Задачі на відсотки.Математика

Цікаві задачі на відсоткові розрахунки

1. Задачі на обчислення відсотків від відсотків

Задача 1. Число спочатку збільшили на 20%, а потім зменшили на 20%. Як змінилося число?

Розв’язання:

Нехай х – число. Тоді після збільшення його на 20% воно дорівнюватиме 1,2х. 1,2х*0,8 = 0,96х – становить число після зменшення;

х – 0,96х = 0,04х – зміна числа.

Оскільки 0,04 = 4%, то це значить що число зменшилося на 4%.

Відповідь. На 4% зменшиться.

Задача 2. Цукерки подешевшали на 20%. На скільки відсотків більше можна купити цукерок на ту ж саму суму?

Розв’язання:

Нехай х грн. витратили на цукерки спочатку і це 100%. Тоді після знижки цукерок можна купити на 0,8х грн. Нехай а – це відсотки цукерок, куплених після знижки на ту ж суму. Отже, можемо скласти пропорцію

Отже, цукерок можна придбати на 25% більше.

Відповідь. На 25% більше.

Задача 3. На скільки відсотків зменшиться площа квадрата, якщо його сторону зменшити на 10% ?

Розв’язання:

Нехай початкова сторона квадрата буде , тоді . Після зменшення сторони на 10% матимемо площу . Очевидно, що площа зменшилася на .

Відповідь. Зменшиться на 19%.

 

2. Задачі, у яких відомо скільки відсотків одне число становить від іншого.

Задача 4. Одне з чисел на 60% більше другого. На скільки відсотків друге число менше за перше?

Розв’язання:

Нехай друге число , тоді перше . Можемо скласти пропорцію

Звідси, . Отже, друге число менше за перше на  .

Відповідь. На 37,5% менше.

Задача 5. Перше число становить 120% від другого, а відношення першого до третього дорівнює . Знайти всі три числа, якщо різниця між третім і другим на 20 менша від числа, що становить 30% від суми першого і другого чисел.

Розв’язання:

Нехай друге число дорівнює . Тоді перше число дорівнює , а третє - . За умовою задачі можемо скласти рівняння:

Отже, друге число 125. Тоді

– перше число;

– третє число.

Відповідь. 150; 125; 187,5.

 

3. Задачі на розчини та суміші

Якщо - маса розчину, - маса розчиненої речовини, то відношення , подане у відсотках, називають концентрацією розчину.

Відсотковою концентрацією розчину називають виражене у відсотках відношення маси розчиненої речовини до маси всього розчину.

Задача 6. До 80% розчину кислоти масою 6 кг вливають воду, масою 4 кг. Яка стала концентрація утвореного розчину?

Розв’язання:

 Знайдемо масу кислоти в 80% розчині. Для цього складемо пропорцію

Звідси, кислоти в даному розчині. Якщо до цього розчину долили воду, то 6 кг + 4 кг = 10 кг – маса утвореного розчину. Оскільки маса кислоти в розчині залишилася тією ж самою, то можемо знайти її відсоткову концентрацію в новому розчині. Складемо пропорцію

Звідси, . Отже, концентрація нового розчину становить 48%.

Відповідь. 48%.

Задача 7. Вода містить 5% солі. Скільки треба долити до цього 30-кілограмового розчину води, щоб сіль у воді становила 1,5% ?

Розв’язання:

Щоб знайти скільки кг солі міститься у 5% розчині, складемо пропорцію

Звідси, . Очевидно, що 1,5% розчин містить 1,5 кг солі. Знайдемо скільки кг води у цьому ж розчині

Отже, води в утвореному розчині 98,5 кг, а було 30 – 1,5=28,5 кг. Щоб знайти, скільки долили, потрібно 98,5 – 28,5 = 70 кг.

Відповідь. Долили 70 кг.

Задача 8. Змішали 60% - й розчин сірчаної кислоти з 25% - м її розчином і отримали 700 г 40% - го розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято?

Розв’язання:

Нехай 60% - го розчину взяли г, тоді 25% - го взяли (700 - х) г.

У 700 г 40% - го розчину міститься г сірчаної кислоти, в г розчину 0,6 г кислоти, а в (700 - х) гкислоти буде г. Маємо рівняння:

Отже, взяли 300 г 60% - го розчину. Тоді 25% - го розчину взяли 700 – 300 = 400 (г).

