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Діагоналі трапеції d₁ і d₂ пов'язані зі сторонами співвідношенням:

d₁² + d₂² = 2ab + c² + d²

Сторони трапеції

Формули визначення довжин сторін трапеції:

1. Формула довжини основ трапеції через середню лінію та іншу основу:

a = 2m - b

b = 2m - a

2. Формули довжин основ через висоту та кути при нижній основі:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a - h · (ctg α + ctg β)

3. Формули довжини основ через бокові сторони та кути при нижній основі:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a - c·cos α - d·cos β

4. Формули бокових сторін через висоту та кути при нижній основі: 

 

Середня лінія трапеції

Означення.

Середня лінія - відрізок, що з'єднує середини бокових сторін трапеції.

Формули визначення довжини середньої лінії трапеції:

1. Формула визначення довжини середньої лінії через довжини основ:

2. Формула визначення довжин середньої лінії через площу та висоту:

Висота трапеції

Формули визначення довжин висоти трапеції:

1. Формула висоти через сторону та прилеглий кут при основі:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула висоти через діагоналі та кути між ними:

3. Формула висоти через діагоналі, кути між ними та середню лінію:

4. Формула висоти трапеції через площу та довжини основ:

5. Формула висоти трапеції через площу та довжину середньої лінії:

Діагоналі трапеції

Формули визначення довжин діагоналей трапеції:

1. Формули діагоналей за теоремою косинусів:

2. Формули діагоналей через чотири сторони:

  

3. Формула довжини діагоналей через висоту:

4. Формула довжини діагоналей через суму квадратів діагоналей:

Площа трапеції

Формули визначення площі трапеції:

1. Формула площі через основи та висоту:

2. Формула площі через середню лінію та висоту:

S = m · h

3. Формула площі через діагоналі та кут між ними:

Формула Герона для трапеції:

де

– півпериметр трапеції

Периметр трапеції

Формула визначення периметра трапеції:

1. Формула периметра через основи:

P = a + b + c + d

Описане коло навколо трапеції

Коло можна описати лише навколо рівнобедреної трапеції!!!

Формула визначення радіуса описаної навколо трапеції кола:

1. Формула радіуса через сторони та діагональ:

де

a - більша основа

Вписане коло в трапецію

В трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основ рівна сумі довжин бокових сторін:

a + b = c + d

Формула визначення радіуса вписаного в трапецію кола:

1. Формула радіуса вписаного кола через висоту:

Інші відрізки різносторонньої трапеції

Формули визначення довжин відрізків, що проходять через трапецію:

1. Формула визначення довжин відрізків, що проходять через трапецію:

KL=NL=  KN=ML=  TO=OQ=

Рівнобічна трапеція — це трапеція, у якої бокові сторони рівні.

На цій сторінці представлені формули, що характерні рівнобічній трапеції. Не забувайте, що для рівнобічної трапеції виконуються всі формули та властивості трапеції.

Ознаки рівнобічної трапеції

Трапеція буде рівнобічною, якщо виконується одна із цих умов:

1. Кути при основі рівні:

∠ABC = ∠BCD і ∠BAD = ∠ADC

2. Діагоналі рівні:

AC = BD

3. Однакові кути між діагоналями і основами:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сума протилежних кутів дорівнює 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° і∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Навколо трапеції можна описати коло

Основні властивості рівнобічної трапеції

1. Сума кутів прилеглих до бокової сторони рівнобічної трапеції дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° і ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Якщо в рівнобічну трапецію можна вписати коло, то бокова сторона дорівнює середній лінії трапеції:

AB = CD = m

3. Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло

4. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то висота дорівнює півсумі основ (середній лінії):

h = m

5. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то площа трапеції дорівнює квадрату висоти:

S_ABCD = h²

6. Якщо в рівнобічну трапецію можна вписати коло, то квадрат висоти рівний добутку основ трапеції:

h² = BC · AD

7. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів бокових сторін плюс подвоєному добутку основ трапеції:

AC² + BD² = AB² + CD² + 2BC · AD

8. Пряма, що проходить через середини основ, перпендикулярна основам і являється віссю симетрії трапеції:

HF ┴ BC ┴ AD

9. Висота (CP), опущена із вершини (C) на більшу основу (AD), ділить її на більший відрізок (AP), який дорівнює півсумі основ та менший (PD) - дорівнює піврізниці основ:

