" Цікава математика: застосування властивостей цифрових коренів (модульних сум) "

Віктор Кицун

вчитель математики Старосинявської ЗОШ І-ІІ ступенів №1

Цікава математика:  застосування властивостей  цифрових коренів ( модульних сум)

Якщо додавати цифри даного числа, а  потім  –  цифри утворених сум, то в кінцевому результаті отримаємо одноцифрове  число, яке називають цифровим коренем або модульною сумою даного числа. На їх властивостях ґрунтуються  раціональні методи  перевірки правильності виконання дій, відомі як метод модульних сум,  цифрових коренів, порівняння  по модулю 9. Цифровий корінь числа дорівнює, зазвичай, остачі від ділення цього числа на 9, тому процес знаходження цифрового кореня можна пришвидшити відкиданням дев’яток. Існує виключення: цифровий корінь числа, яке кратне 9  дорівнює  9,  хоча остача від ділення такого числа на 9 дорівнює  0.  

Наприклад: цифровий корінь числа 123456789  дорівнює 9, бо дане число кратне 9;  числа 12345  –  6,  оскільки   1+2+3+4+5 = 15;  1+5 = 6,  або   1+2+3 = 6 (4+5 = 9 відкидаємо).

Властивості  цифрових коренів (модульних сум) є основою цікавих математичних  фокусів. Цифровий корінь стійкий відносно додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня  та  не змінюється від перестановки  цифр числа. Значна частина таких фокусів із числами  ґрунтується на діях чи операціях, які приводять до  начебто випадкового числа, цифровий корінь якого насправді дорівнює  9.  Тоді   можна, наприклад,  відгадати задуману (відмічену, стерту, приховану) його цифру.  Для цього потрібно додавати  цифри, які залишилися (їх можуть  називати у будь-якому порядку)  і, відкидаючи 9, знайти цифровий корінь сукупності цифр. Якщо  цифровий корінь 9, то  приховано таку ж цифру.  Якщо інше число, то для відгадування прихованого потрібно відняти його від  9.  Відгадати можна будь-яку цифру, крім 0.   Хоча і в такому разі можна схитрувати і вийти з ситуації:  «Ви ж не цифру 0 стерли, щоб нагадати  вислів  Оноре де Бальзака: «Бувають люди, схожі на нулі:  їм завжди необхідно, щоб попереду них були цифри». J

Як можна з довільного  числа отримати число, цифровим коренем якого буде  число 9? 

      1.Від  довільного числа відняти суму його цифр. 

2.  До довільного числа додати суму його цифр, помножену на 9.

3.  Знайти різницю двох чисел, які записані однаковими цифрами, але    відрізняються  їх порядком.

4.  Помножити довільне число на 9, або число, яке ділиться на 9.

5.  Знайти квадрат суми  двох чисел, які  записані однаковими цифрами, але  відрізняються  їх порядком.

6.  Виконати над довільним числом будь-яку послідовність дій і отриманий   результат помножити на 9.

7.  Якщо початкове число  кратне 9 (цифровий корінь дорівнює 9),  можна, переставляючи його цифри,  утворити кілька нових чисел, додати  їх  (або деякі з них) і  отриманий результат помножити на будь-яке  ціле число, і тоді цифровий корінь отриманого результату дорівнюватиме  9.  Навчіться  отримувати такі числа  та  дивуйте своїх близьких і друзів!

Фокус 1. Задумайте  трицифрове число,  цифри якого йдуть у порядку зростання або спадання.  Утворіть   друге  трицифрове число, записавши  цифри цього числа у зворотному порядку. Відніміть від більшого менше.

Назвіть  першу  (останню)  цифру отриманої відповіді.  

Після цього відгадується  отриманий результат.

 Другою цифрою відповіді завжди буде 9. Щоб знайти третю (першу) цифру, потрібно відняти названу від 9.

543 - 345 = 1??        Друга цифра 9,  остання   9 - 1 = 8. Відповідь: 198.

Фокус 2. Задумайте  трицифрове число,  цифри якого йдуть у порядку зростання або спадання.  Утворіть   друге трицифрове число, записавши  цифри задуманого у зворотному порядку.  Відніміть від більшого менше. Утворіть з отриманого результату  ще одне число, записавши  його цифри  у зворотному порядку. Додайте ці числа.  

Після цього  відкривається конверт,  який ще від початку демонстрації лежав на столі і …. Сталося диво:  число з конверта  і отримана відповідь – одне й те саме число  1089 :   543 - 345 =  198;   198+891 = 1089. 984 - 489 = 495; 495 + 594 = 1089. Інколи  можна  спочатку  зачитати з листка число  «680I» і здивуватися: «Невже математика – не точна наука? Як я міг так помилитися?!»  І  за декілька  секунд  довести протилежне, розвернувши листок із записаним числом на 180⁰:   « I089 ». 

Навчаємось, усміхаючись!

J  Задумайте двоцифрове число від  40 до 80.  Помножте на 10.        

Відніміть  20. Додайте 12,  поділіть на 2  і  заплющте очі….        Темно, чи не так?   J

У статті використано матеріали посібника   «Цікаво. Про100. Зручно» Способи та прийоми раціональних обчислень для школярів та студентів і не тільки…/ упоряд. Кицун В. П.,  Кицун О.В – Хмельницький., ФОП Мельник А. А. 2018. – 150 с. 

ISBN 978-617-7600-26-7   

УДК 519.813

При копіюванні матеріалів посилання на видання обов’язкове. 

Всі права застережені                                                    All rights reserved