Відповідь. 300 г, 400 г.

IV. Задачі на сплави

Задачі на сплави розв’язуються аналогічно до задач на змішування.

Задача 9. Сплав вагою 450 кг містить 40% цинку і 180 кг міді. Який відсотковий вміст домішок у цьому сплаві?

Розв’язання:

1) (кг) – цинку у сплаві.

2) (кг) – домішок у сплаві.

3) домішок.

Відповідь. 20%.

Задача 10. Сплав олова і свинцю масою 12 кг містить 45% свинцю. Скільки чистого олова потрібно додати до цього сплаву, щоб отримати новий сплав, який містить 40% свинцю?

Розв’язання:

Очевидно, що вміст олова у сплаві масою 12 кг становить 55%, а у новому сплаві -  60%. Якщо до сплаву додати кг олова, то олова в ньому стане кг. А з іншої сторони, у новому сплаві кг олова.

Маємо рівняння:

Отже, до сплаву треба додати 1,5 кг олова.

Відповідь. 1,5 кг.

Задача 11. Сталь двох видів містить нікель 5% - ий і 40% - ий. Скільки сталі кожного виду треба взяти, щоб отримати 140 т сталі, яка містить 30% нікелю?

Розв’язання:

Нехай візьмемо т сталі, яка містить 5% нікелю, та т сталі, яка містить 40% нікелю. Тоді нікелю у сплавах буде та т. У 140 т сталі нікелю буде т. Отже, можемо скласти систему

                                                            

                                                            

Отже, потрібно взяти 40 т одного виду сталі і 100 т іншого.

Відповідь. 40 т, 100 т.

 

V. Інші задачі

Задача 12. Початковий капітал 20 000 грн поклали в банк під 7% річних. Яка сума грошей буде на рахунку через 5 років?

Розв’язання:

Щоб розв’язати цю задачу використаємо формулу складних відсотків:

,

де - майбутня сума, - початковий капітал, - відсоток річних, - кількість років.

За формулою маємо: грн..

Відповідь. 28 060 грн.

Задача 13. Два туристи за два дня пройшли 72 км. Після того як перший турист збільшив швидкість на 15%, а другий – на 25%, то за наступні два дні вони пройшли 86 км. Скільки кілометрів пройшов кожен з них після збільшення швидкості?

Розв’язання:

Нехай перший турист пройшов км шляху, а другий км шляху. Після збільшення швидкості перший турист пройшов км, а другий - км. Отже, можемо скласти систему:

                                                       

                                                       

                                                       

Отже, після збільшення швидкості маємо:

(км) пройшов перший турист;

(км) пройшов другий турист.

Відповідь. 46 км, 40 км.

Задача 14. Вологість свіжих яблук дорівнює 99%. Після того як їх підсушили, їх вологість стала 98%. Як змінилася маса яблук?

Розв’язання:

Нехай початкова вага яблук кг, а підсушених кг, тоді маємо:

яблука ,

вода ,

суха речовина .

Для підсушених яблук маємо наступне:

яблука ,

вода ,

суха речовина , звідси . Можемо зробити висновок, що маса яблук зменшиться у 2 рази.

Відповідь. Маса зменшилася у два рази.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаних джерел

1. Бевз Г. П. Алгебра : Проб. підруч. Для 7 – 9 кл. серед. шк. – 3-тє вид. – К.: Освіта, 2000. – 303 с.;

2.   Бевз Г. П. Математика: 6 кл.: підруч. для загальноосвіт. навч. закл. /

 Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Генеза, 2006. – 304 с.;

3.   Істер О. С. Математика : підруч. для 5-го кл. загальноосвіт. навч. закл. / О. С. Істер. – К.: Генеза, 2013. – 368 с.
4.   Лук’янова Світлана. Розв’язування текстових задач арифметичними способами: 5-6кл. – К.: Вид. дім. «Шкільний світ»:Вид. Л. Галіцина, 2006. – 128 с.
5.   Система тренировочных задач и упражнений по математике: Пособие / А. Я. Симонов и др. – М.: Просвещение, 1991
6.   Цыпкин А. Г. Справочник по методам решения задач по математике. – М.: Наука, 1989