   Сторони рівнобічної трапеції

Формули довжин сторін рівнобічної трапеції:

1. Формули довжин сторін через інші сторони, висоту та кут:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a - 2h ctg α = a - 2c cos α

2. Формула довжини сторін трапеції через діагоналі та інші сторони:

   

3. Формули довжини основ через площу, висоту та іншу основу:

  

4. Формули довжини бокової сторони через площу, середню лінію та кут при основі:

5. Формули довжини бокової сторони через площу, основи та кут при основі:

Середня лінія рівнобічної трапеції

Формули довжини середньої лінії рівнобічної трапеції:

1. Формула визначення довжини середньої лінії через основи, висоту та кут при основі:

m = a - h ctg α = b + h ctg α = a -  = b +

2. Формула середньої лінії трапеції через площу та сторону:

Висота рівнобічної трапеції

Формули визначення довжини висоти рівнобічної трапеції:

1. Формула висоти через сторони:

2. Формула висоти через сторони та кут прилеглий до основи:

Діагоналі рівнобічної трапеції

Діагоналі рівнобічної трапеції рівні:

d₁ = d₂

Формула довжини діагоналей рівнобічної трапеції:

1. Формула довжини діагоналі через сторони:

d₁ =

2. Формули довжини діагоналі по теоремі косинусів:

3. Формула довжини діагоналі через висоту та середню лінію:

4. Формула довжини діагоналі через висоту та основи:

Площа рівнобічної трапеції

Формули площі рівнобічної трапеції:

1. Формула площі через сторони:

2. Формула площі через сторони та кут:

S = (b + c cos α) c sin α = (a - c cos α) c sin α

3. Формула площі через радіус вписаного кола та кут між основою та боковою стороною:

4. Формула площі через основи та кут між основою та боковою стороною:

5. Формула площі рівнобічної трапеції, в яку можна вписати коло:

S = (a + b) · r = ·c = ·m

6. Формула площі через діагоналі та кут між ними:

7. Формула площі через середню лінію, бокову сторону та кут при основі:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площі через основи та висоту:

Коло описане навколо трапеції

Коло можна описати лише навколо рівнобічної трапеції!!!

Формула радіуса описаного навколо трапеції кола:

1. Формула радіуса через сторони та діагональ:

де

a - більша основа

Прямокутна трапеція — це трапеція, у якої одна із бокових сторін перпендикулярна основам.

Рис.1

Ознаки прямокутної трапеції

Трапеція буде прямокутною, якщо виконується одна із цих умов:

1. В трапеції є два суміжних прямих кута:

∠BAD = 90° и ∠ABC = 90°

2. Одна бокова сторона перпендикулярна основам:

AB ┴ BC, AB ┴ AD

Основні властивості прямокутної трапеції

1. В трапеції є два суміжних прямих кута:

∠BAD = ∠ABC = 90°

2. Одна бокова сторона перпендикулярна основам:

AB ┴ BC ┴ AD

3. Висота рівна меншій боковій стороні:

h = AB

Сторони прямокутної трапеції

Формули довжин сторін прямокутної трапеції:

1. Формули довжин основ через сторони і кут при нижній основі:

a = b + d cos α = b + c ctg α = b +

b = a - d cos α = a - c ctg α = a -

2. Формули довжин основ через сторони, діагоналі та кут між ними:

3. Формули довжин основ трапеції через площу та інші сторони:

  

4. Формули бокової сторони через основи, діагоналі та кут між ними:

5. Формули бокової сторони через площу, основи та кут при нижній основі:

6. Формула бокової сторони через інші сторони, висоту та кут при нижній основі:

Середня лінія прямокутної трапеції

Формули довжини середньої лінії прямокутної трапеції:

1. Формули середньої лінії через основи, висоту (вона ж рівна стороні d ) та кут α при нижній основі:

2. Формули середньої лінії через основи та бокові сторони:

 

 

Задачі на властивості трапеції

Приклад 1. Висота рівнобічної трапеції, яка проведена з вершини тупого кута, поділяє основу на відрізки завдовжки 5 см і 11 см.

Знайти периметр трапеції, якщо її висота дорівнює 12 см. 

Обчислення: нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.

Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:  

Оскільки трапеція ABCD– рівнобічна,то відповідні сторони рівні CD=AB=13 см. Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90). 

Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD. У них ∠BAH=∠CKD, як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см. Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см. Тоді у рівнобічній трапеції: HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см. Відповідь: 48 см . В.

Приклад2.Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють a, а один з її кутів – 45⁰. Визначити площу трапеції.

Обчислення: Наведемо рисунок прямокутної трапеції. У трапеції ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD, AB=BC=a – менші сторони трапеції, ∠ADC=45 (як єдиний гострий кут прямокутної трапеції).Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=a – висота прямокутної трапеції.

Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90⁰). Очевидно, що вона також рівна заданій стороні CK=AB=a. У прямокутному трикутнику KCD (∠CKD=90⁰, ∠CDK=45⁰), тому ∠DCK=45⁰ (за сумою кутів трикутника), і робимо висновок,що трикутник ΔKCD  – рівнобедрений. Тобто, CK=DK=a (тут AK=BC=a, як протилежні сторони квадрата ABCK).Звідси AD=AK+KD=a+a=2a. Знайдемо площу прямокутної трапеції:

Цю площу можна було знайти в легший спосіб

Відповідь: Д.

Приклад 3. Точка O, яка є перетином діагоналей трапеції ABCD (AD||BC), ділить діагональ AC на відрізки AO=8 см і AC=4 см. Знайти основу BC, якщо AD=14 см.

Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, AD=14 см, AC=4 см, AO=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O.

Розглянемо трикутники AODіCOB. В них∠AOD=∠COB, як вертикальні.∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠CBO, як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC. 

Звідси слідує, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами). 

З цього слідує, що їх відповідні сторони пропорційні, тобто звідси

Отже, BC=7 см – основа трапеції. 

Відповідь: 7 см – В.

Приклад 4. Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 і 6 см. Знайдіть площу трапеції.

Обчислення: До умови задано рисунок, який має вигляд. Для трапеції записуємо все що на момент прочитання умови відомо: AD||BC, BC=20 см, MO=5 см, ON=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O, MO та ON – відстані від точки O до основ трапеції BC і AD, відповідно (тобто MO⊥BC, ON⊥AD). 

Розглянемо трикутники AOD і COB. В них ∠AOD=∠COB як вертикальні. ∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠ CBO, як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC. 

Звідси робимо висновок, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами). 

З цього слідує, що їх відповідні сторони (а значить і висоти MO та ON цих трикутників) пропорційні, тобто звідсиОскільки MO⊥BC, ON⊥AD, то MN⊥AD (або MN⊥BC), звідси слідує, що MN – висота трапеції (тобто точки M і, O на одній прямій). Отже, MN=MO+ON=5+6=11см.

Знайдемо площу трапеції: 

Відповідь: 242 см² – Г.

Приклад 5. Відстань між серединами діагоналей трапеції дорівнює 7 см, а менша її основа – 6 см. Знайти середню лінію трапеції. 

Обчислення: Наведемо позначення основ та сторін в трапеції AD||BC, BC=6 см, KL=7 см, де AC і BD – діагоналі трапеції, які перетинаються в точці O, KL – відстань між серединами діагоналей.

Оскільки KL сполучає середини діагоналей трапеції, то KL є частиною відрізка MN, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, тому MN– середня лінія трапеції (це твердження доводиться на основі подібності трикутників: ΔABC~ΔAMK і ΔDBC~ΔDLN за трьома кутами). Розглянемо трикутник ABC. Відрізок MK з'єднує середини сторін AB і AC. Тому MK – середня лінія трикутника і за властивістю: MK||BC, а також MK=BC/2=6/2=3 см. Розглянемо трикутник DBC.Відрізок LN з'єднує середини сторін BD і CD. Тому LN – середня лінія трикутника і за властивістю: LN||BC, а також LN=BC/2=3 см. Отож, обчислимо середню лінію MN трапеції ABCDMN=MK+KL+LN=3+7+3=13 см.

Відповідь: 13 см – Д.

Приклад 6. У рівнобічну трапецію вписане коло. Знайти квадратних сантиметрах площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 2 см і 8 см.

Обчислення: Нехай маємо рівнобічну трапецію ABCD, AD||BC, BC=2 см, AD=8 см, AB=CD, BH⊥AD, де BH– висота трапеції, опущена на сторону AD.

Оскільки у рівнобічну трапецію ABCD вписане коло, то суми її протилежних сторін рівні (за властивістю чотирикутника, описаного навколо кола), тобто AB+CD=AD+BC, звідси2AB=8+2=10, AB=AD=10/2=5 см.

Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90). Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD. 

У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=5 см. Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), і, отже, AH=KD=(8-2)/2=3 см.У прямокутному трикутнику ABH (∠AHB=90) знайдемо катет BH за теоремою Піфагора: Отже, BH=CK=4 см – висота рівнобічної трапеції ABCD.

Звідси тепер неважко довести теорему: висота рівнобедреної трапеції, в яку можна вписати коло, є середнім геометричним її основ, тобто . Знайдемо площу трапеції: 

Відповідь: 20 см² – В.

Приклад 7. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні. Знайти площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 8 см і 20 см.

Обчислення: Введемо наступні позначення в рівнобічній трапеції ABCD, AD||BC, BC=8 см, AD=20 см, AB=CD, AC⊥BD, де AC, BD – діагоналі рівнобічної трапеції. 

Оскільки у рівнобічній трапеції діагоналі перетинаються під прямим кутом AC⊥BD, то висота BH трапеції (BH⊥AD) дорівнює середній лінії трапеції, тобто півсумі її основ: BH=(BC+AD)/2 (це твердження потребує доведення!!!). Знаходимо висоту трапеції BH=(8+20)/2=14 см. За висотою обчислюємо площу трапеції:

Відповідь: 196 см² – А.

Приклад 8. Діагональ трапеції поділяє її на два подібні трикутники. Знайти цю діагональ, якщо основи трапеції дорівнюють 50 см і 72 см.

Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, BC=50 см, AD=72 см, AC – діагональ трапеції, яка розбиває її на подібні трикутники ABC і CDA (за умовою).

За ознакою подібності у трикутників ABC і CDA відповідні кути рівні: ∠ACB=∠CAD (як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC); ∠BAC=∠ADC, ∠ABC=∠ACD. На основі теореми синусів запишемо рівність для визначення діагоналі AC. Для трикутника ΔABC складаємо пропорцію (*).

У трикутнику ΔABC маємо Однак маємо два рівні кути ∠BAC=∠ADC і ∠ABC=∠ACD, тому формули вище перепишемо до вигляду (**). Прирівняємо вирази (*) і (**) і знайдемо діагональ AC: звідси AC^2=3600, AC=60 см. 

Відповідь: 60 см – Д.

Приклад 9. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 30⁰. Знайти периметр трапеції, якщо більша основа дорівнює 8 см.

Обчислення: Нехай маємо рівнобічну трапецію ABCD, AD||BC, AD=8 см, AB=CD, ∠CAD=30⁰, де AC – діагональ (і бісектриса ∠A) рівнобічної трапеції, тому ∠BAC=∠CAD=30⁰. 

Зразу можемо знайти повні кути при основі ∠A=∠D=∠BAC+∠CAD=30⁰+30⁰=60 оскільки у рівнобічної трапеції кути при основі рівні. ∠BCA=∠CAD=30 (як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD, BC). Звідси ∠BCA=∠BAC=30⁰, тому трикутник ABC – рівнобедрений з основою AC і AB=BC – бічні сторони ΔABC. Отже, можемо записати рівність трьох сторін AB=BC=CD, оскільки трапеція рівнобедрена (за умовою).

Розглянемо трикутник ACD, у якого AD=8 см, ∠CAD=30⁰ і ∠D=60⁰.За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо ∠CAD: .Отже, трикутник ACD – прямокутний з катетами AC і CD. За означенням синуса гострого ∠CAD знайдемо катет CD: Отже, маємо AB=BC=CD=4 см і AD=8 cм. Знайдемо периметр трапеції: P=3•4+8=20 см.Відповідь: 20 см – Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаних джерел

1. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія 8 клас К.: «Оріон» 2016р.

2. Істер О.С. Геометрія 8 клас К.: «Генеза» 2016р.

3. Гуменяк О. Цікаві математичні задачі. – К.: Видавничий центр «Академія», 1998р.

4. Панішева О.В. Супутник учителя математики. – Х.: «Основа», 2008р.

5. Єршова А.П., Голобородько В.В., Крижанівський О.Ф., Єршов С.В. Геометрія. 8 клас. Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. – Х.: Видавництво «Ранок», 2014.

6. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Дидактическиематериалы по геометрии 8 класс. – М.: Просвещение, 1992.

7. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение, 1984.